Parciální diferenciální rovnice

Parciální diferenciální rovnice

Obsah kurzu Co bude obsahovat... úvod do PDR odvození některých PDR klasická teorie lineárních PDR 1. a 2. řádu řešení poč. a okraj. úloh vlastnosti řešení souvislost s variačním počtem Co nebude obsahovat... metody integrálních transform. nelineární rovnice* teorie Sobolevových prostorů teorie distribucí numerické řešení PDR Schrödingerova rovnice * - až na výjimky (Burgersova rovnice, variační počet, Kirchhoffova transformace, Eulerovy rovnice,...)

Obsah kurzu Co bude obsahovat... úvod do PDR odvození některých PDR klasická teorie lineárních PDR 1. a 2. řádu řešení poč. a okraj. úloh vlastnosti řešení souvislost s variačním počtem Co nebude obsahovat... metody integrálních transform. nelineární rovnice* teorie Sobolevových prostorů teorie distribucí numerické řešení PDR Schrödingerova rovnice * - až na výjimky (Burgersova rovnice, variační počet, Kirchhoffova transformace, Eulerovy rovnice,...) Dle potřeby zopakujeme, resp. probereme teorie funkčních, zejména Fourierových řad úvod do vektorové analýzy úvod do funkcionální analýzy

Parciální diferenciální rovnice Známe obyčejné diferenciální rovnice (ODR) F ( x, u(x), u (x),..., u (n) (x) ) = 0 neznámá = funkce jedné proměnné řešení = n-krát spojitě diferencovatelná funkce taková, že rovnost je splněna v každém bodě nějakého intervalu

Parciální diferenciální rovnice Parciální diferenciální rovnice (PDR) F ( t, x, y, z, u, u t, u x,..., n u,... ) = 0 x i... x j neznámá = funkce více proměnných (KLASICKÉ) řešení = n-krát spojitě diferencovatelná funkce taková, že rovnost je splněna v každém bodě nějaké oblasti Poznámka: Často jedna výjimečná proměnná - čas PDR obsahuje časovou derivaci - EVOLUČNÍ neobsahuje časovou derivaci - STACIONÁRNÍ

PDR jako dynamický systém systém popsán stavovými veličinami ze stav. prostoru x X vývoj stavu systému v čase popsán dynamickým systémem změna x(t) = f (t, vlivy) čas t čas t dim X diskrétní spojitý 1 diferenční obyčejná rovnice diferenciální r. konečná soustava soustava diferenč. r. ODR nekonečná nekoneč. dim PDR diskrétní DS a jejich soustavy

Klasifikace rovnic řád rovnice - nejvyšší derivace v rovnici linearita rovnice lineární - lineární vzhledem k neznámé u, př.: xu t y 2 u xy = 3 nelineární semilineární - lineární v nejvyšší derivaci př.: x 3 u xxx + u xu t = 2 kvazilineární - lineární v nejvyšší derivaci, koeficienty mohou záviset na nižších derivacích př.: uu xx u t = u 2 zcela nelineární př.: det( 2 u) f (x, u, u) = 0 (Monge-Ampére)

úlohy podobně jako pro ODR obecné řešení, tj. všechna řešení rovnice (málokdy se podaří) partikulární řešení splňující nějaké dodatečné podmínky, např. okrajové, počáteční, chování v nekonečnu atp.

Korektní úloha dle Hadamarda existence jednoznačnost spojitá závislost na datech úlohy

Notace, značení, úmluvy Parciální derivace budeme značit u x = xu = u x, atp. Je-li v R n jednotkový vektor a x R n, pak i = x i, f v ( f ( x + h v) f ( x) x) = lim, h 0 h spec. pro v = n vektor vnější normály f n = n f ( f f = grad f =,..., f ) x 1 x n f n = f n

Divergence a rotace vektorového pole f div f = f = i f i x i, rot f = f Laplaceův operátor, laplacián (stopa Hessovy matice) f = div( f ) = ( )f = i 2 f x 2 i spec. ve 3D div f = 1 f 1 + 2 f 2 + 3 f 3, rot f = ( ) 2 f 3 3 f 2, 3 f 1 1 f 3, 1 f 2 2 f 1 Platí f = xx f + yy f + zz f rot( f ) = 0, div(rot f ) = 0 rot(rot f ) = (div f ) f