a) formulujte Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence b) pomocí tohoto kritéria ukažte, že funkční řada konverguje stejnoměrně na celé R

Transkript

1 ) ČÍSELNÉ A FUNKČNÍ ŘADY (5b) a) formulujte Leibnitzovo ritérium včetně absolutní onvergence b) apliujte toto ritérium na řadu a) formulujte podílové ritérium b) posuďte onvergenci řad c) oli členů této řad stačí sečíst ab chba nepřesáhla -4! a) formulujte Weierstrassovo ritérium stejnoměrné onvergence b) pomocí tohoto ritéria uažte že funční řada onverguje stejnoměrně na celé R sin a) formulujte integrální ritérium b) pomocí něj rozhodněte o onvergenci či divergenci řad a) definujte absolutní onvergencí b) pomocí integrálního ritéria rozhodněte zda onverguje řada Rozhodněte o onvergenci a v případě onvergence určete součet ) FOURIEROVY ŘADY (6b) ;) (; sinová na <;> (; osinová na (;) 4 arctg Fourierova na (-;) ; f a) napište vzorec pro a / b (integrál nepočítejte) b) napište příslušnou řadu c) nareslete součet řad na (-6;6) d) rozhodněte o tpu onvergence ( ) e Fourierova na (-;) sin osinová na (;) ; osinová na (;) ) POČÁTEČNÍ A OKRAJOVÉ PROBLÉMY ODR (b) Napsat počáteční a orajový problém pro nehomogenní lineární ODR s neonstantními oeficient Určete a ta ab orajový problém měl a) právě jedno b) žádné c) neonečně mnoho řešení () = ()= Napsat počáteční problém pro soustavu dvou nelineárních ODR + napsat přílad lineární ODR s poč. podmínami a nelineární ODR s orajovými podmínami Napsat počáteční problém pro soustavu dvou nehomogenních lineárních ODR s neonstant. oef.

2 4) VLASTNOST ODR A JEJICH ŘEŠENÍ (5b) Ověřte lineární nezávislost fundamentálních vetorů a jejich platnost pro sstém rovnic sin cos u v cos w sin sin cos Převeďte rovnici problém. na soustavu ODR a doplňte podmín ta ab bl definován poč. Počáteční problém převeďte na problém pro soustavu čtř ODR f ( z z) () () z g( z z) z() z() Sstém funcí {cos } doplňte ta ab tvořil fundamentální sstém řešení homogenní lineární ODR s onstantními oeficient. Jaého nejmenšího řádu tato rovnice může být? Sstém funcí {.e sin} doplňte ta ab tvořil fundamentální sstém řešení homogenní lineární ODR s onstantními oeficient. Jaého nejmenšího řádu tato rovnice může být? Určete homogenní LODR s onst. oef. jejíž fundamentální sstém řešení tvoří funce e - a.e - Pomocí Wronsiánu ověřte zda funce =e =-e = tvoří fundamentální sstém řešení rovnice. V ladném případě napište obecné řešení v opačném sstém opravte a napište obecné řešení. 5) NUMERICKÁ ŘEŠENÍ ODR (5b) Popište ep/imp Eulerovu metodu. Co lze říci o řádu přesnosti a stabilitě metod? Je dána n-roová formule. Určete n rozhodněte zda je metoda ep. nebo imp. a na záladě těchto vlastností uveďte něteré její výhod/nevýhod h Y i Y 9 f ( i Yi ) 9 f ( i Yi ) 5 f ( i Yi ) f ( i Yi ) 4 Naznačte disretizaci úloh diferenční metodou s roem h=6 (sin ) ( ) cos ( ) ( ) Naznačte disretizaci úloh diferenční metodou s roem h= ( ) ( )

3 6) ŘEŠENÍ ODR ROZVOJEM DO MOCNINNÉ ŘADY (5b) Pomocí rozvoje do mocninné řad určete přibližné řešení počátečního problému ve tvaru Talorova polnomu 4tého stupně ( ) () Pomocí rozvoje do mocninné řad určete přibližné řešení počátečního problému ve tvaru Talorova polnomu 6tého stupně ( ) ( ) Pomocí rozvoje do mocninné řad určete řešení počátečního problému ( ) ( ) Pomocí rozvoje do mocninné řad určete řešení počátečního problému ( ) ( ) Ověřte že mocninná řada Ověřte že mocninná řada je řešením počáteční úloh ( ) ( ) je řešením počáteční úloh ( )! 7) SLOVNÍ ÚLOHA NA ODR (5b) Harmonicý oscilátor s rovnicí 4 ()= ()=. Určete polohu a rchlost oscilátoru v čase /4 Intenzita proudu v RL obvodu s onstantním napětím u je řešením poč. problému L Li Ri u i ( ). Určete intenzitu v čase t ln R Pohb hmotného bodu je popsán rovnicí v mg v v ( ). Jaou dráhu urazí hmotný bod za dobu t*=(ln)/ Ochlazování tělesa o počáteční teplotě C je popsáno rovnicí Určete teplotu tělesa T v čase ln minut T T [ C.min - ] Kuliča padá z výš h = m s nulovou počáteční rchlostí. Její pohb je popsán rovnicí h h g. Určete výšu ulič v čase t = s Pohb ulič zavěšené na matematicém vadle je po provedení linearizace popsán rovnicí 4. Určete výchlu v čase /4 je-li počáteční výchla rovna /8 a poč. rchlost nulová. Hmotný bod se pohbuje podle rovnice s nulovou počáteční polohou i rchlostí. Určete ta ab urazil za s vzdálenost 5 m.

4 8) POČÁTEČNÍ OKRAJOVÝ PROBLÉM PDR (6b) u t a t u u( ) g( ) u( t) h ( ) u( l t) h u t ( t) l t T a) jaý fziální děj rovnice popisuje co znamenají jednotlivé podmín b) naznačit numericé řešení této rovnice Napište počáteční-orajový problém pro úlohu mitání strun a proveďte jeho fziální interpretaci (rovnice i podmíne) Napište počáteční-orajový problém pro vedení tepla v tči a proveďte fziální interpretaci. Napište obecný tvar lineární PDR v rovině (tj. pro funci dvou proměnných) Uveďte jaé tři tp rovnic rozlišujeme (lasifiaci rovnic) a přílad (záladní tp těchto rovnic) anonicé tvar Napište rovnici vedení tepla v tené tči onečné dél a doplňte ji homogenními Dirichletovými orajovými podmínami a vhodnou počáteční podmínou. Napište v jaém tvaru bchom hledali řešení dbchom chtěli tuto úlohu řešit Fourierovou metodou. 9) NEKONEČNÉ ŘADY (5b) a) určete rozvoj do mocninné řad (obecný předpis a prvních n členů) b) určete poloměr/obor onvergence b) pomocí rozvoje vpočtěte limitu (resp. ln) d) pomocí rozvoje vpočtěte integrál Návod: chba částečného součtu P n < 4. P n+ cos lim d s chbou - t ln ln( ) ln( ) ln d sinh e e lim d s chbou -4 5 (cosh ) e e lim 4 8 d s chbou - sin cos() lim d s chbou -4 5 arctg lim 4 d s chbou - ln( ) e

5 ) ODR (5b) a) určete ve terých bodech není zaručena eistence a jednoznačnost řešení b) najděte obecné řešení (v eplicitním tvaru) c) určete řešení procházející bodem * ; ] a určete na terém intervalu je toto řešení definováno d) určete přibližné řešení ( ) počáteční úloh z c) pomocí imp/ep Eulerov metod a výslede porovnejte s přesným řešením ( ) () h= 4 ( ) 5/ 4 () h= ( ) (.) h=. ( ) 5 (.) h=. ( ) (.) h=. / ( ) ( ) (.) h=. ( ) ( ) ( ) (-.) h=. ) LODRn (5b) - určit obecné/partiulární řešení 4 4 e 4e cos sin 6 7 6e 8cos 4 sin 4 e sin e sin 4 cos ( ) ( ) cos ( ) ( ) w je reálný parametr (Návod: rozlište případ = =ostatní ) ) SLODR (5b) e 6 () () () () () () () () ()