Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci petr.salac@tul.cz jiri.hozman@tul.cz 26.9.2016 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2016-2017 1/ 11
Základní pojmy výrokové logiky Matematický text je členěn na: Definice Věty Příklady Definice- zavádí pojmy(vysvětluje význam matematických termínů) Věta- je formulována jako výrok(tj. lze rozhodnout, zda je pravdivá či nepravdivá) - má jednu z následujících struktur a) A= B jestližea,pakb(zaplyneb) b) A B Apravětehdy,kdyžB(AjeekvivalentníB) Implikace A = B B je nutnou podmínkou platnosti A A je postačující podmínkou platnosti B Ekvivalence A B A je nutnou a postačující podmínkou platnosti B Příklad- demonstruje obecné pojmy v konkrétních situacích Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2016-2017 2/ 11
Přirozená čísla N= {1,2,3,...}. Celá čísla Z= {..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...}. Racionální čísla Q={ p ; p,q Z, q 0}. q N Z Q. N Z 1 / N 2 Z Q 3 / Z -lzeznázornitnareálnéose N, Z, Qjsouuspořádány x < y(xležínareálnéosevlevoody) x y(xležínareálnéosevlevoodynebonay) Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2016-2017 3/ 11
Věta Množina racionálních čísel je hustě rozložena na ose reálných čísel. význam: x, y R x < y = r Qtak,že x < r < y (mezi každými dvěmi reálnými čísly lze nalézt nějaké racionální číslo) 2 / Q Reálná čísla R...číslo,kterémunareálnéoseodpovídábod Iracionální čísla I= R\Q Q R. Q R 2 / Q Rjsouuspořádánybinárnírelací <, (resp. >, ) Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2016-2017 4/ 11
Rozšířená reálná osa R = R {+, } Operace s nekonečny Je-li a R,definujeme + =a+ = +a= nelze ( )+( )=a+( )=( )+a= ( )=a ( )=a ( )= =a = +a=. =( ).( )=.( )=( ). = a. =.a= { pro a >0 pro a <0 nelze 0. a.( )=( ).a= { pro a >0 pro a <0 nelze 0.( ) Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2016-2017 5/ 11
a = a =0 a = { pro a >0 pro a <0 nelze 0 nelze a = { pro a >0 pro a <0 nelze 0 nelze Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2016-2017 6/ 11
Definice Nechť A R.Číslo a Anazývámemaximumnmožiny A,jestližeplatí x A = x a značíme a=maxa. Číslo b Anazývámeminimumnmožiny A,jestližeplatí značíme b=mina. x A = b x Příklad 1) A konečná = existuje maxa mina. 2) A nekonečná, pak nemusí existovat maximum ani minimum A. N (0,1) Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2016-2017 7/ 11
Definice Množina A Rsenazýváshoraomezená,jestližeexistuje c Rtakové,žeplatí x A = x c Číslo csenazýváhornízávoramnožiny A. Množina A Rsenazývázdolaomezená,jestližeexistuje d Rtakové,žeplatí x A = d x Číslo dsenazývádolnízávoramnožiny A. Množina A Rsenazýváomezená,je-liomezenáshoraizdola. Poznámka Čísla c, d nemusí patřit do množiny A. Příklad A=(0,1) 2jehornízávora 1 je dolní závora. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2016-2017 8/ 11
Věta(o supremu) Nechť A R, A,shoraomezená.Pakexistujeprávějedno M Rtěchtodvou vlastností 1) x M x A 2)Je-li M 1 < M = existujealespoňjedno x 1 Atakové,že M 1 < x 1. Definice Číslo M Rsplňujícívlastnosti1)a2)nazýváme supremum množiny A. značíme M=supA Poznámka Supremum množiny A je nejmenší horní závora. Příklad A=(0,1) 1=supA Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2016-2017 9/ 11
Poznámka(význam věty o supremu) Věta o supremu říká, že každá neprázdná, shora omezená podmnožina množiny reálných čísel má právě jedno supremum. Poznámka 1)Je-li cjemaximummnožiny A,pak cjesupremum A. Příklad A=<1,4 > 2)Je-li cjesupremummnožiny A,pak cnemusíbýtmaximem A. Příklad A=(1,3) Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2016-2017 10/ 11
Definice Nechť A R, A.Pak m Rnazýváme infimum množiny A, jestliže platí 1) x m x A 2)Je-li m 1 > m = existujealespoňjedno x 1 Atakové,že x 1 < m 1. značíme m=infa Věta(o infimu) Nechť A R, A,zdolaomezená.Pakexistujeprávějednoinfimummnožiny A. Poznámka Věta o supremu neplatí, omezíme-li se při řešení matematických úloh pouze na racionální čísla(jsou mezi nimi díry), což by vedlo k problémům s existencí řešení řady úloh. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2016-2017 11/ 11