, f g jsou elementární funkce.

Transkript

1 Průběh funkce použité definice a věty Definice. Řekneme, že funkce je spojitá na otevřeném intervalu (a, b), jestliže je spojitá v každém vnitřním bodě tohoto intervalu. Řekneme, že funkce je spojitá na polouzavřeném intervalu (a, b (resp. a, b)), jestliže je spojitá na příslušném otevřeném intervalu a navíc spojité zleva v bodě b (resp. zprava v bodě a). Řekneme, že funkce je spojitá na uzavřeném intervalu, pokud je spojitá na příslušném otevřeném intevalu a navíc je jednostranně spojitá zevnitř intervalu v krajních bodech. Definice 2. Elementární funkce definujeme induktivně takto: (i) Nechť c R a n N, pak c, x n, n x, sin x, arcsin x, ln x, exp x jsou elementární funkce. (ii) Jsou-li f a g elementární funkce, tak potom f + g, f g, f g, pro g 0 f g, f g jsou elementární funkce. (iii) Každá elementární funkce vzniká konečným počtem aplikací (i) a (ii). Věta. Elementární funkce jsou spojité na intervalech svých definičních oborů. Příklad. Funkce f(x) = arcsin 2x2 x 4 + je elementární, protože x2 je elementární, konstanta je také elementární a jejich součin 2x 2 je tudíž také elementární, x 4 je opět elementární a součet s konstantou je elementární. Podíl dvou elementárních funkcí je opět elementární, arcsin je elementární a složením s elemenární funkcí máme opět elementární funkci. Definice 3 (Derivace). Nechť f je reálná funkce reálné proměnné a nechť a D(f). Potom pokud existuje f(a + h) f(a) lim, h 0 h tak tuto limitu nazýváme derivací funkce f v bodě a a značíme ji f (a). Derivaci zprava v bodě a definujeme a značíme následujícím způsobem f +(a) = lim h 0+ f(a + h) f(a). h Analogicky se definuje derivace zleva v bodě a, kterou značíme f (a). Poznámka. Derivaci můžeme definovat ekvivalentně následujícím způsobem, f f(x) f(a) (a) = lim x a x a, pro jednostranou derivaci vypadá definice následovně f +(a) f(x) f(a) = lim x a+ x a (analogicky zleva). Tato definice definice derivace je ekvivalentní s definicí 3 a nechá se na ní převézt pomocí substituce x = a + h. Pro výpočty je obvykle výhodnější definice 3. Pokud počítáme derivaci funkce (i jednostrannou) z definice, můžeme při výpočtu dospět ke třem závěrům. f (a) R, potom říkáme, že derivace v a existuje a je vlastní (říkáme, že funkce f je v a diferencovatelná) nebo f (a) = ±, potom říkáme, že derivace v a existuje a je nevlastní a konečně třetí možnost je, že limita v definici derivace neexistuje a potom říkáme, že derivace v a neexistuje. Věta 2 (Limita derivace). Nechť f je spojitá v bodě a R a nechť existuje lim x a f (x). Potom existuje f (a) a platí f (a) = lim x a f (x). Poznámka. Předchozí věta (věta 2) platí i v případě jednostranných derivací. Například pro derivaci zleva bude tvrzení vypadat následovně: Nechť f je spojitá v bodě a R a nechť existuje lim x a f (x). Potom existuje f (a) a platí f (a) = lim x a f (x). Věta 2 nám dává poměrně jednoduchou metodu jak spočítat derivaci v bodech, ve kterých nelze použít výsledek po mechanické derivaci. Jestliže pracujeme s elementárními funkcemi, tak máme práci usnadněnou tím, že jsou spojité na svých definičních oborech a tím je tedy ověřování prvního předpokladu věty velice snadné. Při používání této věty je nutné dát si pozor na to, že se jedná o větu ve tvaru implikace. Pokud tedy při výpočtu zjistíme, že lim x a f (x) neexistuje, nemůžeme ještě rozhodnout zda derivace v tomto bodě existuje nebo neexistuje. Když tedy zjistíme, že lim x a f (x) neexistuje, můžeme ještě použít větu 2 pro výpočet jednostranných derivací. Spočítáme lim x a+ f (x) a lim x a f (x) a pokud tyto limity existují, tak potom příslušné jednostranné derivace jsou rovny těmto jednostranným limitám a navíc pokud f (a) f +(a), tak potom f (a) neexistuje. Pokud ale lim x a+ f (x) a lim x a f (x) neexistují, tak opět nemůžeme nic říct o derivaci v bodě a a derivaci tedy musíme vypočítat z definice.

2 Definice 4 (Monotonie na intervalu). Řekneme, že funkce f je rostoucí na množině M, jestliže platí následující: x, x 2 M : x < x 2 f(x ) < f(x 2 ) Analogicky definujeme funkci neklesající ( x, x 2 M : x < x 2 f(x ) f(x 2 )), klesající ( x, x 2 M : x < x 2 f(x ) > f(x 2 )), nerostoucí ( x, x 2 M : x < x 2 f(x ) f(x 2 )) na množině M. Věta 3. Je-li f spojitá na (a, b a rostoucí na (a, b), je rostoucí i na (a, b. Věta samozřejmě platí i pro polouzavřený interval zleva a samozřejmě i pro uzavřený interval. Věta 3 nám pomáhá při určování maximálních intervalů monotonie. Byla by chyba napsat, že funkce roste pouze na otevřeném intervalu, pokud by byla navíc spojitá ještě na příslušném polouzavřeném (uzavřeném) intervalu. Pokud při vyšetřování průběhu funkce zjistíme, že funkce f je rostoucí na intervalu (a, b a na intervalu b, c), tak obecně nemůžeme psát, že je rostoucí na jejich sjednocení (interval (a, c)). O tom, kdy je to možné, mluví následující věta. Věta 4. Nechť je funkce f rostoucí na intervalu (a, b a na b, c). Potom je f rostoucí na (a, c) právě když, lim x b f(x) lim x b+ f(x). Poznámka. Je-li funkce v přechozí větě spojitá na intervalu (a, c), jsou tím předpoklady věty automaticky splněny, protože zřejmě platí lim x b f(x) = lim x b+ f(x). Není-li tam spojitá, tak můžeme psát, že je rostoucí na intervalu (a, c), pokud v bodě b dochází ke skoku nahoru. Věta 5 (Vztah derivace a monotonie). Nechť f je spojitá na a, b a má derivaci na (a, b). Potom je-li x (a, b) : f (x) > 0, tak je f rostoucí na a, b. Analogicky neklesající, klesající, nerostoucí. Definice 5 (Monotonie v bodě). Řekneme, že funkce f je v bodě c D(f) rostoucí zleva, pokud P (c) D(f) x P (c) : f(x) < f(c) Analogicky definujeme neklesající, klesající, nerostoucí a to samé zprava. Řekneme, že funkce je v bodě c D(f) rostoucí (resp. neklesající, klesající, nerostoucí) je-li v něm rostoucí (resp. neklesající, klesající, nerostoucí) zleva i zprava. Poznámka. Při vyšetřování průběhu funkce nesmíme zaměňovat dvě výše uvedené definice monotonie (definice 4 a definice 5), protože jedna hovoří o vlastnosti na množině a druhá pouze o bodové vlastnosti. Například funkce x je klesající v každém bodě definičního oboru, ale není klesající na celém definičním oboru. Nebo existují jiné funkce, které jsou rostoucí v nějakém bodě, ale nejsou rostoucí na žádném jeho okolí, protože tam oscilují. Definice 6 (Lokální extrém). Řekneme, že funkce f má v bodě c D(f) lokální maximum, pokud je v něm zleva neklesající a zprava nerostoucí. Je-li zleva rostoucí a zprava klesající, hovoříme o ostrém lokálním maximu. Analogicky definujeme lokální minimum. Věta 6 (Nutná podmínka lokálního extrému). Nechť a R je bodem lokální maxima nebo minima funkce f. Potom f (a) neexistuje nebo je rovna nule. Tato věta nám dává návod na to, jak hledat lokální extrémy funkcí, ale je nutné si uvědomit, že jde o nutnou podmínku existence, nikoliv postačující. To znamená, že pokud zjistíme, že je v nějakém bodě nulová derivace, případně tam derivace neexistuje, tak ještě musíme vyšetřit monotonii funkce na okolí tohoto bodu. Například funkce daná předpisem y = x 3 má v nule derivaci rovnou nule, ale nemá tam žádný extrém, protože je v bodě nula rostoucí (ve skutečnosti je rostoucí na celém svém definičním oboru). Věta 7 (Postačující podmínka lokálního extrému). Mějme funkci f a bod b D(f), tak že f je rostoucí na pravém okolí bodu b a klesající na jeho levém okolí. Potom bod b je bodem lokálního maxima. Poznámka. Implikaci v předchozí větě (věta 7) není možné obrátit, protože funkce může mít lokální maximum v nějakém bodě, ale na žádném levém okolí tohoto bodu nemusí být rostoucí a na žádném pravém okolí tohoto bodu klesající. V reálných příkladech na vyšetření průběhu funkce zpravidla nastávají lokální extrémy jen tam, kde funkce mění monotonii, neplatí to však jako obecná závislost. Definice 7 (Globální extrém). Globální maximum a globální minimum funkce f definujeme následovně max f := max H(f), min f := min H(f). 2

3 Poznámka. Při vyšetřování průběhu funkce nás nejdříve zajímá hodnota suprema a infima funkce (sup f := sup(h(f)) a inf f := inf(h(f))). Protože obor hodnot reálné funkce je podmnožinou reálných čísel, tak supremum a infimum funkce existuje vždy. Pokud sup f = +, tak funkce f maximum nemá. Je-li sup f R a je-li této hodnoty nabyto někde ve vnitřním bodě definičního oboru (funkce f nesmí této hodnoty nabývat jen limitně), tak max f = sup f, jinak maximum neexistuje. Analogicky toto platí i pro infimum (resp. minimum). U lokálních extrémů je důležité dát si pozor na to, že funkce musí být definovaná na nějakém oboustranném okolí bodu, což je vidět přímo v definici. Například tedy x nemá v nule lokální minimum, ale má (globální) minimum nula, které je nabýváno v nule. Dále je nutné uvědomit si, že existence lokálních a globálních extrémů se nevylučuje a kauzálně spolu nesouvisí. Například hodnoty globálního extrému může být nabyto jak v bodě lokálního extrému (x 2 ), tak mimo něj ( x), globální extrém může existovat i když lokální neexistuje (opět x) nebo i obráceně (x 3 x). Na základě znalosti lokálních extrémů tedy nemůžeme nic tvrdit o globálních extrémech a naopak také ne. Podstatný rozdíl spočívá v tom, že zatímco u lokálních extrémů se ptáme na to, kde tyto extrémy nastávají, a zajímá nás tedy x-ová souřadnice bodu, tak u globálních extrémů se ptáme přímo na hodnotu a tam nás tedy zajímá y-ová souřadnice bodu. Například funkce f(x) = x 2 má lokální minimum v 0 a minimum funkce je. Definice 8 (Konvexní a konkávní funkce). Řekneme, že funkce f je ryze konvexní (resp. ryze konkávní, konvexní, konkávní) na intervalu I, pokud (resp. >,, ). x, x 2, x 3 : x < x 2 < x 3 f(x 2) f(x ) x 2 x < f(x 3) f(x 2 ) x 3 x 2 S touto definicí konvexní a konkávní funkce je ekvivalentní následující definice. Definice 8* (Konvexní a konkávní funkce). Nechť f je funkce na intervalu I D(f). Řekneme, že f je ryze konvexní na intervalu I, jestliže x, x 2 I λ 0, : f (λx + ( λ)x 2 ) < λf(x ) + ( λ)f(x 2 ) Řekneme, že f je ryze konkávní na intervalu I, jestliže x, x 2 I λ 0, : f (λx + ( λ)x 2 ) > λf(x ) + ( λ)f(x 2 ) Poznámka. Předchozí definice může na první pohled vypadat složitě, ale ve skutečnosti je její význam jednoduchý. Podle této definice je funkce ryze konvexní právě tehdy, když leží-li spojnice každých dvou bodů na grafu nad grafem. Věta 8. Je-li f rostoucí na intervalu (a, b), je f na tomto intervalu ryze konvexní. Věta 9. Nechť f je spojitá na intervalu (a, b). Potom je-li x (a, b) : f (x) > 0, je f je ryze konvexní na (a, b). Analogicky ryze konkávní, konvexní, konkávní. Poznámka. Nejrychleji získáme představu o tom, jak vypadá konvexní (konkávní) funkce, podíváme-li se na grafy funkcí f(x) = x 2 a g(x) = x 2. Grafem funkce f je parabola obrácená ve směru kladné části osy y a navíc platí f (x) = 2, tudíž je konvexní. Grafem funkce g je parabola obrácená ve směru záporné části osy y a navíc platí g (x) = 2, tudíž je konkávní. Definice 9 (Inflexní bod). Řekneme, že f má v bodě c D(f) inflexní bod, pokud existuje f (c) (může být i nevlastní) a f je buď na jistém P (c) ryze konvexní a na jistém P + (c) ryze konkávní nebo na jistém P (c) ryze konkávní a na jistém P + (c) ryze konvexní. Poznámka (Asymptoty funkce). Při vyšetřování průběhu funkce nás zajímají asymptoty funkce ve vlastních a nevlastních bodech. Nechť c R a platí lim x c f(x) = lim x c+ f(x) =, potom x = c je asymptotou funkce f v bodě c. V nevlastním bodě c (+ nebo ) je asymptota ve tvaru y = kx+q, f(x) kde k = lim x c x a q = lim x c (f(x) kx), jsou-li k a q reálná čísla, pokud alespoň jedna z limit neexistuje nebo je alespoň jedna rovna + nebo, tak asymptota neexistuje. Asymptoty nám dávají představu o tom, jak se v daných bodech funkce asi chová a to nám zároveň pomáhá při kreslení grafu funkce. Nutná (nikoliv postačující) podmínka pro to, aby asymptota existovala v nevlastním bodě c je, že lim x c f (x) < +. Vyjde-li nám limita derivace v nevlastním bodě nekonečná, tak už víme, že asymptota neexistuje. V opačném případě asymptota může, ale nemusí existovat. 3

4 2 Postup vyšetřování průběhu funkce Mějme funkci f. Její průběh vyšetříme následovně: (i) Definiční obor a limity. Určíme definiční obor D(f) a jeho hraniční body, což jsou fakticky krajní body intervalů D(f). Množinu těchto bodů chápaných jednostranně zevnitř D(f) nazvěme K. Spočítáme limity ve všech bodech K. (ii) Derivace a její nulové body. Úplná první derivace. Úplná derivace znamená, že se musíme vyjádřit k hodnotě oboustranné derivace v každém bodě definičního oboru a k jednostranným derivacím v bodech, kde neexistuje oboustranná a funkce f je v nich definovaná. Nejdříve provedeme mechanickou derivaci. Tímto pojmem rozumíme, že předpis funkce zderivujeme podle pravidel pro derivaci součtu, součinu, podílu a derivaci složené funkce. Ve všech bodech D(f), ve kterých je takto vzniklá funkce definovaná, je hodnota derivace funkce f rovna přímo její hodnotě. V bodech, kde definovaná není, zkusíme použít větu o limitě derivace (věta 2). V bodech, ve kterých selže i tato věta, musíme derivaci spočítat z definice. Na závěr určíme množinu P := {z; f (z) = 0 z D(f)} (nulové body první derivace, tzv. stacionární body). (iii) Monotonie, extrémy, obor hodnot. Maximální intervaly monotonie, lokální a globální extrémy, obor hodnot. Nejdříve si určíme množinu bodů M := K P (D(f)\D(f )) (je to množina, ve které jsou krajní body intervalů D(f), nulové body první derivace a body, ve kterých je funkce f definovaná, ale neexistuje tam oboustranná první derivace). V M budou tedy všechny body, ve kterých může funkce f změnit monotonii (ale nemusí). Body množiny M rozdělí definiční obor funkce f na intervaly, na kterých už bude funkce f určitě monotónní. Toto nám dává dva postupy, jak vyšetřovat monotonii funkce: (a) Určíme znaménka derivace na vzniklých intervalech (například dosazením libovolného bodu zevnitř příslušného intervalu) a z toho určíme monotonii funkce. Tento postup schematicky zachycuje následující tabulka. x 0 sgn f K P (D(f) \ D(f )) body řadíme vzestupně znaménko derivace ve vzniklých intervalech (b) Spočítáme limity funkce f v bodech M. Nyní už pouze porovnáme hodnoty limit v krajních bodech vzniklých intervalů a tím zjistíme, zda je na daném intervalu funkce rostoucí nebo klesající. Tento postup je zachycen v následující tabulce. Tento postup je výhodnější, protože nám umožní snadnější a rychlejší určení (globálních) extrémů. x 0 lim x x0 f K P (D(f) \ D(f )) body řadíme vzestupně limity v bodech z prvního řádku tabulky Tímto máme hotovou první část průběhu funkce. Stejný postup nyní provedeme pro funkci f. Určíme množinu K, spočítáme limity v bodech z množiny K, Určíme úplnou druhou derivaci, vyšetříme intervaly monotonie f. Závěry z této druhé části ale nebudeme vztahovat k funkci f, nýbrž k funkci f - nulové body druhé derivace pro nás budou kandidáty na inflexní body, intervaly monotonie funkce f budou intervaly konvexity a konkávity funkce f. Na závěr nakreslíme graf funkce. 3 Řešený příklad Příklad 2. Vyšetřete průběh funkce: f(x) = x 3 4x 2 + 4x. (i) Pro jednodušší výpočet si předpis funkce nejdříve trochu upravíme: f(x) = x 3 4x 2 + 4x = x 2 x. Převedení funkce na součin obecně zjednodušuje vyšetření průběhu. Definiční obor Například u funkce f(x) = by množina K vypadalo takto: K = {, 0, 0+, + }, u funkce f(x) = x vypadalo takto: K = {,, +,, +, + }. x 2 by 4

5 je tedy D(f) = 0, + ) a množina K = {0+, + }. Nyní spočítáme limity v krajních bodech definičního oboru, v tomto případě jsou pouze dvě, lim f(x) = 0 a Nyní už můžeme přistoupit k úplné první derivaci. (ii) Nejdříve provedeme mechanickou derivaci: f (x) = sgn(x 2) x + x 2 2 x lim x + f(x) = +. 2 = sgn(x 2)3x 2, pro x D(f) \ {0, 2} x Vidíme, že nám vypadly dva body, 0 a 2. V těchto dvou bodech musíme derivaci spočítat jinak. Protože funkce f je elementární, tudíž spojitá na svém definičním oboru, můžeme použít větu o limitě derivace (věta 2), a to zevnitř definičního oboru (tedy ve 2 oboustranně, v 0 jen zprava). To nám tedy dává následující: lim sgn(x 2) 2 x = lim sgn(x 2) }{{} 2 {}}{ 2 x = lim x = lim 0+ = + = f +(0) Protože tato limita existuje, je derivace zprava v nule rovna plus nekonečnu. lim sgn(x 2) x 2 2 x = lim sgn(x 2) x 2 2 = { 2 pro x 2+ 2 lim sgn(x 2) = x x 2 2 pro x 2 }{{} 2 To, že v bodě 2 existují alespoň jednostranné limity, nám dává existenci příslušných jednostranných derivací a jejich hodnoty, takže f +(2) = 2 a f (2) = 2. A díky tomu, že f +(2) f (2), neexistuje f (2) (toto nelze vyvodit na základě nerovnosti limit derivace, ale až na základě nerovnosti jednostranných derivací). Na závěr ještě určíme množinu P, což budou nulové body první derivace. f (x) = 0 = 0, takže P = { 2 3 }. Nyní už můžeme přistoupit k vyšetřování monotonie funkce. (iii) Nejdříve si vytvoříme tabulku, ze které potom vyčteme vše, co nás bude zajímat. V prvním řádku máme krajní body intervalů definičního oboru (množina K), body, kde je derivace nulová (množina P ) a body, kde je funkce f definovaná, ale nemá tam derivaci. V druhém řádku budou limity v příslušných bodech, což kromě krajních bodů definičního oboru znamená přímo funkční hodnoty (protože f je elementární, tudíž spojitá na svém definičním oboru a tedy její limita v každém bodě definičního oboru rovná přímo funkční hodnotě). 2 x lim x x0 f f Funkce f je rostoucí na 0, 2 3 a na 2, + ) (nemůžeme psát na sjednocení, protože na sjednocení těchto intervalů tato funkce není rostoucí, později to bude snadno vidět z obrázku) a f je klesající na 2 3, 2. Lokální minimum má v bodě x = 2, lokální maximum má v bodě x = 2 3, min f = inf f = 0, sup f = + a maximum tedy nemá. Na závěr této části můžeme ještě určit obor hodnot, který je v tomto případě H(f) = 0, + ). Nyní už můžeme postoupit k úplné druhé derivaci a ke zjišťování intervalů konvexity a konkávity. (i ) Budeme postupovat stejně jako v (i),(ii) a (iii), akorát místo f budeme pracovat s f, jako reálnou funkcí (vynecháme tedy z jejího definičního oboru případně ty body, kde derivace existuje, ale je nekonečná). Máme tedy f (x) = sgn(x 2) 3x 2 2 x, a D(f ) = (0, 2) (2, + ), K = {0+, 2, 2+, + }. Spočítáme limity ve všech bodech K. V bodech 0, 2, 2+ už máme limity spočítané (viz bod (ii)), takže zbývá pouze bod + : Teď už můžeme přejít ke druhé derivaci. 2 lim sgn(x 2)3x x + 2 x = +. 5

6 (ii ) Opět začneme mechanickou derivací: f (x) = sgn(x 2) 3 x () 2 x x = sgn(x 2) 3x x 3 pro x D(f ). Tento předpis platí pro všechny body v D(f ), takže tímto je druhá derivace hotová. Vidíme, že v D(f ) neleží žádný nulový bod druhé derivace, takže P =. (iii ) Vyšetříme maximální intervaly konvexity a konkávity. Stejně jako u monotonie si pomůžeme tabulkou, která v tomto případě bude vypadat následovně: x lim x x0 f f f Dvojitá svislá čára mezi body 2 a 2+ tam je optickou pomůckou, kterou vkládáme mezi body, mezi nimiž funkce není definovaná, protože nemá smysl se ptát na vlastnosti na takových intervalech. Funkce je konkávní na 0, 2 a je konvexní na 2, + ). Funkce nemá žádné inflexní body. (iv ) Nakreslíme graf funkce f. Nejdříve si na osu x vyneseme všechny významné body (jsou to body z prvního řádku obou tabulek). Tyto body nám osu x rozdělí na intervaly, na kterých je funkce už určitě monotónní a je konvexní nebo konkávní. Často je výhodné pro kreslení grafu funkce mít na každé souřadnicové ose jiné měřítko, to znamená, na každé ose si volíme jinak jednotku. Nezřídka je totiž graf funkce tak blízký ose x, že v proporcionálním obrázku by nebylo možné rozlišit zjištěné vlastnosti (monotonie, konvexnost a konkávnost). Poté si ve všech těchto významných bodech vyneseme funkční hodnotu funkce, případně limitu funkce. Pokud je v některém bodě limita funkce nekonečná, naznačíme si tuto skutečnost asymptotou nebo v případě ± přibližným směrem. V tomto případě vynášíme na osu x body 0, 2 3 a 2. Nyní můžeme přistoupit k samotnému kreslení grafu funkce. Začneme například zleva. Na intervalu 0, 2 3 je funkce rostoucí a konkávní, takže k přesnému zakreslení (v rámci možností náčrtu) stačí určit její chování v pravém okolí nuly a v levém okolí 2 3. Derivace v nule zprava je +, to znamená, že graf funkce se zde bude přimykat k ose y (osa y zde bude tečnou grafu). V bodě 2 3 je derivace nulová, to znamená, že tam se graf funkce bude přimykat rovnoběžce s osou x procházející bodem [ 2 3, f( 2 3 )] (opět to bude její tečna). Dalším intervalem je interval 2 3, 2, kde je funkce klesající a konkávní. Lokální chování v bodě 2 3 je zprava stejné jako zleva a derivace zleva v bodě 2 je 2, proto se funkce f u bodu 2 zleva přimyká k tečně se směrnicí 2 procházející bodem [2, 0]. Tuto skutečnost nemusíme znázornit přesně (neproporcionální grafy navíc sklon přímek mění), je podstatné jenom ji odlišit od situací, kdy je derivace nulová či nekonečná. Zbývá interval 2, + ). Funkce je na něm rostoucí a konvexní. Podle derivace se funkce ve 2 zprava přimyká k tečně se směrnicí 2 procházející bodem [2, 0]. Lokální chování v okolí + nemůžeme v grafu dobře zachytit, spokojíme se s tím, že graf vyjádří fakt, že lim x + f(x) = +. Povšimněme si, že v bodě 2 má funkce hrot ; jde o přímý důsledek toho, že funkce má v tomto bodě různou derivaci zprava a zleva. Právě podle hrotu lze nejjednodušeji z grafu vyčíst, že funkce v nějakém bodě nemá derivaci. 6

7 Obrázek : Graf funkce f. Pomocné tečny jsou vyznačeny červeně. 7