Matematika 1. Jiří Fišer. 21. září Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
|
|
- Radomír Král
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Matematika 1 Jiří Fišer 21. září 2010 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
2 Zimní semestr KMA MAT1, MT1 1 Úprava algebraických výrazů. Číselné obory. 2 Kombinatorika, základy teorie pravděpodobnosti a statistiky. 3 Základy lineární algebry: Vektory, matice, determinanty a řešení soustav lineárních rovnic(věta Frobeniova a Cramerova). 4 Posloupnosti a jejich limity, řady. 5 Funkce: Inverzní funkce, skládání funkcí, grafy. 6 Elementární funkce: Mocninné, logaritmické, exponenciální, goniometrické a cyklometrické. 7 Limita a spojitost funkce. 8 Základy diferenciálního počtu funkce jedné reálné proměnné: Derivace a její geometrický a fyzikální význam, diferenciál, užití při vyšetřování průběhu funkce. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
3 Letní semestr KMA MAT2, MT2 1 Základy integrálního počtu funkce jedné reálné proměnné: Neurčitýintegrál, určitýriemannůvintegrál, užitíripřiurčování délky křivky, obsahu plochy, povrchu a objemu rotačního tělesa. 2 Funkce dvou proměnných: Parciálníderivace,diferenciál. 3 Úvod do diferenciálních rovnic: Obyčejnédiferenciálnírovnice1.řádu. 4 Aplikace diferenciálního a integrálního počtu v chemii. 5 Základy numerické matematiky: Numerickéřešenírovnicojednéneznámé. Iteračnímetoda,interpolace,diference, numerickáderivaceaintegrace. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
4 Studijní materiály Stránky předmětu: J. Kuben, P. Šarmanová: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, V. MÁDROVÁ: Matematická analýza I. VUP, Olomouc, J. BRABEC, F. MARTAN, Z. ROZENSKÝ: Matematická analýza I. SNTL, Praha, J. KŘENEK, J. OSTRAVSKÝ: Diferenciální a integrální počet funkce jedné proměnné Zlín, J. KOPÁČEK: Matematická analýza pro fyziky I., SPN, Praha (skripta MFF UK). Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
5 Studijní materiály V. MÁDROVÁ, J. MAREK Řešené příklady a cvičení z matematické analýzy I. VUP Olomouc, J. KOJECKÁ, M. ZÁVODNÝ: Příklady z matematické analýzy I., II., VUP Olomouc. B. P. DĚMIDOVIČ: Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy. Fragment, Praha, Rozšiřující literatura: K. REKTORYS a kol.: Přehled užité matematiky SNTL, Praha, H. J. BARTSCH: Matematické vzorce, SNTL, Praha, Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
6 1. Číselné obory. Úprava algebraických výrazů Základní číselné množiny 1.2. Vlastnosti číselných množin 1.3. Supremum a infimum 1.4. Rozšířená reálná osa Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
7 Základní číselné množiny N={1,2,3,...,n,... }jemnožinavšechpřirozenýchčísel. N 0 = {0,1,2,3,...,n,...}=N {0}. Z={..., 2, 1,0,1,2,... }jemnožinavšechcelýchčísel. Q množinavšechzlomků { k n,kdek Zan N} jemnožinou všech čísel racionálních. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
8 Racionální čísla Úloha Čísloa=1,572převeďtenaobyčejnýzlomek. První způsob řešení Periodická část desetinného rozvoje čísla a je vlastně geometrická řada, tedy: a=1, =1, = = Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
9 Racionální čísla Úloha Čísloa=1,572převeďtenaobyčejnýzlomek. Druhý způsob řešení Využijeme nekonečného periodického opakování: a = 1,572, 100a = 157,272, odkud po odečtení je 100a a=99a=157,272 1,572=155,7, tedy a= = Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
10 Množina reálných čísel R Základní číselná množina. Reálná čísla zobrazujeme na číselné(reálné) ose. Přirozšiřovánípojmučísloz Qna Rvznikajídvěotázky: zda existuje potřeba iracionálních čísel(a jak je zavést), zdazobrazenímnožiny Rnačíselnouosujebijekce, tj. zda i každý bod číselné osy je obrazem nějakého reálného čísla. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
11 Potřebujeme iracionální čísla? Věta Neexistuje racionální číslo, jehož druhá mocnina by byla rovna 2. Důkaz(sporem) r Q:r 2 =2. r Q r= p q zlomekvzákladnímtvaru,rq=p. rq=p r 2 q 2 =p 2,tj.2q 2 =p 2 p 2 jesudé pjesudé pjesudé p=2k 2q 2 =4k 2 q 2 =2k 2 q 2 jesudé qjesudé paqjesudé zlomek p q lzekrátitdvěma,atojespor s předpokladem, že tento zlomek je v základním tvaru. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
12 Iracionálníčísla Q Bez iracionálních čísel bychom např. nedovedli změřit úhlopříčku jednotkového čtverce. Platí: Q Q = a R=Q Q. Dekadický rozvoj iracionálních čísel: neukončený a neperiodický (pro iracionální čísla často známe jen konečný počet míst jejich dekadického rozvoje(např. pro číslo π)). Mohutnost množin N, Z,aQjsouspočetné(prvkytěchtomnožinlzeuspořádatdo posloupnosti), R(atedyiQ )spočetnánení;říkáme,že Rmámohutnostkontinua. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
13 Komplexní čísla C Komplexní čísla zobrazujeme v Gaussově rovině. Zapisujemebuďvalgebraickémtvaru:z=a+ib, nebovgoniometrickémtvaru:z= z (cos ϕ+isinϕ). Pro číselné množiny platí: N N 0 Z Q R C. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
14 Vlastnosti číselných množin Definice MnožinaMsenazýváshoraomezená L Rtak,že x Mplatí x L.TotočísloLsenazýváhorníodhad(resp.hornízávora). MnožinaMsenazývázdolaomezená K Rtak,že x Mplatí x K.TotočísloKsenazývádolníodhad(resp.dolnízávora). MnožinaMsenazýváomezená jeomezenáshoraizdola. Největší a nejmenší prvek množiny PokudněkterýhorníodhadmnožinyMpatřídomnožinyM,pakjej nazýváme největší prvek množiny M a označujeme jej max M. Podobně nejmenší prvek množiny M(definujte) označujeme min M. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
15 Vlastnosti číselných množin Definice MnožinaMsenazýváshoraomezená L Rtak,že x Mplatí x L.TotočísloLsenazýváhorníodhad(resp.hornízávora). MnožinaMsenazývázdolaomezená K Rtak,že x Mplatí x K.TotočísloKsenazývádolníodhad(resp.dolnízávora). MnožinaMsenazýváomezená jeomezenáshoraizdola. Největší a nejmenší prvek množiny PokudněkterýhorníodhadmnožinyMpatřídomnožinyM,pakjej nazýváme největší prvek množiny M a označujeme jej max M. Podobně nejmenší prvek množiny M(definujte) označujeme min M. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
16 Úloha Určete největší a nejmenší prvek množiny M 1 = {1, 12 },14,18,..., M 2 = M 3 = { 1 2, 1 2,2 3, 2 3,3 4, 3 4,... {0,1, 12,13,14,... }. }, Řešení MnožinaM 1 mánejvětšíanemánejmenšíprvek,m 2 nemánejvětšíani nejmenšíprvek,m 3 máprveknejvětšíinejmenší. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
17 Úloha Určete největší a nejmenší prvek množiny M 1 = {1, 12 },14,18,..., M 2 = M 3 = { 1 2, 1 2,2 3, 2 3,3 4, 3 4,... {0,1, 12,13,14,... }. }, Řešení MnožinaM 1 mánejvětšíanemánejmenšíprvek,m 2 nemánejvětšíani nejmenšíprvek,m 3 máprveknejvětšíinejmenší. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
18 Intervaly Definice a,b R,a <b,definujeme uzavřenýinterval a,b ={x R;a x b}, otevřenýinterval(a,b)={x R;a <x <b}, apodobně a,b)a(a,b. Všechnytytointervalymajídélkub a. Definice Množinu a,+ )={x R;x a}nazývámeneomezenýinterval. Podobně(a,+ ),(,b,(,b). Množinu R zapisujeme též jako(, + ). Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
19 Absolutní hodnota Definice Absolutníhodnotačíslaa Rseoznačuje a ajedefinovánatakto: { a proa 0, a R: a = a proa <0. Věta(vlastnosti absolutní hodnoty) a,b Rplatí 1 a 0,přičemž a =0 a=0, 2 a = a, 3 a+b a + b (trojúhelníkovounerovnost), 4 a b a b, 5 ab = a b, 6 prob 0je a = a b b. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
20 Absolutní hodnota Definice Absolutníhodnotačíslaa Rseoznačuje a ajedefinovánatakto: { a proa 0, a R: a = a proa <0. Věta(vlastnosti absolutní hodnoty) a,b Rplatí 1 a 0,přičemž a =0 a=0, 2 a = a, 3 a+b a + b (trojúhelníkovounerovnost), 4 a b a b, 5 ab = a b, 6 prob 0je a = a b b. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
21 Zobecněná trojúhelníková nerovnost pro absolutní hodnotu Vlastnost 3 můžeme zobecnit(důkaz matematickou indukcí): (3 ) n N a i R: a 1 +a 2 + +a n a 1 + a a n,nebo zkráceně n n a i a i. i=1 i=1 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
22 Absolutní hodnota Geometrický význam absolutní hodnoty Úloha a značí vzdálenost obrazu čísla a od počátku číselné osy, a b (= b a )vzdálenostobrazůčísela,bnačíselnéose. Řešte nerovnice a rovnici: a) x 3 <2, b)2 x+2 3 x 2x 4, c) x+3 2 x+1 3 x 2 =0. 4 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
23 Absolutní hodnota Geometrický význam absolutní hodnoty Úloha a značí vzdálenost obrazu čísla a od počátku číselné osy, a b (= b a )vzdálenostobrazůčísela,bnačíselnéose. Řešte nerovnice a rovnici: a) x 3 <2, b)2 x+2 3 x 2x 4, c) x+3 2 x+1 3 x 2 =0. 4 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
24 Supremum a infimum Definice NechťM R,M.Číslo β RnazývámesupremummnožinyMa píšeme β=supm,právěkdyžmátytodvěvlastnosti: (1) x M:x β, (2) β < β x M:x > β. Definice NechťM R,M.Číslo α RnazývámeinfimummnožinyMa píšeme α=infm,právěkdyžmátytodvěvlastnosti: (1) x M:x α, (2) α > α x M:x < α. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
25 Supremum a infimum Definice NechťM R,M.Číslo β RnazývámesupremummnožinyMa píšeme β=supm,právěkdyžmátytodvěvlastnosti: (1) x M:x β, (2) β < β x M:x > β. Definice NechťM R,M.Číslo α RnazývámeinfimummnožinyMa píšeme α=infm,právěkdyžmátytodvěvlastnosti: (1) x M:x α, (2) α > α x M:x < α. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
26 Supremum a infimum Úloha UrčetesupMainfMpromnožinuM= { } 1 2,2 3,3 4,.... Řešení PlatísupM=1,neboťvšechnyprvkymnožinyMjsoupravézlomkya jsoutedymenšínež1;jestliževšakvezmemelibovolnéčíslor <1,existuje vždyvmprvek n n+1,kterýjevětšínežr. DáleinfM= 1 2,neboťžádnýprvekMnenímenšínež 1 2,akdyžzvolíme libovolnéčíslos> 1 2,pakvždyprávěproprvek 1 2 platí 1 2 <s.přitom supmneníainfmjeprvkemzadanémnožinym. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
27 Supremum a infimum Věta(o existenci suprema a infima) 1) Každá neprázdná shora omezená množina reálných čísel má supremum. 2) Každá neprázdná zdola omezená množina reálných čísel má infimum. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
28 Věta o aritmetickém a geometrickém průměru Věta(slovně) Jsou-li a, b libovolná reálná nezáporná čísla, pak jejich aritmetický průměr ( a+b 2 )jevětšíneborovenjejichprůměrugeometrickému( ab),přičemž rovnost průměrů nastává právě při rovnosti obou čísel a, b. Věta(symbolicky) a,b R,a,b 0: a+b 2 ab, ( a+b 2 = ) ab a=b. Princip důkazu přímého(syntetického). nechťa b, vyjdesezplatnénerovnosti a b 0, její úpravou dostaneme tvrzení. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
29 Věta o aritmetickém a geometrickém průměru Věta(slovně) Jsou-li a, b libovolná reálná nezáporná čísla, pak jejich aritmetický průměr ( a+b 2 )jevětšíneborovenjejichprůměrugeometrickému( ab),přičemž rovnost průměrů nastává právě při rovnosti obou čísel a, b. Věta(symbolicky) a,b R,a,b 0: a+b 2 ab, ( a+b 2 = ) ab a=b. Princip důkazu přímého(syntetického). nechťa b, vyjdesezplatnénerovnosti a b 0, její úpravou dostaneme tvrzení. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
30 Věta o aritmetickém a geometrickém průměru Věta(slovně) Jsou-li a, b libovolná reálná nezáporná čísla, pak jejich aritmetický průměr ( a+b 2 )jevětšíneborovenjejichprůměrugeometrickému( ab),přičemž rovnost průměrů nastává právě při rovnosti obou čísel a, b. Věta(symbolicky) a,b R,a,b 0: a+b 2 ab, ( a+b 2 = ) ab a=b. Princip důkazu přímého(syntetického). nechťa b, vyjdesezplatnénerovnosti a b 0, její úpravou dostaneme tvrzení. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
31 Okolí bodu Definice(Topologická definice) Okolím bodu a nazveme každý otevřený interval(c, d) konečné délky, kterýobsahujeboda(tj.kdea (c,d));označeníokolíbodua:u(a). Definice(Metrická definice) ε-okolímbodua,kde ε R, ε >0,nazývámeinterval(a ε,a+ε); označení: U(a, ε) nebo též U(a). Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
32 Rozšířená reálná osa Číselnouosurozšířímeodvěnevlastníčísla:+ a. Označenírozšířenéreálnéosy: R = R {,+ }. Zavedení nevlastních čísel nám umožňuje hlouběji, lépe a jednodušeji formulovat mnohé poznatky matematické analýzy. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
33 Rozšířená reálná osa Vlastnosti nevlastních čísel Na rozšířené reálné ose definujeme přirozené uspořádání a početní operace tak, že rozšíříme příslušná pravidla platná na R. Uspořádání: zvláště x R: <x <+, <+, ( )=+, (+ )=, + = =+. Supremum a infimum: Pro množinu M, která není shora omezená, je supm=+,promnožinum,kteránenízdolaomezená,je infm=. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
34 Rozšířená reálná osa Vlastnosti nevlastních čísel Na rozšířené reálné ose definujeme přirozené uspořádání a početní operace tak, že rozšíříme příslušná pravidla platná na R. Uspořádání: zvláště x R: <x <+, <+, ( )=+, (+ )=, + = =+. Supremum a infimum: Pro množinu M, která není shora omezená, je supm=+,promnožinum,kteránenízdolaomezená,je infm=. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
35 Rozšířená reálná osa Početní operace s nevlastními čísly Sčítáníaodčítání: x Rdefinujeme ±x+(+ )=(+ ) ±x= ±x ( )=(+ )+(+ )= =(+ ) ( )=+, ±x+( )=( ) ±x= ±x (+ )=( )+( )= =( ) (+ )=. Nedefinujeme (+ ) (+ ), (+ )+( ), ( )+(+ ), ( ) ( ). Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
36 Rozšířená reálná osa Početní operace s nevlastními čísly Násobení: x R,x >0definujeme x (+ )=(+ ) x=(+ ) (+ )=( ) ( )=+, x ( )=( ) x=(+ ) ( )=( ) (+ )=. Podobněprox <0. Nedefinujeme 0 (+ ), (+ ) 0, 0 ( ), ( ) 0. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
37 Rozšířená reálná osa Početní operace s nevlastními čísly Dělení: x Rdefinujeme x (+ ) = x ( ) =0. Prox >0je prox <0je Nedefinujeme + x + x =+, =, x x =, =+. + +, +,atd., x 0 prožádnéx R,tj.ani 0 0 nebo ± 0. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
38 Rozšířená reálná osa Početní operace s nevlastními čísly Mocniny: n Ndefinujeme (+ ) n =+, (+ ) n =0, ( ) n =( 1) n (+ ). Nedefinujeme (+ ) 0, ( ) 0, 0 0, 1 +, 1. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
39 Rozšířená reálná osa Poznámka Zpraktickýchdůvodůseněkdypíšemísto+ jen,takženapř.místo výrazu(+ )+(+ )lzenapsatjen +.Jestliževšakpracujemev komplexním oboru, kde se zavádí jediné komplexní nekonečno označované,musímedátpozornajehoodlišeníod+ zrozšířenéreálnéosy R. Úloha Vypočtěte a=+ 5 ( ) 3 +( ) 3 (100 ) 1200! +. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
40 Rozšířená reálná osa Poznámka Zpraktickýchdůvodůseněkdypíšemísto+ jen,takženapř.místo výrazu(+ )+(+ )lzenapsatjen +.Jestliževšakpracujemev komplexním oboru, kde se zavádí jediné komplexní nekonečno označované,musímedátpozornajehoodlišeníod+ zrozšířenéreálnéosy R. Úloha Vypočtěte a=+ 5 ( ) 3 +( ) 3 (100 ) 1200! +. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53
Matematika 1. Jiří Fišer. 20. září Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52
Matematika 1 Jiří Fišer 20. září 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září 2011 1/ 52 Zimní semestr KMA MAT1 1 Úprava algebraických výrazů. Číselné obory. 2 Kombinatorika, základy teorie
VíceMatematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19
Matematika 1 Jiří Fišer 19. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 19. září 2016 1 / 19 Zimní semestr KMA MAT1 1 Úprava algebraických výrazů. Číselné obory. 2 Kombinatorika, základy teorie
VíceMatematika 2 Úvod ZS09. KMA, PřF UP Olomouc. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25
Matematika 2 Úvod Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25 Studijní materiály web předmětu: aix-slx.upol.cz/ fiser St. Trávníček: Matematická analýza kag.upol.cz/travnicek/1-matan.
Vícegoniometrickém tvaru z 1 = z 1 (cosα 1 +isinα 1 ), z 2 = z 2 (cosα 2 +isinα 2 ) Jejich součin = z 1 ( z 2 z 2 Jejich podíl: n-tá mocnina:
KMA/MAT1 Matematika 1 Přednáška č. 2 Jiří Fišer 26. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 26. září 2016 1 / 24 Součin, podíl a mocniny komplexních čísel v goniometrickém tvaru Dvě nenulová
VíceIV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální
VíceTematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová
Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.
VíceMgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
VíceGymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
VíceUčební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky
Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace
VíceMaturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
VíceMaturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy
VíceB) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.
4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
Vícep 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že
KAPITOLA 1: Reálná čísla [MA1-18:P1.1] 1.1. Číselné množiny Přirozená čísla... N = {1,, 3,...} nula... 0, N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0} Celá čísla... Z = {0, 1, 1,,, 3,...} Racionální čísla... { p } Q =
VíceMatematický seminář. OVO ŠVP Tématický celek Učivo ŠVP Integrace Mezipředmětové vztahy. jejich soustavy. Spojitost funkce v bodě. Limita funkce v bodě
Řeší s porozumněním rovnice s parametrem Rovnice, nerovnice a jejich soustavy Řovnice, nerovnice a jejich soustavy Třetí, 24 hodin Zvolí vhodnou metodu řešení rovnice nebo nerovnice Vysvětlí zvolený způsob
VíceText může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.
VíceMATEMATIKA A Metodický list č. 1
Metodický list č. 1 Název tématického celku: Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory
VíceMATEMATIKA I. Marcela Rabasová
MATEMATIKA I Marcela Rabasová Obsah: 1. Úvod 1.1. Osnovy předmětu 1.2. Literatura 1.3. Podmínky absolvování předmětu 1.4. Použité označení a symbolika 2. Funkce jedné reálné proměnné 2.1. Definice 2.2.
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
VícePožadavky ke zkoušce. Ukázková písemka
Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní
VíceAplikovaná matematika I, NMAF071
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační
VíceDiferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011
Diferenciál funkce Derivace vyšších řádů L Hospitalovo pravidlo Jiří Fišer 22. a 23. března 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 6 22. a 23. března 2011 1 / 18 y ω(h) dy O x Obrázek:
VíceMaturitní témata profilová část
Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,
VíceSystematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 4. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 27 Množiny Zavedení pojmu množina je velice
VíceCZ 1.07/1.1.32/02.0006
PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI
VíceMaturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008
Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,
VíceMATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA
MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné
VíceProjekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace
Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 1. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 14. února 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
Více1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad
1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky
VíceCvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět
Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky
VíceVýznam a výpočet derivace funkce a její užití
OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat
VíceMatematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:
Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za
VíceMATEMATIKA B. Lineární algebra I. Cíl: Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a
MATEMATIKA B metodický list č. 1 Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači se seznámí
VíceOmezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina
Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceMatematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA
Matematika ročník TÉMA 1-4 Operace s čísly a - provádí aritmetické operace v množině reálných čísel - používá různé zápisy reálného čísla - používá absolutní hodnotu, zapíše a znázorní interval, provádí
VíceMATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011
MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);
VíceMatematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:
Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: 377 63 2658 Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní
VíceStátní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách
Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceNezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky.
Maturitní témata Matematika Školní rok 2016/17 Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Příprava ke zkoušce trvá 15 minut, ústní zkouška
VíceMatematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
VícePoznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.
2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny
VíceSBÍRKA ÚLOH I. Základní poznatky Teorie množin. Kniha Kapitola Podkapitola Opakování ze ZŠ Co se hodí si zapamatovat. Přírozená čísla.
Opakování ze ZŠ Co se hodí si zapamatovat Přírozená čísla Číselné obory Celá čísla Racionální čísla Reálná čísla Základní poznatky Teorie množin Výroková logika Mocniny a odmocniny Množiny Vennovy diagramy
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané
VíceÚvod, základní pojmy, funkce
Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 69 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,
VíceMaturitní témata od 2013
1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy
Více3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům
RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních
VíceMatematika I. dvouletý volitelný předmět
Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Matematika I O7A, C3A, O8A, C4A dvouletý volitelný předmět Cíle předmětu Tento předmět je koncipován s cílem usnadnit absolventům gymnázia přechod na vysoké školy
VíceFunkce. Limita a spojitost
Funkce. Limita a spojitost skriptum J. Neustupa text Funkce (úvod) na této web stránce III.2 Fce - základní pojmy 1. Definice, def. obor D(f), obor hodnot H(f), graf 2. Fce složená, omezená, 3. Fce sudá,
VíceCvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................
VíceMaturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou
VíceČíselné posloupnosti
Číselné posloupnosti Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 43 Pojem posloupnosti Každé zobrazení N do R nazýváme číselná posloupnost. 1 a 1, 2 a 2, 3 a
VícePOŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY
POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY Bakalářský studijní program B1101 (studijní obory - Aplikovaná matematika, Matematické metody v ekonomice, Aplikovaná matematika pro řešení krizových situací)
VíceMatematická analýza I
Matematická analýza I Cvičení 1 (4. 10. 2016) Definice absolutní hodnoty. Řešení nerovnic s absolutními hodnotami. Geometrická interpretace řešení nerovnice x + 1 < 3. Komplexní čísla a operace s nimi,
VíceMatematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci petr.salac@tul.cz jiri.hozman@tul.cz 26.9.2016 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická
VíceMatematika II. dvouletý volitelný předmět
Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: O7A, C3A, S5A, O8A, C4A, S6A dvouletý volitelný předmět Cíle předmětu Tento předmět je koncipován s cílem umožnit studentům dosáhnout lepší výsledky ve společné
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 2. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 17. února 2010 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
VíceMINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro nástavbové studium. varianta B 6 celkových týd.
MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro nástavbové studium (hodinová dotace: varianta A 4 až 5 celkových týd. hodin, varianta B 6 celkových týd. hodin) Schválilo
VíceModernizace výuky na Fakultě stavební VUT v Brně v rámci bakalářských a magisterských studijních programů CZ.04.1.03/3.2.15.2/0292
Modernizace výuky na Fakultě stavební VUT v Brně v rámci bakalářských a magisterských studijních programů CZ.04.1.03/3.2.15.2/0292 Název předmětu: Vyrovnávací kurz z matematiky Zabezpečující ústav: Ústav
VíceFUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
VícePožadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
VíceVZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava
VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup
VíceZáklady matematiky pracovní listy
Dagmar Dlouhá, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny pro předmět Základy matematiky vyučovaný Katedrou matematiky
VíceMATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy
MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy 1 Matematika I. I. Lineární algebra II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Matematika
VíceMatematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
VíceAplikovaná matematika 1 NMAF071, ZS
Aplikovaná matematika 1 NMAF071, ZS 2012-13 Milan Pokorný MÚ MFF UK Sylabus = obsah (plán) přednášky 1. Úvod: něco málo o logice, teorii množin, číslech a zobrazeních; posloupnosti 2. Funkce jedné reálné
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I)
Matematická analýza pro informatiky I. 3. přednáška Limita posloupnosti (I) Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 25. února 2011 tomecek@inf.upol.cz
VíceMATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)
MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo
Více11. Číselné a mocninné řady
11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Limita funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 5. přednáška Limita funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 18. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
VíceKomplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice
VíceZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332
Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu
VíceBakalářská matematika I
do předmětu Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Podmínky absolvování předmětu Zápočet Zkouška 1 účast na přednáškách alespoň v minimálním rozsahu,
Více0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Limita a spojitost funkce Lineární funkce Lineární funkce je jedna z nejjednodušších a možná i nejpoužívanějších funkcí. f(x) = kx + q D(f)
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
VíceFUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
VícePŘEDNÁŠKA 1 MNOŽINY ČÍSEL
PŘEDNÁŠKA 1 MNOŽINY ČÍSEL 1.1 Základní poznatky o množinách 2 Množinou budeme rozumět souhrn libovolných objektů. Množinu považujeme za určenou, je-li možno o každém objektu jednoznačně rozhodnout, zda
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o
VícePosloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
VíceMATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce
MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem
VícePro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)
Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
Více(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí
1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální
VíceFunkce, elementární funkce.
Kapitola 2 Funkce, elementární funkce. V této kapitole si se budeme věnovat studiu základních vlastností funkcí jako je definiční obor, obor hodnot. Připomeneme si pojmy sudá, lichá, rostoucí, klesající.
VíceLEKCE10-RAD Otázky
Řady -ekv ne ŘADY ČÍSEL 1. limita posloupnosti (operace založená na vzdálenosti bodů) 2. supremum nebo infimum posloupnosti (operace založená na uspořádání bodů). Z hlavních struktur reálných čísel zbývá
Více1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
Více1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
VíceModelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
VíceZavedení a vlastnosti reálných čísel
Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu
Více