Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
|
|
|
- Leoš Sedláček
- před 4 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Matematika A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci petr.salac@tul.cz jiri.hozman@tul.cz Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
2 Funkce Definice(obecný pojem funkce) Jsou-li A a B libovolné množiny, pakfunkcí fmnožiny Adomnožiny Brozumímepředpis, kterýkaždémuprvku x Apřiřazujejedinýprvekmnožiny y B, píšeme y= f(x). Množina Asenazývádefiničníoborfunkce faznačíse D(f), množina {y B;existuje x Atakový,že y=f(x)}senazýváoborhodnot funkce f aznačíse H(f). Definice(pojem funkce jedné proměnné) Funkcí fjednéproměnnérozumímefunkci fmnožiny M Rdomnožiny R. Způsoby zadání funkce: ) Výrazem ) slovním předpisem 3) tabulkou Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
3 Funkce Definice Je-lifunkce fdánavýrazem y= f(x).pak xnazvemenezávisleproměnná(nebo argument) a y závisle proměnná. Pro pevně zvolenou hodnotu a nezávisle proměnné se číslo f(a) nazývá hodnota funkce fvbodě a. Poznámka Je-li funkce f zadána výrazem bez udání definičního oboru, považujeme za D(f) množinu všech čísel, pro něž příslušný výraz existuje. Definice(graf funkce) Množinuvšechbodů[x,y]rovinytakových,že x D(f), y= f(x)nazvemegraf funkce f. Definice(rovnost funkcí) Řekneme,žefunkce fa gjsousirovny,jestliže D(f)=D(g)aprokaždé x D(f) je f(x)=g(x); píšemepak f= g, vopačnémpřípaděpíšeme f g. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
4 Funkce Definice(operace s funkcemi) Součet f+gfunkcí fa gsedefinujejakofunkce h,kde h(x)=f(x)+g(x)pro každé x, pro něž tento výraz existuje. Rozdíl f gfunkcí fa gsedefinujejakofunkce h,kde h(x)=f(x) g(x)pro každé x, pro něž tento výraz existuje. Součin f.gfunkcí fa gsedefinujejakofunkce h,kde h(x)=f(x).g(x)prokaždé x, pro něž tento výraz existuje. Podíl f f(x) g funkcí fa gsedefinujejakofunkce h,kde h(x)= g(x) prokaždé x,proněž tento výraz existuje. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
5 Funkce Definice(typy funkcí) Funkce fsenazývárostoucí,jestližeprolibovolné x,x D(f), x < x,platí f(x ) < f(x ). Funkce fsenazýváklesající,jestližeprolibovolné x,x D(f), x < x,platí f(x ) > f(x ). Funkce fsenazýváneklesající,jestližeprolibovolné x,x D(f), x < x,platí f(x ) f(x ). Funkce fsenazývánerostoucí,jestližeprolibovolné x,x D(f), x < x,platí f(x ) f(x ). Funkce, která je rostoucí nebo klesající, se nazývá ryze monotónní. Funkce, která je neklesající nebo nerostoucí, se nazývá monotónní. Věta Každá ryze monotónní funkce je monotónní. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
6 Funkce Poznámka Obdobně se definuje monotónnost, případně ryzí monotónnost, na podmnožině M, v příslušnýchdefinicíchseúsek x, x D(f) nahradíúsekem x, x M. Funkce fsenazývázdola,resp.shoraomezená,jestližejejíoborhodnot H(f)je zdola, resp. shora omezená množina. Funkce se nazývá omezená, jestliže je zdola omezená a shora omezená. Analogickysedefinujenamnožině M D(f). Funkce fsenazývásudá,resp.lichá,jestližeprokaždé x D(f)jetaké x D(f) aprokaždé x D(f)je f( x)=f(x),resp. f( x)= f(x). Funkce fsenazýváperiodickásperiodou p >0,jestližeprokaždé x D(f)jetaké x+p D(f)ax p D(f)aprokaždé x D(f)je f(x+p)=f(x)=f(x p). Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
7 Funkce Definice Funkce f: A Bsenazýváprostá,jestližeplatí Věta Každá ryze monotónní funkce je prostá. x, x A, x x = f(x ) f(x ). Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
8 Funkce Definice Nechť f: A Bjedána.Množinoufunkčníchhodnotfunkce f(ozn. f(a)) rozumímemnožinuvšech y Bproněžexistuje x Atakové,že y= f(x). Poznámka f(a) B,alemůžebýt f(a) B. Definice Říkáme,žefunkce f: A Bzobrazujemnožinou Anamnožinu B,jestliže f(a)=b. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
9 Konstantní funkce Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
10 Konstantní funkce Fig Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
11 Identita Definice Funkce f: A Asenazýváidentickána A,právětehdykdyžprovšechna x A platí f(x)=x. značíme:id A Poznámka id A (x)=x id A : A Ajeprostáana. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
12 Mocninná funkce Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
13 Mocninná funkce f(x)=x - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
14 Mocninná funkce f(x)=x f(x)=x - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
15 Mocninná funkce f(x)=x f(x)=x - f(x)=x 3 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
16 Mocninná funkce f(x)=x 4 f(x)=x f(x)=x - f(x)=x 3 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
17 Mocninná funkce f(x)=x 4 f(x)=x f(x)=x - Fig f(x)=x 3 f(x)=x 5 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
18 Exponenciální funkce Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
19 Exponenciální funkce f(x)= x Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
20 Exponenciální funkce f(x)= x f(x)=3 x Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
21 Exponenciální funkce f(x)= x f(x)=3 x f(x)=4 x Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
22 Exponenciální funkce f(x)= x f(x)=3 x f(x)=4 x f(x)=0,5 x Fig3 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
23 Goniometrické funkce Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
24 Goniometrické funkce f(x)=sinx Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
25 Goniometrické funkce f(x)=sinx f(x)=cosx Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
26 Goniometrické funkce f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=tanx Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
27 Goniometrické funkce f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=tanx Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
28 Goniometrické funkce f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=tanx Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
29 Goniometrické funkce f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=tanx Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
30 Goniometrické funkce f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=tanx f(x)=cotx Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
31 Goniometrické funkce f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=tanx f(x)=cotx=cotgx Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
32 Goniometrické funkce f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=tanx f(x)=cotx=cotgx Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
33 Goniometrické funkce f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=tanx f(x)=cotx=cotgx Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
34 Goniometrické funkce f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=tanx f(x)=cotx=cotgx Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
35 Goniometrické funkce f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=tanx f(x)=cotx=cotgx Fig4 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
36 Funkce Definice Kompozice funkcí Nechť g: A B, f: B Cjsoudvěfunkce. Pakkompozicífunkcí fa grozumímefunkci h:a C,definovanoupředpisem h(x)=f(g(x)) x A. značíme h=f g(jesloženazfunkcí fa g) Funkci f nazveme vnější, funkci g vnitřní. Poznámka Definičníobor f=koobor g. Definice Nechť f: A Bjelibovolnáfunkce.Říkáme,žefunkce g: B Ajeinverzní funkcekf,jestližeplatí ) g f=id A ) f g=id B. Značíme g= f Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
37 Funkce Poznámka Definicejesymetrická(je-li finverzníke g = je ginverzníkf). Mluvíme o vzájemně inverzních funkcích. Věta Jestližeexistuje f,pakplatí f(f ) = f. Věta(o jednoznačnosti inverzní funkce) Jestližekfunkci f: A Bexistujeinverznífunkce,pakjejediná. Věta(o existenci inverzní funkce) Kfunkci f: A Bexistujeinverznífunkceprávětehdy,když fjeprostáazobrazuje Ana B. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
38 Mocninné funkce Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
39 Mocninné funkce f(x)=x Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
40 Mocninné funkce f(x)=x Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
41 Mocninné funkce f(x)=x 3 f (x)=x Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
42 Mocninné funkce 3 f(x)=x f(x)=x 3 f (x)=x Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
43 Mocninné funkce 3 f(x)=x f(x)=x 3 f (x)=x f (x)=x 3 - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
44 Mocninné funkce 3 f(x)=x f(x)=x 3 f(x)=x 4 f (x)=x f (x)=x 3 - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
45 Mocninné funkce 3 f(x)=x f(x)=x 3 f(x)=x 4 f (x)=x f (x)=x 3 - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
46 Mocninné funkce 3 f(x)=x f(x)=x 3 f(x)=x 4 f (x)=x f (x)=x f (x)=x 3 - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
47 Logaritmické funkce Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
48 Logaritmické funkce f(x)= x Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
49 Logaritmické funkce f(x)= x f (x)=log x Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
50 Logaritmické funkce f(x)= x 5 4 f(x)=3 x f (x)=log x Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
51 Logaritmické funkce f(x)= x 5 4 f(x)=3 x f (x)=log x f (x)=log 3 x Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
52 Logaritmické funkce f(x)= x f(x)=3 x f(x)=4 x f (x)=log x f (x)=log 3 x Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
53 Logaritmické funkce f(x)= x f(x)=3 x f(x)=4 x f (x)=log x f (x)=log 3 x f (x)=log 4 x Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
54 Logaritmické funkce f(x)= x f(x)=3 x f(x)=4 x f(x)=0,5 x f (x)=log x f (x)=log 3 x f (x)=log 4 x Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
55 Logaritmické funkce f(x)= x f(x)=3 x f(x)=4 x f(x)=0,5 x f (x)=log x f (x)=log 3 x f (x)=log 4 x f (x)=log 0,5 x Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33 Fig8
56 Cyklometrické funkce Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
57 Cyklometrické funkce f(x)=sinx Fig9 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
58 Cyklometrické funkce f(x)=sinx Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
59 Cyklometrické funkce f(x)=sinx f (x)=arcsinx Fig0 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
60 Cyklometrické funkce Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
61 Cyklometrické funkce f(x)=cosx Fig Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
62 Cyklometrické funkce f(x)=cosx Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
63 Cyklometrické funkce f(x)=cosx f (x)=arccosx Fig Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
64 Cyklometrické funkce Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
65 Cyklometrické funkce f(x)=tanx Fig3 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
66 Cyklometrické funkce f(x)=tanx Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
67 Cyklometrické funkce f(x)=tanx f (x)=arctanx Fig4 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
68 Cyklometrické funkce f(x)=cotx Fig5 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
69 Cyklometrické funkce f(x)=cotx Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
70 Cyklometrické funkce f(x)=cotx f (x)=arccotx Fig6 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
71 Funkce Definice Základní elementární funkce Základní elementární funkce jsou konstantní, mocninné, exponenciální, logaritmické, goniometrické a cyklometrické funkce. Definice Elementární funkce jsou všechny funkce, které lze získat ze základních elementárních funkcí pouze sčítáním, odečítáním, násobením, dělením a tvořením složených funkcí. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
72 Neelementární funkce Funkce absolutní hodnota f(x)= x Fig7 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
73 Neelementární funkce Funkce signum f(x)=sgnx Fig8 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
74 Neelementární funkce Funkce celá část f(x)=[x] Fig9 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
75 Funkce Definice (Polynom a racionální funkce) Polynomem se rozumí funkce s funkčním předpisem f(x)=a m x m +a m x m + +a x+a 0, kde m N {0}, a 0, a,..., a m R. f(x)=0nulovýpolynom f(x)=a x+a 0,kde a 0,senazvelineárnífunkce. Racionální funkcí se rozumí funkce, která je podílem dvou polynomů, přičemž dělitel není nulový polynom. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
76 Funkce Definice (Extrémy) Řekneme, že funkce f má v bodě a globální maximum, resp. globální minimum, jestližeprovšechna x D(f)je f(x) f(a),resp. f(x) f(a). Má-lifunkce fvbodě aglobálnímaximum,neboglobálníminimumřekneme,žemá v a globální extrém. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 33
Bakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
0.1 Funkce a její vlastnosti
0.1 Funkce a její vlastnosti Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena
0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost
Matematika (KMI/PMATE)
Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její
Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální
Matematika I (KMI/PMATE)
Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá
Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/21 Matematická analýza ve Vesmíru. proměnné - p. 2/21 Definice. Funkcí (přesněji:
Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.
MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy
MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy 1 Matematika I. I. Lineární algebra II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Matematika
FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic
x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f.
1. Funkce Deinice 1.1. Zobrazení nazýváme reálná unkce, jestliže H() R. Další speciikaci můžeme provést podle deiničního oboru zobrazení. Deinice 1.2. Reálná unkce se nazývá (1) unkce jedné reálné proměnné,
Funkce. Limita a spojitost
Funkce. Limita a spojitost skriptum J. Neustupa text Funkce (úvod) na této web stránce III.2 Fce - základní pojmy 1. Definice, def. obor D(f), obor hodnot H(f), graf 2. Fce složená, omezená, 3. Fce sudá,
Matematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 2. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 17. února 2010 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
Matematika 1B. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Matematika 1B. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci petr.salac@tul.cz jiri.hozman@tul.cz Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS
2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Funkce 2.. Definice Říkáme, že na množině D reálných čísel je definována funkce f jedné reálné proměnné, je-li dán předpis, podle kterého je ke každému číslu x D přiřazeno právě
Kapitola 1: Reálné funkce 1/20
Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli
1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
Očekávaný výstup Pracovní list se skládá ze dvou částí teoretické, kde si žák připomene vlastnosti funkcí a praktické, kde tyto funkce určuje.
Číslo projektu Škola Autor Číslo materiálu Název Téma hodiny Předmět Ročník/y/ Anotace CZ.1.07/1.5.00/34.0394 Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Hustopeče, Masarykovo nám. 1 Mgr. Renata
1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.
1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle
Matematika 1B. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Matematika 1B. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci petr.salac@tul.cz jiri.hozman@tul.cz Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS
(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí
1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální
Funkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické
Funkce, elementární funkce.
Kapitola 2 Funkce, elementární funkce. V této kapitole si se budeme věnovat studiu základních vlastností funkcí jako je definiční obor, obor hodnot. Připomeneme si pojmy sudá, lichá, rostoucí, klesající.
Funkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného
Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí.
Přehled funkcí Martina Hetmerová Gymnázium Přípotoční 1337 Praha 10 Vlastnosti funkcí Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo Zapisujeme: f:y=f(x)
Funkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného
Číselné množiny. Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, }
ÚVOD DO MATEMATIKY Číselné množin Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Racionální čísla (Q) Čísla která lze vjádřit
FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF
FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF Zavedení pojmu funkce funkce Funkce f na množině D R je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo y z množiny R. Množina D se nazývá definiční
1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 4. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 27 Množiny Zavedení pojmu množina je velice
Funkce - pro třídu 1EB
Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému
REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny
Úvod, základní pojmy, funkce
Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 69 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,
Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část
Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova
Exponenciální a logaritmická funkce
Variace 1 Exponenciální a logaritmická funkce Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Exponenciální
IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci petr.salac@tul.cz jiri.hozman@tul.cz 26.9.2016 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická
VII. Limita a spojitost funkce
VII. Limita a spojitost funkce VII.1. Limita funkce Úvodní poznámky: Limita funkce f v bodě c R hodnota a R, k níž se přibližují hodnoty f(x), jestliže x se blíží k hodnotě c; funkce f nemusí být definovaná
Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina
Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená
0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Limita a spojitost funkce Lineární funkce Lineární funkce je jedna z nejjednodušších a možná i nejpoužívanějších funkcí. f(x) = kx + q D(f)
Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická
Variace 1 Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu
Funkce a základní pojmy popisující jejich chování
a základní pojmy ující jejich chování Pro zobrazení z reálných čísel do reálných čísel se používá termín reálná funkce reálné proměnné. 511 f bude v této části znamenat zobrazení nějaké neprázdné podmnožiny
Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci petr.salac@tul.cz jiri.hozman@tul.cz 5.12.2016 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická
Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.
2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny
Matematická funkce. Kartézský součin. Zobrazení. Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí:
![Matematická funkce. Kartézský součin. Zobrazení. Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí:](/thumbs/54/33639497.jpg "Matematická funkce. Kartézský součin. Zobrazení. Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí:")
Matematická funkce Kartézský součin Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí: [x, y] = [u, v] x = u y = v Pokud K, L jsou libovolné množiny, pak množinu
Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie 2. ročník a sexta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Planimetrie II. Konstrukční úlohy Charakterizuje
Funkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
Matematika (KMI/PMATE)
Matematika (KMI/PMATE) Přednáška druhá aneb Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) 1 / 30 Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam
Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci petr.salac@tul.cz jiri.hozman@tul.cz 24.10.2016 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická
Logaritmus. Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým. umocníme základ a, abychom dostali číslo.
Logaritmus Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým umocníme základ a, abychom dostali číslo. Platí tedy: logax = y a y = x ( Dekadický logaritmus základ 10 označení
I. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet
I. Úvod I.1. Množiny Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Značení. Symbol x A značí, že element x je prvkem množiny A. Značení x
Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,
Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce MA I (M1101) 1 / 125
Množiny, číselné obory, funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce MA I (M1101) 1 / 125 Obsah 1 Množiny a číselné obory Množinové operace Reálná
Úvod, základní pojmy, funkce
Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 80 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,
2. Vlastnosti elementárních funkcí, složené, inverzní a cyklometrické funkce,
. Určete vlastnosti funkcí: (i) f : y = x (ii) f : y = x 4 (iii) f : y = cotgx (iv) f 4 : y = arccosx (v) f 5 : y = 4 x (vi) f 6 : y = ( 4 )x (vii) f 7 : y = lnx (viii) f 8 : y = x. Uveďte příklad: (i)
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 1. Elementární funkce 1.2. Přehled elementárních funkcí 2 Lineární funkce - je každá funkce na množině R, která je dána ve tvaru y = a.x + b, kde a,b R. Pokud
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE,
DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, LIMITA FUNKCE, DERIVACE FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století
Aplikovaná matematika I, NMAF071
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační
RNDr. Blanka Šedivá, PhD. Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni.
KMA/ZM1 Přednášky RNDr. Blanka Šedivá, PhD. Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni sediva@kma.zcu.cz Obsah 0.1 Matematické objekty, matematické definice, matematické věty.............. 4
FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
1 Funkce dvou a tří proměnných
1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Průběh funkce ZVMT lesnictví 1 / 21
Průběh funkce Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
MATEMATIKA A Metodický list č. 1
Metodický list č. 1 Název tématického celku: Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači
Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Téma: Název: Autor: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Funkce Funkce a její vlastnosti Ing. Vacková Věra
Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15
Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15 Klíčové pojmy Neznalost některého z klíčových pojmů bude mít za následek ukončení zkoušky se známkou neprospěl(a). supremum infimum limita
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy
, základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:
Funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
Matematika I. Funkce jedné proměnné. Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212
Matematika I Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212 1. Množiny a zobrazení Funkce jedné proměnné Matematika I 2 / 212 Množiny Definice 1.1.1: Množinou rozumíme soubor prvků se
Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik
MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,
MATEMATIKA B. Lineární algebra I. Cíl: Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a
MATEMATIKA B metodický list č. 1 Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači se seznámí
Matematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
Přednáška 9, 28. listopadu 2014 Část 4: limita funkce v bodě a spojitost funkce
Přednáška 9, 28. listopadu 2014 Část 4: limita funkce v bodě a spojitost funkce Zápisem f : M R rozumíme, že je dána funkce definovaná na neprázdné množině M R reálných čísel, což je množina dvojic f =
Matematika 1 pro PEF PaE
Reálné funkce 1 / 21 Matematika 1 pro PEF PaE 1. Reálné funkce Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU funkce Reálné funkce Základní pojmy 2 / 21 Zobrazení z množiny A do množiny B je množina f uspořádaných
7.1 Extrémy a monotonie
KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x
Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Doporučená literatura 1. Jako doplněk k přednáškám: V. Hájková, M. Johanis, O. John, O.F.K. Kalenda a M. Zelený: Matematika (kapitoly I IV)
Přednáška Matematika I v prvním semestru 2013-2014 Spojení na přednášejícího a konzultace Petr Holický, Matematicko fyzikální fakulta Katedra matematické analýzy Sokolovská 83, 2. patro e-mail: holicky@karlin.mff.cuni.cz
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající
Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018
Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a
1.1 Funkce 1. Tab. 1: Omezující funkce definičního oboru. 1 V tomto textu se pojmem funkce uvažuje funkce jedné proměnné
1.1 Funkce 1 V životě se běžně setkáváme se vztahem závislosti mezi různými proměnnými. Takovým vztahem závislosti může být například cena akciového titulu v závislosti na čase nebo teplota v místnosti
Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
Derivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +
Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou
3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim
3 a b s = (a + b) 2 f(s) 3,46 4,680 3,93-2,9422 3,93 4,680 4,2962-2,034 4,2962 4,680 4,4886-0,0954 4,4886 4,680 4,5848 3,2095 4,4886 4,5848 4,5367,0963 4,4886 4,5367 4,526 0,427 4,4886 4,526 4,5006 0,508
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)
Teorie množin. Čekají nás základní množinové operace kartézské součiny, relace zobrazení, operace. Teoretické základy informatiky.
Teorie množin V matematice je všechno množina I čísla jsou definována pomocí množin Informatika stojí na matematice Znalosti Teorie množin využijeme v databázových systémech v informačních systémech při
Přednáška 1: Reálná funkce jedné reálné proměnné
Přednáška : Reálná unkce jedné reálné proměnné Pojem unkce Deinice Reálnou unkcí jedné reálné proměnné rozumíme předpis y ( ) na jehož základě je každému prvku množiny D (zvané deiniční obor) přiřazen
IX. Vyšetřování průběhu funkce
IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde
Kapitola 4. Limity a spojitost reálných funkcí Úvodní definice
Kapitola 4. Limity a spojitost reálných funkcí 4.1. Úvodní definice Definice 4.1: Funkce fjeshoraomezenánamnožině M R,jestližeplatí,že K R x M: f(x) K(tj.je-limnožina {f(x);x M}shoraomezená). Funkce fjezdolaomezenánamnožině
Exponenciální funkce. Exponenciální funkcí o základu a se nazývá funkce, která je daná rovnicí. Číslo a je kladné číslo, různé od jedničky a xεr.
Exponenciální funkce Exponenciální funkcí o základu a se nazývá funkce, která je daná rovnicí y = a x Číslo a je kladné číslo, různé od jedničky a xεr. Definičním oborem exponenciální funkce je tedy množina