Stochastické programování Neurčitost je klíčovou složkou mnoha rozhodovacích úloh. Pokud jsou neznámé prvky relativně nevýznamné, přiřazení rozumných hodnot těmto prvkům nezpůsobí velké potíže. V mnoha případech ale může vést zanedbání neurčitosti k naprosto nesmyslným výsledkům. Tyto neuspokojivé výsledky daly vzniknout různým přístupům řešícím optimalizační problémy zahrnujícími neurčitost. Stochastické programování (SP) využívá přístup založený na pravděpodobnostních modelech neurčitosti. Účelové funkce a omezení odpovídajícího matematického programu mohou být potom definovány pomocí průměrování možných scénářů nebo uvažováním pravděpodobností jednotlivých scénářů. Tento přístup je vhodným modelovacím nástrojem v případě, že je znám pravděpodobnostní popis náhodných elementů. První významná aplikace SP byla vytvořena Dantzigem v roce [2]. Prvním krokem k získání stochastického programu je formulace tzv. původní úlohy (underlying program) [5]. To se provede snadno nahrazením konstatních parametrů v parametrickém matematickém programu náhodnými proměnnými. Definice 1. Původní program je definován jako f(, ω) s. t. C(ω), (1) kde ω Ω je náhodný element. Obvykle jsou náhodná data tvořena konečným počtem parametrů. Proto je účelová funkce dána jako f(, ω) = F (, ξ(ω)), kde ξ(ω) : Ω R K je konečně rozměrný náhodný vektor definovaný na pravděpodobnostním prostoru (Ω, F, P ) a F (, ξ) je funkce dvou vektorových proměnných a ξ. Realizace (scénář) vektoru ξ je ξ(ω s ) ω s Ω a bude používáno následující značení ξ s. Je zřejmé, že výše zmíněný matematický program závisí na ω kvůli účelové funkci f(, ω) a množině přípustných řešení C(ω), a proto, pokud není známa realizace náhodných parametrů, nedává smysluplné výsledky. Je jasné, že pro různé relaizace ξ s náhodných parametrů bychom dostali různá optimální řešení bez jakéhokoli vysvětlení, jaké řešení je lepší než ostatní. Z tohoto důvodu se používají nejrůznější deteristické reformulace (ekvivalenty), které správně interpretují náhodné elementy. Programy, které zahrnují náhodné parametry syntakticky správným způsobem se nazývají stochastické programy. První důležitou otázkou je, kdy je děláno rozhodnutí zda před tím, než jsou pozorovány realizace náhodných parametrů ξ nebo až poté, když už jsou realizace známy. Pokud je rozhodnutí uděláno před pozorováním náhodnosti ξ, jedná se o tzv. wait-and-see (WS) přístup (např. [4]). Tento přístup předpokládá, že máme k dispozici všechny informace o budoucnosti. Můžeme tedy modifikovat naše rozhodnutí podle pozorované realizace náhody, a proto jsou rozhodnutí (ω) i účelová funkce F ((ω), ξ(ω)) náhodné veličiny. Typická rozhodovací situace je ale popsána nedostatkem budoucích pozorování, a proto obvykle používáme tzv. here-and-now (HN) přístup. Rozhodnutí musí být v tomto případě uděláno před pozorováním realizace ξ, a proto je stejné pro všechny budoucí realizace ξ. Zobrazení ξ indukuje pravděpodobnostní rozdělení P na (R K, B) a příslušný pravděpodobnostní prostor je značen (Ξ, B, P). Ve skutečnosti je ve WS přístupu funkcí ξ a je možné se na ( ) : Ξ R n dívat jako na prvek prostoru měřitelných zobrazení. Proto budeme dále používat toto značení ke zdůraznění závislosti na ξ. Stochastické programy jsou často výpočetně náročné, a proto jsou preferovány jednodušší verze jako je EV reformulace zmíněná v definici 4. Otázkou zůstává, zda takto zjednodušené modely vedou k téměř optimálním řešením nebo ne. Tato otázka je zodpovězena dvěma hodnotami hodnotou VSS (viz definice 7) a hodnotou EVPI (viz definice 8) které slouží jako motivace pro používání stochastického programování v prai. V dalším tetu budeme značit optimální hodnoty účelové funkce pro deteristickou reformulaci jako z a optimální rozhodnutí jako. Budeme také předpokládat, že střední hodnota je brána vzhledem ke známému pravděpodobnostnímu rozdělení a že E(ξ) a E(F (, ξ)) eistují.
Nejlepším možným řešením původního programu (1) v případě dostupných informací o budoucnosti, je tzv. WS řešení. Tento přístup předpokládá, že s přijmutím rozhodnutí můžeme počkat až do doby, kdy je známa realizace náhodných parametrů. Definice 2. Wait-and-see (WS) deteristická reformulace původního programu (1) je definována jako E(F ( W S (ξ), ξ)), (2) kde F ( W S (ξ), ξ) = F ((ξ), ξ)) s. t. (ξ) C(ξ), ξ Ξ. (3) (ξ) V prai může být nalezení WS řešení nemožné, pokud nejsou informace o budoucnosti dostupné. Proto se obvykle používá HN přístup s několika deteristickými reformulacemi definovanými dále. Definice 3. IS (individual scenario) deteristická reformulace původního programu (1) je definována jako F (, ξ s ) s. t. C(ξ s ), (4) kde ξ s Ξ je zvolený konkrétní scénář. Tato reformulace je použitelná v případech, kdy máme k dispozici doporučení od epertů týkající se významnosti jednotlivých scénářů. Potom můžeme náhodné parametry nahradit vybraným (nejvýznamnějším) scénářem. Další běžně používaná reformulace se získá náhrazením náhodného vektoru jeho střední hodnotou. Definice 4. EV (epected value) deteristická reformulace původního programu (1) je definována jako F (, E(ξ)) s. t. C(E(ξ)), (5) kde E(ξ) je střední hodnota ξ. Je jasné, že potřebujeme nějaké charakteristiky, které by měřily, jak je získané řešení EV vzhledem k původnímu programu. dobré Definice 5. Pro EV deteristickou reformulaci definujeme tzv. EEV hodnotu [1] jako EEV = E(F ( EV, ξ)). (6) EEV hodnotu lze použít jako míru toho, zda z EV vypadá realisticky spočtením rozdílu EEV z EV mezi optimistickou hodnotou účelové funkce z EV a skutečnou průměrnou hodnotou určenou pomocí EEV. Jestliže je EV řešení EV nepřípustné, tj. průměrný scénář E(ξ) neodpovídá žádnému možnému scénáři z Ξ, EEV hodnota je nastavena na +. Další deteristické ekvivalenty jsou definovány pomocí některých statistických charakteristik náhodné veličiny (např. střední hodnoty, rozptylu). Definice 6. EO (epected objective) deteristická reformulace původního programu (1) je definována jako (pro případ C = R n ) E(F (, ξ)) s. t. C. (7) Pro srovnání EO a EV řešení můžeme použít Jensenovu nerovnost [7]. Ta říká, že pro funkce F (, ξ) konvení v ξ platí nerovnost E(F (, ξ)) F (, E(ξ)). Dále definujeme následující hodnotu, která měří, jak dobré nebo špatné je EV řešení EV vzhledem k (7).
Definice 7. Hodnota VSS (value of stochastic solution) je definována jako VSS = EEV z EO. (8) VSS měří, kolik lze ušetřit, resp. získat při použití HN přístupu místo jednoduššího EV přístupu. Jinými slovy je to ztráta, resp. zisk, ke které dojde při nezahrnutí náhodnosti do modelu [1]. Malá hodnota VSS znamená, že je aproimace stochastického programu EV programem dobrá. Následující koncept se používá ke srovnání WS a HN řešení. Definice 8. Hodnota EVPI (epected value of perfect information) je definována jako EVPI = z EO z W S. (9) Tato hodnota nám říká, kolik bychom měli zaplatit za získání informací o budoucnosti. Velká hodnota EVPI znamená, že informace o budoucnosti jsou cenné, malá hodnota EVPI naznačuje, že budeme mít pouze malý užitek ze zisku těchto informací. Věta 9. Následující nerovnosti platí pro různé deteristické reformulace. Jestliž je F (, ξ) konvení v ξ, pak z EV z W S. Důkaz. Důkaz lze nalézt v [1]. z W S z EO EEV. V případě inženýrských úloh nejsou informace o budoucnosti obvykle dostupné, a proto je v těchto případech relevantní pouze hodnota VSS. V některých aplikacích mohou být informace o budoucnosti získány např. pomocí přesnější předpovědi počasí, která umožní lépe odhadnout např. characteristiky větru atd. Je zřejmé, že střední hodnota nezaručuje, že se v úloze nevyskytnou odlehlé hodnoty. Z tohoto důvodu lze použít další typy reformulací jako je např. VO (variance objective) reformulace [1] nebo -ma přístup [3], které zabraňují velkým fluktuacím F (, ξ) a jsou proto více odolné proti riziku. Někdy může být užitečné hledat kompromis mezi imalizací nákladů a variability. V tomto případě se EO a VO reformulace sloučí do vícekriteriální účelové funkce [6]. Eistuje mnoho různých požadavků na optimalizaci, např. zvýšit spolehlivost nějakého zařízení (zvláště v inženýrství). Proto uvedeme postup, jak optimalizovat pravděpodobnost. Definice 10. PO (probabilistic objective) deteristická reformulace původního programu (1) je definována jako (pro případ C = R n ) P(F (, ξ) > b) s. t. C, (10) kde b R je určitá horní hranice pro optimální hodnotu účelové funkce, kterou nechceme překročit. Věta 11. Pro diskrétní konečné rozdělení pravděpodobnosti vektoru ξ řeší následující úloha celočíselného programování úlohu (10): z, {z F (, ξ s) b + M p (1 δ s ), p s (1 δ s ) = z, δ s {0, 1}, s = 1,..., R}, (11) kde p s = P(F (, ξ) = F (, ξ s )) R n, F (, ξ s ) b je omezeno shora hodnotou M p pro C = R n, ξ s Ξ a R je počet možných realizací ξ. Důkaz. Důkaz lze nalézt v [6].
PO reformulaci pro maimalizaci pravděpodobnosti lze definovat analogicky. Nyní budeme předpokládat, že náhodné prvky jsou obsaženy v omezeních, které definují množinu přípustných řešení, tj. C(ω) = {g(, ω) 0, X} jako v (1). Musí být ovšem objasněno, co je míněno přípustností. Některé hodnoty mohou splňovat nerovnosti pro některé ω a porušovat tyto podmínky pro jiná ω. Obvykle je nerealistické požadovat, aby nerovnosti platily pro všechny ω Ω. Eistuje několik přístupů, které se zabývají pojmem přípustnosti. Jedním z nich je vzít střední hodnoty omezení. Definice 12. EVC (epected value constraint) deteristická reformulace je definována jako C = {E(g i (, ω)) 0, i = 1,..., m, X}. (12) Další možností definice množiny přípustných řešení je použít pravděpodobnostní omezení. Definice 13. Deteristická reformulace s pravděpodobnostními omezeními je definována jako C = {P (g i (, ω) 0) 1 α p, i = 1,..., m, X}, (13) kde α p [0; 1] je pevná hodnota. Jestliže α p = 0, pravděpodobnostní omezení v (13) znamenají, že nerovnice g i (, ω) 0, i = 1,..., m by měly být splněny téměř jistě. Věta 14. Pro diskrétní konečné rozdělení pravděpodobnosti vektoru ξ s R scénáři s odpovídajícími pravděpodobnostmi p s jsou následující dvě nerovnice ekvivalentní s individuálními pravděpodobnostním omezeními P (g i (, ω) 0) 1 α p, i = 1,..., m: g i (, ω s ) M p (1 δ s ) 0, i = 1,..., m, s = 1,..., R (14) p s δ s 1 α p (15) kde δ s {0, 1}, s = 1,..., R jsou binární proměnné a M p je dostatečně velké číslo, které omezuje g i (, ω s ) pro i = 1,..., m, s = 1,..., R shora. Důkaz. Důkaz lze odvodit pomocí [6]. Na některé optimalizační problémy se můžeme dívat jako na dvoustupňové, kde se vektor rozhodnutí skládá ze dvou odlišných částí. V prvním stupni, před realizací odpovídajícího náhodného vektoru ξ, zvolíme rozhodnutí prvního stupně tak, aby se optimalizovala střední hodnota účelové funkce, která je optimální hodnotou optimalizační úlohy druhého stupně. Druhá část vektoru rozhodnutí y je určena po realizaci ξ a obecně závisí na realizaci ξ a volbě. Úlohu druhého stupně lze interpretovat jako penalizační člen při porušení omezení zahrnujících náhodné elementy. Obrázek 1 ukazuje reprezentace WS, EV a EO reformulací dvoustupňových úloh. ξ 1 1 y 1 ξ 1 y 1 ξ 2 2 y 2... EV Ε(ξ) b) y EV ξ 2 EO y 2 ξ R... R ξ R a) y R c) y R Obrázek 1: Rozhodnutí v deteristických reformulacích a) WS, b) EV and c) EO.
Tento model se může zdát velmi omezeným z hlediska dynamiky. Stupně modelu ale nutně nemusí odpovídat časovým jednotkám, ale místo toho odpovídají fázím v rozhodovacím procesu. To znamená, že proměnná prvního stupně odpovídá všem rozhodnutím, která musí být udělána před známou realizací náhodného vektoru. Zatímco proměnná druhého stupně modeluje všechna rozhodnutí, která budou udělána až poté, co budou známy realizace náhodných parametrů [8]. Dvojstupňová úloha tedy spojuje WS a HN přístupy do jednoho modelu rozhodnutí prvního stupně odpovídá HN přístupu, zatímco rozhodnutí druhého stupně odpovídá WS přístupu. Nejběžnější dvoustupňové úlohy jsou ty lineární, proto ukážeme jejich formulaci. Definice 15. Dvoustupňová stochastická lineární úloha je definována jako kde Q(, ξ) je optimální hodnota úlohy druhého stupně ( c T + E(Q(, ξ)) ) s. t. A = b, 0, (16) y q T y s. t. T + Wy = h, y 0. (17) Úloha druhého stupně závisí na vektoru ξ = (q, h, T, W) kde mohou být některé prvky náhodné. Matice T a W se nazývají technologická a recourse matice. Věta 16. Předpokládejme, že náhodný vektor ξ má diskrétní rozdělení pravděpodobnosti s konečným počtem R možných realizací ξ s = (q s, h s, T s, W s ) s odpovídajícími pravděpodobnostmi p s. Pak může být dvoustupňová diskrétní stochastická lineární úloha zapsána ve tvaru rozsáhlé úlohy lineárního programování ( Důkaz. Důkaz lze nalézt v [7].,y 1,...,y R c T + ) p s q T s y s (18) s. t. A = b, T s + W s y s = h s, 0, y s 0, s = 1,..., R. (19) Všechny náhodné parametry závisí na náhodných elementech ω s Ω, tj. y s = y(ω s ) atd. Velikost takto získaného lineárního programu může být značná, proto nahradíme vektor rozhodnutí prvního stupně R různými vektory s. Věta 17. Dvoustupňová diskrétní stochastická lineární úloha s neanticipativními omezeními může být zapsána jako p s (c T s + q T s y s ) (20) 1,..., R y 1,..., y R s. t. A s = b, T s s + W s y s = h s, s 0, y s 0, s = 1,..., R, (21) s = p i i, s = 1,..., R. (22) i=1 Tato úloha je ekvivalentní úloze (18) v tom smyslu, že mají stejné optimální hondoty účelových funkcí a stejná příslušná řešení. Důkaz. Důkaz lze nalézt v [7]. Neanticipativní omezení (22) zajišt ují, že rozhodovací proměnné prvního stupně nezávisí na realizaci náhodných parametrů. Tento program ovšem stále není separovatelný v tom smyslu, že jej nelze rozdělit na R menších lineárních úloh. Z tohoto důvodu bylo pro řešení vyvinuto mnoho dekompozičních metod jako je např. algoritmus progressive hedging. Protože se ale v prai často řeší i nelineární úlohy, ukážeme dále i obecnou formulaci nelineárních dvoustupňových úloh [7].
Definice 18. Dvoustupňová stochastická úloha s neanticipativními omezeními je definována jako E(F ((ω), y(ω), ξ(ω))) (23) ( ) X,y( ) Y s. t. G i ((ω), y(ω), ξ(ω)) 0, i = 1,..., m, (ω) X, y(ω) Y, a. e. ω Ω, (24) (ω) = E((ω)), ω Ω, (25) kde F : R n R d R K R, G i : R n R d R R R, i = 1,..., m, X R n, Y R d, X je prostor měřitelných funkcí z Ω do R n a Y je prostor měřitelných funkcí z Ω do R d. Podrobné shrnutí teoretických vlastností dvoustupňových stochastických úloh lze nalézt např. v [1], [4] a [7]. Výše uvedené dvoustupňové modely jsou speciálními případy obecnějších vícestupňových úloh, ve kterých jsou rozhodovací proměnné a omezení rozděleny do skupin příslušných jednotlivým stupňům. Přesnou matematickou formulaci lze nalézt např. v [7]. Reference [1] BIRGE, J., LOUVEAUX, F. Introduction to Stochastic Programg. 1st ed. New York: Springer, 1997. 421 p. ISBN 0-387-98217-5. [2] DANTZIG, G. B.: Linear programg under uncertainty. Management Science 1 (1955), 197 206. ISSN 0025-1909. [3] DUPAČOVÁ, J.: The ima problem of stochastic linear programg and the moment problem. Ekonom.-Mater. Obzor 13 (1977), 279 307. [4] KALL, P., WALLACE, S. W.: Stochastic Programg. 1st ed. New York: Wiley and Sons, 1995. 320 p. ISBN 978-0471951087. [5] POPELA, P.: An Objected-Oriented Approach to Multistage Stochastic Programg. [PhD Thesis], Prague: Charles University, 1998. [6] POPELA, P.: Stochastic programg. Lecture notes from University of Malta. 2004. [7] RUSZCZYŃSKI, A., SHAPIRO, A. (ed.): Handbooks in Operations Research and Management Science, vol. 10: Stochastic Programg. 1st ed. Amsterdam: Elsevier, 2003. 688 p. ISBN 0-444-50854-6. [8] VARAIYA, P., WETS, R. J-B.: Stochastic Dynamic Optimization Approaches and Computation. In Proc. 13th Int. Symp. Mathematical programg. Tokyo: KTK Scientific Publisher, 1989, pp. 309 331.