Relace. Základní pojmy.

Relace. Základní pojmy. I kdyº pojem funkce je v matematice jeden ze základních a nejd leºit j²ích, p esto se n které vztahy mezi objekty pomocí funkce popsat nedají. Jde o situace, kdybychom cht li p i adit danému prvku nikoli jednu hodnotu, ale celou mnoºinu hodnot. P íklad 1. M jme mnoºinu A v²ech student dané fakulty a B mnoºinu v²ech vypsaných p edm t, které se na fakult vyu ují. Vztah mezi prvky A a B nelze popsat funk ní závislostí, nebo není pravd podobné, ºe by kaºdý student m l zapsaný nejvý²e jeden p edm t a stejn tak je nepravd podobné, ºe by kaºdý p edm t nav²t voval nejvý²e jeden student. Zde je t eba k popisu uºít obecn j²í pojem. Ve²kerá informace je zachycena v mnoºin R = {(a, b) A B student a má zapsán p edm t b}. Prvky mnoºiny R jsou uspo ádané dvojice a práv uspo ádaná dvojice tvo í základ pojmu relace. Denice. M jme mnoºiny A a B. Binární relace R z mnoºiny A do mnoºiny B je mnoºina uspo ádaných dvojic (a, b), kde a A, b B. Stru n e eno, R je podmnoºina kartézského sou inu A B, R A B. V p ípad A = B mluvíme o binární relaci na mnoºin A. Jsou-li prvky a, b v relaci R, pí²eme (a, b) R nebo arb. V opa ném p ípad zna íme (a, b) / R nebo a R b. Slovo binární budeme v t²inou vynechávat a mezi uvedenými dv ma zp soby zápisu budeme voln p echázet. Poznámka. Pokud bychom cht li být zcela korektní, m li bychom také zadenovat, co je uspo ádaná dvojice prvk. Dvouprvková mnoºina {2, 7} je dvojice prvk 2 a 7, u kterých nám nezáleºí na jejich po adí, {2, 7} = {7, 2}. My v²ak pot ebujeme denovat objekt ozna ený (2, 7), který má v sob zakódováno nejen ºe se skládá z prvk 2 a 7, ale i jejich po adí. Po adí je d leºité k tomu, abychom z rovnosti (x, y) = (a, b) vyvodili, ºe x = a a y = b. Jedna moºná denice je nap. (x, y) := {{x}, {x, y}}. 1

Tímto zp sobem jsme zavedli uspo ádanou dvojici pouze pomocí mnoºinové symboliky, tj. v rámci teorie mnoºin. Tato denice uspo ádané dvojice opravdu vyhovuje vý²e uvedému poºadavku. Není to ale jediná volba, existuje mnoho jiných. Nap. (x, y) := {{a, x}, {b, y}}, kde a, b jsou jakékoli dva r zné objekty. Nej ast ji se volí a { }. Podívejme se na jednoduché p íklady relací. M jme A = {2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7} a relaci R z A do B denovanou (m, n) R, pokud m d lí n. Výpisem v²ech dvojic spl ujících poºadavek dostaneme R = { (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4) }. M jme relaci R na Z danou: (m, n) R práv, kdyº n m je sudé. Zde uº nelze vypsat v²echny dvojice, nebo jich je nekone n mnoho, nicmén m ºeme zapsat obecný tvar ísel m, n, která jsou v relaci, R = {(m, m + 2k) m, k Z}. Nejmen²í relace je prázdná relace R =. Naopak nejv t²í relace na mnoºin A je tzv. univerzální relace R = A A. Relace identity I A na mnoºin A je relace rovnosti: (a, b) I A práv, kdyº a = b. N kdy se tato relace nazývá diagonála. I A := {(a, a) A A a A}. M jme relaci R na mnoºin R denovanou R = {(x, y) R R x je men²í neº y}. V tomto p ípad se budeme drºet obvyklého zna ení a místo x R y budeme psát x < y. Je d leºité si uv domil, ºe zobrazení f : A B lze reprezentovat jako relaci R f denovanou (a, b) R f práv, kdyº b = f(a). Mnoºina R f = {(a, f(a)) a A} p edstavuje graf zobrazení f. Pro ilustraci uva- ºujme nap. funkci f(x) = x 2. Pro ní je R f = {(x, x 2 ) x R}, coº je mnoºina bod leºících na parabole y = x 2. 2

Protoºe zobrazení je speciální p ípad relace, je jich mén neº relací. Ur íme po et zobrazení f : A B a po et relací R A B pro mnoºiny A = m a B = n. Po et zobrazení z A do B zijstíme tak, ºe kaºdému z m prvk mnoºiny A m ºeme vybrat jednu z n hodnot z mnoºiny B. Po et zobrazení je tak n m. Relace je podmnoºina mnoºiny A B. Protoºe A B = mn je po et relací 2 mn. Pro porovnání ísel n m a 2 mn si to první p epi²me do tvaru n m = 2 m log 2 n. Odtud vidíme, ºe pro m > 0 je n m < 2 mn. Jsou-li mnoºiny, na kterých relace uvaºujeme malé, m ºeme si relace gracky znázornit bu vyzna ením bod v kartézském sou inu nebo pomocí orientovaného grafu. P íklad 2. M jme A = {1, 2, 3}, B = {a, b} a relaci R = {(1, a), (1, b), (2, a), (3, b)}. Níºe vidíme ob moºnosti grackého znázorn ní, vlevo v kartézském sou inu a vpravo pomocí orientovaného grafu. b a 1 2 3 3 a 7 b 1 2 3 Denice. M jme mnoºiny A, B, C a relace R A B a S B C. (i) Relace R 1 B A se nazývá inverzní k relaci R, jestliºe platí ar 1 b, jestliºe bra. (ii) Sloºená relace R S je relace z A do C denovaná následovn : Pro a A a c C je a(r S)c, jestliºe existuje b B takové, ºe arb a bsc. V n kterých knihách a textech se sloºení relací R a S zna í v obráceném po adí S R oproti na²emu ozna ení R S. Oba zp soby mají své d vody. Pracujeme-li proto s n kolika texty, je t eba se p esv d it, jaké ozna ení se autor rozhodl uºívat. M ºeme si pov²imnout, ºe inverzní zobrazení existuje pouze k prostému zobrazení, zatímco inverzní relace existuje vºdy. Skládáme-li relaci R samu se sebou, pouºíváme zna- ení R R = R 2. Obecn, pro n-násobné sloºení relace R se sebou platí induktivní vztah R n = R R n 1, n 2. P íklad 3. Na mnoºin A v²ech lidí uvaºujme relace R a S: arb, je-li a rodi em b; asb, jsou-li a, b sourozenci (zde míníme a b). Co je R 1, S 1, R S, S R, R 2 a S 2? ar 1 b znamená, ºe lov k a je dít tem lov ka b; 3

S 1 = S; a(r S)b práv, kdyº a je rodi em b a b má je²t jednoho dal²ího sourozence; a(s R)b, jestliºe a je strýc nebo teta lov ka b; ar 2 b, jestliºe lov k a je prarodi em lov ka b; as 2 b, jestliºe a = b a a má je²t dal²ího sourozence nebo a b a a, b jsou sourozenci mající alespo je²t jednoho dal²ího sourozence. Pro relaci R z P íkladu 2 je R 1 = {(a, 1), (b, 1), (a, 2), (b, 3)}. V grackém znázorn ní by se v kartézském sou inu obrázek p eklopil podle osy prvního kvadrantu a v orientovaném grafu by se v²echny ²ipky obrátily. P íklad 4. Uvaºujme relaci S na mnoºin R danou: (x, y) S práv, kdyº y = 2 x. Jak vypadá graf S, S 1 a S 2 = S S v kartézském sou inu R R? Protoºe relace S je ve skute nosti funkce y = 2 x, je graf relace S grafem této funkce, viz obrázek vlevo. S 1 uº ale není zadaná jako funkce a i z jejího grafu vidíme, ºe jedné hodnot x mohou p íslu²et dv hodnoty y, viz obrázek uprost ed. Zbývá zjistit, která reálná ísla jsou v relaci S 2. Aby xs 2 y, je t eba podle denice sloºené relace najít takové t R, ºe xst a tsy. Je-li xst, pak t = 2 x. Je-li tsy, pak y = 2 t. Dosazením t z první rovnice do druhé dostaneme y = 4 x, viz obrázek vpravo. S = {(x, y) y = 2 x } S 1 = {(x, y) x = 2 y } S 2 = {(x, y) y = 4 x } P íklad 5. Uvaºujme relaci R na N danou: (k, m) R, jestliºe m = k 2. Co je R n? Za neme s R 2. Podle denice je (k, m) R 2, jestliºe existuje i N, ºe (k, i) R a (i, m) R, tj. i = k 2 a m = i 2. Spojením t chto podmínek dostaneme m = k 4. Pou eni tímto speciálním p ípadem navrhneme, ºe (k, m) R n, kdyº m = k 2n. D kaz provedeme indukcí podle n. P ípad n = 1 je p ímo denice relace R a n = 2 jsme ov ili v prvním kroku. P edpokládejme, ºe tvrzení platí pro n a vyvodíme, ºe platí i pro n + 1: (k, m) R n+1, existuje-li i, ºe (k, i) R n a (i, m) R, tj. i = k 2n a m = i 2. Spojením dostáváme m = (k 2n ) 2 = k 2n 2 = k 2n+1, a tím je d kaz ukon en. 4

Pro inverzi sloºení dvou relací platí následující vztah, (R S) 1 = S 1 R 1. K ov ení sta í pouºít denice sloºené relace a inverzní relace: M jme c(r S) 1 a. To znamená a(r S)c. Existuje tak b, ºe arb a bsc. To je to samé, jako br 1 a a cs 1 b. V tom p ípad ale c(s 1 R 1 )a. Uvedeme si nejpouºívan j²í vlastnosti, podle kterých relace klasikujeme. Denice. M jme relaci R na mnoºin A. ekneme, ºe R je (i) reexivní, jestliºe pro kaºdé a A platí ara. (ii) symetrická, jestliºe pro kaºdé a, b A platí implikace arb = bra. (iii) antisymetrická, jestliºe pro kaºdé a, b A platí a = b, kdykoli arb a bra. (iv) tranzitivní, jestliºe pro kaºdé a, b, c A platí arc, kdykoli arb a brc. Slovy se dají uvedené vlastnosti vyjád it následovn. Reexivita znamená, ºe kaºdý prvek je v relaci sám se sebou. Symetrie vyjad uje vlastnost, ºe je-li jeden prvek v relaci s druhým prvkem, je i druhý prvek v relaci s prvním. Antisymetrie kopíruje vlastnost znaménka : je-li x y a rovn º y x, pak nutn x = y. A kone n tranzitivita znamená, ºe je-li jeden prvek v relaci s druhým a druhý s t etím, musí být i první prvek v relaci se t etím. Vlastnosti symetrie a antisymetrie nejsou opa né ani se navzájem nevylu ují. Nap. diagonála I A je sou asn symetrická i antisymetrická relace. P íklad 6. Uvaºujme relaci R na N danou d litelností: (k, n) R, jestliºe k d lí n. Jaké vlastnosti z vý²e uvedených má relace R? Tato relace je z ejm reexivní, nebo (k, k) R pro v²echna p irozená ísla. Není ale symetrická, protoºe kdyº k d lí n, pak obecn n ned lí k (výjimkou je p ípad k = n). Denice symetrie v²ak poºaduje platnost této vlastnosti pro v²echna k, n N. Najdemeli protip íklad na tuto vlastnost, nap. dvojice (2, 6) R, ale (6, 2) / R, pak uvedená vlastnost neplatí. Relace R je antisymetrická, nebo d lí-li se dv p irozená ísla navzájem, musí být stejná. Zbývá tranzitivita. Zde máme testovat, zda pro jakákoli t i ísla k, m, n spl ující (k, m) R a (m, n) R vºdy platí, ºe i (k, n) R. Konkrétn, pokud k d lí m a m d lí n, musí i k d lit n? To samoz ejm platí, a tedy R je tranzitivní. Vý²e uvedené ty i základní vlastnosti m ºeme popsat i pomocí operací mezi relacemi. Reexivní relace vyºaduje, aby (a, a) R pro v²echna a z dané mnoºiny A. Jinými slovy, R obsahuje diagonálu, I A R. Symetrická relace vyºaduje, aby z (a, b) R vºdy vyplynulo (b, a) R, tj. (a, b) R 1. Vidíme, ºe symetrická relace spl uje R = R 1. Pro antisymetrickou relaci zji² ujeme, ºe nastane-li situace, kdy (a, b) R a sou asn (b, a) R (tj. (a, b) R 1 ), pak nutn a = b, tj. (a, b) I A. Stru n zapsáno: R R 1 I A. A kone n tranzitivní relace poºaduje, aby (a, b) R a (b, c) R vynutilo (a, c) R. Op t stru n vyjád eno: R R R. Shrneme tato pozorování do tabulky. reexivita R : I A R symetrie R : R = R 1 antisymetrie R : R R 1 I A tranzitivita R : R R R. 5

V dal²ím se budeme podrobn ji v novat dv ma d leºitým relacím: ekvivalenci a uspo- ádání. Relace ekvivalence. Denice. Relace R na mnoºin A se nazývá ekvivalence, je-li je reexivní, symetrická a tranzitivní. V takovém p ípad budeme také pouºívat zápis a b místo arb. Nejjednodu²²í p íklad ekvivalence je relace rovnosti I A. Hlavní d vod pro zavedení relace ekvivalence je práv zobecn ní rovnosti. P íklad 7. Uvaºujme mnoºinu M = n=0 {0, 1}n v²ech kone ných posloupností nul a jedni ek. Denujeme relaci S na mnoºin M, (x, y) S práv, kdyº posloupnosti x a y mají stejný po et jedni ek. Relace S je reexivní, symetrická i tranztivní, tedy ekvivalence. Tento p íklad dob e ilustruje úst ední my²lenku relace ekvivalence: seskupit objekty, které mouhou být r zné, ale v jistém (d leºitém) aspektu stejné. Zde jsme posloupnosti se stejným po tem jedni ek prohlásili za ekvivalentní, i kdyº mohou být zcela odli²né. Jiný p íklad je po ítání modulo m. P ipome me si, ºe pro celá ísla a, b Z a m N, m > 1, zna íme a b mod m, je-li a b je d litelné íslem m (jinými slovy b je zbytek ísla a po d lení íslem m). Výraz teme: a je kongruentní s b modulo m. Tím je na mnoºin Z zadána relace R, R = {(a, b) Z Z a b mod m}. R je z ejm reexivní a symetrická. K tranzitivit p edpokládáme, ºe arb a brc, tj. a b i b c je d litelné íslem m. Pak i sou et (a b) + (b c) = a c je d litelný m, a tedy arc. P íklad 8. Na mnoºin A = R 2 \ {(0, 0)} zavedeme relaci R tak, ºe body X a Y jsou v relaci, jestliºe leºí na stejné p ímce procházející bodem (0, 0). Ov íme, ºe R je ekvivalence. Op t reexivita a symetrie je z ejmá. Tranzitivita je také snadno ov itelná: Leºí-li body X a Y na téºe p ímce procházející po átkem a body Y a Z op t na stejné p ímce procházející po átkem, musí na téºe p ímce leºet i dvojice X a Z. Je uºite né v²imnout si, ºe pro tranzitivitu bylo d leºité, ºe mnoºina A neobsahuje po átek. Bez toho by tranzitivita neplatila. (X = (1, 0), Y = (0, 0) a Z = (0, 1).) Denice. M jme na mnoºin A ekvivalenci. T ída ekvivalence ur ená prvkem a A je mnoºina [a] := {b A b a}. Specieln, vºdy a [a]. 6

Nap. pro po ítání modulo 3 je t ída ekvivalence ur ená prvkem 0 rovna [0] = {3k k Z}, tj. v²echny násobky 3. Podobn t ída [1] = {3k + 1 k Z} nebo 3k + 1 1 mod 3, tj. (3k + 1) 1 je d litelné t emi. Nakonec [2] = {3k + 2 k Z}, ([3] = [0], takºe nic nového uº bychom nedostali). Vidíme, ºe takto máme 3 r zné t ídy ekvivalence, jejichº sjednocení pokrývá v²echna celá ísla, [0] [1] [2] = Z. Rovn º vidíme, ºe t ídy ekvivalence jsou disjunktní mnoºiny. Ob vlastnosti se nevyskytují jen u po ítání modulo, ale platí obecn pro kaºdou ekvivalenci. V ta 9. M jme ekvivalenci na mnoºin A. Je-li a [b], pak [a] = [b]. Specieln, dv r zné t ídy ekvivalence jsou nutn disjunktní. D kaz. M jme a [b], tj. a b. Protoºe ekvivalence je tranzitivní relace, je kaºdý prvek, který je ekvivalentní s a, také ekvivalentní s b a obrácen. Tím [a] = [b]. Uvaºujme nyní dv r zné t ídy ekvivalence, [a] [b]. Kdyby existoval spole ný prvek c [a] [b], pak by podle vý²e dokázané ásti platilo, ºe [c] = [a] a [c] = [b]. To by znamenalo [a] = [b], coº je spor. P íklad 10. Na poten ní mnoºin P({0, 1, 2}) máme relaci S danou (A, B) S práv, kdyº A a B mají shodný nejmen²í prvek. Ukaºte, ºe S je ekvivalence a ur ete její t ídy. Reexivita a symetrie jsou z ejmé. Tranzitivita: m jme t i mnoºiny A, B, C {0, 1, 2} a p edpokládejme, ºe (A, B) S a (B, C) S. To znamená, ºe nejme²í prvek mnoºiny A je stejný jako nejmen²í prvek mnoºiny B a ten je op t stejný jako nejmen²í prvek mnoºiny C. Tím i (A, C) S. Ov ili jsme, ºe S je ekvivalence. T ídy ekvivalence jsou následující ty i: { }, { {0}, {0, 1}, {0, 1, 2} }, { {1}, {1, 2} }, { {2} }. T ídy ekvivalence tvo í tzv. rozklad mnoºiny. Pod rozkladem mnoºiny A rozumíme systém neprázdných disjunktních mnoºin A i A, i I, spl ujících A i = A. i I Nejenºe t ídy ekvivalence tvo í rozklad, ale i naopak kaºdý rozklad mnoºiny A zadává ekvivalenci na A, jejíº t ídy ekvivalence jsou p esn mnoºiny p vodního rozkladu. Taková ekvivalence je dána a b, jestliºe a i b pat í do stejné mnoºiny rozkladu. Uvaºujme rozklad mnoºiny A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} na A 1 = {1, 2, 3}, A 2 = {4, 5} a A 3 = {6}. Jak vypadá ekvivalence daná tímto rozkladem? Vypí²eme v²echny dvojice: (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5), (6, 6). 7

P íklad 11. M jme rozklad roviny R 2 na mnoºiny A r, r 0, kde A r ozna uje kruºnici se st edem v po átku a polom rem r. Popi²te ekvivalenci zadanou tímto rozkladem. Body (x 1, y 1 ) a (x 2, y 2 ) jsou ekvivalentní, leºí-li na stejné kruºnici A r, tj. jejich sou adnice spl ují rovnici x 2 + y 2 = r 2. M ºeme tak psát (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ), kdyº x 2 1 + y 2 1 = x 2 2 + y 2 2. Relace uspo ádání. N které mnoºiny uº mají v sob p irozené uspo ádání svých prvk. Nejznám j²í p íklady jsou asi mnoºina N nebo R, kde jsou ísla uspo ádána podle velikosti. Jiný p íklad je uspo- ádání slov ve slovníku nebo inkluze na systému P(A) v²ech podmnoºin mnoºiny A. Relace slouºící k porovnávání prvk mají n které spole né vlastnosti. Denice. Relace na mnoºin A se nazývá uspo ádání, je-li reexivní, antisymetrická a tranzitivní. Je zvykem ozna ovat obecnou relaci uspo ádání symbolem, tj. budeme psát a b místo arb. P íklad 12. Relace na mnoºin N je p íklad uspo ádání ve smyslu na²í denice. Je reexivní, nebo n n pro v²echna n N. Antisymetrie plyne z faktu, ºe je-li m n a n m, pak m = n. A kone n tranzitivita je nám známá v c, ºe m k, pokud víme, ºe m n a n k. Uvaºujme te relaci d litelnosti na N: m n práv, kdyº m d lí n. Ov íme, ºe je uspo ádání. Reexivita je z ejmá, protoºe n d lí n pro kaºdé n N. Dále, jestliºe se ísla m a n navzájem d lí, musí být stejná, coº je antisymetrie. K ov ení tranzitivity m jme t i ísla m, n, k taková, ºe m d lí n a n d lí k. Podrob : n = αm a k = βn pro n jaká celá ísla α, β. Z t chto vztah plyne, ºe k = αβm, tj. m d lí k, coº je tranzitivita. Relace je uspo ádání. Zavedeme-li na mnoºin v²ech lidí relaci R denovanou xry, je-li lov k x nejvý²e tak starý jako lov k y, pak tato relace není uspo ádání, nebo nespl uje vlastnost antisymetrie. Stejn tak i ostrá nerovnost < na mnoºin N nebo R není uspo ádání ve smyslu na²í denice, nebo ji také chybí vlastnost antisymetrie. M jme mnoºinu A s uspo ádáním. Prvky a, b A, pro které platí a b nebo b a, nazýváme porovnatelné. V p edchozím p íkladu jsou p i relaci na mnoºin N v²echny prvky navzájem porovnatelné. P i relaci d litelnosti uº tomu tak není, nap. ísla 3 a 7 nejsou porovnatelná, nebo 3 7 a stejn tak 7 3. Protoºe obecn nejsou kaºdé dva prvky porovnatelné, uºívá se v mnoha textech místo uspo ádání název áste né uspo ádání. My si v²ak dovolíme slovo áste né vynechávat. P ijmeme také jednu úmluvu v ozna ení. Relaci uspo ádání na mnoºin A budeme ob as zna it A, budeme-li chtít zd raznit mnoºinu, na které uspo ádání uvaºujeme. 8

Extrémní p ípad uspo ádání je diagonála I A. Tam je kaºdý prvek je porovnatelný pouze sám se sebou. Protikladem diagonály I A je uspo ádání, kde jsou v²echny prvky navzájem porovnatelné: Denice. Uspo ádání A na mnoºin A se nazývá lineární, pokud pro kaºdé dva prvky a, b A platí bu a A b nebo b A a. Z p edchozích p íklad je uspo ádání na mnoºinách N, Z nebo R lineární. Naopak relace d litelnosti lineární není. P íklad 13. M jme mnoºinu X a ozna íme M = P(X) poten ní mnoºinu mnoºiny X. Ov íme, ºe relace inkluze je uspo ádání na M. Reexivita je jasná, nebo A A pro kaºdou A M. Je-li A B a zárove B A, je nutn A = B, coº je antisymetrie. Máme-li nyní t i mnoºiny A, B, C M, pro které platí A B a B C, pak musí být i A C. Tím jsme ov ili tranzitivitu. Uspo ádání v²ak není lineární pokud základní mnoºina X obsahuje alespo dva prvky: Je-li x, y X, x y, pak mnoºiny {x} a {y} nejsou porovnatelné pomocí inkluze. D leºitý typ uspo ádání je tzv. lexikogracké uspo ádání. Zobec uje oby ejné uspo ádání hesel ve slovníku, odtud i jeho název. Místo slov ale budeme uspo ádávat kone né posloupnosti symbol. Denice. M jme mnoºinu A s lineárním uspo ádáním A (=abeceda). Mnoºinu kone ných neprázdných posloupností vytvo ených z prvk mnoºiny A ozna íme F (A) (=slova). Uvaºujme dv posloupnosti (a 1, a 2,..., a m ) a (b 1, b 2,..., b n ) z F (A). ekneme, ºe platí-li jedna z následujících dvou podmínek: (a 1, a 2,..., a m ) L (b 1, b 2,..., b n ), (a 1, a 2,..., a m ) je po áte ní úsek posloupnosti (b 1, b 2,..., b n ); jestliºe a 1 = b 1,..., a k 1 = b k 1 a a k b k, pak a k A b k. Uspo ádání L se nazývá lexikogracké. První podmínka v denici íká, ºe posloupnost (b 1, b 2,..., b n ) je bu rovna posloupnosti (a 1, a 2,..., a m ) nebo je jejím prodlouºením. Druhý poºadavek znamená, ºe první index k, kde se leny obou posloupností za nou li²it, musí spl ovat a k A b k. Lexikogra- cké uspo ádání je lineární uspo ádání díky tomu, ºe abeceda A je lineárn uspo ádaná. Pokud bychom m li na A uspo ádání, které není lineární, nebylo by lineární ani L. P íklad 14. Jako jednoduchou ilustraci uvaºujme mnoºinu A = {a, b} s oby ejným abecedním uspo ádáním. Pak nap. (a, a, b) L (a, a, b, a), (a, b, a) L (a, b, b), (a, b, a, a, b) L (a, b, a, b). Pov²imn me si, ºe mezi (a, a, b) a (a, a, b, a) uº neleºí ºádný jiný prvek, zatímco mezi (a, b, a) a (a, b, b) jich leºí nekone n mnoho: v²echny prvky typu (a, b, a,... cokoli... ). 9

Zvolíme-li za abecedu A = R, pak slova F (R) jsou v²echny kone né posloupnosti reálných ísel. Platí nap. (e, π, 2, 2) L (e, π, 13) L (3, e). P ípad F (R) se vyzna uje zvlá²tností, ºe mezi kaºdými dv ma posloupnostmi leºí nekone n mnoho jiných posloupností. Pokud je moºné si relaci gracky reprezentovat, je to velmi uºite né nejen pro její vizualizaci, ale i pro pochopení. Vlastnosti relace uspo ádání nám umoº ují zjednodu²it její grackou podobu tím, ºe budeme redukovat p íslu²ný orientovaný graf na tzv. Hasse v diagram. Ukáºeme to na p íkladu relace d litelnosti A na mnoºin A = {1, 2, 3, 4, 6, 8}. Jako kaºdou relaci m ºeme i tuto znázornit orientovaným grafem, jak je to na obrázku dole vlevo. V²echna informace o relaci A je v n m zachycena. N která informace ale zbyte n vícekrát, proto za neme orientovaný graf redukovat. (i) Víme, ºe spo ádání je z denice reexivní relace, m ºeme proto vypustit v²echny smy ky kolem vrchol grafu. (ii) Vynecháme hrany, které vyplývají z tranzitivity. Nap. hrana 1 4 vyplývá z toho, ºe v grafu jsou uº hrany 1 2 a 2 4. Proto ji lze vynechat. (iii) Abychom se zbavili i ²ipek na hranách, kreslíme vrcholy tak, ºe po áte ní leºí vºdy níºe neº koncový. Výsledek redukce je Hasse v diagram, viz obrázek vpravo. Obsahuje v²echnu informaci jako orientovaný graf, ale v mnohem p ehledn j²ím tvaru. 1 8 6 8 2 4 2 3 6 3 1 4 P íklad 15. Nakreslete Hasse v diagram pro mnoºinu N s uspo ádáním a pro mnoºinu P({1, 2, 3}) s inkluzí. 10

4 3 2 1 {1, 2, 3} {1, 2} {1, 3} {2, 3} {1} {2} {3} Vlevo dole je Hasse v diagram pro N. Je to nekone n mnoho vrchol leºících na polop ímce. Obecn kaºdé lineární uspo ádání má Hasse v diagram leºící na p ímce (odtud i název lineární uspo ádání). Vpravo je diagram pro P({1, 2, 3}). Pokud v n m vidíme krychli, není to náhoda. Hasse v diagram pro P({1, 2,..., n}) je tvo en vrcholy a hranami n-rozm rné krychle. Máme-li na mnoºin zadané uspo ádání, m ºeme mluvit o nejv t²ím a nejmen²ím prvku této mnoºiny. Denice. M jme mnoºinu A s uspo ádáním. Prvek a A se nazývá nejv t²í prvek mnoºiny A, jestliºe b a pro v²echna b A. Podobn, a A se nazývá nejmen²í prvek mnoºiny A, jestliºe a b pro v²echna b A. Nejv t²í a nejmen²í prvek nemusí vºdy existovat. Mnoºina celých ísel s obvyklým uspo ádáním nemá ani nejmen²í ani nejv t²í prvek. P irozená ísla mají nejmen²í prvek 1, ale nemají nejv t²í. Interval 0, 1 R má nejv t²í prvek 1 a nejmen²í prvek 0. Naopak interval (0, 1) nemá ani nejv t²í ani nejmen²í prvek. Nicmén, existuje-li nejv t²í nebo nejmen²í prvek, je vºdy jediný. Kdyby nap. v mnoºin A existovali dva nejv t²í prvky a, ã, pak z denice nejv t²ího prvku plyne, ºe a ã a také ã a. Protoºe uspo ádání je antisymetrická relace, dostaneme a = ã. P íklad 16. Na mnoºin funkcí A = { f : 0, 1 0, 1 f(0) = 0, f je spojitá } uvaºujme obvyklé uspo ádání: f g, kdyº f(x) g(x) pro v²echna x 0, 1. Jaký je nejv t²í a nejmen²í prvek v mnoºin A? Nejmen²í prvek je konstantní funkce f(x) = 0. Nejv t²í prvek neexistuje. Jediný p irozený kandidát, který by byl v t²í neº v²echny funkce z mnoºiny A je { 0 x = 0, f(x) = 1 x (0, 1, ale ten nepat í do mnoºiny A, nebo to není spojitá funkce. 11

Poºadavek na nejv t²í prvek m ºeme oslabit a dostaneme pojem maximálního prvku. Maximálních prvk, na rozdíl od nejv t²ího, m ºe být v mnoºin více. Denice. M jme mnoºinu A s uspo ádáním. Prvek a A se nazývá maximální prvek mnoºiny A, pokud jediný prvek b A, ºe a b, je pouze samotný prvek a. Podobn, prvek a A je minimální prvek mnoºiny A, pokud jediný prvek b A, ºe b a, je pouze samotný prvek a. Rozdíl mezi nejv t²ím a maximálním prvkem je ten, ºe nejv t²í prvek je porovnatelný se v²emi ostatními a je z nich nejv t²í, zatímco maximální prvek je nejv t²í jen v rámci t ch prvk, které jsou s ním porovnatelné. P íklad 17. Vezmeme si za A mnoºinu v²ech neprázdných vlastních podmnoºin mnoºiny {1, 2,..., n}, A = P ( {1, 2,..., n} ) \ {, {1, 2,..., n} } s uspo ádáním inkluze. V mnoºin A neexistuje nejmen²í prvek, nebo jediný kandidát by byla, ale ta nepat í do A. Stejn tak neexistuje nejv t²í prvek v A, nebo to by mohla být jen celá mnoºina {1, 2,..., n}, ale ta také nepat í do A. Minimálních prvk v mnoºin A je dokonce n, nebo kaºdá jednoprvková podmnoºina je minimální prvek. Podobn i maximálních prvk je n, je to kaºdá mnoºina s n 1 prvky. Porovnáním denic vidíme, ºe nejv t²í prvek je vºdy i maximální prvek a nejmen²í prvek je i minimální prvek. P edchozí p íklad ukazuje, ºe opa n to neplatí. Cvi ení. (1) Na mnoºin A = {1, 2, 3, 4} uvaºujem dv relace R a S dané Vypi²te prvky následujících relací: (a) R S, S R, (b) R 1, S 1, (R S) 1 a (S R) 1, (c) R 1 S 1, S 1 R 1. R = {(1, 3), (2, 2), (3, 1), (3, 4), (4, 2)}, S = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1)}. (2) Uvaºujme relaci R na N danou: (k, m) R, jestliºe k = m m. Co je R 2 a R 3? (3) Rozhodn te, zda relace R na mnoºin R je reexivní, symetrická, antisymetrická nebo tranzitivní, jestliºe (x, y) R práv, kdyº (a) x + y = 0; (b) x = y ; (c) x y je racionální íslo; (d) xy 0; 12

(e) x je iracionální násobek y; (f) x y = 1; (g) prázdná relace R =. (4) M jme relaci R na Z denovanou, ºe (k, n) R práv, kdyº k + 2n je d litelné t emi. Ukaºte, ºe R je ekvivalence a zjist te, kolik má t íd. (5) M jme relaci S na mnoºin v²ech lidí. Rozhodn te, zda S je reexivní, symetrická, antisymetrická nebo tranzitvní, je-li asb práv, kdyº (a) a je vy²²í neº b; (b) a a b se nenarodily ve stejný den; (c) a a b mají stejné k estní jméno; (d) a a b mají stejného prarodi e. (6) Na mnoºin A = {a, b, c, d} máme relaci S = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, b), (b, c)}. Jaký je minimální po et prvk, které je t eba k relaci S p idat, aby byla (a) reexivní? (b) symetrická? (c) antisymetrická? (d) tranzitivní? (7) Na mnoºin A = {1, 2,..., 5} máme relaci R denovanou: (k, n) R práv, kdyº k d lí 5 n. Zjist te, jakou z vlastností reexivita, symetrie, antisymetrie a tranzitivita má relace R. (8) M jme mnoºinu A = {0, 1} 4 v²ech 0-1 posloupností délky 4. ekneme, ºe dv posloupnosti s, t A jsou v relaci S, jestliºe existuje blok dvou symbol stojících t sn vedle sebe, který se vyskytuje jak v s tak v t. Nap. 0110 a 0001 jsou v relaci, protoºe obsahují blok 01. Naopak 0001 a 1110 v relaci nejsou, nebo neobsahují ºádný spole ný blok dvou symbol. Zjist te, jakou z vlastností reexivita, symetrie, antisymetrie a tranzitivita má relace S. (9) Popi²te v²echny relace, které jsou sou asn symetrické i antisymetrické. Nalezn te v²echny relace, které jsou sou asn reexivní, symetrické a antisymetrické. (10) Dokaºte, ºe relace R je symetrická a tranzitivní práv, kdyº R R 1 = R. (11) V rovin R 2 máme dv relace R a S denované: (x 1, y 1 ) R (x 2, y 2 ) práv, kdyº x 1 = x 2, (x 1, y 1 ) S (x 2, y 2 ) práv, kdyº x 1 + y 1 = x 2 + y 2. Ov te, ºe R i S jsou ekvivalence a popi²te jaké mají t ídy ekvivalence. 13

(12) Na mnoºin v²ech polynom denujeme ekvivalenci p(x) q(x) práv, kdyº d 3 p dx 3 = d3 q dx 3. Ov te, ºe je opravdu ekvivalence a ur ete t ídu [x 4 ]. (13) Na mnoºin R máme ekvivalenci x y, pokud [3x] = [3y], kde symbol [x] ozna uje celou ást ísla x. Nalezn te t ídy ekvivalence. (14) Na R uvaºujme ekvivalenci x y, pokud sin x = sin y. Ov te, ºe je skute n ekvivalence a ur ete t ídu ekvivalence [π/4]. (15) Na mnoºin R R v²ech funkcí máme ekvivalenci danou f g práv, kdyº f(0) = g(0) a f(1) = g(1). Zjist te, co je t ída ekvivalence generovaná funkcí f(x) = x? (16) Jsou dána p irozená ísla k 1, k 2 2 a relace ekvivalence na Z: m n práv, kdyº sou asn m n mod k 1 a m n mod k 2. Ur ete t ídu ekvivalence [0]. (17) Kolik t íd má ekvivalence daná m 2 n 2 mod 7? (18) Pro n 2 ozna íme P (n) nejmen²í prvo íslo d lící n a Q(n) nejv t²í prvo íslo d lící n. Na mnoºin A = {2, 3,... } máme relace R a S dané (m, n) R (m, n) S práv, kdyº P (m) = P (n), práv, kdyº Q(m) = Q(n). Ov te, ºe R a S jsou ekvivalence na A a napi²te n kolik prvních len t íd ekvivalence [2], [3] a [5] pro R i S. (19) Na mnoºin M = P({ 1, 0, 1}) máme ekvivalenci danou, ºe A B, pokud mají mnoºiny A, B M stejný sou et hodnot svých prvk. Nalezn te t ídy ekvivalence. (20) M jme rozklad roviny R 2 na rovnob ºné p ímky y = 2x+c, c R. Jakou ekvivalenci tento rozklad ur uje? (21) M jme rozklad mnoºiny N = i=1 A i a k n mu p íslu²nou ekvivalenci na N. Nalezn te funkci f : N N, aby platilo m n práv, kdyº f(m) = f(n). (22) Mnoºina X je sjednocením neprázdných mnoºin X i, X = i=1 X i, p i emº mnoºiny X i nemusí být disjunktní. Na X denujeme relaci S: (x, y) S práv, kdyº prvky x, y leºí ve stejné mnoºin X i. Zjist te, jakou z vlastností reexivita, symetrie, antisymetrie a tranzitivita má relace S. (23) Kolik je relací ekvivalence na mnoºin { {1, 2, 3}, {4} }? 14

(24) M jme dv ekvivalence R a S. Ukaºte, ºe jejich sloºení je ekvivalence práv, kdyº tyto relace komutují, tj. R S = S R. (25) Na mnoºin M = n=1 {0, 1}n v²ech kone ných posloupností vytvo ených z 0 a 1 denujeme pro s, t M relaci s t tak, ºe bu s = t nebo t je prodlouºením posloupnosti s. Ov te, ºe je uspo ádání. Jsou v²echny dvojice prvk mnoºiny M porovnatelné? (26) Se a te následující posloupnosti podle lexikograckého uspo ádání: 0, 01, 11, 010, 011, 0001 a 0101. (27) Mnoºina A = {2, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 48, 60, 72} je uspo ádána relací d litelnosti, tj. (a, b) R, kdyº a d lí b. (a) Nalezn te nejv t²í a nejmen²í prvek. (b) Nalezn te v²echny maximální a minimální prvky. (28) Nakreslete Hasse v diagram pro relaci d litelnosti na mnoºin A = {1, 2, 4, 5, 10, 20} (29) Na mnoºin A = {0, 1, 2} {2, 5, 8} denujeme relaci (k 1, k 2 ) S (n 1, n 2 ) práv, kdyº (k 1 + k 2 ) d lí (n 1 + n 2 ). (a) Ukaºte, ºe S je uspo ádání. (b) Nakreslete Hasse v diagram relace S. (c) Jaké jsou maximální a minimální prvky? Existuje nejv t²í nebo nejmen²í prvek? (30) Na mnoºin M = { } 3 n=1 {0, 1}n v²ech 0-1 posloupností délky nejvý²e 3 máme uspo ádání denované s t práv, kdyº posloupnost s je po áte ní úsek posloupnosti t. Nakreslete Hasse v diagram pro. e²ení: (1a) R S = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (3, 1), (4, 3)}, S R = {(1, 2), (2, 1), (2, 4), (3, 2), (4, 3)}. (1b) R 1 = {(3, 1), (2, 2), (1, 3), (4, 3), (2, 4)}, S 1 = {(2, 1), (3, 2), (4, 3), (1, 4)}, (R S) 1 = {(4, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 3), (3, 4)} a (S R) 1 = {(2, 1), (1, 2), (4, 2), (2, 3), (3, 4)}. (1c) R 1 S 1 = (S R) 1, S 1 R 1 = (R S) 1. (2) (k, m) R 2 znamená, ºe k = m mm+1 a (k, m) R 3 dává k = m m(mm+1 +m+1). (3a) je pouze symetrická, 15

(3b) je symetrická a tranzitivní, (3c) má v²echny vlastnosti krom antisymetrie, (3d) je reexivní a symetrická, (3e) je pouze symetrická, (3f) je pouze symetrická, (3g) krom reexivity má v²echny ostatní vlastnosti. (4) Reexivita je z ejmá. Symetrie: Je-li k + 2n d litelné t emi, napí²eme n + 2k = 3(n + k) (k + 2n). Tranzitivita: Je-li k + 2n a n + 2m d litelné t emi, napí²eme k + 2m = (k + 2n) + (n + 2m) 3n. Relace má t i t ídy ekvivalence. (5a) pouze tranzitivní, (5b) pouze symetrická, (5c) reexivní, symetrická a tranzitivní, (5d) reexivní a symetrická. (6) (a) dva prvky (c, c) a (d, d); (b) t i prvky (b, a), (c, a), (c, b); (c) ºádný; (d) ºádný. (7) šádnou. (8) S je reexivní a symetrická. Není antisymetrická, nap. pro s = 0100 a t = 1101 platí (s, t) S i (t, s) S, ale s t. Není tranzitivní, nap. pro s = 0001, t = 0010 a u = 1110 platí (s, t) S, (t, u) S, ale (s, u) / S. (9) Symetrická relace R spl uje R = R 1, antisymetrická R R 1 I A. Spojením máme R I A. Má-li být R navíc reexivní, musí být R = I A. (10) : Protoºe relace R R 1 je vºdy symetrická, z rovnosti R = R R 1 plyne, ºe R je symetrická. Tzn. R = R 1 a op tné pouºití rovnosti dává R 2 = R, tj. tranzitivitu. : Protoºe R je tranzitivní, platí R 2 R. Navíc ze symetrie plyne R = R 1, coº dává dohromady R R 1 R. Zbývá ukázat obrácenou inkluzi. M jme (a, b) R. Protoºe R je symetrická, je i (b, a) R. Uºitím tranzitivity dostaneme, ºe (a, a) R. Spojením fakt (a, a) R a (a, b) R máme (a, b) R R = R R 1. Tím je ov ena inkluze R R R 1. (11) R má za t ídy ekvivalence svislé p ímky a S p ímky rovnob ºné s p ímkou y = x. (12) [x 4 ] = {x 4 + ax 2 + bx + c a, b, c R}. (13) T ídy jsou intervaly typu 1 3 k, 1 3 (k + 1)), k Z. (14) [π/4] = {π/4 + 2kπ k Z} {3π/4 + 2kπ k Z}. (15) [f] = {f : R R f(0) = 0, f(1) = 1}. 16

(16) [0] je tvo ena celo íselnými násobky nejme²ího spole ného násobku ísel k 1, k 2. (17) Jsou ty i t ídy: [0] = {7k k Z}, [1] = {7k ± 1 k Z}, [2] = {7k ± 2 k Z}, [3] = {7k ± 3 k Z}. Dále se t ídy opakují, [4] = [3], [5] = [2], [6] = [1],.... (18) Pro R: [2] = {sudá ísla}, [3] = {3, 3 2, 3 5, 3 7,... }, [5] = {5, 5 2, 5 7, 5 11,... }. Pro S: [2] = {2, 2 2, 2 3,... }, [3] = {3, 3 2, 3 2, 3 2 2, 3 2 3,... }, [5] = {5, 5 2, 5 3, 5 2, 5 2 3,... }. (19) T i t ídy ekvivalence: { { 1}, { 1, 0} }, {, {0}, { 1, 1}, { 1, 0, 1} }, { {1}, {0, 1} }. (20) Dva body (x 1, y 1 ) a (x 2, y 2 ) jsou ekvivalentní, spl ují-li 2x 1 + y 1 = 2x 2 + y 2. (21) Funkce f musí být konstantní na mnoºinách A i a pro r zné indexy i j se hodnoty konstant musí li²it. Nap. funkci f denujeme hodnotou i pro v²echny prvky z mnoºiny A i. (22) Relace je reexivní a symetrická. Pokud jedna z mnoºin X i je alespo dvouprvková, není S antisymetrická. Exisují-li dv mnoºiny X i a X j spl ující sou asn X i \ X j, X i X j a X j \ X i, není S tranzitivní: Sta í volit z kaºdé ze t í mnoºin jeden prvek. Prvky z první a druhé mnoºiny jsou v relaci, prvky z druhé a t etí mnoºiny jsou také v relaci, ale prvky z první a t etí mnoºiny v relaci nejsou. (23) Ekvivalence jsou dv, jako na kaºdé dvouprvkové mnoºin. (24) Nejprve si v²imneme, ºe pro reexivní relaci R je tranzitivita ekvivalentní s R 2 = R, nikoli jen s inkluzí R 2 R. : Je-li R S ekvivalence, pak je symetrická, tj. R S = (R S) 1 = S 1 R 1 = S R. : Sloºení reexivních relací je vºdy reexivní relace. Ov íme symetrii: (R S) 1 = S 1 R 1 = S R = R S, kde jsme v posledním kroku uºili komutativitu. Zbývá tranzitivita: (R S) 2 = R 2 S 2 op t díky komutativit. Protoºe v na²em p ípad R 2 = R a S 2 = S, máme (R S) 2 = R S a ov ení tranzitivity je dokon ené. (25) Relace je uspo ádání, ale ne v²echny dvojice jsou porovnatelné, nap. s = 0 a t = 10. (26) 0 L 0001 L 01 L 010 L 0101 L 011 L 11. (27) Neexistuje nejv t²í ani nejmen²í prvek. Maximální prvky: 27, 48, 60 a 72. Minimální prvky: 2 a 9. (28) 20 4 10 2 5 1 17

(29a) Reexivita a tranzitivita jsou z ejmé. Antisymetrii zaru uje fakt, ºe hodnoty sou t k 1 + k 2 jsou u v²ech bod (k 1, k 2 ) A navzájem r zné. (29b) (0, 8) (2, 8) (1, 5) (1, 8) (2, 2) (0, 2) (0, 5) (1, 2) (2, 5) (29c) Maximální prvky: (0, 8), (2, 8), (1, 5), (1, 8) a (2, 5). Minimální prvky: (0, 2), (0, 5), (1, 2) a (2, 5). Nejmen²í ani nejv t²í prvek neexistují. (30) 000 001 010 011 100 101 110 111 00 01 10 11 0 1 18