ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Geodetická astronomie 3/6 Aplikace keplerovského pohybu školní rok semestr skupina zpracoval datum klasifikace 2010/11 1 NG1-88 Jan Dolista 11. 12.
Aplikace keplerovského pohybu Zadání: V heliocentrickém ekliptikálním souřadnicovém systému jsou dány dráhové elementy komety k epoše 55480 MJD a dráhové elementy Země k epoše 55400. Pro zadané datum a stanovisko vypočtěte její geocentrické rovníkové souřadnice, vzdálenost od Země i od Slunce a velikost elongace. Graficky znázorněte její geocentrickou dráhu z vypočtených obzorníkových souřadnic s vyznačením její ev. pozorovatelnosti. Uveďte obecný postup řešení úlohy a výsledky uspořádejte do přehledné tabulky. Pozn.: Převod aktuálního data na MJD vč. hvězdného času pro půlnoc UT zjistíte např. na http://www.astro.cz/obloha/vypocty. Dráhové elementy komety: Dráhové elementy Země: Ω = 219.7602 Ω = 172.089 ω = 181.2005 ω = 102.971 i = 13.6184 i = 0.0014 a = 3.47256AU a = 1.00000AU e = 0.69513 e = 0.01669 n = 0.1523156 /den n = 0.985607 /den M 0 = 197, 510 Datum a souřadnice stanoviska: datum: 6.8.2010 φ = 50 06 20 λ = 0 h 57 m 33.4 s Další potřebné vstupní hodnoty: ε = 23 26 16.77 Vypracování: Veškeré výpočty byly provedeny v programu Octave. 1 Převod data Pomocí webového formuláře na http://www.astro.cz/obloha/vypocty bylo zadané datum převedeno na juliánské datum. To bylo dále převedeno na modifikované juliánské datum. MJD = JD 2400000.5 MJD 0 = 55414 Zároveň byl ve stejném webovém formuláři zjištěn hvězdný čas pro světovou půlnoc S 0, tedy greenwichský hvězdný čas pro 0 h UT1. 2 Epochy výpočtu S 0 = 20 h 57 m 42 s Jelikož stanovisko se nachází v České republice, byly obzorníkové souřadnice hvězdy určovány v závislosti na Středoevropském čase (SEČ) a to v kroku jedné hodiny v rámci daného dne, tedy 0 24 h SEČ dne 6.8.2010.
Zadané keplerovské elementy komety a Země jsou však vztaženy k MJD, které je spojeno s časem UT1 (celočíselné MJD je v 0 h UT1), proto byly výpočetní časy převedeny na UT1. Z čehož plyne SEC = UT C + 1 h UT 1 = UT C + DUT 1 UT 1 = SEC 1 h + DUT 1, kde hodnota DUT 1 = 47.6802 ms byla pro dané datum vyhledána v bulletinu B dostupného na ftp://hpiers.obspm.fr/iers/bul/bulb_new/bulletinb.272. Dále bylo určeno MJD výpočetní epochy MJD epochy = MJD 0 + UT 1 24 h, jelikož je SEČ 0 24 h, je pro první epochu UT1 záporné a tedy MJD odpovídá konci předchozího dne. 3 Poloha komety a Země v heliocentrické ekliptikální soustavě Pro výpočetní epochy byla určena jak poloha komety v heliocentrické ekliptikální soustavě, tak poloha Země v této soustavě. Poloha byla určena na základě keplerovských elementů dráhy a výpočetní epochy. 3.1 Poloha komety 3.1.1 Střední anomálie Jelikož pro kometu není zadána hodnota střední anomálie, je tato hodnota M 0 = 0, tedy kometa se v této epoše nachází v perihéliu. M = n (t t 0 ), kde t je MJD výpočetní epochy, t 0 je MDJ ke kterému jsou vztaženy keplerovské elementy a n je střední denní pohyb. 3.1.2 Excentrická anomálie E = M + e sin E Excentrická anomálie byla určena iteračně, kdy v první iteraci je hodnota excentrické anomálie volena E 0 = M + e sin M. V dalších iteracích je hodnota anomálie dána vztahem E i = M + e sin E i 1. Výpočet je opakován, dokud rozdíl ve dvou po sobě jdoucích iteracích není menší než 10 10. 3.1.3 Pravá anomálie v = 2atan ( 1 + e tg E ) 1 e 2 3.1.4 Průvodič r = a(1 e cos E)
3.1.5 Vektor polohy v rovině dráhy r = r cos v sin v 0 Tento vektor obsahuje pravoúhlé souřadnice s počátkem v ohnisku elipsy dráhy, kladná osa x směřuje do perihélia a rovina xy leží v rovině dráhy. 3.1.6 Vektor souřadnic v heliocentrické ekliptikální soustavě Transformace z roviny dráhy do ekliptikální heliocentrické soustavy byla provedena trojitou rotací. Nejprve byla kladná osa x otočena z perihélia do výstupního uzlu a to rotací kolem osy z o úhel ω (argumet výstupního uzlu). V druhém kroku byla sklopena rovina dráhy do roviny ekliptiky, tedy rotace kolem nové osy x o úhel i (sklon dráhy). Posledním krokem bylo otočení nové osy x z výstupního uzlu do jarního bodu, rotace kolem nové osy z o úhel Ω (rektascenze výstupního uzlu). kde matice rotace R X ( Ω) = X kom e 1 0 0 0 cos ( Ω) sin ( Ω) 0 sin ( Ω) cos ( Ω) R X ( ω) = 3.1.7 Vzdálenost komety a Sluce = R Z ( Ω)R X ( i)r Z ( ω)r, R Z ( i) = 1 0 0 0 cos ( ω) sin ( ω) 0 sin ( ω) cos ( ω) Vzdálenost Slunce a komety je velikost vektoru souřadnic d SK = X kom e. 3.2 Poloha Země cos ( i) sin ( i) 0 sin ( i) cos ( i) 0 0 0 1 Poloha Země je vypočtena obdobně, jediným rozdílem je, že epocha k níž jsou vztaženy keplerovské elementy není epocha průchodu perihéliem. Střední anomálie je pak dána vztahem M = M 0 + n (t t 0 ), kde M 0 je střední anomálie v epoše, k níž jsou vztaženy keplerovské elementy dráhy. 4 Poloha komety a Země v heliocentrické rovníkové soustavě Transformace z ekliptikální do rovníkové soustavy byla provedena rotací kolem osy x o úhel ε (sklon ekliptiky) X r = R X ( ε)x e, kde R X ( ε) = 1 0 0 0 cos ( ε) sin ( ε) 0 sin ( ε) cos ( ε) Částečnou kontrolou výpočtu je porovnání délky mezi Sluncem a kometou resp. Sluncem a Zemí v ekliptikální a rovníkové soustavě. Délka musí zůstat stejná.
5 Poloha komety v geocentrické rovníkové soustavě S Změna počátku byla provedena odečtením vektoru souřadnic Země od vektoru souřadnic komety. X = X kom r X Zeme r, Z pravoúhlých souřadnic komety byla vyjádřena rektascenze a deklinace ( ) y α = atan ( ) z δ = asin X Vzdálenost Země a komety je velikost vektoru souřadnic. d ZK = X. 6 Elongace komety Elongace je úhel mezi kometou a Sluncem pozorovaný ze Země. Ten byl vypočten z pravidla pro skalární součin u v = u v cos θ. Elongaci lze tedy vyjádřit kde X Slunce = X Zeme r elongace = arccos x X kom X kom X Slunce XSlunce, je vektor souřadnic slunce v geocentrické rovníkové soustavě. 7 Poloha komety v geocentrické rovníkové soustavě S r1 Pravoúhlé souřadnice v soustavě S r1 byly získány rotací kolem osy z o úhel s (místní hvězdný čas). X r1 = R Z (s)x, kde Místní hvězdný čas R Z (s) = cos (s) sin (s) 0 sin (s) cos (s) 0 0 0 1 s = S 0 + (UT 1) (1 + μ) + λ, kde 1 + μ = 1.0027379093 je změna měřítka mezi hvězdným a slunečním časem. 8 Poloha komety v obzorníkové soustavě S o Pravoúhlé souřadnice v obzorníkové soustavě byly vypočteny rotací o úhel 90 φ (zeměpisná šířka stanoviska) X o = R x (90 φ)x r1, kde R Z (90 φ) = cos (90 φ) 0 sin (90 φ) 0 1 0 sin (90 φ) 0 cos (90 φ) Následně byl vyjádřen azimut a zenitová vzdálenost ( ) yo a = atan ( ) zo z = asin X o Průběh azimutu a zenitové vzdálenosti byl vynesen do grafů. Zároveň byl v grafu zenitové vzdálenosti znázorněn obzorník, aby bylo možné určit, kdy je kometa z daného stanoviska pozorovatelná. x o
9 Číselné výsledky SEČ d SK d ZK α δ z a elongace 0 h 1.38066 AU 2.29387 AU 21 h 33 m 59.509 s 6 47 04.915 57 30 50.714 348 31 48.309 19 34 38.058 1 h 1.38032 AU 2.29360 AU 21 h 34 m 06.994 s 6 46 37.532 57 04 03.574 6 15 22.235 19 34 08.180 2 h 1.37999 AU 2.29334 AU 21 h 34 m 14.480 s 6 46 10.129 59 32 25.951 23 33 06.320 19 33 38.330 3 h 1.37965 AU 2.29307 AU 21 h 34 m 21.968 s 6 45 42.707 64 34 03.708 39 27 21.617 19 33 08.506 4 h 1.37932 AU 2.29280 AU 21 h 34 m 29.459 s 6 45 15.266 71 32 57.426 53 40 16.790 19 32 38.710 5 h 1.37898 AU 2.29254 AU 21 h 34 m 36.951 s 6 44 47.805 79 52 34.321 66 26 35.935 19 32 08.941 6 h 1.37865 AU 2.29227 AU 21 h 34 m 44.446 s 6 44 20.325 89 01 51.267 78 16 28.555 19 31 39.199 7 h 1.37831 AU 2.29200 AU 21 h 34 m 51.942 s 6 43 52.826 98 35 00.917 89 45 20.653 19 31 09.484 8 h 1.37798 AU 2.29174 AU 21 h 34 m 59.440 s 6 43 25.307 108 08 31.458 101 31 43.776 19 30 39.796 9 h 1.37764 AU 2.29147 AU 21 h 35 m 06.941 s 6 42 57.769 117 16 58.253 114 19 04.305 19 30 10.136 10 h 1.37731 AU 2.29120 AU 21 h 35 m 14.443 s 6 42 30.212 125 28 02.921 128 56 49.794 19 29 40.503 11 h 1.37697 AU 2.29093 AU 21 h 35 m 21.947 s 6 42 02.635 131 57 39.158 146 11 46.775 19 29 10.896 12 h 1.37664 AU 2.29067 AU 21 h 35 m 29.454 s 6 41 35.039 135 50 51.884 166 14 02.816 19 28 41.317 13 h 1.37630 AU 2.29040 AU 21 h 35 m 36.962 s 6 41 07.423 136 20 40.004 187 47 08.457 19 28 11.765 14 h 1.37597 AU 2.29013 AU 21 h 35 m 44.472 s 6 40 39.788 133 19 59.307 208 26 26.310 19 27 42.240 15 h 1.37564 AU 2.28986 AU 21 h 35 m 51.984 s 6 40 12.134 127 27 43.130 226 29 24.030 19 27 12.743 16 h 1.37530 AU 2.28960 AU 21 h 35 m 59.498 s 6 39 44.461 119 39 24.691 241 46 23.591 19 26 43.272 17 h 1.37497 AU 2.28933 AU 21 h 36 m 07.014 s 6 39 16.768 110 42 45.300 254 58 49.695 19 26 13.829 18 h 1.37463 AU 2.28906 AU 21 h 36 m 14.533 s 6 38 49.056 101 12 52.576 266 57 03.890 19 25 44.412 19 h 1.37430 AU 2.28880 AU 21 h 36 m 22.053 s 6 38 21.325 91 36 31.111 278 26 17.479 19 25 15.023 20 h 1.37396 AU 2.28853 AU 21 h 36 m 29.575 s 6 37 53.574 82 17 13.967 290 06 10.666 19 24 45.661 21 h 1.37363 AU 2.28826 AU 21 h 36 m 37.099 s 6 37 25.804 73 39 46.423 302 33 05.203 19 24 16.326 22 h 1.37330 AU 2.28799 AU 21 h 36 m 44.625 s 6 36 58.015 66 13 31.274 316 19 28.273 19 23 47.019 23 h 1.37296 AU 2.28773 AU 21 h 36 m 52.153 s 6 36 30.206 60 33 49.410 331 46 15.326 19 23 17.738 24 h 1.37263 AU 2.28746 AU 21 h 36 m 59.683 s 6 36 02.378 57 18 06.827 348 46 37.273 19 22 48.485 Závěr: Z keplerovských elementů komety a Země v heliocentrickém ekliptikálním systému byly určeny obzorníkové souřadnice v průběhu daného dne. Souřadnice byly určovány v kroku jedné hodiny. Zároveň byly určeny i geocentrické rovníkové souřadnice, elongace, vzdálenost komety od Slunce a vzdálenost komety od Země. Obzorníkové souřadnice komety byly vyneseny do grafu a byla určena její viditelnost. Kometa je z daného místa pozorovatelná, pokud se nachází nad obzorem, tedy zenitová vzdálenost je menší než 90 resp. menší než cca 80. Je totiž nutné uvažovat rozdíl mezi obzorníkem a skutečným obzorem, zvláště pokud je na obzoru kopcovitý terén nebo zástavba. Z grafů je patrné, že kometa je pozorovatelná v noci a to přibližně do 6 hodin ráno a následně přibližně od 19 hodin. Maximální výšky nad obzorem dosahuje kometa mezi půlnocí a jednou hodinou SEČ. Výpočty byly provedeny v programu Octave. Zdrojový kód k výpočtům není přílohou technické zprávy (v případě potřeby bude zaslán). V Kralupech nad Vltavou 11.12.2010 Jan Dolista (so-cool@ehm.cz)