YZIKÁLNĚ A TVAROVĚ ORTOTROPNÍ SKY Pon sestavování vstupních fziálních dat u mostních stropních a záladových dese s různými průřez ve dvou vzájemně olmých směrech Prof. Ing. r. techn. Vladimír Kolář rsc. Copright: M consulting s.r.o. 99
Obsah ÚČL TXTU... MTOA... HLAVNÍ ZÁSAA ŘŠNÍ... 4 SLOŽKY NAPĚTÍ U YZIKÁLNĚ ORTOTROPNÍ SKY... 4 5 VNITŘNÍ SÍLY U YZIKÁLNĚ ORTOTROPNÍ SKY... 6 5. TCHNICKÁ TORI SK BZ VLIVU PŘÍČNÉHO SMYKU... 6 5. SKY S VLIVM PŘÍČNÉHO SMYKU... 9 6 TVAROVĚ ORTOTROPNÍ SKY... 6. HLAVNÍ ZÁSAY PŘVOU NA YZIKÁLNÍ ORTOTROPII... 6. JNOUCHÉ TYPY ORTOTROPNÍCH SK... 6.. nergeticá evivalence průřezových charateristi... 6.. Ohbové a routící moment... 5 6... esa bez příčné ontrace...5 6... es s příčnou ontrací...9 6.. Posouvající síl a reace... 6. SKY S VLIVM PŘÍČNÉHO SMYKU.... 4 6.4 KOMŮRKOVÉ PRŮŘZY... 7 6.4. Tlustostěnné omůrové průřez vlehčené des... 7 6.4. Tenostěnné omůrové průřez... 6.4. Srovnávací přílad... 6.5 ŽALUZIOVÉ SKY... 6.6 JINÉ TYPY SK... 5
ziálně a tvarově ortotropní des Účel tetu Účelem tetu je podat návod výpočtu těch vstupních údajů ortotropních dese teré charaterizují jejich fziální vlastnosti tj. ohbovou torsní a smovou tuhost. Tto vlastnosti jsou v programech popsán maticí fziálních onstant [ i ] taže jde v podstatě o výpočet jejich členů i. Metoda Předpoládá se řešení metodou onečných prvů v její nejužívanější deformační variantě s neznámými parametr deformace geometricé povah. Matice spojuje vzájemně určité staticé veličin σ (slož napětí nebo u dese jejich výslednice po průřezu tzv. vnitřní síl des) s příslušnými geometricými veličinami ε složami deformace nebo u dese s těmi derivacemi průhbové ploch w na nichž slož deformace závisí): () σ ε. Matice se může zadat pro aždý prve nebo supinu prvů zvlášť. Ta lze řešit des fziálně po prvcích nehomogenní nebo tvarově po prvcích proměnné čímž lze vjádřit dosti přibližně i spojitou proměnu u náběhu a pod. úprav. Protože tet má sloužit rchlé orientaci uživatelů je zpracován v zásadě bez odazů na literaturu. Hlavní zásada řešení Současné program a metod řešení ortotropních dese řeší v podstatě jen tzv. fziálně ortotropní desové (dvojrozměrné) ontinuum vplněné bod ve střednicové rovině des ( ) tj. v rovině z. Těleso reálné des je omezeno horním a dolním lícem z ± h/ je-li h tloušťa des případně proměnná tj. h (). Předpoládá se že hmotná normála střednicové rovině tj. např. bod o souřadnicích ( z) -h/ z h / zůstává i po průhbu des přímá nezřivená. V lasicé Kirchhofově teorii dese zůstává doonce olmá ohbové ploše des w ( ); respetujeme-li vliv příčného smu τ z τ z na úhlové změn γ z γ z pa je tato normála obecně natočená olem os a o úhl ϕ ( ) ϕ ( ). I v tomto obecnějším případě máme pro popis deformace desového ontinua (Boltzmannovsého u Kirchhofovsé des a Cosseratovsého u Mindlinovsé des) jen tři funce dvou proměnných () w ( ) ϕ ( ) ϕ ( ). U reálného trojrozměrného tělesa dané desové onstruce např. omůrového průřezu je deformace úplně popsána třemi funcemi tří proměnných () u ( z) v ( z) w ( z) z nichž lze odvodit taé úplný popis její napjatosti σ. Abchom mohli taové těleso řešit jao desu musíme zavést nějaé geometricé předpolad teré umožňují z funcí () zjistit funce (). Např. nejjednodušší Kirchhofův předpolad uvedený výše má tento tvar (obr. ):
ziálně a tvarově ortotropní des (4) w ( z) ϕ ϕ ( ) ( ) u ( z) v ( z) w ( ) w ( ) / w ( ) / w ( o) z w ( ) / z w ( ) / v w/ > ϕ ϕ u w/ > z w Obr. K popisu funcí () stačí tu jediná funce dvou proměnných w (). Z toho plne hlavní zásada řešení resp. převodu dané onstruce na desu a naopa vužití výsledů (tisů) zísaných desovým výpočtem pro dimenzování resp. posuzování dané onstruce. Mezi funcemi () a () musí být jednoznačná relace (nejjednodušší je tpu (4)). Potom už není problém stanovit obdobné relace mezi vnitřními silami případně napětím onstruce a jejího desového modelu. V podstatě jde ted o reduci trojrozměrné úloh na dvojrozměrnou. 4 Slož napětí u fziálně ortotropní des Pro stručnost se omezíme na nejčastější případ d souřadnicové os jsou zvolen v osách ortotropie což se vžd doporučuje pro zjednodušení zápisu. Záladem jsou obecné vztah mezi složami deformace a složami napětí v primárním tvaru ε - σ: (5) ε ε ε γ γ γ z z z a a a a a a a a a a 44 a 55 a 66 σ σ σ τ τ τ z z z Zavedeme tto tzv. technicé onstant: Tři modul pružnosti (Youngov): (6). a a a Tři smové modul pružnosti (Lamého): (7) G G G. a a a 44 55 66 Šest součinitelů příčné onstrace (Poissonov) i pomocí těchto vztahů: 4
ziálně a tvarově ortotropní des 5 (8) / a / a / a / a / a / a Identit plnou ze smetrie a i a i taže z devíti onstant tpu je jen šest vzájemně nezávislých což spolu se třemi onstantami G tvoří devět onstant tpu G teré jsou nutné a stačí popisu fziálních vlastností ortotropní lát uvažovaného tpu. Osám z přísluší inde. Součinitel i je roven poměrné příčné ontraci ve směru i při tahu σ ve směru. Inde u smových modulů lze zaměnit: G i G i. ziální záon (5) s technicými onstantami lze pro přehlednost rozepsat zvlášť pro normálné a smové slož ( tomuto rozpadu dojde jen v případě ortotropie): (5a) σ ε σ σ σ ε ε ε ε z z Matice - ε má v aždém řádu týž modul. Je smetricá taže se nezmění transpozicí. Lze ted zapsat též tvar se stejnými modul ve sloupcích: (5b). T z z σ ε σ σ σ ε ε ε ε V úvahách a výpočtech používáme vžd tvar terý je v daném případě výhodnější častější to bývá tvar (5a). U smových slože je matice fziálních onstant diagonální: (5c). G G G z z z z τ γ τ τ τ γ γ γ γ Je ted snadné zapsat i obrácený vztah: (5d) γ τ γ γ G G G
ziálně a tvarově ortotropní des 6 Obrácený vztah (5a) je v technicých onstantách méně přehledný; U ortotropních dese se vša značně zjednoduší protože se vjde ze záladního staticého předpoladu desové teorie: (5e) σ z ( z). V tomto případě se vztah (5a) rozpadne na dva jednodušší: (5f) σ σ ε ε (5g) [ ]. z σ σ ε Složu ε z můžeme považovat za nepodstatnou a z dalších úvah ji vnecháme což platí i pro ortotropii. Na rozdíl od isotropie lze doonce definovat materiál s nenulovou příčnou ontrací v rovině ( ) ale s nulovými nebo s a splnit přesně podmínu ε z při σ z. Nemá to vša praticý výnam. Vztah (5f) lze již snadno invertovat čímž dospíváme úplné relaci σ ε tpu (5) (55) (5) mající u dese tvar (9) uspořádáme-li slož ta ja je to u dese účelné: (9) γ γ γ ε ε τ τ τ σ σ z z z z. G G G 5 Vnitřní síl u fziálně ortotropní des 5. Technicá teorie dese bez vlivu příčného smu Jde o tzv. lasicou Kirchhofovu teorii tených dese založenou na vztazích (4) a platnou orientačně v mezích () C c L w m (). 5 L h de značí:
ziálně a tvarově ortotropní des w m h L - etrémní průhb des - tloušťu des - charateristicý půdorsný rozměr des L průměr ruhové des L menší strana obdélníové či osodélníové des apod. Násled nesplnění (): Ve střednicové rovině des začnou vzniat podstatná napětí desové napjatosti se přičítá stěnová (rovinná) napjatost. Jde o des s velými průhb geometric nelineární. V limitě h vzniají jen tahová napětí desa přechází v taženou membránu (fólie pneumaticých staveb prostorová geometric nelineární úloha). Násled nesplnění (): Pro h > L/5 nastává přechod tlustým desám s výrazným vlivem příčného smu na celovou energii deformaci a napjatost des viz odst. 5. a 6.. Při platnosti () () zavedeme tto vnitřní síl: Ohbové moment (inde směr výztuže) v [Nm/m]: () M σ z d z M σ z d z. Kroutící moment v [Nm/m]: () M M τ z d z. Posouvající síl v [N/m]: (4) T τ d z T τ d z. z z Integruje se po tloušťce des v intervalu h/ z h/. S použitím hpotéz (4) geometricých vztahů (5) ε u / ε v / γ u / + v / z fziální vazb (9) a podmíne momentové rovnováh prvu des olem os a vjde vztah () ve tvaru: (6) M M M T T w w w. w w w w s těmito člen matice tuhosti : Ohbové tuhosti: 7
ziálně a tvarově ortotropní des h h (7). ( ) ( ) Kontrační tuhost: (8) Torsní tuhost: h (9) G. Smíšená tuhost: () +. + Celem potřebujeme pro matici pět údajů: h G druhý součinitel příčné ontrace ve směru při roztažení ve směru je (). Tento počet lze snížit na čtři jestliže předpoládáme že pro smový modul G platí obdobná relace jao u isotropie viz dále (9) ale pro geometricé průměr (jiné odvození podal již M.T. Huber): () G. ( + Pa není torsní tuhost nezávislou onstantou ale je podle (9) a (7) () ( ) což lze pomocí () zapsat též v těchto tvarech: (4) ( ( ) ). Výraz () je součinitelem při smíšené derivaci v záladní desové rovnici (5) w + w + w p a je směrodatný pro tzv. druh ortotropie určený onstantou 8
ziálně a tvarově ortotropní des (6) κ. Ve stavební prai je obvlý taé druh ( κ < ) nebo i. druh ( κ ) terý lze reduovat na isotropní řešení.. druh (κ > ) se může vstnout jen vzácně u ocelových dese s torsně tuhými uzavřenými žebr. Konstantu ortotropie κ lze u něterých druhů dese považovat za primární pratic ověřený údaj terý reprez entuje smíšenou tuhost des. Potom e z () a () určit ontrační tuhost ve tvaru (7) ( κ + ). V běžném případě κ je (8) (isotropie ). κ Reace des Q Q jsou rovn posouvajícím silám T T (ta jao u nosníů) jen dž jsou na oraji routící moment M nulové (např. na doonale vetnutém oraji). Obecně (např. na prostě podepřeném oraji) nutno přičíst doplně od roucení: (9) Q T + M / m m mn n de m n je buď nebo nebo libovolný jiný směr oraje n s normálou m. Nejsou-li programem reace tištěn vpočtou se z tištěných hodnot při čemž derivace se zjistí přibližně ze dvou sousedních hodnot např. ve sledu evidistantních hraničních bodů při rou d: () Q () T () + [M () M ()]: d 5. es s vlivem příčného smu V lasicé teorii dese podle předešlého odst. se neuplatní smové modul G G z (9) protože posouvající síl (4) se zjišťují z podmíne momentové rovnováh prvu což vede na poslední dva řád matice (6). U tlustých dese přibližně v rozsahu () L / 5 < h < L dochází e zosení γ pravého úhlu mezi hmotnou normálou a střednicovou rovinou vlivem příčného smu τ a z hpotéz (4) odpadne. a. řáde. Máme pa tři nezávislé funce w z τ z ϕ ϕ podle (). V tomto případě se uplatní vztah () γ γ z z w w + ϕ ϕ a 4. a 5. řáde matice (9) taže místo matice (6) pracujeme s maticí: 9
ziálně a tvarově ortotropní des () M M M T T 44 55 w w w w + ϕ w ϕ s novými člen teré v nejjednodušším případě onstantního příčného smu po tloušťce des h mají tvar: (4) G h G h 44 55 taže pěti údajům h G přistupují dva další: G G celem sedm údajů pro výpočet vstupních dat. 6 Tvarově ortotropní des 6. Hlavní zásad převodu na fziální ortotropii Něteré mostní stropní záladové aj. onstruce se podobají desám ve smslu hpotéz () tj. jejich celová tloušťa h je malá vzhledem půdorsným rozměrům L. Při tom vša jde o tělesa obecnějšího tvaru např. žebrované des žaluziové des z prefabriátů des vlehčené omůrami des s různou měou i tuhou výztuží např. se zabetonovanými I nosní vlnov příhradové des apod. Jen velmi zřída je celová ohbová tuhost těchto útvarů v podélném směru i příčném směru stejná zpravidla se tto tuhosti značně až řádově liší a to ne vlivem různých modulů ale vlivem různého průřezu rovinami onstanta. Jde ted o tvarově (ne fziálně) ortotropní des ve smslu tvarové resp. technicé ortotropie. Pro všetření globálního chování těchto dese (bez detailní analýz napětí v oolí static geometric či fziálně singulárních bodů aj. nepravidelností způsobených sutečnou prostorovou povahou útvaru) lze použít metod a programů zpracovaných pro fziálně ortotropní des za těchto předpoladů: a) Z desové ohbové ploch w (nebo ze tří funcí () u dese s vlivem smu) musí být jednoznačně odvoditelné slož posunutí u v w () v celém řešeném útvaru ted taé jeho slož deformace ε a napětí σ případně vnitřní síl působící na řez libovolné jeho části. K tomu je nutno zavést vhodné geometricé hpotéz jao bla např. (4) ověřené co do výstižnosti různými úvahami eperimentálně praticými zušenostmi apod. b) Na záladě hpotéz a) nutno jednoznačně pro aždý tp tvarově ortotropní des stanovit: b) VSTUP: Konstant i v matici fziálních onstant u fziálně ortotropní des terá nahradí ve výpočtu danou desu. b) VÝSTUP: Způsob dalšího vužití tisů vnitřních sil náhradní fziálně ortotropní des pro dimenzování a posuzování dané tvarově ortotropní des tj. jaé vnitřní síl resp. napětí v dané desce vzniají. Přesná analýza splnění předpoladů a) a výstižnosti resp. technicé upotřebitelnosti výsledů b vžadovala porovnání s přesným prostorovým řešením sutečné onstruce alespoň v něolia tpicých resp. limitních případech nebo se spolehlivým eperimentálním měřením.
ziálně a tvarově ortotropní des Toto je dispozici jen u něterých případů např. u ocelových dese s žebr apod.; pa se ve vstupech b ) pracuje s podrobnějšími údaji o sladbě průřezu des. Většinou vša taová analýza není provedena a e srovnání může sloužit jen nějaá opět přibližná metoda např. u omůrových průřezů dese což ovšem není průazem protože není spolehlivě známa odchla od eatního řešení. Vzhledem řadě fatorů ovlivňujících vlastnosti stavebních onstrucí lze pro přibližné výpočt aceptovat něteré osvědčené formule teré dále doplníme novějšími úvahami zejména poud jde o torzní tuhost. 6. Jednoduché tp ortotropních dese 6.. nergeticá evivalence průřezových charateristi V odst. 6. probereme des u nich lze zanedbat vliv příčného smu a teré v celém rozsahu splňují lasicou Kirchhofovu hpotézu (4). Pratic jde o běžné nepříliš tlusté des teré jsou žebrován zvlněn či jina vztužen ve dvou směrech shodných se zvolenými směr souřadnic (např. [] str.7 obr.9). Při převodu na fziálně ortotropní desu tj. při výpočtu onstant i v matici tuhosti (6) nutno dodržet zásadu evivalence potenciální energie vnitřních sil sutečného a náhradního tělesa. U probíraných dese je to výraz tvaru (5) Π i [ M ( w ) M ( w ) M ( w ) M ( w )]dd + + + což je integrál ze součinů vjadřujících jen práci momentů (obdobně jao u štíhlého ohýbaného a rouceného prutu) na řivostech teré jsou při malých průhbech w vjádřen druhými derivacemi. Při řešení náhradní des MKP bude všude (nebo s výjimou útvarů o nulové plošné míře). smíšená derivace spojitá a platí rovnost (6) w w. Stejně ta bude v náhradní desce platit věta o vzájemnosti routicích momentů: (7) M M taže (9) se zjednodušuje na tvar: (8) Π i [ M ( w ) + M ( w ) + M ( w ) ] dd.
ziálně a tvarově ortotropní des T M M w M M T T M + d M w M + d M M + d M w T M + d M z w w Obr. Kladný smsl všech veličin je zobrazen na obr.. Srovnávací hladinou (Π i ) je prvotní nedeformovaný stav. Π i je vžd ladná. Mějme nní sstém dvou osnov prutů souběžných s osou a s ohbovými tuhostmi ( J) ( J) torsními tuhostmi (GJ ) (G J ) vazující ohbové řivosti κ w κ w a poměrné zroucení ϑ ϑ. Potenciální energie ohbových a routicích momentů tohoto sstému je (9) Π i ( J) κ + ( J) κ + (G J ) ϑ + (G J ) ϑ ds. Porovnáním (9) a (5) plnou zatím jen formálně tto vztah pro pruh des jednotové šíř d nebo d : (4) M M ( J) M w (GJ ) ϑ M M ( J) M w (GJ ) ϑ Protože v ompatní desce nemůže volně probíhat příčná ontrace a dilatace průřezů prvů (obr. ) u w z w SKA NOSNÍK M M Obr.
ziálně a tvarově ortotropní des jsou pruh des ohbově poněud tužší než nosní. To lze zahrnout do hmot modulu pružnosti taže např. u izotropní des pracujeme s modulem i (4) což vjde z přesných vztahů mezi σ a ε. ále je z obr. patrno že příčné ontraci průřezu zabrání u dese jisté příčné moment M. Např. u izotropních dese při ohbu moment M do válcové ploch w () vzninou příčné moment (4) M M M a obdobně při ohbu M do ploch w (): (4) M M M. Tento efet zmizí u materiálu bez příčné ontrace ( ). Prozoumejme čemu vedou formální vztah (4) až (4) u izotropní des tloušť h<< taže je (44) J J h J J h. Vužijme taé známou relaci pro smový modul (45) G ( + ) a označme známou desovou onstantu h (46). ( ) ostaneme vztah mezi moment a řivostmi (47) ) ) M M (w (w + w + w ) ) teré plně souhlasí se vztah odvozenými z hpotéz (4). ále uvažme podle obr. 4 že celové zroucení ϑ (přesněji torsní řivost) prvu des ovlivňují oba pár zrucujících momentů taže je (48) ϑ ϑ +. ϑ
ziálně a tvarově ortotropní des z M z w w M w w +w M d ϑ w d M + M ϑ w d M M ϑ ϑ ϑ w d M Obr. 4 V desce je spojitá smíšená derivace w w ϑ (viz též obr. ) prve des je zdeformován do zborcené přímové ploch tpu hperbolicého paraboloidu w ( ) ϑ d d d v loálních souřadnicích s počátem ve středu prvu taže v rozích ± ± vchází w ± w. Podle (4) platí pa obecně vztah (49) ϑ w M (GJ ) M + (GJ ) a u izotropních dese při (5) M w M M GJ M M M (GJ GJ ) w (GJ. ) GJ : Po dosazení podle (44) a (45) znásobení jednotou ve tvaru (+) (-) (- ) dostaneme a vužití vztahu (5) h ( ) h M w ( ) w ( ) w ( + ) ( ) ( ) což je stejný vzorec jaý vchází přesným postupem (integrací τ ) z hpotéz (4). Nosníová úvaha o fziálních onstantách des vede ted na správnou matici tuhosti izotropní des. Můžeme ji podle (6) nebo () (47) a (5) zapsat ve tvaru obvlém v MKP: M w (5) M w. M w 4
ziálně a tvarově ortotropní des Lze ted očeávat že taová úvaha nebude principiálně tj. co do podmíne rovnováh a spojitosti závadná ani u jednoduchých dese tvarově ortotropních což taé potvrzují dosavadní zušenosti z eperimentů a prae. 6.. Ohbové a routící moment Tto veličin mají u dese rozměr síl nebo výstižněji síl dél na jednotu šíř řezu desou. V hlavních jednotách SI je to N (newton) nebo Nm/m (newtometr na metr šíř). Převod na dříve užívané jednot: p 98665 N N Mp 4 N N Všechn průřezové charateristi J J J J nutno počítat buď pro jednotu šíř řezu nebo pro jinou šířu řezu b např. vzdálenost žeber nebo rozměr prvu dělení a pa šířou b výslede dělit. Rozměr J vjde ted v [m ]. 6... esa bez příčné ontrace Sem patří pratic všechn žebrované des s otevřeným žebrováním (ne omůrové) protože ohbová tuhost je u nich převážně ovlivněna žebr a ta se vzájemně příčně neovlivňují žádnou spojitou ontrací. Taé u železobetonových dese se slabým žebrováním zejména po vzniu vlasových trhline v tažené části betonu je tzv. efetivní hodnota velmi malá (např.) a výpočt při výstižné. Matice fziálních onstant je pa diagonálníprotože viz (8). Zbývá ted určit jen. Prvé dvě ohbové onstant jsou celem nesporné a podle (4) je vpočteme ze vzorců (5) (J) (J) [Nm]. Vzorce zahrnují i případnou různost [Nm - ]. J J z [m ] se vztahují na jednotu šíř řezů rovinami onstanta onstanta. Pro nejčastější případ a při výpočtu J b J b [m 4 ] pro žebra s určitou spolupůsobící šířou b b des. J J b b (54). b b Je-li desa tloušť h žebrovaná jen ve směru je (55) h Za spolupůsobící šířu b b lze vzít u běžných betonových dese s žebr ve směru i v pro účel tohoto výpočtu pratic vžd plnou vzdálenost podle obr. 5a. 5
ziálně a tvarově ortotropní des a) b b b b b) b b b b I I I I Obr. 5 Jen u tených dese např. u ocelových ortotropních mostove projeví se výrazněji snížení b b podle platných norem (obr. 5b). Nutno vša přihlédnout e sutečné povaze zatížení des aj. oolnostem a neapliovat normový vzorec platný spíše pro zjišťování napětí ne náhradní ohbovou tuhost. V nejistých případech b b se doporučuje zvláštní onzultace s autorem tohoto návodu. Třetí onstanta torzní je problematičtější ale ve většině případů se lze spoojit s výrazem plnoucím při z (4). (56) terý pro isotropii a přejde ve správnou hodnotu viz (5). Tomu pa přísluší v tisu výsledů jeden routící moment M M náhradní fziálně ortotropní des (57) M M w w. Rovnost M M je důslede vět o vzájemnosti smových napětí τ τ (obr. 6a) terá musí na svislé hraně prvu des platit i u tvarově ortotropních dese ale obecně u nich neimpliuje rovnost routících momentů ja plne názorně z obr. 6b. Kroutící moment se zísají z tou smových napětí integrací po průřezu rovinami onstanta a onstanta: (58) M τ r d n. w (59) M τ n r d. w. K přesné apliaci vzorců (58 a 59) bchom museli znát přesný průběh smového tou po průřezech dané tvarově ortotropní des. To je dosti obtížná prostorová úloha terá b vžadovala značně náročnou apliaci MKP. Proto uveďme nejprve přibližný technicý výpočet vcházející z odhadu torzních tuhostí pruhů des jao nosníů v roštu bez ontinuální souvislosti. Protože w je u des spojitá funce platí w w (obr. 6c) a srovnávací nosní mají týž poměrný úhel zroucení taže je poměr momentů (58) a (59). 6
ziálně a tvarově ortotropní des M (6) (GJ ). M (GJ ) Mezi momentem (57) a moment (58) (59) zaveďme součtový vztah terý není v rozporu s isotropním případem; plne porovnáním výrazů pro energii (5) a (8) při spojité smíšené derivaci funce w d musí platit w w : a) z b) τ n τ n τ τ M M τ τ M M M M c) GJ w w GJ Obr. 6 7
ziálně a tvarově ortotropní des (6) M + M M. Tím dospějeme těmto hodnotám: (GJ (GJ ) ) (6) M M M M. (GJ ) + (GJ ) (GJ ) + (GJ ) osaďme (6) do vzorce (49); dostaneme vztah w (GJ ) 4M + (GJ ) Porovnáním se vzorcem (57) w M vchází vztah podle něhož budeme počítat vstupní údaj tj. torzní tuhost náhradní fziálně ortotropní des. (6) [(GJ ) + (GJ ) ]. 8 Veličin J [m ] se vztahují na jednotovou šířu řezu. Zpravidla se počítají pro jinou vhodnou šířu (prutový průřez) b taže je pa J J b [m 4 ] : b [m]. Nedostatem tohoto postupu je sutečnost že v desce nemůže dojít čistému Saint Venantovsému roucení pruhů ve směru a neboť: a) plášť těchto pruhů nemá všude nulové povrchové smové napětí (na svislých stěnách pláště je τ b) průřez pruhů nemohou volně deplanovat. U slabších dese se silnějšími žebr nevzniají příliš velé odchl. V jiných případech je postup přijatelný je-li všude M M M.Poud bchom veličin J počítali na záladě správného smového tou (58) (59) bude postup vžd přijatelný.mimořádné případ např.des se zabetonovanými I nosní apod. odazujeme na speciální onsultace. Pro přibližné výpočt běžných onstrucí stačí použít pro vzorec (56) terý nevžaduje zjišťování torzních tuhostí. Lze doázat že ja vzorec (56) ta i pozdější vzorec (7) pro des s příčnou ontrací jsou v případě isotropní des identicé se vzorcem (6) viz úvaha v odst. 6. za vzorcem (44). Obecně platí podle (6) (6a) ( + ) a v našem zjednodušení je (GJ ) (GJ ). 4 4 8
ziálně a tvarově ortotropní des Připomeňme ještě že první inde při τ i M značí vžd plochu (řez onstanta) na niž τ či M působí. Moment M zrucuje ted pruh des rovnoběžné s osou moment M pruh rovnoběžné s osou. Viz též obr. 4 de je patrný ladný smsl těchto momentů. va zvláštní případ vzorců (6) : a) esa se stejnou torzní tuhostí ve směru i tj. J J má M M M tištěná hodnota routícího momentu. b) esa s výraznou torzní tuhostí jen v jednom směru způsobenou např. silnými torzně tuhými žebr v jediném směru označme jej. Je charaterizována silnou nerovností J J. U taové des postnou vzorce (6) a (6) hodnot M M M taže routící moment ve směru je dvojnásobe tištěného momentu a ve směru je nulový. Sutečný stav je mezi limitami tpu a) b). Poud jde o tzv. dimenzovací moment teré jsou v tiscích obsažen hodnotami (64) dim M (sign. )( M + M ) M dim M (sign. )( M + M ) M Nutno uvážit že je sice M M M M (inde značí stále fziálně ortotropní desu na níž vlastně celý výpočet probíhá) ale M je jen formální hodnota. Použití veličin (64) je ted vhodné pro případ blížící se limitě tpu a). Jina b bla na místě orece ve smslu vzorců (6) či (6). 6... es s příčnou ontrací. Součinitelům příčné ontrace u tvarově ortotropních dese lze podle (6) až (8) přisoudit tento názorný význam (obr.7) : 9
ziálně a tvarově ortotropní des z w a) M M M w () M M M b) M M w ( ) M c) M M M w () M M Obr. 7
ziálně a tvarově ortotropní des Zdeformujme prve des na obr. 7a do tvaru příslušného válcové ploše w() s onstantní řivostí w. Pa je w a podle (6) jsou tomu potřebné moment. (65) M - w M - w M. Kdbchom zatěžovali prve pouze moment M vznil b stav podle obr.7b protože ze.řádu (6) plne při M podmína w + w taže b se prve zařivil taé ve směru a to onstantní řivostí w - w / - w. K vvolání téže řivosti w b stačil menší moment M - (- ) w. Podobně je vvození válcového ohbu prvu w() ve směru (obr.7c) zapotřebí momentů (66) M - w M - w M. V případě zatížení pouhými moment M tj. při M vznine podle. řádu (6) nenulová řivost w - w / - w a pro vzni téže w stačí menší moment M - (- ) w. Lze ted pro tvarově ortotropní des zavést tuto definici součinitelů příčné ontrace: Součinitel je číselně roven momentu M terým je třeba zatížit stran onstanta prvu zatíženého momentem M na stranách onstanta ab se prve ohnul do válcové ploch w (). Součinitel je pa obdobně hodnota M na stranách onstanta prvu zatíženého momentem M na stranách onstanta a ohnutého do válcové ploch w (). Snadno lze ověřit že tato definice je u fziálně ortotropních dese rovnocenná původní definici (8) a u izotropních dese vede na známé. Současně je při této definici patrno že má-li onstruce povahu silného roštu se slabou desou je pratic a jsou přípustné vzorce odst.6.. Mawell-Bettiho věta u tvarově ortotropních dese: Zatížíme-li prve des jen moment M vzninou řivosti w - / ( - ) (67) w + / (- ). Zatížíme-li jen moment M budou řivosti w - / (- ) (68) w + / (- ). Při malých průhbech jsou poloměr řivosti R / w R / w. Vztahujeme-li moment na jednotu šíř tj. uvažujeme-li o prvu se stranami b b Y pa jsou úhl vzájemného natočení původně rovnoběžných svislých stěn prvu α b / R w XX β b / R w. Mawell-Bettiho věta α β vede na rovnost (67) (68) tj.
ziálně a tvarově ortotropní des (69) terá je identicá s rovností (8) u fziálně ortotropních dese. Tam bla ovšem důsledem obecně platné smetrie fziálních onstant (8) terá plne přímo z požadavu ab potencionální energie vnitřních sil tělesa bla homogenní vadraticou funcí slože napětí nebo slože deformace. Taé u tvarově ortotropních dese nutno ted dbát ab bla splněna relace (69). Zjistíme-li nějaou technicou úvahou nebo eperimentálně např. součinitel pro stav na obr.7a je tím již určen i druhý součinitel ( pro stav na obr.7c): (7). Splnění této relace nevede u technicých materiálů chovající se jao fziálně ortotropní (přeliž slolaminát apod.) na velé hodnot. Např. pro určitý druh lisovaných přeliže je 5 ; ; ; 467 nebo u jedné řížem lepené přeliž se zjistilo ; 55 ; 7. 6 U tvarově ortotropních dese se v prai může vstnout velý poměr / řádově až. Zpravidla se vša zjistí že je při tom součinitel velmi malý taže nepřesáhne 5 až. Vzhledem definici pomocí ohbových momentů (obr.7) nejsou teoretic na závadu hodnot větší než 5 nebo i větší než. Nejde vlastně o žádné fziální součinitele ontrace teré b bl limitován objemovými změnami lát. V reálných případech při správné úvaze o příčných momentech se vša taové hodnot málod vstnou. Protože zjištění sutečného součinitele nebo může být samo o sobě dost složitým problémem používají se v prai pro tzv. nediagonální tuhostní člen jednoduché přibližné vzorce teré neobsahují tto součinitele ale jen součinitel isotropního materiálu z něhož je desa zhotovena ted např. 5 pro beton nebo pro ocel. U žebrovaných a omůrových dese lze užít zjednodušeného vzorce (8) : (7) nebo obdobného vzorce (7) terý vša dává ladné jen pro γ + což např. limituje jeho použití u betonu na případ 85 γ teré jsou ale právě dosti časté. Podobně se místo (56) použije zjednodušený vzorec () : (7) a do vzorců (5) až (55) se dosazuje zvětšený modul pružnosti (4) což představuje u betonu zvětšení o 5% a u oceli o 9% ted celem malé. Pro vužití tisů M platí závěr z předešlého odstavce 6.. Poznáma střednicové rovině des :
ziálně a tvarově ortotropní des Ja je patrno z předchozích obrázů leží obecně těžiště řezů onstanta v jiné vzdálenosti e. Vzniá ted e od horních vláen des než těžiště řezů onstanta ( ) otáza de je střednicová rovina des. Tato otáza zmizí uvážíme-li že počítáme s dvojrozměrným desovým ontinuem v němž e patří vlastně do fziálních vlastností. Závažnější je chba terá vzniá u dese se značně rozdílným žebrováním zanedbáním vlastní t rovinné tuhosti horní des resp. plochu tloušť t. Pro tto případ se osvědčil ( ) Gienceho vzorec pro smíšenou tuhost () + (7) C + ee + ( e + e ) 4 vcházející z celové torzní tuhosti des e (74) t C ( ) + ( GJ ) + GJ ) (. Odtud lze určit onstantu ortotropie (6); viz [ ] str. 8 6.. Posouvající síl a reace Posouvající síl plnou z podmíne momentové rovnováh prvu des olem os a (obr. ) : M M (75) T + M M Y (76) T +. Po dosazení (6) (58) (59) : (77) T [ ( w + w ) + (. w ) ] w ( ) w + (78) T [( w + w ) + (. w ) ] w ( ) w. + Porovnáme-li to se 4. a 5. řádem matice (6) u fziálně ortotopních dese vidíme že místo smíšené tuhosti podle () je nní ve 4. řádu člen (79) + a v 5. řádu člen (8) +.
ziálně a tvarově ortotropní des V záladní desové rovnici (5) terá je podmínou svislé rovnováh prvu des T T + + p a zároveň ulerovou diferenciální rovnicí variační desové úloh vznine apliací (79) a (8) místo výraz ( + ) taže pro zjištění výpočtové hodnot platí relace (8) ( + ). Přibližně (viz 6a) je ( GJ ) ( GJ ). 4 4 Program pro fziálně ortotropní des počítají ovšem T a T podle matice (6). Hodnot platné pro tvarově ortotropní desu lze z nich zjistit jen dosti složitým přepočtem. Máme-li již zjištěn routící moment M a M možno tento výpočet ontrolovat přímo podle (75) a (76). V obou případech se derivace nahrazují diferencemi hodnot v přilehlých uzlech dělení dané des na onečné prv taže úplné shodě nemůže dojít. Ve většině rozsahu půdorsu u běžných dese převládají první člen (75)(76) nad druhými a mimoto není rozdíl (79) (8) oproti () příliš velý taže je možno hodnot T T použít orientačnímu dimenzování na sm. Reace des se počítají podle (9) nebo () taé u tvarově ortotropních dese. 6. es s vlivem příčného smu. Jde o obdobu rátých nebo vsoých apod. nosníů u nichž nelze zanedbat vliv posouvajících sil T na deformaci protože je řádově stejný jao vliv momentů M. To ovlivňuje tvar ohbové čár w() a tím i hodnot všech static neurčitých veličin např. podporových momentů teré jsou směrodatné pro dimenzování. Současné program jsou sestaven pro fziálně ortotropní des podle odst.5. s maticí fziálních onstant () a možností rozšíření na plnou matici tpu (55) při obecné anizotropii. Proto je nutné tvarově ortotropní desu nejprve převést na fziálně ortotropní tj. stanovit onstant i v matici (). Pro onstant platí pon z odst.6.. Zbývá ted určit onstant 44 a 55 ve vztazích (8) T 44 γ z T 55γ z mezi posouvajícími silami a příčnými smovými složami deformace γ tj. změnami pravých úhlů mezi hmotnou normálou střednicové rovin des po jejím přechodu do ohbové ploch w() viz. obr.8. Tto deformace () jsou nulové jen dž w ϕ ϕ (viz znaménová dohoda obr. a 8) tj. dž platí Kirchhofova hpotéza (4). Nejjednodušší vzorce dostaneme předpoládáme-li že příčné smové napětí τ z τ z je rovnoměrně rozloženo po průřezové ploše řezů šíř b rovinami onstanta a onstanta. Pro žebrovanou desu na obr. 8 je (8). b b w 4
ziálně a tvarově ortotropní des Obr. 8 V tom případě je T τ z T τ z a při modulu pružnosti ve smu G stejném v obou směrech je (84) 44 G 55 G Jestliže v něterém nebo obou směrech nejsou žádná žebra a tloušťa des je h pa je v tom směru (85) h h taže při řešení isotropní tlusté des je (86) 44 55 Gh. Tto vzorce stačí pro odhad veliosti smového napětí a smové výztuže v betonu. Pro podrobnější analýzu je třeba vcházet ze sutečného průběhu smového napětí τ z (z) τ z (z) v intervalu -h z h je-li h + h h tloušťa des a h h vzdálenosti rajních vláen od těžiště průřezu. U tvarově ortotropních dese lze vcházet ze známého vzorce Grashof Žuravsého (s desovými inde) ( z) T S (87) τ z (z) J η(z) a obdobně pro τ z de η(z) je šířa průřezu v místě daném souřadnicí z a S(z) je staticý moment části průřezu nad touto šířou vodorovné těžištní ose (obr.9). Tento vzorec vede u T obdélníového průřezu šíř η na průběh τ z (z) podle parabol.stupně s maimem h v těžišti. 5
ziálně a tvarově ortotropní des Týž průběh dostaneme u izotropních dese v Kirchofovsé teorii (4) z přesných Cauchho rovnic rovnováh taže se lze domnívat že apliace (87) u tvarově ortotropních dese bude dosti výstižná. Nerovnoměrně rozdělené smové napětí τ z (z) τ z (z) způsobí smové deformace γ z (z) γ z (z) nerovnoměrně rozdělené po tloušťce des. Poud zavedeme předpolad tuhé normál (obr.8) je důsledem onstantní γ z γ z ted i τ z τ z taže jsou oprávněn vzorce (8)-(86). Vcházíme-li z přesnějšího průběhu (87) a chceme dodržet postup MKP musíme zjistit vztah mezi T T a hodnotami γ z γ z teré jsou na z nezávislé a reprezentují úhlové změn ve smslu evivalence potencionální energie vnitřních sil. Pro tvarově ortotropní des vjdeme opět z prutové úvah : V prvu prutu dél l v němž působí onstantní síla T se nahromadí potencionální energie : Obr. 9 π i l (τ z γ z + τ γ )d osadíme-li sem podle Grashofov hpotéz τ z (87) a τ (z) τ z (z) tg η ϕ( z) ( z) a podle Hooeova záona γ zτ G z γ τ G vjde lt π i GJ S 4η ( z) ( z) ( z) tg ϕ ( ) d. z + η 6
ziálně a tvarově ortotropní des Zaveďme obvlý tvar výrazu pro energii s opravným součinitelem β vjadřujícím proměnnost τ po průřezu T (88) π i l β G (89) β 4J S η ( z) ( z) tg + η ϕ( z) ( z) ddz. Napišme energii (88) ve tvaru polovičního součinu síl T a dráh w T (obr.9) : π i T w T w T βt G l γ z l. Pa je patrno že onstantní úhlová změna energetic evivalentní proměnným γ z (z) je ted γ z T β G T G γ β z. Místo vzorců (84) platných pro onstantní τ z po celém průřezu lze ted počítat s těmito člen matice fziálních onstant : (9) 44 G 55 G β β X Y de inde při β upozorňují že β může být různé pro řez onstanta a onstanta. 6.4 Komůrové průřez 6.4. Tlustostěnné omůrové průřez vlehčené des. esa vlehčená dutinami v jednom směru průběžně probíhajícími (označme jej ) může být počítána jao tvarově ortotropní desa s příčnou ontrací a platí pro ni vzorce odst. 6.. Předpoladem je že stěn omůrových průřezů jsou dosti silné. Jejich tloušťa t i (může být i proměnná) b měla řádově splňovat nerovnost h (9) t i je-li h celová tloušťa des. Jsou-li svislé stěn dostatečně tlusté ( poměr b s / b / ) lze zanedbat vliv posouvajících sil na deformaci des a použít těchto vzorců z odst.6. výpočtu matice fziálních onstant (obr.) : 7
ziálně a tvarově ortotropní des (9) J b J b ( ). Průřez : Obdélní (desa bez žeber) Plný ruh a přibližně i pro plný n úhelní ( n 6 ) Kružnice tenostěnné ruhové prstence a přibližně n úhelní ( n 6 ) Ocelové I č.8 až 45 Betonové profil tpu I T apod. s plochou a plochou stojin s přibližně β 6/5 /7 (TP ) / 9 (ROARK) 8 až / s Průřez I apod. při součtu tlouště svislých stěn t a poloměru setrvačnosti neutrální ose r : t t + t 4er r e e e ( e ) e e Σ t Hodnota J se spočítá pro řez onstanta jednotové šíř vedený nejslabší částí vodorovných stěn truhlíů. 8
ziálně a tvarově ortotropní des Obr. Hodnot J b se počítají pro I průřez v němž šířa přírub b je vžd vzdálenost mezi svislými osami omůre. Při nestejných omůrách vzninou i nesmetricé I průřez. J b se ale vžd vztahuje vodorovné těžištní ose. Poud jde o různost výš těžišť řezů onstanta a onstanta viz pozn. na onci odst. 6. není podstatná. K výpočtu torzního členu lze použít též vzorce (6) : 8 [( GJ ) ( GJ ) ] + Uvážíme-li připomín uvedené v odst. 6. za tímto vzorcem. V podstatě jde o to že rozdíl mezi hodnotami J J plnoucími ze Saint Venantovsé torze prutů a hodnotami J J teré přísluší sutečným smovým toům podle (58) (59) jsou u omůrových průřezů ještě výraznější než u dese s otevřenými žebr (obr.6b). Na obr. jsou šipami s rouž znázorněn smové to ja přibližně vzninou vlivem nutnosti dodržet vzájemnost τ. V uzavřených omůrách τ s dosti silnými svislými stěnami se může vvinout cirulace smu a příslušný J z prutového výpočtu bude vcelu výstižný. V horní a dolní části průřezu onstanta bude vša oběh analogicý obr.6b silně potlačen a zhruba zde bude routící moment dán dvojicí vodorovných sil V na rameně h o. ále záleží na tom má-li desa příčná diafragmata a v jaé vzdálenosti protože se v jejich oolí opět mění smový to. Jsou-li dosti hustě rozmístěna vzninou vlastně v řezech onstanta opět omůrové průřez a jejich J vztažený na jednotu šíř bude pro výpočet směrodatný. 9
ziálně a tvarově ortotropní des 6.4. Tenostěnné omůrové průřez Přibližně je lze počítat jao des s vlivem příčného smu při čemž použijeme těchto vstupních údajů vplývajících srovnáním s upravenými vzorci V.Křísta : J a (9) a de J a je moment setrvačnosti I průřezu o šířce a (obr.) mezi osami omůre. Může být ovšem po prvcích proměnný tj. omůr nestejné. Tuhost není tím příliš nadhodnocena protože vliv stojin na J a je malý. Podobně je dosti výstižné zvláště při vnitřních omůrách protože smový to proniá jen málo do vnitřních tených stojin. Přibližně stačí počítat J s orientační hodnotou a th a de t je tloušťa vodorovných dese a h jejich osová vzdálenost. Při nestejných tloušťách lze tuto orientační hodnotu zjistit podle dalšího vzorce (96). Smovou tuhost 55 v příčném směru (viz 5.řáde matice ()) lze zjistit porovnáním vztahu T 55 γ se vztahem platícím mezi příčnou silou z T V a + V b na silně vtaženém rámovém útvaru I jednotlivé šíř a jeho celovým zosením γ γ + γ de γ γ jsou prutové výchl přírub a stojin. Při rozměrech podle obr. vjde z Obr.
ziálně a tvarově ortotropní des h a + t h 6t a (94) V b α V a α h a + t 6t h b γ Je ted : z at ( + α) a t a h + t h ( α). (95) 55 a a t a ( + α) h + t ( α) [ Nm ].. h Smový modul G (odst.5) jsme této úvaze nepotřebovali ale mohli bchom jej pro náhradní fziální desové ontinuum zjistit např. za předpoladu (4) ze vztahu G 55 / h aniž zavádíme představu sendvičové des s měým jádrem. V místě příčných ztužidel a tuhost 55 podstatně zvětšuje. Jsou-li velmi tuhá a zajišťují nedeformovatelnost průmětu průřezu do svislé rovin pa u prvů v jejich oolí lze γ z zanedbat (viz postup u 44 ). Ta b tomu mělo být u účelně navržených diafragmat a jejich stěnová tuhost je oproti dříve uvedené vsutu řádově větší. V MKP můžeme proměnu 55 po prvcích snadno respetovat. U hustě rozmístěných diafragmat připadne-li na aždý onečný pruh jedno diafragma lze počítat s průměrnou hodnotou 55 ale účine smu γ z pa bude malý jina b tato diafragma neplnila jeden ze svých účelů. Poud jde o tuhost 44 (4.řáde matice ()) je řádově větší než 55 podle (95) a smové změn γ z lze zanedbat. Ve vstupech to lze vjádřit hodnotou α 44 55 α nebo. Blo b též možné upravit program pro des s jednosměrným vlivem smu terý anuluje předem γ z. Zpracování vtištěných vnitřních sil : M [ N ]... na jeden I průřez podle obr. připadne M a M napětí σ M z / J etrém σ ± M / W. T [ Nm ]... obdobně na jeden I průřez bude T at napětí τ z podle (87) přibližně u velmi tených stěn τ z T / h t h jen ve stojině. M [ N]... V horní a dolní desce vninou v příčném směru normální síl N ± M / h a napětí σ b -M / h t b σ a M / h t a.
ziálně a tvarově ortotropní des T [ Nm ]... V horní a dolní desce vzninou příčné posouvající síl V b a V a podle (94) tj. V a T / (+α) V b αv a při stejných tloušťách dese V a V b T. Příčné smové napětí přibližně : τ t τ V / t. zb V b / b za a a M [ N]... V horní i dolní desce vzninou vodorovné smové síl T ±M / h a napětí τ b T / t b τ a T / t a. Z toho se vpočte u ovových dese hlavní napětí pro posouzení bezpečnosti. U železobetonových onstrucí (tenostěnných) obdobně s tím že tah převezme měá nebo předpínací výztuž a vliv M se projeví v dimenzovacích momentech tj. záměnou M M za M dim M dim. 6.4. Srovnávací přílad Pro porovnání vstupních hodnot i uveďme přílad omůrového průřezu mostní des nadjezdu C ve Vsetíně montované lamelové onstruce. Obr. Při dělení na onečné prv blo použito dělení oincidující s půdorsem omůre taže tuhosti prvů se děroval podle tuhosti jednotlivých omůre. Schematic je příčný řez znázorněn na obr. vzhledem proměnnosti tloušť stěn bl poněud složitější. Výpočet podle odst.6.4. tlustostěnné onstruce (9) : Moment setrvačnosti jednotlivých omůre J b bl zjištěn na stolním počítači HWLT-PACKAR programem pro geometricé charateristi rovinných útvarů. Moment J lze snadno počítat podle vzorce tat b (96) J h + ( ta + t b ) de h v + ta + t b je osová vzdálenost vodorovných stěn. t + t a b Svislé stěn průřezu mají jednotnou tloušťu cm a jejich osová vzdálenost je cm. ále uveďme hrubé rozměr pro truhlí b v [cm] : t b 8 v 96 t a 4 h a totéž pro truhlí b 4 : t b 95 v 5 t a 4 h 8 ziální onstant 85 dan/cm (p/cm ) 5
ziálně a tvarově ortotropní des Matice tuhosti pro truhlí b 4 (horní čísla podle (9) tlustostěnné dolní čísla podle (9) tenostěnné se zanedbáním svislé stěn) : 59 89 7 6 448 67 7 6 4 8 67 448 99 8 4.Nm (Mpm) Pro truhlí b : 475 46 64 7 89 58 64 7 9 887 58 89 8 74 94 5 Zmenšení ohbové tuhosti zanedbání svislé stěn je zřejmé; tuhosti vjdou z tenostěnné teorie poněud větší. Rozdíl v momentech ( násob tpu w apod. ) budou menší protože při větší vjde menší průhb w i derivace w. Ja známo nezávisí u isotropních dese moment na vůbec poud jde jen o silové zatížení. Tato nezávislost má u ortotropních dese jiný charater : moment nezávisí na absolutních hodnotách i ale na jejich poměrech. Nejcharaterističtějším poměrem pro tuto závislost je poměr χ / viz (6). Přílad vlivu χ na moment viz [ ] str. 48 ad. tab. a graf na obr. str. 5. 6.5 Žaluziové des. Jde o olmé nebo šimé des sládané z prefabriátů při čemž se v příčném směru nepředpoládá žádné spolehlivé monoliticé spojení ( např. příčným předpětím pa b se počítal jao monoliticé podle předešlých odst.).
ziálně a tvarově ortotropní des Obr. Podélné spár přenášejí jen posouvající síl T a žádné ohbové moment M. Žaluziových dese je mnoho tpů. Z hledisa vstupních údajů i leží všechn mezi dvěma limitními případ (obr.) : a) Vznilé omůrové průřez mají ta slabé svislé stěn že do nich nepřechází pratic žádný smový to taže routící moment M přenáší jen sm v horní a dolní stěně. Pa platí pratic rovnost M M a J J J taže podle vzorce (6) je torzní tuhost GJ 4 b b (97) [ Nm] počítáme-li J b [m 4 ] pro jeden prefabriát šíř b [m]. Pro ostatní tuhosti platí vzorce (9) jao u omůrových průřezů. b) Průřez mají velmi silné svislé stěn taže vznine souvislá cirulace smového tou v řezech onstanta což vzhledem větě o vzájemnosti τ τ ovlivní i smový to v řezech onstanta. Pa platí vzorec (6) s poměrnými torzními tuhostmi J J [m ] při stálém smovém modulu G : ( J ) + 8 G J c) Zvláštní případ nastane dž podélné spár nemohou přenášet žádný routící moment. Pa je J GJ. 8 Pro vhodnocení tisů M obecně platí vzorce (6). Jestliže u dese tpu na obr.a jsou stojin ta štíhlé že vzniá příčné zosení zjistí se příslušná tuhost 55 podle odst.6 vzorec (95) odst. 6.4. 4
ziálně a tvarově ortotropní des 6.6 Jiné tp dese. Železobetonové des s různou výztuží a a ve směru a se chovají v prvním stadiu před vzniem trhline v tažené části betonu pratic jao izotropní. Ve druhém stadiu se zjistí moment setrvačnosti J J nehomogenních průřezů jednotové šíř složených z oceli a tlačeného betonu. Poměr J / J vjde přibližně roven poměru a / a s odchlou něolia procent. Protože oblast tlačeného betonu de ještě dochází příčné ontraci (resp. dilataci ) je malá je efetivní hodnota menší než 5. Bla naměřena až. Tuhosti se počítají z dřívějších vzorců (98) J J (99) 44 55 Gh β. β S vlivem smu se počítá jen u dese jichž tloušťa h L / 5 viz odst. 5. a 6.; pratic závažné odchl vzniají až při h L/. Vlnov se počítají podle (98) při čemž se bere při sinusovém zvlnění průřezů onstanta : 8 () J hh 5H 4 l + J l s h de je tvar vln z Hsin π / l tloušťa vlnov h amplituda vln H l déla tětiv jedné půlvln. Lze použít přibližně i při nesinusovém tvaru vln. Vlnov dvojnásobné (sstém BHLN PUMS apod.) vžadují zvláštní výpočet J. U supertenostěnných vlnove lze J počítat na řivce z f() a násobit tloušťou h. Poměr J / J je u nich blízý nule. Příhradové des jsou prutové soustav užívané zastřešení velých půdorsů (stadion apod.). Pro předběžný výpočet je lze považovat za ortotropní des při čemž moment setrvačnosti J J plnou z průřezových ploch a a prutů v pasech ve směru a a ramen r r těžištím těchto ploch přibližně r. r H. Po rozboru tuhosti dané mezipasové soustav prutů na zosení běžným prutovým výpočtem lze zavést i vliv příčného smu obdobně jao v odst. 6.. Torzní tuhost je u běžných pravoúhlých soustav pasů bez diagonál ve vodorovných rovinách pratic nulová ( χ ); u jiných soustav nutno ji zjistit srovnávacím výpočtem. Výsledné tis M M T T se vužijí pro výpočet osových sil prutů způsobem obvlým u příhradovin ( metoda průsečná ). Postup lze rozšířit i na obecně anizotropní des a je vhodný pro předběžný návrh nebo vhledání optimální variant apod. Po definitivním návrhu soustav lze pa provést přesné posouzení vcházející z výpočtu osových sil prutů dané soustav považované podle povah stů za prostorovou příhradovinu nebo rám ( program tpu STRSS apod. ). 5