Radián je středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici oblouku délky 1.

Transkript

1 Goniometrické funkce Velikost úhlu v míře stupňové a v míře obloukové Vjadřujeme-li úhl v míře stupňové, je jednotkou stupeň ( ), jestliže v míře obloukové, je jednotkou radián (rad). Ve stupňové míře se používají i menší jednotk. Minuta ( ) pro šedesátinu stupně a vteřina ( ) pro šedesátinu minut. Radián je středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici oblouku délk. B AB A 80 rad, rad V obloukové míře se zpravidla vnechává značka jednotk. o Orientovaný úhel Většinou se definuje jako uspořádaná dvojice polopřímek VA a VB se společným počátkem V. VA nazýváme počáteční rameno, VB koncové rameno. Pokud se koncové rameno otáčí proti směru hodinových ručiček, jde o otáčení v kladném smslu, pokud ve směru hodinových ručiček, jde o otáčení v záporném smslu. Je-li počáteční rameno totožné s koncovým, mluvíme o nulovém orientovaném úhlu. Jeho velikost je 0 nebo 0 (rad).

2 Goniometrické funkce ostrého úhlu a délka protilehléodvěsn sin, c délka přepon b délka přilehléodvěsn cos, c délka přepon a délka protilehléodvěsn tg, b délka přilehléodvěsn b délka přilehléodvěsn cotg. a délka protilehléodvěsn Určování funkčních hodnot Základní hodnot goniometrických funkcí si můžeme odvodit uvedenými vztah buď z rovnostranného trojúhelníka o straně nebo pomocí čtverce o straně. Výška ve vznačeném trojúhelníku má velikost, potom například sin0, sin60, cos0, tg0...rozšíříme... Hodnot pro úhel 45 určíme z polovin čtverce o straně. Úhlopříčka má velikost. Potom sin45...rozšíříme... cos45.,

3 Pokud si nechcete hodnot vžd znovu odvozovat, je vhodné si je zapamatovat. 0 ( 0) ( 0) 6 sin 0 cos tg 0 ( 45) 4 cotg není def. ( 60) ( 90) není def. 0 0 Rozšíření definic z ostrého úhlu na R se provádí pomocí bodu na jednotkové kružnici se středem v počátku, přesněji pomocí souřadnic průsečíku ramene úhlu s kružnicí, označme si tento bod K k, k. K K cos sin Poznámka: Pro úhel z intervalu 0, si kdkoliv odvodíte sami pomocí pravoúhlého trojúhelníku. Graf goniometrických funkcí a) f : sin, základní perioda, D( f ) R, H ( f ), 0

4 b) f : cos, základní perioda, D( f ) R, H ( f ), 0 c) f : tg, základní perioda, D ( f ) R (k ), k Z, H( f ) R 0 d) f : cotg, základní perioda, D ( f ) R k, k Z, H( f ) R 0 Goniometrické vzorce Uvedeme si jen některé vzorce vjadřující vztah mezi hodnotami goniometrických funkcí. T, které se používají nejčastěji při úpravách algebraických výrazů nebo při řešení goniometrických rovnic.

5 sin cos, sin tg, cos cos cotg, (tj. tg cotg, potom např. sin tg ), cotg sin sin cos, cos cos sin Součtové vzorce pro sinus a kosinus: sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin Pomocí vzorce pro cos můžeme odvodit vzorce pro goniometrické funkce cos cos argumentu. Platí sin a cos. Tto vzorce cos vužíváme například v integrálním počtu k úpravě sin. Úprav goniometrických výrazů Podobně jako u výrazů algebraických je účelem výraz zjednodušit. Příklad: Zjednodušte sin cos cos. sin cos Řešení: Výraz je definován kdž sin cos 0, ted kromě hodnot pro které platí sin cos. Ted k, kde k Z. 4 Pro úpravu čitatele použijeme vzorec a b a b a b sin cos cos sin cos sin cos cos sin.. sin cos sin cos sin cos cos vkrátíme Příklad: Zjednodušte tg cotg. Řešení: Výraz je definován kdž jsou definován funkce tg a cotg a je-li

6 cotg 0. První dvě podmínk jsou splněn pro všechna R. k, k Z, poslední platí Řešení: Přepíšeme funkce ve zlomku pomocí funkcí upravovat složený zlomek. sin a cos, potom budeme tg cotg sin cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin cos tg Řešené příklad: Za předpokladu, že je výraz definován, zjednodušte zadaný výraz. sin cos Řešení: Ze zadání plne, že nemusíme stanovit podmínk, kd je výraz definován. I kdž v tomto případě je to jednoduché, protože cos kdž k, k Z. sin cos cos cos cos cos cos cos. sin cos cos Řešení: Nahradíme v čitateli sin a ve jmenovateli vtkneme. sin cos cos cos cos cos cos cos sin Ve jmenovateli jsme pomocí vzorce rozepsali cos a v dalším kroku nahradíme sin. cos cos cos. cos cos. tg cos cos Řešení: Funkce v prvním zlomku zapíšeme pomocí funkcí sin a cos. sin cos sin tg cos cos cos cos cos sin cos cos sin cos

7 Protože po nahrazení tg vznikl složený zlomek, převedli jsme jeho čitatel na společného jmenovatele. Teď můžeme zlomek zjednodušit. cos sin cos cos sin 0. cos cos cos 4. tg tg Řešení: Přepíšeme funkci tg pomocí funkcí upravovat složený zlomek. sin a cos. Potom budeme sin tg cos tg sin cos cos sin cos sin cos cos sin cos cos cos sin cos sin. V tomto tvaru můžeme výsledek ponechat. Kdbchom zlomek cos sin rozšířili číslem, mohli bchom jmenovatel upravit ještě podle vzorce pro. cos sin sin cos sin sin. Příklad na procvičení:. sin cos 6. tg tg cos cos sin sin sin cos cos cos cos cos sin cos cos 7. cotg cos tg 8. tg tg 9. cotg 0. sin cos sin sin sin cos sin

8 Výsledk:.,. tg,. cotg, 4. tg, 5. cotg, 6. sin, 7. tg, 8. sin, 9. tg, 0. cos.