Pomůcka pro demonstraci momentu setrvačnosti Cílem pomůcky je pochopit význam geometrických charakteristik pro pohybové chování těles na něž působí vnější síly. Princip pomůcky je velmi jednoduchý, jde o rotační heterogenní válec valící se po nakloněné rovině. Moment setrvačnosti hmotného bodu k ose je definován jako součin hmotnosti bodu a druhé mocniny vzdálenosti tohoto bodu od osy. Pro soustavu hmotných bodů jde o součet momentů setrvačnosti jednotlivých bodů: Pro spojitá tělesa lze moment setrvačnosti definovat následovně: nebo Nabízí se otázka, proč je moment setrvačnosti definován takto, k čemu se to dá využít a proč se tím vůbec zabývat? Motivační pokus: Po nakloněné rovině necháme odvalovat dva válce, které mají stejné rozměry a stejnou hmotnost. Je vhodné, aby se o těchto shodných vlastnostech přesvědčili sami studenti. Přestože jsou válce stejné co do rozměrů a hmotnosti, jeden se valí pomaleji a druhý rychleji. Jak je to možné a proč je tomu tak? To je otázka, kterou tento pokus nastoluje. Pokus s umístěním válců na vozíky: Umístíme-li válce z předešlého příkladu na stejné vozíky, budeme pozorovat, že se pohybují stejně. Z toho plyne, že k odlišnému chování vede právě rotační složka pohybu. Základní rovnice, která popisuje pohybové účinky síly je následující:
kde Síla, která není v rovnováze s ostatními působícími silami způsobuje změnu rychlosti v čase, přičemž tato změna rychlosti je přímo úměrná působící síle a nepřímo úměrná hmotnosti tělesa. V případě přímočarého pohybu mají všechny body tělesa stejnou rychlost, tedy i stejné zrychlení a lze tak nahradit celé těleso hmotným bodem umístěným v těžišti, na geometrickém tvaru tělesa výsledek nezávisí. Situace u rotačního pohybu je následující: r2 r1 v1 v2 A U jednotlivých bodů tělesa je jejich rychlost závislá na vzdálenosti od osy rotace a na úhlové rychlosti rotujícího tělesa. U zrychlení je situace ještě složitější. I v případě konstantní úhlové rychlosti, kdy se nemění velikost rychlosti jednotlivých bodů, dochází v průběhu rotace ke změně směru této rychlosti, a tudíž je zde nenulové zrychlení a musí zde působit síla. vt0 φ vt1 vt1 vt0 φ dv
nebo též Odvození velikost zrychlení, které vzniká díky změně směru rychlosti, je patrné z předešlého obrázku. Je třeba jen doplnit, že se zmenšujícím se úhlem φ se délka tětivy blíží délce oblouku a také úhel mezi vektory v a dv se blíží pravému úhlu. Zrychlení je tedy v tomto případě kolmé na směr rychlosti a směřuje do osy rotace. Právě z faktu, že síla působící kolmo na směr rychlosti způsobuje zkřivení pohybu, byl odvozen Newtonův vztah mezi silou a zrychlením: V případě rovnoměrného rotačního pohybu působící síly procházejí osou rotace. V případě, že osa rotace prochází těžištěm je výslednice těchto sil nulová. Pro těžiště platí následující vztah: kde udává polohu bodu vzhledem k těžišti Shrneme-li to, co bylo napsáno výše, lze říci, že síla působící na hmotný bod mění jeho rychlost následujícím způsobem: Složka kolmá na vektor rychlosti, nemění její velikost ale způsobuje zakřivení dráhy. Složka rovnoběžná způsobuje zrychlování nebo zpomalování. V případě, že se při rotačním pohybu mění úhlová rychlost ω vypadá situace následovně: Pro změnu hodnoty úhlové rychlosti platí analogický vztah: Nyní můžeme zavést pojem úhlové zrychlení α a obdržíme tuto rovnici: Lze vidět, že stejně jako rychlost přibývá se vzdálenosti od osy rotace, přibývá stejně i tečná složka zrychlení a stejné to je i se silami. Má-li docházet ke změně úhlové rychlosti, musí na jednotlivé hmotné body z nichž se těleso skládá působit síla ve směru tečny ke kružnici, kterou daný bod opisuje a tato síla je přímo úměrné poloměru této kružnice. Ze vztahu, který definuje polohu těžiště plyne, že rotuje-li těleso kolem osy procházející těžištěm je výslednice výše uvedených sil nulová. Zde se dostáváme k problematice rovnováhy sil. F1 F3 r F2 F4
Jsou-li dvě síly stejné velikosti ale opačného směru a leží-li obě na jedné přímce, pak jsou tyto síly v rovnováze (viz síly F1 a F2). Neleží-li však na na jedné přímce, je sice jejich výslednice nulová, ale síly v rovnováze nejsou (viz síly F3 a F4). Taková dvojice sil má otáčivý účinek a velikost tohoto účinku je přímo úměrná velikosti sil a jejich kolmé vzdálenosti. Tento otáčivý účinek nazýváme momentem síly: Teď již máme vše potřebné, abychom dokončili problematiku rotačního pohybu s úhlovým zrychlením. Rychlost každého bodu je tečnou ke kružnici, kterou tento bod opisuje. Velikost rychlosti je dána úhlovou rychlostí a poloměrem kružnice, po níž se bod pohybuje. Tečné zrychlení má stejný směr jako rychlost a opět platí: Síla, která zde musí působit ve směru tohoto zrychlení lze určit ze vztahu: Více než celková výslednice těchto sil nás bude zajímat jejich otáčivý účinek tedy moment, už proto, že jak již bylo uvedeno výše, prochází-li osa rotace těžištěm pak výslednice sil je nulová jelikož. Budeme se tedy zabývat momentem síly F i. Pro těleso složené ze skupiny hmotných bodů pak platí Nyní již je jasné, proč zavádíme moment setrvačnosti ve tvaru Pojďme se nyní podívat na konkrétní hodnoty momentu setrvačnosti u reálných těles. Pro tenký prstenec zjevně platí dr Základ pro další výpočty dává následující rovnice Pro prstenec mezi poloměry R a r obdržíme r b
dosadíme-li pak
Vraťme se nyní k našemu úvodnímu příkladu válců na nakloněné rovině. Rozbor sil je na následujícím obrázku. r G a α N T Rovnice rozepsané po složkách: Momentová rovnice: Kinematické vztahy: Vyjádříme-li z momentové rovnice sílu T a dosadíme kinematické vztahy dostaneme: Po dosazení do složkové rovnice: Pro zrychlení pak obdržíme vztah: Pro valící se tenkostěnnou trubku můžeme předpokládat Pro valící se homogenní válec můžeme předpokládat
Pro těleso umístěné do vozíku rotační složka odpadá a zrychlení se blíží hodnotě Z výše uvedených příkladů je zřejmé, že vliv momentu by měl být dobře pozorovatelný. Aby bylo možné měřit čas průchodu pozorovaného tělesa určitými body na dráze, měla by být dráha vybavena čidly například ve formě mikrospínačů. Pro měření času je vhodné použít jednočipový procesor. Pro zobrazení času stačí jeden displej a čas, který bude zobrazovat se bude volit tlačítky u konkrétního měřícího bodu. Ohledně návrhu heterogenních válců je důležité, aby byl rozdíl mezi chováním obou válců co největší. R R R1 R2 Pro zachování stejné hmotnosti je třeba splnit podmínku Hodnoty momentů setrvačnosti jsou následující: Pro odvalování po nakloněné rovině je důležitý výraz: Pro zjednodušení výrazů zaveďme relativní hodnoty: Získáme pak tyto výrazy:
Po dosazení Hledejme nyní maximální hodnotu podílu pro poměr hustot 7,85 vychází R2r=0,865 a R1r=0,502