MA Řešené příklad 4 c phabala MA: Řešené příklad Funkce více proměnných: Integrál Vpočtěte následující integrál:.. 6 +6+6 dand 6 +6+6 d, cos+z d, 3. e +z dz. 4. Vpočítejte +da,kdejeomezenáoblastvmezenágraf and 5+6. 5.Najděteprůměrfunkce f,e / namnožině {, IR ; }. Změňte pořadí integrace pro následující integrál: 3 8 6. f, d d, 7. 8. e f, dd, f, d d. 9. Vpočítejte da,kde,,.zkustetooběmazpůsob. + Řešení:. Předstíráme, že je konstanta, pak 6 +6+6 d 6 d+ 6d+ 6d 3 +3 + 6+C 3 +3 +6+ C,, IR. Teď už snadno vhodnotíme určitý integrál, máme dosadit za. Není špatný nápad si to připomenout vhodným značením, třeba takto: 6 +6+6 d [ Zkušení integrátoři b ale často napsali jen... [ ] 3 +3 +6 +3+6. ].
MA Řešené příklad 4 c phabala. Předstíráme, že a z jsou konstant, pak u +z cos+z d du [+z]d d d du cosu du cosu du sinu+c sin+z+c,,z IR,. 3. Teď předstíráme, že, jsou konstant. u +z du e +z z [+z]dzdz + dz dz du e u [ z u+ du eu] + e+ e. z u Mimochodem, neurčitý integrál je e +z dz e+z + C,,,z IR. 4. Jakoblastvpadá? Nejprvesepodíváme,jestlisekřivkprotínají: 5+6dává,6.Načrtnemeoblastnenívměřítku: 36 5 + 6 36 6 5 6 6 Je zjevné, že svlivlé řez jsou zde mnohem lepší než vodorovné, protože vodorovné řez b se lišil tpem podle toho, kde řežeme. Svislýřezseurčítím,žepevnězvolímehodnotu,pohbnahoruadolůsedělázměnou. Budemeprotointegrovatsd,kdese měnímezi a 5+6. Integrovánípotomto 5+6 svislém řezu ted vede na +d.pakdámevšechnttořezdohromadpomocídalší integrace, kd sčítáme všechna udávající naše řez: 6 5+6 6 5+6 +d d +d d.
MA Řešené příklad 4 c phabala Tento dvojnásobný integrál se teď integruje běžným způsobem, zevnitř ven. 6 5+6 6 [ ] 5+6 6 +d d + d [5+6+5+6] [ + ]d 6 [ 4 4 3 ++6d 3 3 4 4 + 6 +6] +. Jak b to fungovalo, kdbchom se rozhodli pro vodorovné řez? Doleva a doprava se pohbujemezměnou,takžeintegrálpovodorovnýchřezechsdělajívzhledemk,každýřezjeurčen volbou.pokudsizvolíme mezia,paksevodpovídajícímřezu měnímezi a. Pokudzvolíme mezia36,pakse měnímezi 5 6a.Dostávámeted Teď integrujeme: +dd+ d+ 36 36 6/5 +dd+ +dd 36 6/5 +dd. [ + ] + 5 6 6 d 5 d+ 36 [ + ] [ 4 3 3/] [ + 4 + 3 3/ 5 63 6] 36 +. Asi souhlasíte, že to takto blo těžší. Moudrá volba řezů může mít velký dopad. 6/5 d 5.Jakájedanáoblast? Abchomurčiliprůměr,potřebujemeznátdvěvěci: Obsahaintegrál f na. Itenobsah lze zjistit integrováním přes, tentokráte integrováním funkce. Zde se svislé i vodorovné řez zdají z geometrického pohledu rovnocenéstačí jeden integrál, takže zkusíme svislé řez, které prodané jsouod po. A d d [ ] [ d d 3 3/ ] 6. 3
MA Řešené příklad 4 c phabala Teď integrujeme danou funkci. Máme drobný problém, integrál e / da e / d d. e a/ djedostdrsný,jedenztěch,kterénejdouvjádřit pomocí elementárních funkcí. Naštěstí máme alternativu, zkusíme vodorovné řez a doufáme, ževjdoulepšíintegrál. Prodané sehodnot naodpovídajícímřezuměnímezi a pěknévzorce,možnájsmetakmělidělatitenobsah.dostáváme e / da e / dd. Toto je mnohem snažší, potřebujeme najít e /a d,cožjestandardníintegrál,kterýsenejlépe dělá substitucí. Nakonec také budeme potřebovat integraci per partes. w dw e / da e / dd d d dw e w dw d w w [ e w] w d e e d e d e d Průměr je ted w e [ ] [ e ] + A e d e e+ [e ] e. e / da6e. 6. Nejprve potřebujeme zjistit, přes jakou oblast integrujeme. Vnitřní proměnnou je, která nás pohbuje nahoru a dolů, takže jdeme po svislých řezech. Pozice těchto řezů jsou dán hodnotami,takžetennejvícevlevojenapřímce atennejvícevpravonapřímce 3. Zlimitvnitřníhointegráluvidíme,žeprodané jdeodpovídajícísvislýřezodkřivk po křivku 8,takžejeoblastmezitěmitodvěmakřivkami.Nakreslímeobrázek. 4 8 3 4 Změna pořadí integrace znamená přepnout na ten druhý směr řezůviz obrázek vpravo. Vodor- 4 3 8
MA Řešené příklad 4 c phabala ovnéřezjsoudánvolbounějakého mezia4tobudevnějšíintegrál,protakové se proměnná pohbujemezi a 8 todostanemevřešenímvztahu 8 pro. Dostáváme integrál 4 8 / f, dd. 7. Začneme určením oblasti integrace. Vnitřní proměnná je udávající pohb doprava a doleva,cožznamená,žejdemepovodorovnýchřezech,nejnižšíjenapřímce anejvššíu.řezsahajíodkřivk pokřivku e,cožje ln.teďjsmepřipravenito nakreslit. e ln e e Pro změnu pořadí integrace přejdeme na svislé řez, ale obrázek jasně ukazuje, že pak máme dvatpřezů,jinýmislov,dostanemedvaintegrál:pro meziajdousvisléřezod po,pro meziaejdousvisléřezod lnpo.dostáváme f, d d+ e ln f, d d. 8. Nejprve určíme oblast integrace. Vnitřní integrál s pracovní proměnnou ukazuje na svisléřez,každýřezserozkládámezikřivkami a.řezberemeprovšechna, obrázek je teď jasný. 8 Změna pořadí integrace odpovídá přechodu k těm druhým řezům, ted k vodorovnýmviz obrázek napravo. Abchom pokrli celou, musíme uvažovat vodorovné řez až do nekonečna, jejichpozicejsouteddánpomocí zmnožin,. Prozvolené pakodpovídajícířez nechává probíhatmezikřivkou anekonečnem.aužjetuintegrál. f, dd. 9. Protože je daná oblast obdélník, 5
MA Řešené příklad 4 c phabala oba integrál budou mít konstantní meze integrace a můžeme použít libovolné pořadí dle libosti. Začneme svislými řez, což odpovídá vnitřnímu integrálu používajícímu. f, da d d. + Potřebujeme spočítat parametr: A + d + B+ C a d, to volá po parciálních zlomcích, ve kterých bude + + d + d d d + z + dz d d dz z ln ln + +C ln ln + +C ln + + C. Protože je náš integrál nevlastní, doporučuje se vjádřit primitivní funkci v kompaktním tvaru, což jsme udělali. Teď vpočítáme [ + d ln ] + lim ln + ln+ ln+ ln +. Zpět k danému integrálu: f, da d d + ln +d To volá po integraci per partes. ln +d fln + g f + g ln + ln ++ Proto [ f, da arctg ln + ln + + d d + ln ++arctg+c. ] lim arctg ln + 6 lim + arctg ln +
MA Řešené příklad 4 c phabala π ln lim + ln + + lim + π l H lim + lim + + π + + π. To ted bl integrál. Pěkný přehled integračních technik. Teď zkusíme vodorovné řez. Vnitřní integrál f, da + dd + dd. d + a jestandardní,někteřílidésijejdokoncepamatují.tiostatnímohou použít třeba doporučenou nepřímou substituci. t d + d dt t t [ ] t arctgt Proto f, da ] π [ Tímto způsobem se to zdá trochu snažší. t + dd lim π dt t + lim t arctgt π π d π dt t +. d π + π π. 7