Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 12. a) 3 +1)d. Vypočítejte určité integrály: b) 5sin 4 ) d. c) d. g) 3 d. h) tg d. k) 4 arctg 2 ) d.

Transkript

1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA ČÁST Příklad Vypočítejte určité integrály: a) +)d b) 5sin) d c) d d) d e) d f) g) d d h) tgd i) d j) d k) arctg) d l) d m) sin d n) ) d o) p) q) r) s) d d ) d d d t) +d u) d v) d

2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA ČÁST Poznámka Všechny tyto úlohy budeme řešit stejně. Budeme je počítat jako Newtonův integrál. Nejprve nalezneme primitivní funkci k integrovanému výrazu a poté spočítáme její přírůstek na intervalu, přes který integrujeme. Pracujeme tedy podle vzorce pro výpočet Newtonova integrálu ) =) =) ); kde ()= () V rámci hledání primitivních funkcí využijeme všechny metody, se kterými jsme se seznámili v minulých cvičeních. Řešení a ( +)d Nejprve nalezneme primitivní funkci k integrandu. Ten je natolik jednoduchý, že je možné po malé úpravě integrovat podle vzorce. +)d= d d+d= += + +)d= + =) ) +) ) ) + ) = 8 7+ ) = 5 = 6 = Řešení b 5sin() d Nejprve nalezneme primitivní funkci k integrandu. Ten je typickým případem pro integraci substitucí. =; d=d; d=d 5sin)d=5 sind=5 sind= 5 cos= 5 cos) 5sin) d= 5 cos) 0 = 5 cos) 5 cos 0)= 5 5 =0 Řešení c d Nejprve nalezneme primitivní funkci k integrandu. Ten je typickým případem pro integraci substitucí.

3 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA ČÁST = ; d= d; d=d d= d= d= = d= 0 = = = ) Řešení d d + Nejprve nalezneme primitivní funkci k integrandu. Ten po mírné úpravě převedeme na tvar vhodný pro kombinaci integrace podle vzorce a substituci. + d=+ + d=+ + + d= + d= + d =d + d Druhý integrál je typický adept na substituci. Je očividná a dá se dělat z hlavy. =+; d=d + d= d=ln =ln + Nyní můžeme pokračovat ve výpočtu primitivní funkce. + d=d + d= ln + d= ln = ln + ) 0 ln 0+ )= ln5) 0 ln) = ln5 0+ 0= ln5 Řešení e sin d= sin d Integrovat budeme metodou per partes. Označme =sin; =sin; =cos; = cos Budeme pracovat podle vzorce Odtud dostáváme =

4 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA ČÁST sin d= sin cos cos d= sin cos+cos d Dostali jsme tedy vztah Upravíme Odtud = sin cos+ sin d= sin cos+d+ sin d = sin cos+ sin d sin d= sin cos sin d sin d= sin cos sin d= sin cos sin d= sin d= sin cos = sin cos sin cos = = = 8 = = Řešení f 6 8+ d Nejprve budeme v rámci hledání primitivná funkce provádět úpravy vedoucí ke tvaru vhodnému pro substituci d= 8 8+ d= d= d Nyní je integrál typický adept na substituci. = ; d= d; d=d

5 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA ČÁST + d= + d= + d= arctg= arctg Teď můžeme pokračovat ve výpočtu primitivní funkce. d= arctg = arctg + Přitom využijeme toho, že funkce arkustangens je lichá d= arctg = arctg = arctg arctg arctg ) = arctg + arctg = arctg = arctg = 6arctg 6 Řešení g d Nejprve nalezneme primitivní funkci k integrandu. Ten je natolik jednoduchý, že je možné po malé úpravě integrovat podle vzorce. d= d= = = d= = = 6 = 8 =6 = Řešení h tgd Nejprve nalezneme primitivní funkci k integrandu. Ten je po drobné úpravě typickým případem pro integraci substitucí. tgd= sin cos d =cos; d= sind; d=sind 5

6 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA ČÁST sin cos d= d= d= ln = ln cos Při výpočtu využijeme toho, že cosinus je sudá funkce. tgd= ln cos = lncos lncos = lncos +lncos =0 Řešení i d + Nejprve budeme hledat primitivní funkci k integrandu. Začneme drobnou úpravou, abychom se dostali do situace vedoucí přímo k použití vzorce d= + d= + + d= + d=d + d = arctg Při výpočtu využijeme toho, že arkustangens je lichá funkce. d= arctg + = arctg) arctg )) = arctg +arctg)= arctg+ arctg= arctg Řešení j Nejprve budeme hledat primitivní funkci k integrandu. Ten je typickým adeptem na použití metody per partes. Označme =; = ; =; = Pokud přímo nevidíme, jakou funkcí je, nalezneme ji pomocí substituce d takto = ; d= d; d=d d= d= d= = Budeme pracovat podle vzorce = Odtud dostáváme 6

7 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA ČÁST d= d= ( ) d= + = = ( ) d= 0 = 0 = 0 ( 0 )= 0 + Řešení k arctg() d Nejprve budeme hledat primitivní funkci. Zdá se, že úloha vede na kombinaci substituce a per partes. Zkusíme substituci =; d=d arctg()d=arctgd Tento tvar se již zdá být vhodný pro použití metody per partes. Označme Odtud můžeme psát =arctg; =; = = +; arctgd= arctg + d= arctg + d = arctg + + d= arctg d = arctg + d= arctg d + d = arctg ( arctg)= arctg + arctg Dostáváme tedy po zpětné substituci následující primitivní funkci arctg()d=arctgd= arctg + arctg= arctg + arctg = arctg + arctg Přitom využijeme toho, že arkustangens je lichá funkce. 7

8 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA ČÁST arctg() d= arctg + arctg = arctg( ) + arctg( ) ( ) arctg( ) ( )+ arctg( ) =arctg + arctg arctg( )++ arctg( ) = 5 arctg 5 arctg( )+=5 arctg 5 arctg+ = 5 arctg +5 arctg =5arctg Řešení l Nejprve budeme hledat primitivní funkci. Úloha je typickým adeptem na substituci d = ; d= d; d= d d= d= d= = Přitom využijeme toho, že arkustangens je lichá funkce. d= = = = + = Řešení m sin d= sin d Nejprve budeme hledat primitivní funkci. Zkusíme použít metodu per partes. Označíme =sin; =sin ; =cos; = sin cos Přitom primitivní funkci k =sin jsme nalezli v řešení e, nebudeme tedy na tomto místě tento výpočet opakovat. Budeme dále pracovat podle vzorce Odtud dostáváme = 8

9 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA ČÁST sin d=sinsin d=sin sin cos cos sin cos d = (sin sin cos) cos sin cos d = (sin sin cos) cosd sin cos d = (sin sin cos) cosd+ sin cos d Nyní je třeba zabývat se zvlášť oběma integrály v posledním výrazu. První integrál je typickým případem pro metodu per partes. Označíme =; =cos; =; =sin Odtud dostaneme cosd=sin sind=sin sind=sin ( cos)=sin+cos Druhý integrál je typickým příkladem pro substituci =cos; d= sind; d=sind sin cos d= d= d= = cos Můžeme pokračovat ve výpočtu primitivní funkce sin d= (sin sin cos) cosd+ sin cos d = (sin sin cos) (sin+cos)+ cos = sin sin cos sin cos cos = sin cos+cos+ cos = cos(sin +)+ cos = cos(sin +sin +cos )+ cos = sin cos+cos + cos = sin cos+ cos = sin cos cos A teď konečně můžeme dokončit výpočet určitého integrálu výpočtem přírůstku primitivní funkce. sin d= sin d= sin cos cos 0 = sin cos cos sin 0cos0 cos 0 = 0 ( ) ( ) 0 = ( ) = = = 9

10 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA ČÁST Řešení n (+ln) d Nejprve budeme hledat primitivní funkci. Úloha je typickým adeptem na substituci =ln; d= d +ln) d=+)d=+d=d+d=+ =+ =ln+ln +ln) d=ln+ln =ln+ln ) ln+ln ) =ln+ln ) 0+0 )=ln+ln Řešení o d Nejprve nalezneme primitivní funkci k integrandu. Ten je typickým případem pro integraci substitucí. = ; d= d; d=d d= d= d= d= = = = d= 0 = 0 = 0 = = ( )= += Řešení p 6 d 6 Nejprve nalezneme primitivní funkci k integrandu. Ten je typickým případem pro integraci substitucí. =6 ; d=6d 6 6 d= d=ln =ln 6 0

11 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA ČÁST 6 d=ln 6 6 =ln 6 ) ln 6 )=ln ln5=ln 5 Řešení q d 6 Nejprve budeme v rámci hledání primitivná funkce provádět úpravy vedoucí ke tvaru vhodnému pro substituci 6 d= d= d= 6 6 d= 6 6 d = d= d Nyní je integrál typický adept na substituci. = ; d= d; d=d d= d= d=arcsin=arcsin Teď můžeme pokračovat ve výpočtu primitivní funkce. d= arcsin =arcsin Přitom využijeme toho, že funkce arkussinus je lichá. d=arcsin 6 =arcsin arcsin =arcsin arcsin =arcsin = 6 = Řešení r (+ ) d Nejprve nalezneme primitivní funkci k integrandu. Začneme úpravami postupně vedoucími k rozkladu na parciální zlomky. + ) d= + + d= + d Nejprve vydělíme čitatele jmenovatelem tak, abychom v čitateli měli menší stupeň polynomu, než ve jmenovateli.

12 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA ČÁST +): +)= ) + ) d= + + d= + + d= d+ + d = d+ d= + d Integrál vpravo nyní rozložíme na parciální zlomky = )+) = ) + +) =++ )+) = )++) )+) Odtud dostáváme soustavu rovnic =0; += Tato soustava rovnic má řešení =; = Dosadíme do rozkladu a vrátíme se k výpočtu primitivní funkce + ) d= + d= + ) + +) d = + ) d+ +) d= + ) d+ +) d = ln +ln + + ) d= ln +ln + 0 = ln +ln+ 0 ln 0 +ln +0 ) = ln +ln 0 ln +ln ) = ln +ln )= ln ln)+ln ln) = ln+ln+ln ln= 0+ln= +ln Řešení s (5+) d Nejprve nalezneme primitivní funkci k integrandu. Ten je typickým případem pro integraci substitucí. =5+; d=d; d=d 5+) d= d= = 8 = 85+)

13 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA ČÁST 5+) d= 85+) 0 = 85+ ) 85+ 0) = = = = 8 5 = 8 5 Řešení t +d Nejprve nalezneme primitivní funkci k integrandu. Ten je typickým případem pro integraci substitucí. =+; d=d +d= d= d= d= = = =+) +d=+) 0 =+) 0+) = = 6 = 8 =6 = Řešení u d Nejprve v rámci hledání primitivná funkce rozložíme integrand na parciální zlomky = )+) = ) + +) =++ = +)+ ) )+) )+) Odtud dostáváme soustavu dvou rovnic +=0; )=; neboli = Tato soustava má řešení = ; = Dosadíme do rozkladu a snadnými úpravami nalezneme primitivní funkci. d= ) + +) d= ) + +) d= ) +) d = ) d +) d= ln ln + ) Teď můžeme dokončit výpočet určitého integrálu výpočtem přírůstku primitivní funkce. Přitom využijeme toho, že funkce arkussinus je lichá.

14 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA ČÁST d= ln ln + ) = ln ln + ) ln ln + ) = ln ln ) ln ln )= ln ln) ln ln) = ln ln) ln ln)= ln ln+ ln ln=ln ln =0 ln= ln Řešení v ln d= ln d Nejprve budeme hledat primitivní funkci k integrandu. Ten je typickým adeptem na použití metody per partes. Označme Budeme pracovat podle vzorce =ln; = ; = ; =ln Odtud dostáváme Proto = ln d=ln ln d ln d=ln ln d= ln d=ln 5 =ln 5) ln )=ln 5) 0)=ln 5