Radka Hamříková VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA

Transkript

1 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY Radka Hamříková Vtvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.0..0/..5./006

2 Studijní opor s převažujícími distančními prvk pro předmět teoretického základu studia. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republik ESF ROVNÉ PŘÍLEŽITOSTI PRO VŠECHNY

3 ISBN

4 Sbírka úloh z matematik OBSAH TITULNÍ STRÁNKA ÚVOD 5. LINEÁRNÍ ALGEBRA 7. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 9. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 8 5. INTEGRÁLNÍ POČET 5 6. URČITÝ INTEGRÁL 6 7. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE DVOJROZMĚRNÝ INTEGRÁL TROJROZMĚRNÝ INTEGRÁL 00. KŘIVKOVÝ INTEGRÁL 05. ŘADY LITERATURA 9 - -

5 Sbírka úloh z matematik - -

6 Sbírka úloh z matematik STUDIJNÍ OPORY S PŘEVAŽUJÍCÍMI DISTANČNÍMI PRVKY PRO PŘEDMĚTY TEORETICKÉHO ZÁKLADU STUDIA je název projektu který uspěl v rámci první výzv Operačního programu Rozvoj lidských zdrojů. Projekt je spolufinancován státním rozpočtem ČR a Evropským sociálním fondem. Partner projektu jsou Regionální středisko výchov a vzdělávání s.r.o. v Mostě Univerzita obran v Brně a Technická univerzita v Liberci. Projekt bl zahájen a bude ukončen Cílem projektu je zpracování studijních materiálů z matematik deskriptivní geometrie fzik a chemie tak ab umožnil především samostatné studium a tím minimalizoval počet kontaktních hodin s učitelem. Je zřejmé že vtvořené tet jsou určen studentům všech forem studia. Studenti kombinované a distanční form studia je vužijí k samostudiu studenti v prezenční formě si mohou doplnit získané vědomosti. Všem studentům tet pomohou při procvičení a ověření získaných vědomostí. Nezanedbatelným cílem projektu je umožnit zvýšení kvalifikace širokému spektru osob které nemohl ve studiu na vsoké škole z různých důvodů (sociálních rodinných politických) pokračovat bezprostředně po maturitě. V rámci projektu jsou vtvořen jednak standardní učební tet v tištěné podobě koncipované pro samostatné studium jednak e-learningové studijní materiál přístupné prostřednictvím internetu. Součástí výstupů je rovněž banka testových úloh pro jednotlivé předmět na níž si studenti ověří do jaké mír zvládli prostudované učivo. Bližší informace o projektu můžete najít na adrese Přejeme vám mnoho úspěchů při studiu a budeme mít radost pokud vám předložený tet pomůže při studiu a bude se vám líbit. Protože nikdo není neomlný mohou se i v tomto tetu objevit nejasnosti a chb. Předem se za ně omlouváme a budeme vám vděčni pokud nás na ně upozorníte. ESF ROVNÉ PŘÍLEŽITOSTI PRO VŠECHNY - 5 -

7 Sbírka úloh z matematik Průvodce studiem Dostává se vám do rukou Sbírka úloh z matematik. Protože kapacita sbírk není neomezená může se stát že zde nenajdete vše co hledáte. V tom případě zkuste hledat v materiálech pro Matematiku I Matematiku II nebo Matematiku III. Nenajdete zde kapitol Vektorová analýza a Plošný integrál. Pokud zde objevíte chb to se bohužel může stát nebo budete mít připomínk či požadavk obraťte se na mě mailem Radka.Hamrikova@vsb.cz budu vám nesmírně vděčná. Ke sbírce patří také řada řešených úloh. Tto úloh budete mít k dispozici jako videa na internetových stránkách projektu Cíle Cílem je nabídnout vám k procvičení příklad z většin kapitol Matematik I Matematik II a Matematik III. Předpokládané znalosti Jak vplývá z předchozího předpokládají se znalosti Matematik I Matematik II a Matematik III

8 Sbírka úloh z matematik. Lineární algebra. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektor Operace s vektor... 8 Úloh k samostatnému řešení Lineární závislost a nezávislost vektorů... 8 Úloh k samostatnému řešení Báze vektorového prostoru... 9 Úloh k samostatnému řešení Determinant... 9 Úloh k samostatnému řešení Matice Operace s maticemi... 0 Úloh k samostatnému řešení Hodnost matice... Úloh k samostatnému řešení Inverzní matice... Úloh k samostatnému řešení Maticové rovnice... Úloh k samostatnému řešení..... Soustav lineárních rovnic... 5 Úloh k samostatnému řešení

9 Sbírka úloh z matematik. LINEÁRNÍ ALGEBRA. Lineární algebra.. Vektor... Operace s vektor Úloh k samostatnému řešení. Vpočítejte součet a + b a rozdíl a b a b a vektorů: a) a = ( 5 ) b = ( 8 9) a = 0 5 b = 6 8 a = b = 9 9 a = 9 b = 9 7. b) ( ) ( ) c) ( ) ( ) d) ( ) ( ). Vpočítejte souřadnice vektoru pro který platí: a) + a b = o a = ( 8 7 ) b = ( 9 5 ) 8a b = o a = 5 8 b = b) ( ) ( )... Lineární závislost a nezávislost vektorů Úloh k samostatnému řešení. Určete konstantu m tak ab vektor a b bl lineárně závislé (kolineární): a = m 5 b = 8 60 a = m 0 m b = a) ( ) ( ) b) ( ) ( ). Určete konstant m r tak ab vektor a b bl lineárně závislé (kolineární): a = m6 b = 9 r a = m 8 b = 6 9 r 6. a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) 5. Zjistěte jak jsou vektor a b c závislé: a) a = ( 0 ) b = ( 5 ) c = ( 0 ) b) a = ( 5 ) b = ( 0 0 ) c = ( 0 5) a = 7 b = 6 8 c = 7 0 d) a = ( ) b = ( 0 ) c = ( 7) a = 5 b = 0 c = 0. c) ( ) ( ) ( ) e) ( ) ( ) ( ) - 8 -

10 Sbírka úloh z matematik. Lineární algebra 6. Zapište vektor d jako lineární kombinaci vektorů a b c : a) a = ( 0 ) b = ( 5 ) c = ( 0 ) d = ( 5 5) b) a = ( 5 ) b = ( 0 0 ) c = ( 0 5 ) d = ( 6 90) c) a = ( 7 ) b = ( 7 8 ) c = ( 8 6 ) d = ( 0 ) a = b = 0 c = 0 d = 0. d) ( ) ( ) ( ) ( )... Báze vektorového prostoru Úloh k samostatnému řešení 7. Dokažteže vektor a b c tvoří bázi vektorového prostoru a zapište souřadnice vektoru d v této bázi: a) a = ( 0 ) b = ( 7 ) c = ( 0 ) d = ( 9 9) a = b = 0 c = 0 d = 9 6 a = 6 5 b = 5 c = 0 d = 7 8. b) ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( ).. Determinant Úloh k samostatnému řešení 8. Vpočítejte determinant: a) 5 b) 6 c) 6 8 d) 5 8 e). 9. Vpočítejte determinant Sarrusovým pravidlem: 5 a) b) c) d) 0 e)

11 Sbírka úloh z matematik. Lineární algebra 0. Vpočítejte determinant determinant upravte a použijte rozvoj podle některého řádku nebo sloupce: a) b) c) d) 0 e) Vpočtěte determinant úpravou na trojúhelníkový tvar: 0 0 a) b) 0 0 c) d) Matice... Operace s maticemi Úloh k samostatnému řešení. Vpočítejte A + B C kde: a) A = 0 = = B C - 0 -

12 Sbírka úloh z matematik. Lineární algebra b) A = 0 B = 5 C = Vpočítejte A + E B kde: a) A 5 8 = = B b). Vnásobte matice A a B : a) c) A 5 8 = = B b) 0 A = B = d) 0 5 A = 0 B = f) e) ( ) A = 0 B = A = 0 B = A = 5 B = A = B = g) A = B = 6 h) 0 A = B = 9 A = B = j) i) ( ) 0 A = B = k) A = B = C = matice lze násobit více způsob

13 Sbírka úloh z matematik... Hodnost matice. Lineární algebra Úloh k samostatnému řešení 5. Vpočítejte hodnost matice: 0 a) A = 6 b) 0 A = c) A = 0 d) f) 5 0 A = e) A = g) A = A = h) 0 0 A = Doplňte parametr a b tak ab matice měla danou hodnost: 0 b 5 7 A = 7 A =. b a) A = a h( A ) = b) a h( ) - -

14 Sbírka úloh z matematik... Inverzní matice. Lineární algebra Úloh k samostatnému řešení 7. Najděte inverzní matici: a) A = b) A = 7 c) 5 A = 7 d) A = e) A = Najděte inverzní matici: a) A = b) 7 0 A = 5 c) 0 A = 5 d) A = 0 e) A = Najděte inverzní matici: 0 a) A = b) c) A = d) A = A = Maticové rovnice Úloh k samostatnému řešení 0. Řešte rovnici s neznámou maticí X : 6 0 a) = X b) X = 5 - -

15 Sbírka úloh z matematik. Lineární algebra c) X 0 = 0 d) 6 = X e) = X f). Řešte rovnici s neznámou maticí X : 0 a) 5 X = b) 5 0 = 6 X. 5 8 X = 0 c) 0 0 X = d) 5 X = 0 5 e) 0 5 X = Řešte rovnici s neznámou maticí X : 5 9 a) = 5 c) X = X 0 X b) 0 = ( 0 ). Řešte soustavu maticových rovnic s neznámými maticemi X Y : a) = = X Y X b) 5 = = 9 X Y X. - -

16 Sbírka úloh z matematik.. Soustav lineárních rovnic. Lineární algebra Úloh k samostatnému řešení. Řešte soustavu lineárních rovnic GEM a Cramerovým pravidlem: + + z = + z = + + z = 6 a) + z = b) + z = + z = 0 c) 6 z = z = z = d) + + z = z = 6 e) + z = 6 + z = z = 7 f) + + 6z = + z = 5 + z = 0 + z = 5 + z = 9 g) + + z = h) z = 6 + z = z = i) + + z = 0 + z = 5 + 7z =. 9 + z = 5. Řešte soustavu lineárních rovnic GEM: + + z + u = + z = 9 + z u = a) + + z = b) c) + z = 6 + z = 6 + 5z + u = + + = = + = = d) + + = = = e) = = = =. + + = = Řešte homogenní soustavu lineárních rovnic: + + z + u = 0 + z = 0 + z = 0 a) + + z = 0 b) c) + + z + u = 0 + z = z u = = = = = 0 d) + + = = = 0 e) 5 + = = = = = = 0 5

17 Sbírka úloh z matematik. Lineární algebra - 6 -

18 Sbírka úloh z matematik. Lineární algebra. a) a + b = ( 6 6) a b = ( 0 0 ) b a = ( 0 0 ) b) a + b = ( 5 8 6) a b = b a = ( 7 8 6) b a = ( 7 8 6) c) a + b = ( 6 9 ) a b = ( 8 9 6) ( ) d) nelze sčítat ani odčítat.. a) = ( 0 ) b) = ( 7 9).. a) m = b) m =.. a) m = r = b) m = 6 r =. 5. a) a b + c = o b) a b c = o c) a + b + c = o d) a + b c = o e) LNZ. 6. a) d = a + b + c b) d = a + b + c c) d = b + c d) d = a + b c a) det 7 = 0 tvoří bázi = ( 5) 0 d a b c b) det 0 = 0 0 tvoří bázi = ( 7) d a b c c) det 5 = 6 0 tvoří bázi = ( ) d a b c 8. a) b) c) 0 d) e). 9. a) 7 b) c) 0 d) e) a) 0 b) 7 c) 0 d) 0 e).. a) b) 7 c) 800 d) 8.. a) X = 0 b) a) 9 0 b) a) A 58 7 B = = B A b) c) A B = B A = A B = B A = 0 7 d) A B = 7 7 B A nelze násobit

19 Sbírka úloh z matematik. Lineární algebra A B = B A = e) ( ) f) A B = B A = g) A B = B A = 9 9 h) 8 5 A B nelze násobit B A = A B = 7 B A = j) i) ( ) k) A B = B A = A B C = C A B = B C A = a) h( A ) = b) h( A ) = c) h( A ) = d) h( A ) = e) h( A ) =. f) h( A ) = 5 g) h( A ) = h) h( A ) = a) ( ) b) a = 5 b R. a = b = a = b = + k 0 k k 7. a) A = b) d) A = e) = A. A = 7 c) 7 A = 5 8. a) A = 0 b) A = c) A neeistuje d) A = 6 e) = 6 6 A

20 Sbírka úloh z matematik. Lineární algebra c) b) f) d) 9. a) 0 = 6 0 A b) A = d) 0 X = c) X =.. a) A = X = d) 5 7 X = b) 0 9 X = 5 e) 6 7 b) = ( ) b) X c) = = 5 7 = 5 A. 0. a) 0 X = 7 e) 9 X = 6 c) X = a) 0 69 X =.. a) X = 8 X = X = X = X 7 = = 6 0 Y X Y.. a) ( ) T b) ( 0) T c) ( 6) T d) ( ) T e) ( ) T f) ( 555) T g) ( ) T h) ( ) i) ( 7 5) T. 5. a) ( t t ) 0 T 5 T b) nemá řešení c) 8 8 T d) ( 7 t s s9 s t + t) e) nemá řešení. 6. a) ( t t0) T b) ( ) c) ( t t5 t t ) T T d) ( 0 t s ss t t) e) ( t s r r t s t s) 9 T. T 0000 T - 9 -

21 Sbírka úloh z matematik. Analtická geometrie. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU..... Vektor... Úloh k samostatnému řešení..... Přímka a rovina v prostoru... Úloh k samostatnému řešení..... Vzájemná poloha přímek a rovin... 5 Úloh k samostatnému řešení Vzdálenosti a odchlk... 8 Úloh k samostatnému řešení Kolmost... 0 Úloh k samostatnému řešení

22 Sbírka úloh z matematik. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU. Analtická geometrie.. Vektor Úloh k samostatnému řešení. Vpočítejte souřadnice vektoru pro který platí: a) + a b = o a = ( 8 7 ) b = ( 9 5 ) 8a b = o a = 5 8 b = b) ( ) ( ). Je dán vektor u a bod A. Najděte souřadnice bodu B je-li A počáteční a B koncový bod vektoru u. Vpočítejte velikost vektoru u. a) u = ( ) A[ 0] b) u = ( 0 ) A[ 5 ] u = A 95 u = 65 A. c) ( ) [ ] d) ( ) [ ]. Vpočítejte směrové úhl vektoru a : a = a = 5 a) ( ) b) ( ) c) a = ( 05). Vpočítejte odchlku vektorů: a) a = ( ) b = ( ) a = 8 b = 6 b) u = ( ) v = ( 6 08) c) ( ) ( ) d) u = ( 0 ) v = ( 5 55) 5. Najděte vektor c který je kolmý k vektorům a b : a) a = ( 6 ) b = ( 7 ) b) a = ( 5 ) b = ( ) a = 76 b = 6 60 a = 0 b = 50. c) ( ) ( ) d) ( ) ( ) 6. Najděte souřadnice vektoru pro který platí: a) a = b = c a = ( ) b = ( ) c = ( 6 ) b) a = 5 b = 7 c a = ( 0 7 ) b = ( 5 ) c = ( 5 ) a = b = 6 c a = 55 b = c = c) ( ) ( ) ( ) 7. Vpočítejte obsah trojúhelníka ABC a) A[ ] B[ ] C[ ] b) A[ ] B[ ] C[ 57] c) A[ 5 ] B[ 5 ] C[ 68 ] d) A[ 75 ] B[ 7 0 ] C [ 65 6]

23 Sbírka úloh z matematik. Analtická geometrie 8. Pomocí smíšeného součinu rozhodněte zda jsou vektor kompalnární: a) a = ( ) b = ( 68 ) c = ( 5) b) a = ( 680 ) b = ( ) c = ( 987) a = 0 b = c = 679. c) ( ) ( ) ( ) 9. Vpočítejte objem tělesa: a) čtřboký jehlan ABCDV kde A[ 0 ] B[ 0 6 ] D[ 590 ] V [ 59] b) rovnoběžnostěn ABCDEFGH kde A[ 5 ] B[ 6 ] D[ 5 ] E[ 09 ]. 0. Vpočítejte vnitřní úhl trojúhelníka ABC A B C 57 a) A[ ] B[ ] C[ ] b) [ ] [ ] [ ] c) A[ 5 ] B[ 5 ] C[ 68 ] d) A[ 75 ] B[ 7 0 ] C [ 65 6]. Určete konstant m n tak ab vektor bl: a) kolineární a = ( m6 ) b = ( n) b) ortogonální (kolmé) a = ( m ) b = ( 6m ) a = m b = 0 m c =. c) komplanární ( ) ( ) ( )... Přímka a rovina v prostoru Úloh k samostatnému řešení. Napište rovnice přímk která je dána bodem a směrovým vektorem: a) A[ 5 ] s = ( 6 ) b) A[ 0 ] s = ( 8 0 ) A 55 s = 8 A 6 5 s = 0. c) [ ] ( ) d) [ ] ( ). Napište rovnice přímk která prochází dvěma bod: A B 9 6 A 57 B 57 a) [ ] [ ] b) [ ] [ ] c) A[ 6 ] B [ 6 0] d) A[ 5 79 ] B[ ].. Napište rovnice přímk která prochází bodem a je rovnoběžná s danou přímkou: A 6 p : = t = + t z = 5 t t R a) [ ] - -

24 Sbírka úloh z matematik A p : = 5 + t = t z = + t t R b) [ ] c) [ ] d) [ ] A 0 7 p : = 5 = t z = + t t R A 7 p : = 7 6 t = + 5 t z = t t R.. Analtická geometrie 5. Přímka je dána jako průsečnice dvou rovin napište její parametrické rovnice a kanonickou rovnici: + z + 6 = 0 z + 8 = 0 a) p : b) p : + z 9 = 0 + z = z + 6 = z = 0 c) p : d) p : + z = 0 + z + 0 = Bodem A veďte přímku kolmo k rovině ρ. A 5 ρ : 6 + 5z + = 0 a) [ ] b) [ ] c) [ ] d) [ ] A 07 ρ : + 6 z + = 0 A 5 87 ρ : z + = 0 A 8 ρ : = Napište parametrické rovnice a obecnou rovnici rovin která prochází třemi bod: 0 A B C 57 a) A[ ] B[ ] C [ ] b) [ ] [ ] [ ] c) A[ 5 ] B[ 5 ] C[ 68 ] d) A[ 75 ] B[ 7 0 ] C [ 65 6]. 8. Napište obecnou rovnici rovin která je dána bodem normálovým vektorem: a) A[ 6 ] n = ( ) b) A[ 0 ] n = ( 8 0 ) A 55 n = 8 A 6 5 n = 0. c) [ ] ( ) d) [ ] ( ) 9. Napište obecnou rovnici rovin která prochází bodem A a vektor u v jsou s touto rovinou komplanární: a) A[ 0 5 ] u = ( 6 ) v = ( ) b) A[ 8 ] u = ( 0 ) v = ( 05) c) A[ ] u = ( 5 ) v = ( 08) A 0 u = 7 v = 0. d) [ ] ( ) ( ) - -

25 Sbírka úloh z matematik. Analtická geometrie 0. Napište parametrické rovnice a obecnou rovnici rovin která je dána rovnoběžkami p q : p : = + t q : = r a) = t = + r z = t t R z = r r R b) p : = t q : = r = t = 8r z = + 5 t t R z = r r R c) p : = 7 + t q : = r = + t = 8 r z = 9 t t R z = 5 + r r R.. Napište parametrické rovnice a obecnou rovnici rovin která je dána různoběžkami p q : p : = t q : = + r a) = + t = r z = 7 t t R z = r r R b) p : = 5 q : = 5 + r = + t = r z = 8 + t t R z = r r R c) p : = t q : = 6r = + t = r z = 9 t t R z = r r R.. Napište parametrické rovnice a obecnou rovnici rovin která prochází bodem A a je rovnoběžná s přímkami p q : A 678 p : = + t = t z = + t q : = 7 + r = + 9 r z = r a) [ ] b) [ ] c) [ ] A p : = 5 + t = z = t q : = = r z = 0 + r A 0 56 p : = t = t z = + 8 t q : = r = z = 5r.. Napište parametrické rovnice a obecnou rovnici rovin která prochází přímkou a a je rovnoběžná s přímkou b : a) a : = 7 + t = t z = t b : = 6 r = + r z = r b) a : = 9 t = 8 + t z = 6 + t b : = r = 5 r z = 8 c) a : = 5 t = 6 + t z = 8 t b : = + r = r z =. - -

26 Sbírka úloh z matematik. Analtická geometrie. Napište obecnou rovnici rovin která prochází bodem A a je kolmá k přímce k : A 555 k : = + t = t z = 6 + t a) [ ] b) [ ] c) [ ] A k : = 5 + t = z = t A 0 56 k : = t = t z = + 8t. 5. Napište obecnou rovnici rovin která prochází bodem A a přímkou p : + z + 6 = 0 p : + 5 z + = 0 z + 8 = 0 A 0 p : + z = z + 6 = 0 A p : + z = 0. a) A[ ] b) [ ] c) [ ] 6. Napište obecnou rovnici rovin která prochází přímkou q a je rovnoběžná s přímkou p : z + = 0 a) p : q : = 6 t = + 5 t z = + t = 0 z + 8 = 0 b) p : q : = + t = t z = 0 + z = z + 6 = 0 c) p : q : = 5 t = t z = t. + z = 0.. Vzájemná poloha přímek a rovin Úloh k samostatnému řešení 7. Rozhodněte o vzájemné poloze dvou přímek určete souřadnice průsečíku jestliže eistuje: p : = t q : = + r a) = + t = 0 r z = 5 t t R z = + r r R b) p : = t q : = r = 5 + t = + r z = 7 t t R z = 5 r r R - 5 -

27 Sbírka úloh z matematik. Analtická geometrie c) d) e) f) p : = + t q : = + 9r = + t = + r z = t R z = 7 r r R p : = + t q : = r = + t = r z = t R z = r r R p : = t + z + 7 = 0 = + t q : + z 69 = 0 z = t t R p : = t + z + 7 = 0 = t q : + + z 9 = 0 z = + t t R p : = + 5t + z + 7 = 0 g) = 6 t q : + + z 0 = 0. z = 7 + t t R 8. Rozhodněte o vzájemné poloze dvou rovin určete parametrické rovnice průsečnice jestliže eistuje: α : z 8 = 0 α : z 8 = 0 a) b) β : + + 6z 9 = 0 β : + + 6z + 9 = 0 c) d) e) f) α : z 8 = 0 β : z + = 0 α : = + u v β : + + z + = 0 = u + v z = + u v u v R α : = + u v β : + 0 z + 7 = 0 = u + v z = + u v u v R α : = + u v β : = + t r = 5 u + v = 6 t + 5r z = 6 + u + v u v R z = + 6 t t r R - 6 -

28 Sbírka úloh z matematik. Analtická geometrie α : = + u v β : = 5 r g) = 5 u + v = 7 + t + 5r z = 6 + u + v u v R z = + t + 0 r t r R. 9. Rozhodněte o vzájemné poloze přímk a rovin určete souřadnice průsečíku jestliže eistuje: a : = 6 + t ρ : + + 5z + = 0 a) = 5 t z = + t t R b) c) d) e) a : = 6 + t ρ : z + 5 = 0 = 5 t z = + t t R a : = 6 + t ρ : + z = 0 = 5 t z = + t t R a : = + t ρ : = + u v = t = + u 6v z = 8 t t R z = + u v u v R a : = + t ρ : = + u v = t = 0 + u v z = 8 t t R z = 8 u u v R a : = + t ρ : = 5 u + v f) = t = 7 + u + v z = 8 t t R z = 5 5u + v u v R. 0. Rozhodněte o vzájemné poloze tří rovin: a) α : + + 6z 9 = 0 b) α : + z = 0 β : 6z + = 0 β : + 6z 9 = 0 γ : z + = 0 γ : 5 + z 7 = 0 c) α : + 6z 8 = 0 d) α : + 5z = 0 β : 6 + z + = 0 β : + z = 0 γ : + 8 7z + = 0 γ :5 + z 5 = 0-7 -

29 Sbírka úloh z matematik e) α : + z = 0 f) α : + z = 0 β : + z = 0 β : + 6z = 0 γ : + 5z 7 = 0 γ : + z = 0.. Analtická geometrie. Najděte obecnou rovnici rovin která prochází bodem M a patří danému svazku: + z + = 0 + z + = 0 a) M [ 0] + z 5 = 0 b) M [ 7 ] + z = 0.. Najděte obecnou rovnici rovin která je rovnoběžná s přímkou p a patří danému svazku: + z z + = 0 a) p : = = + z 5 = 0 b) z + 6 p : = = 0 + z + = 0 + z 5 = 0... Vzdálenosti a odchlk Úloh k samostatnému řešení. Vpočtěte vzdálenost dvou bodů: A B 9 6 a) [ ] [ ] b) A[ 57 ] B[ 57 ] c) A[ 6 ] B [ 6 0] d) A[ 5 79 ] B[ ]. Vpočtěte vzdálenost bodu od rovin: A ρ : + 8z + = 0 a) [ ] b) [ ] c) [ ] A 0 ρ : + z + = 0 A 5 ρ : 6 + 8z 8 = Vpočtěte vzdálenost rovnoběžných rovin: a) α : + 5 z + 7 = 0 β : + 0 8z + 8 = 0 b) α :5 + 7z = 0 β : 5 + 7z + = 0 c) α : + 5 z + = 0 β : 5 + z + 9 = Vpočtěte vzdálenost bodu od přímk: z a) A[ 6 ] p : = =

30 Sbírka úloh z matematik A 555 p : = + t = t z = t R b) [ ] z 0 p : = =. 6 c) A[ ]. Analtická geometrie 7. Vpočtěte vzdálenost rovnoběžných přímek: 5 a) : z : z p = = q = = b) p : = 5 = 7 + t z = 9 t t R q : = = r z = 8 r r R 9 6 c) : + + z : z + p = = q = = Vpočtěte vzdálenost mimoběžných přímek: a) : z + : z + p = = q = = z b) p : = 5 = 7 + t z = 9 t t R q : = = z + c) p : = + t = z = t t R q : = = Vpočtěte odchlku dvou přímek: p : = + t q : = + r a) = t = + 9r z = t t R z = r r R b) p : = + t q : = 5 + r = t = 9r z = + t t R z = r r R p : = t q : = + r c) = t = r z = + 9 t t R z = r r R. 0. Vpočtěte odchlku dvou rovin: α : 5 + 6z = 0 a) β : z + 6 = 0 α : z + = 0 c) β : + + z + = 0. b) α : z = 0 β : 5z + 9 = 0-9 -

31 Sbírka úloh z matematik. Vpočtěte odchlku přímk a rovin: + z a) p : = = ρ : z 5 = z + 8 b) p : = = ρ : + z + 8 = 0 c) p : = + 5 t = t z = 7 t R ρ : 5 + 6z = 0.. Analtická geometrie.5. Kolmost Úloh k samostatnému řešení. Najděte pravoúhlý průmět bodu K do rovin ρ : K 56 ρ : + z + 5 = 0 a) [ ] b) [ ] c) [ ] K 0 ρ : + z = 0 K 5 55 ρ : 5 + z + 9 = 0.. Najděte pravoúhlý průmět bodu K na přímku p : 5 z 5 a) K [ ] p : = = z + b) K [ 00 ] p : = = z + 5 c) K [ 987 ] p : = =.. Najděte pravoúhlý průmět přímk m do rovin σ : z + 8 a) m : = = σ : + z + 6 = z + 9 b) m : = = σ : + z = z + c) m : = = σ : 5 + z =

32 Sbírka úloh z matematik. Analtická geometrie 5 u =. a) = ( 0 ) b) = ( 7 9 7).. a) B[ ] 55 5 u = 5 b) B[ ] u = 5 5 c) B[ ] d) B[ ] 59 6 u = 77.. a) α = 9 β = 9 γ = b) α = 99 β = 59 γ = 9 c) α = 7 β = 90 γ = 67.. a) ϕ = 90 b) ϕ = c) ϕ = 0 d) ϕ = a) c = a b = ( 9 0) b) c = a b = ( 7 0) c) c = a b = ( 78) c = a b = 05 = = = 607. d) ( ). 6. a) ( ) b) ( ) c) ( ) 7. a) S = 90 j b) S = 5 j c) S = 0 j d) S = j. 8. a) jsou komplanární 58 b) nejsou kompalnární c) nejsou kompalnární. 9. a) V = j b) V = 5 j. 0. a) α = 0 β = 6 9 γ = 8 b) α = 6 56 β = 88 5 γ = 9 59 c) α = 0 9 β = 60 γ = 9 0 d) α = β = 0 55 γ =.. a) m = 6 n = b) m = c) m =.. a) + z 5 a : = + 6 t = t z = 5 + t t R a : = = 6 b) a : = 8 t = t z = t R c) 5 5 z a : = 5 + t = 5 8 t z = + t t R a : = = 8 d) a : = 6 t = 5 z = + t t R. b). a) z + a : = + t = + 8 t z = + 0 t t R a : = = z 7 a : = + 9 t = 5 + t z = 7 t t R a : = = 9 c) a : = 6 = z = t t R d) b) z 9 a : = t = 7 5 t z = 9 0 t t R a : = = a) z 6 a : = r = + r z = 6 5 r r R a : = = 5 z a : = + r = r z = + r r R a : = = c) a : = 0 = + r z = 7 + r r R - -

33 Sbírka úloh z matematik d) b) c) d) b) + z 7 a : = 6 r = + 5 r z = 7 + r r R a : = = a) : 0 6 : z p = + r = r z = r r p R = = z p : = + r = 8 8 r z = r r p : R = = 8 + z + p : = r = r z = 6 r r R p : = = 6 + z + p : = + 8 r = 7 r z = 9 r r R p : = = a) + z 5 p : = + 6 r = + r z = 5 5 r r R p : = = 6 5 z 7 p : = r = 6 r z = 7 r r R p : = = 6. Analtická geometrie c) p : = 5 + r = 8 z = 7 r r R d) p : = + 5 r = r z = r R. 7. a) α : = + t r = t z = + t + r t r R α : + + z = 0 b) α : = + t r = + t + r z = + t + 6 r t r R α : + z = 0 c) α : = + t + 8 r = + t + r z = 5 t 6 r t r R α : + z = 0 d) α : = 7 + r = 5 t z = + t r t r R α : + + z + 8 = a) α : + + z 6 = 0 b) α :8 + = 0 c) α : 8 + z + = 0 d) α : + z + 8 = a) α : z + 5 = 0 b) α : + 5 z + = 0 c) α : 5 5 = 0 d) α : + + z = a) α : = + u + v = u + v z = u + v u v R α : z + 9 = 0 b) α : = u v = u z = + 5u + 5 v u v R α : 5 + z 6 = 0 c) α : = 7 + u v = + u v z = 9 u v u v R α :8 + z + 67 = 0.. a) α : = u + v = + u v z = 7 u + 5 v u v R α : z = 0 b) α : = 5 + v = + u v z = 8 + u + 5 v u v R α : 7 + z 5 = 0 c) α : = u 6 v = + u v z = 9 u + 7 v u v R α : + z 7 = 0.. a) α : = 6 + u + v = 7 + 6u + 9 v z = 8 + u v u v R α : + + = 0 b) α : = + u = v z = u + v u v R α : + + z = 0 c) α : = u v = 5 u z = 6 + 8u 5 v u v R α :5 z + =

34 Sbírka úloh z matematik. Analtická geometrie. a) α : = 7 + u 6 v = u + v z = u v u v R α : + 9 z 5 = 0 b) α : = 9 u + v = 8 + u 5 v z = 6 + u u v R α : z 95 = 0 c) α : = 5 u + v = 6 + u v z = 8 u u v R α : + 8z + 8 = 0.. a) α : + z 0 = 0 b) α : 7 = 0 c) α : + 8z 6 = a) α : + 9 7z = 0 b) α : z 06 = 0 c) α : 7 + 5z + 6 = a) α : + + z 7 = 0 b) α : + + z = 0 c) α : + z = a) přímk jsou totožné b) přímk jsou rovnoběžné c) přímk jsou různoběžné průsečík je R [ 6] d) přímk jsou mimoběžné e) přímk jsou různoběžné průsečík je R[ 0 6] f) přímk jsou mimoběžné g) přímk jsou rovnoběžné. 8. a) rovin jsou totožné b) rovin jsou rovnoběžné c) rovin jsou různoběžné průsečnice je r : = 0 t = 6 t z = 9 + t t R d) rovin jsou různoběžné průsečnice je r : = t = + 5 t z = t t R e) rovin jsou totožné f) rovin jsou různoběžné průsečnice je 7 r : = = 5 + s z = + 6 s s R g) rovin jsou rovnoběžné. 9. a) přímka je s rovinou rovnoběžná b) přímka leží v rovině c) přímka je s rovinou různoběžná průsečík je R[ 78] d) přímka je s rovinou rovnoběžná e) přímka leží v rovině f) přímka je s rovinou různoběžná průsečík je R [ 00 ]. 0. a) rovin jsou rovnoběžné nemají žádný společný bod b) dvě rovin jsou rovnoběžné třetí je s nimi různoběžná nemají žádný společný bod c) rovin jsou různoběžné nemají žádný společný bod tvoří střechu d) rovin jsou různoběžné mají společnou přímku = + t = t z = 9t e) rovin jsou různoběžné mají společný jeden bod R [ ] f) rovin jsou různoběžné mají společný jeden bod [ 5 ] R.. a) + + z 5 = 0 b) + z + 9 = 0.. a) z + = 0 b) + z 6 = 0.. a) AB = 8 j b) AB = j c) AB = j d) AB = 7 j.. a) Aρ = 5 7 j b) Aρ = 85 j c) Aρ = 66 j. 5. a) αβ = 0 j b) αβ = 69 j c) αβ = 5 j. 6. a) Ap = 6 j b) Ap = 755 j c) Ap = 88 j. 7. a) pq = 6 j b) pq = 7 j c) pq = 09 j. 8. a) pq = j b) pq = 5 j c) pq = 58 j. 9. a) ϕ = 0 b) ϕ = 6 9 c) ϕ = a) ϕ = 86 9 b) ϕ = 90 c) ϕ =

35 Sbírka úloh z matematik. a) ϕ = 9 b) ϕ = 90 c) 0. Analtická geometrie ϕ =.. a) K [ 7] b) [ 8 5] K c) K [ 5 ].. a) K [ 5] b) K [ 0 ] c) [ 5 ] K.. a) m : = 6 s = s z = 7 s s R b) m : = s = s z = + s s R c) m : = + s = z = 5 s s R. - -

36 Sbírka úloh z matematik. Funkce jedné proměnné. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Definiční obor funkce... 6 Úloh k samostatnému řešení Parita funkce... 6 Úloh k samostatnému řešení Limita funkce... 7 Úloh k samostatnému řešení

37 Sbírka úloh z matematik. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. Funkce jedné proměnné.. Definiční obor funkce Úloh k samostatnému řešení. Určete definiční obor funkce: a) f ( ) = ln b) f ( ) c) ln e) f ( ) g) f ( ) 5 = d) ( ) tg arcsin = f) ( + ) = arccos 9 π f = + = ln ln = h) = log + arcsin + 6 i) cotg π + = + j) = arccos + + π k) = + l) = tg 6 sin m) = n) = sin cos + o) = arctg + p) ln sin π = +... Parita funkce Úloh k samostatnému řešení. Rozhodněte zda je funkce sudá nebo lichá: sin cos a) f ( ) c) f ( ) = e) f ( ) sin + cos g) f ( ) = h) + i) = b) ( ) ( ) f = cos + f = tg sin + d) ( ) ( ) = f) ( ) f = + 5sin 6 = ln + 6 = cos + j) arccos =

38 Sbírka úloh z matematik.. Limita funkce. Funkce jedné proměnné Úloh k samostatnému řešení. Vpočítejte limitu: a) lim b) lim c) lim d) lim e) 5 lim Vpočítejte limitu: a) d) lim 0 lim b) lim c) lim e) + lim f) lim Vpočítejte limitu: + a) lim b) lim c) + lim d) lim ( ) ( ) + e) lim g) lim + h) lim +. + f) + lim 0 6. Vpočítejte limitu: sin a) lim b) 0 d) tg lim 0 sin e) tg lim 0 c) sin lim 0 sin f) lim 0 sin sin + tg lim 0 g) j) sin tg lim h) 0 sin lim. 0 tg sin tg lim 0 sin sin + i) lim 0 sin - 7 -

39 Sbírka úloh z matematik 7. Vpočítejte limitu: a) d) lim sin b) 0 + lim 0 tg +. lim 0 8. Vpočítejte limitu: sin ( ) a) lim b) d) lim. 5 tg 5 ( ) tg + 9 c) lim 0. Funkce jedné proměnné + + tg ( ) c) sin ( ) lim tg lim 9. Vpočítejte limitu: a) d) g) j) + + lim b) + lim c) lim lim + e) + lim + + f) + lim + lim h) + lim i) lim ( + ) 0 lim 0 k) lim ( tg ) 0 cotg. 0. Vpočítejte limitu: 5 + a) lim ± b) lim ± c) lim ± Vpočítejte limitu: a) c) lim lim + b) d) lim + + lim

40 Sbírka úloh z matematik. Funkce jedné proměnné. Vpočítejte limitu: a) lim ( ) + b) lim ( ) d) lim ( ) + e) lim ( ) + c) lim ( )

41 Sbírka úloh z matematik. Funkce jedné proměnné. a) ( 05) D = b) D = 6 0 c) D = ) d) f f f D f = R π + kπ e) D f = f) ( ) D f = g) D f = ( ) h) D f = 70) π π π π i) D f = 6 6 j) D f = D f = ( ( ) l) D f = { π + kπ} k) ) n) D f 5 π π kπ = + o) ( ) ( ) f R m) D = + p) D f D f = R kπ π = π + kπ.. a) lichá b) ani sudá ani lichá c) lichá d) sudá e) ani sudá ani lichá f) ani sudá ani lichá g) sudá h) lichá i) lichá j) ani sudá ani lichá.. a) e).. a) b) 8 c) 0 d) 6 e) 5 f) b) c) 0 d) a) b) ± c) d) + e) ± f) ± g) h) ±. 6. a) b) c) d) e) f) g) h) 5 i) b) 5 j) a) 8 b) 6 8 c) d) a) b) 5 e c) e d) e e) 9 e f) e g) h) 0 i) e j) e k) c) d) a) e e. 0. a) 7 b) 0 c) ±.. a) 0 b) c) d).. a) b) 0 c) 0 d) e)

42 Sbírka úloh z matematik. Diferenciální počet funkce jedné proměnné. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ..... Derivace... Úloh k samostatnému řešení..... Tečna a normála... 5 Úloh k samostatnému řešení Talorův a Maclaurinův polnom... 5 Úloh k samostatnému řešení L Hospitalovo pravidlo... 6 Úloh k samostatnému řešení Průběh funkce... 7 Úloh k samostatnému řešení

43 Sbírka úloh z matematik. Diferenciální počet funkce jedné proměnné. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ.. Derivace Úloh k samostatnému řešení. Derivujte: a) = + b) c) 5 = +. =. Derivujte: = + b) = + ( 6 ) a) ( )( ) c) = ( ).. Derivujte: + a) = b) = c) + = +.. Derivujte: a) = sin cos b) = e ln c) = cos d) = arcsin. 5. Derivujte: arctg arctg a) = b) = c) ln tg arccotg =. arccos 6. Derivujte: ln sin a) = cotg b) arccos tg = ln + log. e = c) ( ) arccotg - -

44 Sbírka úloh z matematik. Diferenciální počet funkce jedné proměnné 7. Derivujte: a) c) = + 6 b) = ( ) 7 = Derivujte: = sin + b) cos( 5 + ) a) ( ) = c) = tg( ) + d) = cotg. 9. Derivujte: a) = sin b) = cos c) = tg d) =. cotg 0. Derivujte: a) sin( cos) = b) d) = cotg +.. Derivujte: a) d) sin = b) + cotg =. + sin = cos c) = c) sin = tg ( 6) sin = tg. Derivujte: a) = log ( + ) b) = ln c) d) = lnsin e) ln ln e g) = ln h) + e j) lnarcsin = ln = log arctg = f) ( ) cos = ln i) = ln sin = k) = log ( log ( ln( )

45 Sbírka úloh z matematik. Diferenciální počet funkce jedné proměnné. Derivujte: e sin + cos a) = b) e + ln sin sin d) = 5 e) = sin e f) g) arcsin = e h) cotg cotg j) = + e. + = c) = arccos ( ) = i) ln tg = e sin e = sin. Derivujte: a) = arcsin b) = arctg c) = arccos. 5. Derivujte: a) = arccotg b) = arcsin c) = arctg + arcsin. 6. Derivujte: a) + sin = arccotg b) = arcsin sin d) arccos ( e ) =. 7. Derivujte: a) = b) ( sin ) cos d) = ( sin ) sin e) ( arctg ) sin 8. Vpočítejte druhou derivaci: a) = b) d) e = e) c) arctg( ln ) = = c) ( ) tg = f) = + c) sin = + = + = ln = f) arctg ( ) = Derivujte funkce dané parametrick: = r cost a) b) = r sin t ( sin ) ( cos ) = a t t = a t - -

46 Sbírka úloh z matematik c) e) = = at = + t a cos t a sin t d) f) at = + t. Diferenciální počet funkce jedné proměnné = a cost a cos t = a sin t a sin t = a cost. = bsin t.. Tečna a normála Úloh k samostatnému řešení 0. Napište rovnici tečn a normál ke křivce = + 6 v bodě T [? ].. Napište rovnici tečn a normál ke křivce sin. Napište rovnici tečn a normál ke křivce e cos = v bodech [ ] = v bodě [ 0? ] T 0? a T π?. T.. Napište rovnici tečn ke křivce a : + + = 0.. Napište rovnici tečn ke křivce 5. Napište rovnici tečn ke křivce 6. Napište rovnice tečen ke křivce = + která je rovnoběžná s přímkou = e která je rovnoběžná s přímkou a : 0 + =. = + která je kolmá k přímce p : + = 0. = + které procházejí bodem [ ] P. 7. Určete konstantu a tak ab přímka p : = bla tečnou křivk = + a... Talorův a Maclaurinův polnom Úloh k samostatnému řešení 8. Sestavte pro danou funkci Talorův polnom n-tého řádu v okolí bodu 0 : a) = 0 = n = b) = ln 0 = e n = π c) = sin 0 = n = d) π = 0 = n = sin e) = ln ( + ) 0 = n = f) = 0 = n =

47 Sbírka úloh z matematik. Diferenciální počet funkce jedné proměnné 9. Sestavte pro danou funkci Maclaurinův polnom n-tého řádu: a) = tg n = b) = sin n = 6 c) = cos n = 6 d) = e n = 5 e) = + n = f) = e n = 5... L Hospitalovo pravidlo Úloh k samostatnému řešení 0. Vpočítejte limitu L Hospitalovým pravidlem: a) lim + b) ln ( + ) lim c) lim + 5 d) sin lim 0 + sin e) tg lim 0 + sin f) lim sin + π arctg g) lim. + ln. Vpočítejte limitu L Hospitalovým pravidlem: a) lim ln b) lim sin + 0 c) lim e d) lim cos.. Vpočítejte limitu L Hospitalovým pravidlem: a) lim b) lim cotg 0 c) lim 0 sin d) lim ln

48 Sbírka úloh z matematik. Diferenciální počet funkce jedné proměnné. Vpočítejte limitu L Hospitalovým pravidlem: a) lim c) ( ) 0 lim cos + sin b) ( ) lim e + d) 0 sin lim 0 sin sin..5. Průběh funkce Úloh k samostatnému řešení. Najděte interval monotonnosti funkce a její etrém: a) = + 5 b) = + c) = e + d) = ln + e) = arctg + f) = sin cos g) = arcsin + h) + = ln. 5. Najděte interval na kterých je funkce konvení a konkávní najděte inflení bod: a) = b) = + c) = + d) ln = e) = arctg + f) g) ( ) = e + = + 5 e h) = sin cos. 6. Určete globální (absolutní) etrém funkce na daném intervalu: a) = + I = 69 b) = I = ) + c) I = + 9 = d) I = + 5 = 0 π e) = + sin I = π f) + = e I = g) e I = = h) ( ) = arctg I =

49 Sbírka úloh z matematik 7. Určete rovnice asmptot funkce: + a) = e b) = 5 c) arctg + + = d) = + + e) = 9 f) arctg = + g) 6 = + 6 h) + =. 8. Všetřete průběh funkce: a) = b) = 8 c) = e d) = arctg e) = ln f) = + + g) = sin + cos h) = i) = j) sin + = + k) = ln l) = e + e m = n) = + + o) = arctg p) = cos + q) = + r) = s) = + t) ln = + + u) = ( + + ) e v) = + + w) = z) = + 8. e. Diferenciální počet funkce jedné proměnné - 8 -

50 Sbírka úloh z matematik. Diferenciální počet funkce jedné proměnné. a) = + b) + = c) = a) = b) 9 80 = c) =.. a) = b) = c) + ( ) = ( + ). e arcsin. a) = cos b) = e ln + c) = cos sin d) = +. c) 5. a) = ( + ) ( + ) ln ln arctg = b) ( ) ( ) + arccotg arccos. + arccos ( + ) ( + ) sin sin cos arctg = 6. a) ln sin + cos sin + ln cos sin = cos b) c) ( ) sin cos arccos sin cos + = sin ( ln0 + ) ( ) ( + ) arccotg + + arccotg = ( ln + log ). 7. a) e ln0 e = + 6 = + c) b) 0 ( 6 5 ) 6 8. a) = cos( + ) b) ( ) sin ( 5 ) + 6 = = + c) ( + ) ( + ) 5 = ( ) cos d) =. 9. a) = sin b) = cos sin ( ) + sin c) = d) =. 0. a) = cos( cos ) sin cos tg cos sin cotg ( ) b) = sin c) 8cos 6 = = tg 6 cos 6 sin 6 ( ) ( ) ( )

51 Sbírka úloh z matematik. Diferenciální počet funkce jedné proměnné ( + ) a) ( cos ) ( + ) ( sin ) = + d) = sin ( ) sin cos tg cos sin cos sin b) = c) = sin sin sin + ( ) ( ) + sin + sin cos cos d) =.. a) sin + sin = ln ( + ) b) ln = c) h) = d) = cotg e) = f) ln = ln ( + ) = i) = ln + j) = cos e g) = arctg e arcsin k) = ( ) ( ) ( ) ( ) ln ln + log ln + ln +.. a) = e ( e + ) = cos sin ln c) = sin + cos b) ( ) e) sin sin cos = + sin cos f) e e ln = i) sin h) cotg sgn. a) = b) + ln + tg ln d) lnsin = 5 cotg ln 5 ln tg = e + cos g) arcsin e sin sin sin e cos e = j) = e sin = ( + ) ( ) cotg + = ( + ) + sin. sin + ( ) sgn c) =. 5. a) = + b) b) = c) = ( ) cos sin ( ) ( ) sin c) + + = = = ( + ). 6. a) ( + ) ln ( + ln ) d) = ( sin + cos ) sin e e sin. 7. a) = ( ln + ) b) ( ) c) ( ) ( + ) tg ln tg = + + cos + d) ( sin ) sin cos cos = sin sin ln sin + sin cos cos ln sin = sin

52 Sbírka úloh z matematik. Diferenciální počet funkce jedné proměnné sin sin = arctg cos ln arctg + f) ( + ) arctg e) ( ) + ln = a) = b) = d) 9 e ( + ) = e) ( ) 9. a) = cotgt b) e) ( t ) t = t = ( + ) + c) ( ) = sin 9 + cos f) = sin t = c) = tgt d) cost b f) = cotg t. 0. t : = 8 5 a + + ( + ) cost cos t = sin t sin t 5 n : = t : = 0 n : = 0 t : = n : = π.. t : = + n : =.. t : = n : = +.. t : = t : =. 6. t : = 6 8 t : =. 7. a = a = a) T ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 = = + + e e e e b) T ( ) ( ) ( ) ( ) c) T π π π π π = + d) T e) T ln ( ) ( ) ( ) = f) T ( ) ( ) ( ) ( ) d) f) 9. a) = M = + b) M 5 M!!! 5! 5 6 = + c) 5 5 = + + e) M = a) g).. a) 0 b) c) b) e c) e d) e. d) π = M = + 5 M = + + b) 0 c) d) e) 5 f) 0.. a) b) c) ± d).. a)

53 Sbírka úloh z matematik. Diferenciální počet funkce jedné proměnné Rր 75 ց 7. a) = : ( ) : ma min [ ] D f b) D = { } : ( 8 ) ( 0 ) : ( 8 ) ( 0 ) ma [ 8 6 ] min [ 00] f R ր ց 5 c) D = : ( ) : ( ) min e f Rր ց d) D = ( ) ( ) :( ) ( ) f e) = ( ) ( ) D f ր Rր : 0 ց π : 0 min 0 π π π π π π f) D f = Rր : + kπ : + kπ ma + kπ min + kπ ց g) D f = : ր h) D = ( ) : ( ) ( ) :( ) ma [ 08 ] min [ 08] f ր ց. 5. a) D = R : ( ) :( ) IB [ ] b) D = { } :( ) :( ) c) D = R : R f f d) D = ( 0) ( ) :( 0 ) : ( ) f) D = : ( ) : ( ) IB e f R f g) D = : ( ) :( ) ( ) IB 0 e IB [ e] f R π π f R e) D = R : R h) D = R : 0 + kπ : 0 + kπ IB [ kπ 0]. 6. a) ma [ 66 ] min [ ] b) f ma není min e) [ π ] c) ma [ 7 ] min [ 8 ] ma min π h) [ ] f d) ma 6 min 0 5 f) ma [ ] min e g) ma e min [ 00] ma 0 min a) 0 = b) 5 = = zleva zprava + 9 π c) = d) = + e) = 0 = zleva zprava + = zleva zprava + π π f) = + = g) = = zleva + zprava h) = = zleva zprava + = zleva zprava

54 Sbírka úloh z matematik 8. a) b). Diferenciální počet funkce jedné proměnné = - = = 8- = - = = - - = c) d) MAX =e - IB π =arctg - - = π IB - π e) f) - 6 =.ln 5 = + + e - e - 0 IB min

55 Sbírka úloh z matematik g) h). Diferenciální počet funkce jedné proměnné - π π - π =sin+cos 5π MAX 0 IB 8 6 = min i) j) = +- 6 = sin MAX - MAX IB IB IB = - - = min k) l) = - =ln + - MAX =e =

56 Sbírka úloh z matematik m) n) = IB Diferenciální počet funkce jedné proměnné = e min o) p) =arctg π π - - inflení bod lokální etrém 6 5 = -cos - π - π - 5 π π π π 7π π q) r) 8 7 = - + =

57 Sbírka úloh z matematik s) t) 6 5 = Diferenciální počet funkce jedné proměnné =ln - t) u) 5 5 =( ++)e = ++ + IB IB v) z) 5 = + e IB IB 5-5 IB IB =

58 Sbírka úloh z matematik 5. Integrální počet 5. INTEGRÁLNÍ POČET Integrace rozkladem Úloh k samostatnému řešení Jednoduché substituce Úloh k samostatnému řešení Per partes Úloh k samostatnému řešení Integrace racionální lomené funkce Úloh k samostatnému řešení Iracionální funkce... 6 Úloh k samostatnému řešení Goniometrické funkce... 6 Úloh k samostatnému řešení

59 Sbírka úloh z matematik 5. INTEGRÁLNÍ POČET 5. Integrální počet 5.. Integrace rozkladem Úloh k samostatnému řešení. Vpočítejte integrál: a) d) g) j) 6 + d 5 b) + + d e) d h) e d k) e + + d c) 9 d f) + d i) e d l). Vpočítejte integrál: a) + d b) d) d e) + g) d h) + j) d k) + + d c) 5 d + 5 f) + d i) d l) + d ( + ) d ( ) d e e d. e d d d + ( + ) d. +. Vpočítejte integrál: a) ( sin cos ) d b) sin cos d c) cos d sin + cos d) cos d e) d f) sin cos sin cos d. cos cos g) d h) sin d i) cos sin + cos d.. Vpočítejte integrál: sin a) d b) cos e d c) e + + d ( ln )

60 Sbírka úloh z matematik 5. Integrální počet d) + d e) + sin g) d h) sin + arctg d f) sin d cos + ( ) 5.. Jednoduché substituce e + e + + d i) + + d Úloh k samostatnému řešení 5. Vpočítejte integrál: a) e d d) b) cos( + ) e) ( ) d cos d c) sin d d f) d + g) sin 5 d h) 6. Vpočítejte integrál: a) ( e + e + 5) e d b) d) g) tg d cos e) arccotg h) + d d i) sin cos d c) ( cotg ) d f) sin ln + ln 8 d i) d. 9 sin d arctg d + + arcsin d. 5.. Per partes Úloh k samostatnému řešení 7. Vpočítejte integrál: a) e d b) ( + ) cos d e) d) ( ) e d c) ( + ) tg d f) ln d sin d g) arcsin d h) arctg d i) arccos d j) arccotg d k) ( + ) ln d l) arctg d m) sin d n) e cos d o) e sin d

61 Sbírka úloh z matematik ln p) d q) d cos r) ln d s) d t) sin ln d u) e sin d. 5. Integrální počet 5.. Integrace racionální lomené funkce Úloh k samostatnému řešení 8. Vpočítejte integrál: a) + d + 5 b) d c) + d 5 + d) d e) d + + f) + d 5 + g) d h) d + i) d j) d k) d l) ( )( ) 6 d. ( )( + ) 9. Vpočítejte integrál: a) d b) + d) g) ( ) d e) ( ) d h) ( + ) 5 d c) ( ) d f) ( ) + d i) ( ) d ( + ) 0 6 d ( ) d. ( + 5)( 5) 0. Vpočítejte integrál: a) d + + b) ( )( ) d) d e) d c) ( + )( + ) + 6 d f) ( + 9)( ) 6 d ( + )( + ) + + d ( + 9)( )

62 Sbírka úloh z matematik 5. Integrální počet g) j) d h) ( )( + ) 6 + d k) + d i) + d ( + + )( 5 + ) d l) ( + )( ) + 8 d Vpočítejte integrál: a) d) g) j) d + b) d e) + d h) ( + ) 6 6 d k) ( ) d c) d f) d i) ( + )( + ) 5 d l) ( + )( ) d d + + ( ) d d Iracionální funkce Úloh k samostatnému řešení. Vpočítejte integrál: a) d b) d) g) j) d e) 5 + d h) + d k) + d c) d f) + + d i) + d l) + d d + d +. d 5.6. Goniometrické funkce Úloh k samostatnému řešení. Vpočítejte integrál: a) sin cos d b) sin cos d c) sin cos d - 6 -

63 Sbírka úloh z matematik 5. Integrální počet cos cos sin d) d e) d sin f) sin d cos + sin g) d 5 h) tg d cos i) sin d cos j) d k) 6 d cos l) sin d cos sin sin cos m) d n) cos d o) + sin d sin cos 6 cos sin cos p) d q) d sin r) 6 sin + cos + d sin cos sin sin s) d t) d cos + u) sin + d cos + v) d w) sin cos d z) sin + cos d. sin cos + sin ( ) - 6 -

64 Sbírka úloh z matematik 5. Integrální počet. a) + c b) c c) ln + ln + c d) + + c e) + c f) 8 + 6ln + c g) c 5 h) c i) c j) e + c k) 8 5 l) e ln + c e + c.. a) ln + + c b) ln + + c c) ln + + c d) + + ln + c e) + 0 ln c f) + + ln + + c g) j) ln + c h) ln + c i) ln arctg c k) c l) ln arctg + + ln + + c ln c a) cos sin + c b) tg + c c) cos + sin + c d) + sin e) tg cotg + c f) cos + c g) cotg + c h) cotg tg + c i) tg + c.. a) ln cos + c b) ln e + + c c) ln ln + + c d) ln + + c e) ln arctg + c f) ln cos + + c g) ln sin + c h) ln e c i) ln c. 5. a) e + c b) sin ( + ) + c c) cos + c d) tg + c e) ( ) 5 + c f) arctg + c g) 0 cotg5 + c h) 5 ln + c i) arcsin + c. 6. a) e + e + 5e + c b) cos + c c) cos + c d) tg + c e) ( cotg ) 5 + c f) 5 h) ln + ln 8ln + c i) arcsin b) e ( ) arctg + c g) a) arcsin c + c) sin ( + ) cos + c d) ( ) arccotg 5 + c 5 e e c sin + cos + c - 6 -

65 Sbírka úloh z matematik 5. Integrální počet e) h) tg + ln cos + c f) ln + c g) arctg ln + + i) c arccos c + j) arcsin c + + arccotg + ln + + c k) + ln + c 9 l) arctg + arctg + c m) sin cos + c 8 e e n) ( sin + cos ) + c o) ( sin cos ) q) + c p) tg + ln cos + c ln c + r) ln + c s) arcsin + + c t) ( sin ln cosln ) + c u) ( sin cos ) b) ln ( ) + + c c) ln + e 5 + c. 8. a) ln + ( ) ( ) + c + + c d) ln + ln + + c = ln + c + e) ln ( + ) + c f) ln + c g) + ln + + c h) ln ( + ) ( ) + c i) + ln + + c j) ln c k) ln + c l) ln ( ) ( ) + + c. 9. a) + ln + c + + ( ) b) ( ) ( ) + c c) + + c d) ln + + c e) ln + c f) + ln + + c + g) + ln + + c h) ln c + i) ln c a) ln c b) arctg arctg + c c) + arctg arctg + ln + c + d) ln + + c e) arctg + ln + c f) ln + 9 ln arctg + c g) arctg ln ln c ln 5 + arctg + + c h) ( ) i) ln + + c j) ln + + ln + + c k) arctg + c - 6 -

66 Sbírka úloh z matematik 5. Integrální počet l) ln ( 6) c.. a) + + ln + + c b) ln + + c c) ln + c d) + + ln + c e) ln + c f) ln + c g) arctg ln c h) k) arctg ln c i) ln + + c j) ln arctg + c l) ln ln c a) ( ) ln + c + c b) ( ) ln 8 c) ( ) arcsin c + + c d) c e) ln c f) ln c g) ( ) c h) + ln + c + + i) j) arctg + c ln c + + ln + k) ( ) c l) arctg + c.. a) sin + c b) sin + c c) cos + c d) + c e) sin ln sin sin + c f) arc cotg ( cos ) + c g) tg + c h) tg tg ln tg c i) ln tg + c j) ln tg + ln tg + c k) 5 cotg cotg + c l) ln tg + c 5 sin m) cos ln + c cos + arctg sin n) ( ) + c o) tg ln + tg + c p) sin + c sin q) 5 cotg cotg c r) + cotg + c 5 ln tg ln tg

67 Sbírka úloh z matematik s) tg + c t) c + + u) + tg 5. Integrální počet c cos + v) ln tg ln tg + c tg + w) ln + c z) tg ln tg tg + + c

68 Sbírka úloh z matematik 6.Určitý integrál 6. URČITÝ INTEGRÁL Výpočet určitého integrálu Úloh k samostatnému řešení Geometrické aplikace Obsah rovinného obrazce Úloh k samostatnému řešení Délka oblouku rovinné křivk Úloh k samostatnému řešení Objem rotačního tělesa Úloh k samostatnému řešení Povrch rotačního tělesa... 7 Úloh k samostatnému řešení Nevlastní integrál... 7 Úloh k samostatnému řešení Nápověda k úlohám k samostatnému řešení... 7 Obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkami... 7 Délku oblouku rovinné křivk Objem rotačního tělesa které vznikne rotací dané ploch kolem os Objem rotačního tělesa které vznikne rotací dané ploch kolem os Povrch tělesa které vznikne rotací křivk kolem os

69 Sbírka úloh z matematik 6. URČITÝ INTEGRÁL 6.Určitý integrál 6.. Výpočet určitého integrálu Úloh k samostatnému řešení. Vpočítejte integrál: a) c) e) g) i) k) π + d b) ( cos sin + ) d d) 0 π sin d π sin f) π tg d h) 0 + d j) + 0 d l) + 0. Vpočítejte integrál: e d b) 0 a) ( ) c) e) g) i) k) π sin d d) 0 π cos d f) π π 0 d d π cos d cos 0 e + d 0 π sin d + cos 0 d. + 0 e d ln d arctg d e sin d h) ( + ) sin d e π ln d j) ( ) 0 0 π 0 cos d π d l) ln ( + ) 0 0 cos d

70 Sbírka úloh z matematik. Vpočítejte integrál: + d a) b) 0 π tg d) d cos 0 e ( e + ) g) d e + e + 0 h) j) + d k) e) sin ( π ) ( ) 0 d c) + 0 d f) 0 π sin d i) + cos 0 π sin + d l) cos 0. Vpočítejte integrál: a) d b) ( + ) d c) d) + d e) ( + ) ( )( ) 5 + d f) + π sin cos d 0 e 5ln d d e d d 5 d. 6 6.Určitý integrál 6.. Geometrické aplikace 6... Obsah rovinného obrazce Úloh k samostatnému řešení 5. Vpočítejte obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkami: a) = 0 = 0 + = 0 b) = 0 = = 6 c) = sin + = 0 0 π d) = e = e = e = ln = 0 = 5 e) ( ) f) = + = 8 g) = r cos t = r sin t t 0π kružnice h) = a cos t = bsin t t 0π elipsa = r t sin t = r cos t t 0 π ckloida i) ( ) ( ) j) = asin tcos t = asin t t 0 π. Neumím nakreslit obrázek

71 Sbírka úloh z matematik 6... Délka oblouku rovinné křivk 6.Určitý integrál Úloh k samostatnému řešení 6. Vpočítejte délku oblouku rovinné křivk: π a) = ln cos 0 b) = arcsin + 0 c) = ln d) ( ) = ln 0 e) = arccos 0 e + f) = ln e g) = cos t = sin t t 0π h) π = a t = a t t asteroida cos sin 0 t = t = t t 0 j) t t π = e sin t = e cos t t 0. i) ( ) Neumím nakreslit obrázek 6... Objem rotačního tělesa Úloh k samostatnému řešení 7. Vpočítejte objem rotačního tělesa které vznikne rotací dané ploch kolem os : a) = = 0 b) = ln = 0 = e c) = = = = 0 π d) = sin = 0 = e) = = f) = arccos = 0 = = a t sin t = a cos t t 0 π a > 0 g) ( ) ( ) h) = cos t = sin t t 0π i) = a cos t = bsin t t 0π j) π = a t = a t t. cos sin 0 Neumím nakreslit obrázek

72 Sbírka úloh z matematik 6.Určitý integrál 8. Vpočítejte objem rotačního tělesa které vznikne rotací dané ploch kolem os : a) = = 0 b) = = = 0 c) = = = π d) = sin = 0 =. Neumím nakreslit obrázek 6... Povrch rotačního tělesa Úloh k samostatnému řešení 9. Vpočítejte povrch tělesa které vznikne rotací křivk kolem os : a) = b) = c) = 0 = e + e 0 = a sin t = a sin t t 0 π d) ( ) e) = a t sin t = a cos t t 0 π a > 0 f) ( ) ( ) g) = r cos t = r sin t t 0 π h) t t π = e sin t = e cos t t 0 i) π = a t = a t t. cos sin 0 Neumím nakreslit obrázek 6.. Nevlastní integrál Úloh k samostatnému řešení 0. Vpočítejte nevlastní integrál: a) d) d b) d e) 0 ( + ) d c) e d f) ln d 0 π 6 0 ( + ) cos d sin - 7 -

73 Sbírka úloh z matematik 6.Určitý integrál g) d h) + sin d i) ( ) e d j) + d k) d l) e d

74 Sbírka úloh z matematik 6.Určitý integrál. a) 7 π ln + b) π c) ln + d) 5 ln e) 6 π π 7 f) g) π h) e 0 i) ln ln ln0 + j) ln k) l) π.. a) e b) 5 e e c) π d) 8 ln 7 e) 0 f) π e π g) + h) π π i) e j) π 8 k) g) b) π ln l) e ln.. a) b) ln c) d) e) f) π + e + h) 5 8 π i) e + π ln j) k) l) ln +.. a) 5 ln + 8 π ln 5 c) ln d) 8 π ln + e) ln + f) ln e) 8ln f) 5 g) π r h) π ab i) c) ln + 5 d) h) π i) j) e. 7. a) 5 f) π π g) 5π a h) π i) π r j) ln 7 π d) π. 9. a) 5 π b) ( ) a) 6 b) 9 c) π + d) a. 6. a) ln ( ) e) f) ( e e ) 5 π b) ( e ) + b) ln + + g) π π c) 6π d) π 5 e) π π ab j) 5 05 π a. 8. a) 8π b) 5 π c) π π e e + e) c) π d) ( ) π a f) 6 π a g) π h) ( e π ) r π i) π a. 0. a) diverguje b) c) diverguje π d) π e) diverguje f) g) 0 h) diverguje i) 0 j) k) ln l)

75 Sbírka úloh z matematik 6.Určitý integrál Nápověda k úlohám k samostatnému řešení Obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkami a) b) 5 =- + = = c) d) =e =sin+ =e - =e π e) f) =- -+ =ln(-) = =

76 Sbírka úloh z matematik g) h) 6.Určitý integrál =rcost =rsint =acost =bsint i) j) 8 6 =a(t-sint) =a(-cost) =asintcost =asint Délku oblouku rovinné křivk a) b) π 0 =arcsin =ln(cos) - =arcsin

77 Sbírka úloh z matematik 6.Určitý integrál c) d) =ln 0 0 =ln(- ) - - e) f) 0 = - -arccos =ln e + e g) h) =rcost =rsint =acos t =asin t

78 Sbírka úloh z matematik 6.Určitý integrál i) j) =e t sint =e t cost =t = t (t -) Objem rotačního tělesa které vznikne rotací dané ploch kolem os a) b) = =ln =e = c) d) =sin = π = = 0 =

79 Sbírka úloh z matematik 6.Určitý integrál e) f) = =arccos = 0 0 g) h) 8 6 =a(t-sint) =a(-cost) =rcost =rsint i) j) =acost =bsint =acos t =asin t

80 Sbírka úloh z matematik 6.Určitý integrál Objem rotačního tělesa které vznikne rotací dané ploch kolem os a) b) = = - = = c) d = =sin =- = = π Povrch tělesa které vznikne rotací křivk kolem os a) b) =- =- = = 0 9 = =

81 Sbírka úloh z matematik 6.Určitý integrál c) d) = (e +e - ) = = =0 = 0 0 e) f) =asint =asin t 8 6 =a(t-sint) =a(-cost) g) h) =rcost =rsint =e t sint =e t cost

82 Sbírka úloh z matematik 6.Určitý integrál i) =acos t =asin t

83 Sbírka úloh z matematik 7. Diferenciální počet funkcí více proměnných 7. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH Definiční oblasti... 8 Úloh k samostatnému řešení Parciální derivace... 8 Úloh k samostatnému řešení Tečná rovina a normála... 8 Úloh k samostatnému řešení Lokální etrém vázané etrém Úloh k samostatnému řešení