F (x) = f(x). Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak existuje k funkci f primitivní funkce na intervalu I.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "F (x) = f(x). Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak existuje k funkci f primitivní funkce na intervalu I."

Transkript

1 KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-6:P7.] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních bodů, rozumíme pod F v krajním bodě příslušnou jednostrannou derivaci. F je spojitá na I, protože má v každém bodě intervalu I vlastní derivaci. Věta 7.: a Je-li F primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, potom pro každé c R je F + c také primitivní funkcí k funkci f na intervalu I. b Jsou-li F a G primitivní funkce k funkci f na intervalu I, pak eistuje c R takové, že G F + c tj. G F + c I. Příklad 7.: Je-li f 0 tj. f 0 a M 0,, 3, pak pro funkce F pro každé M a G pro 0,, G 7 pro, 3, platí F G f pro všechna M. Přitom pro žádné c R neplatí G F + c. Ve Větě 7., b je tedy podstatné, že I je interval, a proto také požadujeme v definici, aby I byl interval. neurčitý integrál funkce f na intervalu I... f d zkráceně též f d... množina všech primitivních funkcí k funkci f na intervalu I používáme zde tyto názvy:... integrační znak; f... integrand;... integrační proměnná nebude-li hrozit nedorozumění, použijeme někdy pro neurčitý integrál jen stručné označení f Příklad 7.: a Je-li 0 a, b, pak funkce f sgn nemá primitivní funkci na a, b. b Funkce f cos + sin pro 0, f0 0, má primitivní funkci na R, přestože není na R spojitá - má nespojitost v nule. Primitivní funkcí je funkce F cos, 0, F viz Příklad.8. Věta 7.: Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak eistuje k funkci f primitivní funkce na intervalu I. Poznámka: I když primitivní funkce eistuje ke každé spojité funkci, ne vždy ji lze vyjádřit pomocí elementárních funkcí v konečném tvaru tj. pomocí konečného počtu aritmetických operací a operací skládání. Mezi takové primitivní funkce patří primitivní funkce k funkcím e, sin, cos e,, sin, cos, ln na intervalech, na kterých jsou tyto funkce definované.... Poznámka: Lze ukázat, že pokud funkce f je derivací funkce F na intervalu I, pak f má Darbouovu vlastnost viz Důsledek 5.. Tedy primitivní funkce eistují jen k funkcím s Darbouovou vlastností. 7. Základní metody hledání primitivní funkce Značení: Je-li A, B M, c M, pak píšeme A ± B { a ± b a A, b B }, c ± A { c ± a a A }, c A { c a a A }. pokračování na straně P7. za tabulkovými integrály

2 Tabulkové integrály [MA-6:P7.] f F nap r. I A A R A R α α+ α + R pro α N 0, 0, 0, 0, pro α Z ln, 0, 0, e e R pro α Z; α < a a > 0, a a ln a R sin cos R cos sin R cos sin tg cotg arcsin arccos arctg + arccotg π + kπ, π + kπ ; k Z kπ, k + π ; k Z, R sinh cosh R cosh sinh R cosh sinh + tgh R cotgh, 0, 0, argsinh R argcosh argcosh,,... pro některé racionální eponenty lze brát též I, 0 Věta 7.3 o linearitě: Necht F je primitivní funkce k funkci f na intervalu I, G primitivní funkce ke funkci g na intervalu I a α R. Pak a F + G je primitivní funkcí k f + g na I, tj. f + g d f d + g d, b α F je primitivní funkcí k α f na I, tj. α f d α f d.

3 Integrace per partes [MA-6:P7.3] Věta 7. integrace per partes: Necht mají funkce u, v vlastní derivace na intervalu I a eistuje primitivní funkce k funkci u v na intervalu I. Pak eistuje také primitivní funkce k funkci u v na intervalu I a platí u v d u v u v d. Příklad 7.3: Nalezení ln d na intervalu 0,. Použijeme rovnost ln ln. Takovýto přepis integrandu se hodí i při hledání arctg d, arcsin d apod., kde je ovšem potřeba metodu per partes kombinovat s metodou substituce. Příklad 7.: Najděte I Řešení: Na 0, máme ln I d ln d. ln d u ln u v v ln PP ln ln d ln I. ln Tím jsme dostali pro I rovnici I ln I, odkud na 0, je d I ln + c. Podobně se hledají např. cos a e b d, sin a e b d v těchto případech se jen integrace per partes použije dvakrát. Metoda substituce Věta 7.5 o substituci: a Necht I, J jsou otevřené intervaly, F je primitivní funkce k funkci f na J, ϕi J a ϕ má vlastní derivaci na I je tam tedy spojitá. Potom fϕt ϕ t dt F ϕt + c na I. b Pokud je ϕ navíc prostá na I, ϕi J a eistuje primitivní funkce G k fϕt ϕ t na I, pak f d Gϕ + c na J. Tvrzení Věty 7.5 lze zapsat také takto: fϕt ϕ t dt f d; ϕt; t I. Poznámka: Ve Větě 7.5 je z předpokladů části a funkce ϕ spojitá, tedy v části b lze nahradit předpoklad prostoty funkce ϕ předpokladem ryzí monotonie funkce ϕ. Příklad 7.5: Najděte Řešení: Máme cosln u u du cosln u u du. u 0, ln u... R d u du cos d sin + c sinln u + c Příklad 7.6: Necht F je primitivní funkce k funkci f na intervalu a, b. Vyjádřete pomocí F a b fa + B d A, B R, A 0. Řešení: a Máme + B a, b pro a B, b B. Tedy na 0,. f + B d, f+b d a B, b B y + B... y a, b dy d fy dy F y+c F +B+c na a B, b B.

4 b Označme I { A + B a, b}. Pak I fa + B d z A + B... z a, b dz A d Příklad 7.7: Nalezení Příklad 7.8: Nalezení I n + Pro n > lze odvodit rekurentní vzorec I n Příklad 7.9: Nalezení Příklad 7.0: Najděte F z + c F A + B + c na I. fa + B A d A f d na intervalu I Df \ { f 0 } k N. f k Důležité! + 5 d na R, pro n,. n n In n d na R. d. + n. [MA-6:P7.] fz dz Řešení:. možnost: Na, máme cos t... t 0, π d arccos t d sin t dt sin t dt cos t sin t dt sin t dt t + c arccos + c na,. V substituci jsme využili toho, že funkce cos t je prostá na 0, π a na začátku druhého řádku úprav toho, že sin t > 0 na 0, π.. možnost: Na, máme sin z... z π d, π arcsin z cos z dz sin z d cos z dz cos z cos z dz dz z + c arcsin + c na,. V substituci jsme využili toho, že funkce sin z je prostá na π, π a na začátku druhého řádku úprav toho, že cos z > 0 na π, π. Přestože v první a druhé možnosti vyšly na první pohled různé výsledky, jsou oba tyto výsledky správné. Funkce arccos a arcsin se totiž liší jen o konstantu arcsin π arccos. 7.3 Integrace racionální funkce 7.3. Racionální funkce P, Q... polynomy s reálnými koeficienty, Q nenulový R P Q... racionální funkce Z věty o dělení polynomů viz předmět LAA eistují polynomy Y a Z, st Z < st Q, takové, že P Y Q + Z R, tj. R Pro st P < st Q je Y nulový polynom a Z P. Y Q + Z Q Y už umíme integrovat + Z. Q st Z < st Q

5 Dále uvažujeme jen funkce ryze lomené, tj. racionální funkce typu [MA-6:P7.5] R P, kde st P < st Q. Q Nejjednodušší typy funkcí ryze lomených... jednoduché též parciální zlomky: Věta 7.6: A, A R; α R; k N, α k B + C + p + q l, B, C R; p, q R, p q < 0; l N. Každou ryze lomenou funkci lze zapsat právě jedním způsobem jako součet jednoduchých zlomků. Každou racionální funkci lze zapsat právě jedním způsobem jako součet polynomu a jednoduchých zlomků. Přesněji:,,... právě jedním způsobem až na pořadí sčítanců... Jak hledat rozklad funkce ryze lomené na součet jednoduchých zlomků najdete ve skriptech [JT-DIP], str. -. Kde to lze, doporučiji použít zakrývací pravidlo. Základním vlastnostem polynomů a jejich kořenů je věnována. kapitola skript [PO-ÚAZL]. Jaké máme očekávat v rozkladu jednoduché zlomky? někde ovšem může vyjít nulový čitatel. Obecně všech typů, kde jmenovatel je dělitelem polynomu Q Příklad 7.: Rozložte na součet polynomu a jednoduchých zlomků racionální funkci R 7 + [ ]. + Příklad 7.: Rozložte na součet polynomu a jednoduchých zlomků funkci R [ ]. + + Příklad 7.3: Určete tvar, v kterém je třeba hledat rozklad na jednoduché zlomky racionální funkce 3 + [ A + B a C + D + + E 3 + F + G ], b [ A + B C + D E + F + + G + + H + ] Integrace racionální funkce integrace polynomu + integrace jednoduchých zlomků Integrace jednoduchých zlomků TYP A ; n N α α n a n > A α n d A α n d Př. 7.6a α n+ A n + + c A n + c na, α a na α, α n b n A α d A ln α + c na, α a na α,

6 [MA-6:P7.6] TYP přepíšeme B + C + p + q n ; n N, p q < 0 R jmenovatel nemá reálné kořeny B + C + p + q n B + p + p + q n viz A + p + q B {}}{ + p + p + q n + + C Bp + p + q n C Bp + p + q }{{ n } viz B K prvnímu kroku rozkladu: koeficient B v prvním zlomku rozkladu jsme vybrali tak, aby v čitateli tohoto zlomku byla obsažena všechna z čitatele zadané racionální funkce, koeficient C Bp v čitateli druhého zlomku rozkladu odpovídá tomu, že po sečtení čitatelů obou zlomků rozkladu musíme dostat původní čitatel. Neučte se tyto koeficienty ani dále uvedené vyjádření integrálů jako vzorečky podstatné tu je znát princip rozkladu na součet dvou zlomků a postup, jakým lze integrály najít. A + p + p + q n d + p + q t + p d dt dt t n pro n > viz a: pro n viz b: n t n + c n + c na R + p + q n ln t + c ln + p + q + c na R > 0! B q p q p n }{{ } + p + q n d n q p + p p n d + q + p t q p + p n d + d dt q p q p n q p t dt + n pro n : q p arctg t + c q p arctg + p q p + c na R pro n > se použije Příklad 7.8 primitivní funkci dostaneme opět na celém R

7 Příklad 7.: Vypočtěte 5 d. [MA-6:P7.7] 7. Některé důležité substituce polynom P, y dvou proměnných, y součet konečného počtu funkcí typu c m,n m y n, kde m, n N 0, c m,n R racionální funkce R, y dvou proměnných, y podíl dvou polynomů dvou proměnných, y; R, y P, y, Q, y 0 Q, y analogicky pro tři a více proměnných nebude-li řečeno jinak, budou v dalším písmena R, R atd. označovat racionální funkce Poznámka: Dále uvedené substituce lze někdy použít, i když R není racionální funkce viz např. Příklad 7.7. A Substituce pro integrály typu R e a d Použijeme substituci e a t Pro R pak můžeme psát R e a d prostá funkce na R, t 0,. e a t... t 0, a ln t d a t dt Rt at racionální funkce dt nebo pro R e a R e a e a R e a e a d také e a t... t 0, a e a d dt a R e a a e a d a Rt dt. Příklad 7.5: Najděte primitivní funkce k funkci f e e + e +. Řešení: e e + e + d e e + e + d R; t 0, e t ln t prostá d t dt t +t+ t t + t + t dt {}}{ t + t + t dt ln t + lnt + t + + c + t + ln e + ln e + e + + c + ln e + e + + c na R vynechali jsme u logaritmů absolutní hodnoty, protože argumenty jsou kladné

8 Příklad 7.6: Najděte primitivní funkce k funkci f e 6 e e +. [MA-6:P7.8] Řešení: e 6 e e + d dt + e e + e d R; t 0, e t e d dt t + dt t + arctg t + c e + arctg e + c t t + dt na R B Substituce pro integrály typu Rln d Použijeme substituci a pro 0, dostaneme ln t Rln d prostá funkce na 0,, t R ln t... t R d dt Rt dt. Příklad 7.7: Najděte primitivní funkce k funkci f 5 ln ln 3 + ln. Řešení: > 0, e máme totiž: ln 3 + ln ln ln + ln + 0 ln e viz rozklad jmenovatele po substituci 5 ln ln 3 + ln d t ln dt d 5t t 3 + t dt t t +t+ t + t + t dt ln t + t + t + t + t + dt + ln t lnt + t + + 3arctg t + + c 3 t dt + t + t+ + ln ln lnln + ln + + 3arctg ln + + c na 0, e a na e, Příklad 7.8: Najděte primitivní funkce k funkci f ln. Řešení: Toto je případ, kdy R není racionální funkce, přesto lze postupovat podobně jako v předcházejícím příkladu. Funkce f je zde definována pro ta, pro která platí ln,, tj. pro e, e. ln d ln t d dt t dt arcsin t + c arcsinln + c na e, e

9 C Substituce pro integrály typu R sin, cos d [MA-6:P7.9] Výběr substituce závisí na vlastnostech funkce Ru, v. Speciálně na tom, co se stane, když v předpisu pro funkci Ru, v u jedné z proměnných, nebo u obou proměnných změníme všude znaménko. Není přitom potřeba pracovat s proměnnými u a v. Stačí zkusit, co se stane s hodnotou zlomku, jestliže změníme znaménko u všech sinů resp. kosinů resp. sinů a kosinů. Výběr substituce: I Zkusíme, zda funkce Ru, v nemá některou z dále uvedených vlastností: a R u, v Ru, v tj. R je lichá v první proměnné, b Ru, v Ru, v tj. R je lichá v druhé proměnné, c R u, v Ru, v. V těchto případech nás následující úvahy vedou k vhodným substitucím. Vybereme-li však na základě vlastností funkce Ru, v substituci t tg, lze v prai často funkci Rsin, cos připravit k použití této substituce jiným někdy i výrazně jednodušším způsobem, než jak je to ukázáno pro obecný případ viz např. příklady 7., 7.. a R u, v Ru, v tj. R je lichá v první proměnné V tomto případě se bude sin po eventuálním rozšíření zlomku výrazem sin vyskytovat ve jmenovateli jen v sudých mocninách a čitatel bude možné zapsat jako součin funkce sin a funkce, v níž se sin vyskytuje opět jen v sudých mocninách. Sudé mocniny sinu tedy bude možné převést na mocniny kosinu a zbylý lichý sinus z čitatele použít na derivaci kosinu. To znamená, že lze funkci Rsin, cos přepsat ve tvaru Rsin, cos Rsin, cos sin, kde R je vhodná racionální funkce dvou proměnných. Vzhledem k předchozím úvahám zde volíme substituci cos t t,, sin t. Na R tak dostaneme R sin, cos sin d cos t... t, sin d dt sin t R t, t racionální funkce proměnné t dt. b Ru, v Ru, v tj. R je lichá v druhé proměnné V tomto případě se bude cos po eventuálním rozšíření zlomku výrazem cos vyskytovat ve jmenovateli jen v sudých mocninách a čitatel bude možné zapsat jako součin funkce cos a funkce, v níž se cos vyskytuje opět jen v sudých mocninách. Sudé mocniny kosinu tedy bude možné převést na mocniny sinu a zbylý lichý kosinus z čitatele použít na derivaci sinu. Funkci Rsin, cos lze tentokrát přepsat ve tvaru Rsin, cos Rsin, cos cos, kde R je opět vhodná racionální funkce dvou proměnných. K integraci použijeme substituci sin t t,, cos t, která nám na R dá R sin, cos cos d sin t... t, cos d dt cos t R t, t racionální funkce proměnné t dt.

10 [MA-6:P7.0] c R u, v Ru, v V tomto případě po eventuálním rozšíření zlomku výrazem cos, cos nebo cos 3 bude možné ve jmenovateli vytknout cos a v čitateli a zbytku jmenovatele pak zbudou jen sudé mocniny sinů a kosinů, někdy vynásobené součinem sin cos. Integrand Rsin, cos lze tentokrát předpsat ve tvaru Rsin, cos Rsin, cos, sin cos, kde R je vhodná racionální funkce tří proměnných. Při integraci využijeme toho, že cos vytknutý ve jmenovateli lze použít na derivaci tangenty a že platí sin cos sin cos + sin tg + tg sin cos Na intervalech sin cos cos + sin tg + tg cos cos + sin + tg, nebo sin cos + tg tg + tg, nebo sin cos tg cos tg + tg. π + kπ, π + kπ, k Z, tak můžeme použít substituci t tg, dt cos d cos + t, sin t t, sin cos + t + t. Poznámka: Jak se vypořádat s faktem, že definiční obor funkce tg je někdy menší než definiční obor původní integrované funkce, najdete u příkladu 7.. Poznámka: Je-li π + kπ, π + kπ, můžeme v prai psát stejně jako např. v příkladu 7. arctg t + kπ a d +t dt. Není tedy nutné upravovat funkci R tak, aby bylo možné ve jmenovateli vytknout cos. Poznámka: Někdy je zde vhodnější substituce t cotg. Poznámka: V některých případech lze použít všechny tři uvedené substituce. Dá se dokonce celkem snadno ukázat, že pokud je možné použít dvě z těchto substitucí, lze použít i třetí. Záleží ovšem na konkrétním příkladu, která ze substitucí se nejsnáze provede a která nás dovede k nejjednodušší integraci racionální funkce. II Pokud funkce R nemá ani jednu z vlastností popsaných v I použijeme k substituci funkci tg, prostou na intervalech k π, k + π, k Z. Pro k π, k + π je přitom π + kπ, π + kπ, takže arctg t + kπ a arctg t + kπ. Substituce tedy bude vypadat takto tg t, d + t, cos cos sin cos sin cos + sin tg + tg t + t, sin sin cos sin cos cos + sin tg + tg t + t. Jak je vidět, tato substituce převede integraci jakékoliv funkce typu Rsin, cos na integraci racionální funnkce. Její velkou nevýhodou je však to, že po ní dostáváme racionální funkce s vyšším stupněm polynomu ve jmenovateli než u jiných substitucí. Přitom integrace racionálních funkcí v vysokým stupněm polynomu ve jmenovateli je pracná, často i neproveditelná běžným způsobem, protože nemusíme umět najít rozklad jmenovatele. Proto volíme tuto substituci, jen když nemáme jinou možnost.

11 Příklady na výběr substituce pro integrály typu Rsin, cos d [MA-6:P7.] sin sin + d viz příklad 7.9 Ru, v u sin, neboli Rsin, cos u + sin + u sin R u, v Ru, v, R sin, cos Rsin, cos u + sin + Ru, v u sin Ru, v, Rsin, cos u + sin Rsin, cos + u sin R u, v Ru, v, R sin, cos Rsin, cos u + sin + z jednodušších substitucí lze tedy použít pouze substituci t cos sin sin + sin sin, tedy jde o integrál typu Rsin, cos sin d + cos 3 d viz příklad 7.0 Ru, v, neboli Rsin, cos v3 cos 3 R u, v Ru, v, R sin, cos Rsin, cos v3 cos 3 Ru, v v Ru, v, Rsin, cos Rsin, cos 3 cos 3 R u, v v Ru, v R sin, cos Rsin, cos 3 cos 3 z jednodušších substitucí lze tedy použít pouze substituci t sin cos 3 cos cos cos, tedy jde o integrál typu cos cos d viz příklad 7. Rcos, sin cos d Ru, v, neboli Rsin, cos v cos R u, v Ru, v, R sin, cos Rsin, cos v cos Ru, v v Ru, v, Rsin, cos Rsin, cos cos R u, v v Ru, v R sin, cos Rsin, cos cos z jednodušších substitucí lze tedy použít pouze substituci t tg cos cos, tedy jde o integrál typu Rcos, sin, sin cos d 3 sin cos d Ru, v 3u v, neboli Rsin, cos 3 sin cos R u, v 3 u v Ru, v, R sin, cos Rsin, cos 3 sin cos Ru, v 3u v Ru, v, R sin, cos Rsin, cos 3 sin cos R u, v 3 u v Ru, v, R sin, cos Rsin, cos 3 sin cos z jednodušších substitucí lze tedy použít pouze substituci t tg 3 sin cos 9 sin sin cos + cos, tedy jde o integrál typu Rcos, sin, sin cos d

12 5. cos sin cos d viz příklad 7. [MA-6:P7.] Ru, v v u v, neboli Rsin, cos cos sin cos v R u, v u v Ru, v, R sin, cos cos Rsin, cos sin cos v Ru, v u v Ru, v, R sin, cos cos Rsin, cos sin cos v R u, v u v Ru, v, R sin, cos cos Rsin, cos sin cos z jednodušších substitucí lze tedy použít pouze substituci t tg cos sin cos cos sin cos cos, tedy jde o integrál typu Rcos, sin, sin cos d 6. sin cos sin + cos d Ru, v uv sin cos, neboli Rsin, cos u + v sin + cos R u, v uv Ru, v, u + v sin cos R sin, cos Rsin, cos sin + cos Ru, v u v sin cos Ru, v, R sin, cos Rsin, cos u + v sin + cos R u, v u v sin cos Ru, v, R sin, cos Rsin, cos u + v sin + cos lze tedy použít pouze substituci t tg Příklad 7.9: Najděte primitivní funkce k funkci f Řešení: sin sin + d sin cos d sin sin +. t cos, dt sin d dt t t t + dt ln t ln t + t +t + c ln cos + cos + c na R Příklad 7.0: Najděte primitivní funkce k funkci f cos 3. Řešení: Musí platit cos 0, tj. π + kπ, π + kπ, k Z. d cos 3 cos sin d t sin, dt cos d dt t t + t + + t + t t t + t t + ln t + t + ln t + t+ + c ln t t + c sin + sin + ln cos sin dt + c na π + kπ, π + kπ; k Z

13 Příklad 7.: Najděte primitivní funkce k funkci f cos. Řešení: Musí platit cos 0, tj. π + kπ, π + kπ I k, k Z. tg t cos d arctg t + kπ prostá d t + dt + t dt t + t3 3 + c tg + tg 3 3 t + dt +t + c na π + kπ, π + kπ; k Z [MA-6:P7.3] Nebo jinak cos d tg t d dt cos cos +t cos cos d + t dt... Příklad 7.: Najděte primitivní funkce k funkci f cos sin cos. Řešení: Máme 3π + kπ, π + kπ; k Z. Protože však použijeme substituci t tg, musíme nejdříve vyloučit π + kπ, tedy budeme mít 3π + kπ, π + kπ I k nebo π + kπ, π + kπ J k : cos sin cos d tg d I k, t, nebo J k, t, tg t { arctg t + kπ π pro Ik prostá arctg t + kπ pro J k d dt t + t t + dt t + t t t + t t + dt dt t + ln t lnt + arctg t + c ln tg lntg + + kπ + c ln tg tg + + c ln sin + c V předposlední rovnosti jsme využili toho, že kπ + c může být jakákoliv reálná konstanta a zápis s,,+c je jen symbolický. V poslední rovnosti jsme použili přepis tg tg + sin cos sin + cos sin cos sin sin cos + cos sin. Funkce F ln sin je spojitá na 3π + kπ, π + kπ a na I k a J k je její derivací funkce f, která je spojitá v π + kπ. Tedy z věty.5 je F π + kπ f π + kπ a F je primitivní funkcí k f na celém intervalu 3π + kπ, π + kπ. Příklad 7.3: Najděte primitivní funkce k funkci f Řešení: cos + 3. Na intervalech k π, k + π I k máme tg t prostá na I k cos + 3 d arctg t + kπ d dt +t + t dt t + 3 +t + t dt dt arctg t + c arctg tg + c G + c. t + Přestože byla integrovaná funkce definovaná a spojitá na R, je díky použité substituci funkce G primitivní funkcí k funkci f jen na intervalech k π, k + π, k Z. Primitivní funkci k f na celém R nemůžeme dostat dodefinováním

14 funkce G v lichých násobcích π, protože v nich G nemá limity. Máme totiž } [MA-6:P7.] lim k+ π G + π skok : π. lim k π + G lim k+ π + G π Můžeme si ale pomoci tím, že na různých intervalech budeme ke G přičítat různé konstanty. Tím dostaneme funkci, která bude opět na každém z výše uvedených intervalů primitivní funkcí k funkci f a která navíc při vhodné volbě konstant bude mít v bodech k + π limity. Těmito limitami ji pak dodefinujeme a dostaneme tak primitivní funkci k f na celém R. Primitivní funkci na R tedy dostaneme,,slepením vhodných primitivních funkcí na jednotlivých podintervalech. Primitivní funkcí k funkci f na R je tedy například funkce F arctg tg + k π, k π, k + π, k Z π + k π, k π. e Typ sin m cos n d m - liché nebo n - liché... použijeme substituce uvedené v a a b m - sudé a n - sudé... přejdeme k dvojnásobnému argumentu: cos + cos sin cos Tyto vztahy lze získat např. vyjádřením cos a sin z následujících rovností: cos cos sin { cos cos cos, sin sin sin. Příklad 7.: Najděte primitivní funkce k funkci f sin. Řešení: sin d cos d cos + cos d cos + + cos d sin sin + c 3 8 sin + sin 3 + c na R D Substituce pro integrály typu R, n a + b c + d d, n N \ {}, ad bc Použijeme substituci y n a + b c + d. Příklad 7.5: Najděte primitivní funkce k funkci f + 3. Řešení: Zřejmě Df,. + 3 d 6, ; t 0, t t 6 + prostá na 0, d 6t 5 dt

15 6t 5 t 3 + t dt 6 t 3 t + dt 6 t t + t + dt t3 3t + 6t 6 ln t + + c ln c na, [MA-6:P7.5] Příklad 7.6: Najděte primitivní funkce k funkci f. Řešení: Musí platit / > 0, tj.,. t 0, d t + t prostá na 0, + t + t d dt t + t t t + dt arctg t t t + + c arctg + c na, použili jsme výpočet z Příkladu 7.8 E Substituce pro integrály typu R, a + b + c d a 0, b ac jen stručně; jiné možné substituce viz skripta doplněním na úplný čtverec a vhodnou lineární substitucí převedeme a + b + c na tvar d ± y ± případ y je nezajímavý y, tj. např.: d y 3, d 3, y 3 následné substituce: a pro d y + odpovídá případu a > 0, b ac < 0 y sinh t y R y + cosh t t R b pro d y odpovídá případu a > 0, b ac > 0 { y cosh t y cosh t y > y < y sinh t t > 0 c pro d y odpovídá případu a < 0, b ac > 0 y cos t y, y sin t t 0, π nebo y sin t y, y cos t t π, π a+b dostaneme Rsinh t, cosh t a dále převedeme např. na R e αt c dostaneme Rsin t, cos t Poznámka: Při výběru z výše uvedených následných substitucí pomůže srovnání možných hodnot y s oborem hodnot funkcí sinh t, ± cosh t, cos t, sin t.

16 [MA-6:P7.6] Příklad 7.7: Najděte primitivní funkce k funkci f d. Řešení: viz Příklad 7.0 u věty o substituci je to typ c. Příklad 7.8: Najděte primitivní funkce k funkci f +. Řešení: Pro, 0 a pro 0, máme + + d d d y dy + d y + dy y y 0,, t 0, nebo y, 0, t, 0 y sinh t prostá dy cosh t dt t argsinh y lny + y + cosh t sinh t dt e t + e t e t + dt e t e t e t e dt t e t u e t dt du u + u u du 3u + + du u u + u u + u du u + + ln u ln u + + c u + u e t + e t + ln cosh t et e t + + c ln + + y c ln + + c na, 0 a na 0, v poslední úpravě jsme zlomek v argumentu logaritmu rozšířili nejdříve dvěma a pak výrazem + +.

7.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P7.1a]

7.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P7.1a] KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-8:P7.a] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních

Více

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních

Více

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx. Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál

Více

SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ

SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ VÝPOČET PEIÁLNÍH PRIMITIVNÍH FUNKÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Nicméně eistují jisté třídy funkcí, pro které eistuje algoritmus, který vždy vede k výpočtu

Více

Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody)

Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody) Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 6. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 23 Obsah

Více

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

II. 3. Speciální integrační metody

II. 3. Speciální integrační metody 48 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné II.. Speciální integrační metody Integrály typu f ( x, r x, r x,..., r k x ), tj. integrály obsahující proměnnou x pod odmocninou, kde k N a r,..., r k jsou

Více

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Neurčitý integrál Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní

Více

Kapitola 7: Integrál.

Kapitola 7: Integrál. Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci

Více

Integrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí)

Integrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí) Integrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 /

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a

1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a . Řešené úlohy Příklad. (separace proměnných). Řešte počáteční úlohu y 2 + yy ( 2 ) = 0, y(0) = 2. Řešení. Rovnici přepíšeme do tvaru y 2 = yy ( 2 ) y = y2 y 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 NEURČITÝ INTEGRÁL STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.

Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ NEURČITÝ INTEGRÁL NEURČITÝ INTEGRÁL Průvodce studiem V kapitole Diferenciální počet funkcí jedné proměnné jste se seznámili s derivováním funkcí Jestliže znáte derivace

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

8. Elementární funkce. I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k k!.

8. Elementární funkce. I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k k!. 8. Elementární funkce I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k = k!. Vlastnosti exponenciální funkce: a) řada ( ) konverguje absolutně

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

1 1 x. (arcsinx) = (arccosx) = (arctanx) = x 2. (arcctg) = (e x ) = e x

1 1 x. (arcsinx) = (arccosx) = (arctanx) = x 2. (arcctg) = (e x ) = e x .cvičení 0..009 Teorie Definice. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže eistuje lim h 0 f(a + h) f(a), h pak tuto limitu nazýváme derivací funkce f v bodě a. Značíme f f(a + h) f(a) (a) := lim. h 0 h

Více

Limita a spojitost LDF MENDELU

Limita a spojitost LDF MENDELU Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Seznámíte se s principem integrace metodou per partes a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat.

Seznámíte se s principem integrace metodou per partes a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat. .. Integrace metodou per partes.. Integrace metodou per partes Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme poznali, že integrování součtu funkcí lze provést jednoduše, známe-li integrály jednotlivých

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Úvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali

Úvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace

Více

SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ

SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ VÝPOČET PECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Pro různé situace se hodí různé metody (výpočtu!). Jak již bylo několikrát zdůrazněno,

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Konvergence kuncova/

Konvergence  kuncova/ Konvergence http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Příklady.. 3. 3 + d Konverguje - u je funkce spojitá, u srovnáme s /. e d Konverguje - na intervalu [, ] je funkce spojitá, na intervalu

Více

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic

Více

Elementární funkce. Polynomy

Elementární funkce. Polynomy Elementární funkce 1 Elementární funkce Elementární funkce jsou níže uvedené funkce a jejich složenin : 1. Polnom.. Racionální funkce. 3. Mocninné funkce. 4. Eponenciální funkce. 5. Logaritmické funkce.

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA NEURČITÝ INTEGRÁL

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA NEURČITÝ INTEGRÁL MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA NEURČITÝ INTEGRÁL Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3 Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Ostrava 0 Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,

Více

f konverguje a g je omezená v (a, b), pak také konverguje integrál b a fg. Dirichletovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce

f konverguje a g je omezená v (a, b), pak také konverguje integrál b a fg. Dirichletovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce 1. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Abelovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce spojitá na [a, b) a funkce g : [a, b) R je na [a, b) spojitá

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. /8 3. Elementární funkce. 3. Elementární funkce. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε.

Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε. LIMITA FUNKCE Pojem ity unkce charakterizuje chování unkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých unkce není deinovaná Zápis ( ) L Přesněji to vyjadřuje deinice: znamená, že pro

Více

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 26. ledna x. x 1 + x dx. q 1. u = x = 1 u2. = 1 u. u 2 (1 + u 2 ) (1 u 2 du = 2.

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 26. ledna x. x 1 + x dx. q 1. u = x = 1 u2. = 1 u. u 2 (1 + u 2 ) (1 u 2 du = 2. Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 4 Celkem bodů Bodů 5 6 8

Více

x 2 +1 x 3 3x 2 4x = x 2 +3

x 2 +1 x 3 3x 2 4x = x 2 +3 I. Určitý integrál I.. Eistence určitých integrálů Zjistěte, zda eistují určité integrály : Příklad. + + d Řešení : Ano eistuje, protože funkce f() + + je spojitá na intervalu,. Příklad. + 4 d Řešení :

Více

Neurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012

Neurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012 Neurčitý integrál Robert Mařík 4. března 0 V tomto souboru jsou vysvětleny a na příkladech s postupným řešením demonstrovány základní integrační metody. Ikonka za integrálem načte integrál do online aplikace

Více

7B. Výpočet limit L Hospitalovo pravidlo

7B. Výpočet limit L Hospitalovo pravidlo 7B. Výpočet it L Hospitalovo pravidlo V prai často potřebujeme určit itu výrazů, které vzniknou operacemi nebo složením několika spojitých funkcí. Většinou pomohou pravidla typu ita součtu násobku, součinu,

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 12. a) 3 +1)d. Vypočítejte určité integrály: b) 5sin 4 ) d. c) d. g) 3 d. h) tg d. k) 4 arctg 2 ) d.

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 12. a) 3 +1)d. Vypočítejte určité integrály: b) 5sin 4 ) d. c) d. g) 3 d. h) tg d. k) 4 arctg 2 ) d. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA ČÁST Příklad Vypočítejte určité integrály: a) +)d b) 5sin) d c) d d) d e) d f) g) d d h) tgd i) d j) d k) arctg) d l) d m) sin d n) ) d o) p) q) r) s) d d ) d d d t) +d u) d v) d ŘEŠENÉ

Více

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 4. února 2009

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 4. února 2009 Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 4 Celkem bodů Bodů 4 4

Více

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou

Více

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0.

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0. Test M-ZS- M-ZS-/ Příklad Najděte tečnu grafu funkce f x x 6 3 x, která je kolmá na přímku p :x y 3 0. Zřejmě D f R. Přímka p má směrnici, tečna na ní kolmá má proto směrnici. Protože směrnice tečny ke

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

MATEMATIKA 1B ÚSTAV MATEMATIKY

MATEMATIKA 1B ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA B Sbírka úloh Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA B Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika B - Sbírka úloh. Tato sbírka je doplněním tetu Fuchs,

Více

1 L Hospitalovo pravidlo

1 L Hospitalovo pravidlo L Hospitalovo pravidlo Věta.. Bud R R R {± }). Necht je splněna jedna z podmínek i) ii) f) g), g). Eistuje-li vlastní nebo nevlastní) f ) g ) Obdobné tvrzení platí i pro jednostranné ity., pak eistuje

Více

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x )

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x ) 6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí

Více

2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je

2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném

Více

Derivace funkce Otázky

Derivace funkce Otázky funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu

Více

Obecnou definici vynecháme. Jednoduše řečeno: složenou funkci dostaneme, když dosadíme za argument funkci g. Potom y f g

Obecnou definici vynecháme. Jednoduše řečeno: složenou funkci dostaneme, když dosadíme za argument funkci g. Potom y f g Složená funkce Obecnou definici vynecháme Jednoduše řečeno: složenou funkci dostaneme, když do funkce y f dosadíme za argument funkci g Potom y f g Funkce f je vnější složka, funkce g vnitřní složka Pochopitelně

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako

Více

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 17. února ( sin (π 2 arctann) lim + 3. n 2. π 2arctan n. = lim + 3.

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 17. února ( sin (π 2 arctann) lim + 3. n 2. π 2arctan n. = lim + 3. Jednotlivé kroky při výpočtech stručně ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 Celkem bodů Bodů 5 7 0

Více

1. sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) pro x, y R, cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) pro x, y R;

1. sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) pro x, y R, cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) pro x, y R; 3. Elementární funkce. Věta C. Existují funkce sin(x) a cos(x) z R do R a číslo π (0, ) tak, že platí: 1. sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) pro x, y R, cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y)

Více

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace

Více

Pavel Kreml Jaroslav Vlček Petr Volný Jiří Krček Jiří Poláček

Pavel Kreml Jaroslav Vlček Petr Volný Jiří Krček Jiří Poláček VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA MATEMATIKA II Pavel Kreml Jaroslav Vlček Petr Volný Jiří Krček Jiří Poláček Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04..0/..5./006

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 7. prosince 2014 Předmluva

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

Začneme obráceným postupem k počítání derivací, tj. hledáním funkcí, jejichž derivaci známe.

Začneme obráceným postupem k počítání derivací, tj. hledáním funkcí, jejichž derivaci známe. Kapitola Neurčitý integrál Začneme obráceným postupem k počítání derivací, tj. hledáním funkcí, jejichž derivaci známe.. Primitivní funkce... Primitivní funkce Funkce F se nazývá primitivní k funkci f

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010 Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom

Více

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6) 1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht

Více

Určete (v závislosti na parametru), zda daný integrál konverguje, respektive zda konverguje. dx = t 1/α 1 dt. sin x α dx =

Určete (v závislosti na parametru), zda daný integrál konverguje, respektive zda konverguje. dx = t 1/α 1 dt. sin x α dx = . cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Věta 1 (Abelovo-Dirichletovo kritérium konveregnce Newtonova integrálu). Necht a R, b R a necht a < b. Necht f : [a, b) R je

Více

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16 Matematika 1 3. přednáška 1 Derivace 2 Vlastnosti a použití 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 1 / 16 1. zápočtový test již během 2 týdnů. Je nutné se něj registrovat přes webové rozhraní na https://amos.fsv.cvut.cz.

Více

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 16. ledna 2009

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 16. ledna 2009 Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 5 Celkem bodů Bodů 8

Více

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní

Více

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1] KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu

Více

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

Management rekreace a sportu. 10. Derivace Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu

Více

1 Integrální počet. 1.1 Neurčitý integrál. 1.2 Metody výpočtů neurčitých integrálů

1 Integrální počet. 1.1 Neurčitý integrál. 1.2 Metody výpočtů neurčitých integrálů Integrální počet. Neurčitý integrál Neurčitým integrálem k dané funkci f() nazýváme takovou funkci F (), pro kterou platí, že f() = F (). Neboli integrálem funkce f() je taková funkce F (), ze které bychom

Více

ELEMENTÁRNÍ KOMPLEXNÍ FUNKCE SPECIÁLNÍ ELEMENTÁRNÍ FUNKCE

ELEMENTÁRNÍ KOMPLEXNÍ FUNKCE SPECIÁLNÍ ELEMENTÁRNÍ FUNKCE ELEMENTÁRNÍ KOMPLEXNÍ FUNKCE Všechny základní reálné funkce reálné proměnné, s kterými jste se seznámili na začátku tohoto kurzu, lze rozšířit i na komplexní funkce komplexní proměnné. U některých je rozšíření

Více

5. Limita funkce a spojitost strana 1/5 2018/KMA/MA1/přednášky. Definice 5.1. Mějme funkci f : D R a bod x 0 R.

5. Limita funkce a spojitost strana 1/5 2018/KMA/MA1/přednášky. Definice 5.1. Mějme funkci f : D R a bod x 0 R. 5. Limita funkce a spojitost strana 1/5 2018/KMA/MA1/přednášky Definice 5.1. Mějme funkci f : D R a bod 0 R. a) Číslo c R je částečná ita funkce f v bodě 0, pokud eistuje posloupnost ( n ) taková, že platí

Více

(5) Primitivní funkce

(5) Primitivní funkce (5) Primitivní funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 1 / 20 Def: Primitivní funkce Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu (a,

Více

Derivace a monotónnost funkce

Derivace a monotónnost funkce Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je

Více

Matematická analýza I

Matematická analýza I Matematická analýza I Cvičení 1 (4. 10. 2016) Definice absolutní hodnoty. Řešení nerovnic s absolutními hodnotami. Geometrická interpretace řešení nerovnice x + 1 < 3. Komplexní čísla a operace s nimi,

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření

Více

. 1 x. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7x 2 2y 2 = 14, které jsou kolmé k přímce 2x+4y 3 = 0. 2x y 1 = 0 nebo 2x y + 1 = 0.

. 1 x. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7x 2 2y 2 = 14, které jsou kolmé k přímce 2x+4y 3 = 0. 2x y 1 = 0 nebo 2x y + 1 = 0. Diferenciální počet příklad s výsledky ( Najděte definiční obor funkce f() = ln arcsin + ) D f = (, 0 Najděte rovnici tečny ke grafu funkce f() = 3 +, která je rovnoběžná s přímkou y = 4 4 y 4 = 0 nebo

Více

Inverzní Laplaceova transformace

Inverzní Laplaceova transformace Inverzní Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 6. přednáška MSP čtvrtek 30. března

Více

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, ) Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)

Více

Algebraické výrazy-ii

Algebraické výrazy-ii Algebraické výrazy-ii Jednou ze základních úprav mnohočlenů je jejich rozklad na součin mnohočlenů nižšího stupně. Ne všechny mnohočleny lze na součin rozložit. Pro provedení rozkladu můžeme použít: 1.

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více