MA2: Řešené příklady Funkce více proměnných: D(f), graf, limita. 3.Najděteanačrtnětedefiničníoborfunkce f(x,y)=3 4 x 2 y 2. . x y.

Transkript

1 MA Řešené příklad c phabala MA: Řešené příklad Funkce více proměnných: Df, graf, ita.najděteanačrtnětedefiničníoborfunkce f,=..najděteanačrtnětedefiničníoborfunkce f,= ln ln. Najděteanačrtnětejejíhladinkonstantnostiprohodnot c=, ± 4, ±, ±, ±. 3.Najděteanačrtnětedefiničníoborfunkce f,=3 4. Určete tvar jejího grafu a načrtněte jej. 4.Spočítejteitfunkce f,= + vbodech,a,. 5.Spočítejteitfunkce f,= vbodech,,, a,. Řešení:.Podmínkproeistencijsou a. Prvnípodmínkaříká +.Jakýobjektpopisuje? Zkušenost nám říká, že podmínku lze přepsat na standardní rovnici kružnice pomocí doplnění na čtverec.vpadátotakto: + +,ted +,cožpopisujekružnici opoloměrusestředem,včetněobvodu. Podmínka znamená,ževnechávámepřímku =. Definičnímoboremjetedkruh bez příslušného úseku oné přímk. Df={, IR ; + a }.. Zdejsoutřipodmínkeistence: >, >aln. Poslednípodmínkadává. Dostáváme ted definiční obor Df={, IR ;, >a }. Totojeprvníkvadrantbezhranicesodstraněnoupřímkou =vizobrázekníže. Hladin konstantnosti: Zkusíme to nejprve obecně: f, = c znamená ln ln = c = ln=cln=lnc = = c. Dostáváme ted c: 4 4 hladina: = 4 = = = = = = = = 4 Obrázek definičního oboru a hladin konstantnosti ted vpadá takto:

2 MA Řešené příklad c phabala c = c = c = c =/ c =/4 c = c = /4 c = / c = 3. Podmínkaeistenceje4. Toznamená + 4,definičnímoboremjeted kruhsestředemvpočátkuapoloměrem: Df={, IR ; + 4}. Graf fjenějakýpovrchdanýrovnicí z= f,.kdždosadíme,dostaneme z=3 4 neboli + +z 3 =.Tatorovnicepopisujesféruspoloměremastředem,,3. Každá funkce má ale jen jednu hodnotu v každém bodě definičního oboru, což znamená, že musíme rozhodnout, zda bereme vrchní či spodní polovinu sfér. Protože hodnot naší funkce dostáváme odečítáním něčeho kladného od 3, zajímá nás část sfér ležící pod 3, grafem je ted dolní polosféra: z 3 4.Vždzačínámedefiničnímoborem.Jedánpodmínkou +,cožznamená,,. Máme proto Df=IR {,}. alimitavbodě,. Tento bod leží v definičním oboru, tudíž stačí dosadit.,, =,, + blimitavbodě,. TentobodneležívDf,aleležínajehohranici,itamásmsl. Po,, + ==? Neurčitý výraz a žádný l Hospital pro funkce více proměnných. Tradiční přístup volá po zjednodušení situace, zkusíme se k bodu, blížit po jednoduchých křivkách. Nejjednodušší je jít po přímkách rovnoběžných s osami. Nejprve ted rovnoběžně s osou,cožudělámetak,žepevnězafiujemehodnotu =,bodtpu,paknechámeblížitk,,tedvlastněděláme. + = ==. = 9.

3 MA Řešené příklad c phabala Neurčitývýraznevznikl,protožesenejprvedosazuje =,paksetoupravíalgebrouateprvepak seděláita. Teďrovnoběžněsosou,tedzvolíme =.,, = + = =. Všlotostejně,aletosestáváiuit,kteréveskutečnostineeistují,směrpodélosbývajíčasto výjimečnědobré. Zkusímeprotojítdo,popřímkáchobecných,sesměrnicí k,tojetakový tradičnípřístup. Pokudsebod,blížík,popřímcesesměrnicí k,paksplňujírovnici = k.podosazenídostáváme,, =k + = k 3 +k = k +k =. Mámeteďpodezření,žebitamohlabýt,alebohuželtotojakodůkaznestačí,protožek počátkujemožnéseblížitijinýmicestami.populárníjsoutřebaparabol = k,aleiponich se dostáváme s itou do nulzkuste. Je zřejmé, že není možné vzkoušet takto postupně všechn možné cest k počátku, tudíž je třeba jiný nápad. Danou funkci nelze dost dobře přepsat v jiný výraz, čímž padá další populární trik. Zo zbývá?zkusmesepodívat,cosevlastněvitěděje.ptámese,cosestane,kdž,,. Topodledefiniceznamená,že,.Jedenzmožnýchpřístupůjeporovnatčástizlomkus normou bodu. Vejmenovatelitojejasné: + + +,ted, +,. Jakjetomuvčitateli? Dolníodhadnormoudostrozumněnejde,iprobodsrelativněvelkou normoumůžebýtvýraz velicemalýstačídáttřeba =. Naopaktoalejde,je-linorma malá,musíbýtivýrazmalý: = =, 3. Můžemetedodhadovat = + +, 3, =,. Pokudtedpošleme,,pakpodlevětosrovnánímusí,, + =. 5.Definičníoborjedánpodmínkou,máme Df={, IR ; }. +.Závěr: Z rovin ted vjímáme diagonální přímk. alimitavbodě,. TentobodneležívDf,aleležínajehohranici,itamásmsl. Po 3 + 3,, == diverguje. Jemožné,abitadivergovala,alepořádeistovala,tedabbla či? Tozáležína znaménkutévejmenovateli.zdejealejasné,žekdžsebod,blížívroviněkbodu,, taktolzedělattak,abblo > >,pakmámevezlomku =,jealetakésnadnéjítk + bodu,tak,abblo < <,pakmámevezlomku =.Závěr:,, neeistuje. blimitavbodě,. TentobodneležívDf,aleležínajehohranici,itamásmsl. Po 3

4 MA Řešené příklad c phabala 3 + 3,, ==? Neurčitý výraz, zkusíme proto tradiční přístup a budeme se k bodu, blížit po přímkách, nejprverovnoběžnýchsosami.začnemes=a = === l H,, = Teďrovnoběžněsosou,tedzvolíme = =,, = 3 3 === = l H 3 = = 3. = 3. Všlotostejně,aleužvíme,žetonemusínicznamenat.Zkusímeprotojítdo, popřímkách obecných,sesměrnicí k. Všimnětesi,žesemůžemesbod,blížitjenskrzdefiničníobor, protonelzepoužítpřímkusesměrnicí k=.pokudsebod,blížík, popřímce N k sesměrnicí k,paksplňujírovnici =k.uvažujmetedsituaci,kd abereme bod,=,k k pro k.podosazenídostáváme,,, N k k k+ 3 = k k+ 3 + k 3 3 3k k++3kk+ k+ 3 = k k+ +kk+ = +k3 3k k++3kk+ k+ 3 k k+ +kk+ ==? Tak nic, zamslíme se, jestli b to nešlo jinak. Nepomohla b algebra? Čitatel i jmenovatel přece umíme rozložit ,, = = = 3,, +,,. Takže tato ita konverguje. climitavbodě,. TentobodneležívDf,aleležínajehohranici,itamásmsl. Po 3 + 3,, ==? Zase neurčitý výraz. Pomůže zkrácení jako výše? ,, = ==?,, Takže nic. Zkusíme tradiční přístup, k počátku, se budeme blížit po přímkách. Pokud se bod,blížík,popřímcesesměrnicí k,paksplňujírovnici =k. Všimnětesi,že semůžemesbod,blížitjenskrzdefiničníobor,protonelzepoužítpřímksesměrnicemi k= ±.Podosazenídostáváme k 3 3 +k 3,, = k = k = +k3 k =. Mámepodezření,žebitamohlabýt,alebohuželtotojakodůkaznestačí,protožekpočátku jemožnéseblížitijinýmicestami. Populárníjsoutřebaparabol = k, aleiponichse dostáváme do nulzkuste. 4

5 MA Řešené příklad c phabala Šlo b si itu přepsat ještě jinak? ,, = =,,,, = + = +,,,,,, =+ = ==?,,,, Zatímmámepodezření,žebitamohlabýtnula. Opravduplatí,žekdžsebod,blíží kpočátku,taksevýraz zmenšujerchlejinežvýraz?vlastněanine.natojealetřeba trochu použít přístup z definice. Řekněme, že se omezíme na bod z nějakého δ-okolí počátku, ted, < δ.paksouřadnice,mohoubýtrelativněvelké,napříkladprobodblízkodiagonáleje,blízké δ,pakijejichsoučinjerelativněvelký,jmenovitěokolo δ,zatímcoprorozdíl žádné omezení nemáme, můžeme jej udělat libovolně malýa celý zlomek pak libovolně velký tím, že bereme bod velice blízké diagonále, nedokážeme tomu zabránit žádnou podmínkou tpu ať jebodblízkopočátku. Vpadátoted,žeikdžseomezímenamaléokolípočátku,takstejně dokážeme zlomek nechat vbouchnout. Takže možná ita neeistuje. Abchom to viděli, je třeba vmslet dráhu, která b se cestou k počátku výrazně přibližovala k diagonále, pokud možno rchleji, než se blížíme k počátku. Po eperimentováníjemožnépřijítnapříkladskřivkou = +k,ted seknuleblížívýrazně rchleji, než a samotné. Zkusíme to.,, =+k k k 4 +3k 5 + k 3 6 = +k = k 3 k k 4 +3k 5 + k 3 6 = k 3 k Výsledek závisí na k, tudíž ita,,,, =+ 3 +3k+3k + k 3 3 = k k = k. nemůže eistovat. Mimochodem,zajímavávolbajekřivka = + 3,kdse knuleblížíještěrchleji.pak = + 3 = = 4 6 = 3 == neeistuje. 5