{ } Poznámky 1. Jestliže integrand lze zapsat ve tvaru součinu tří funkcí jedné nezávisle proměnné. b d h

Transkript

1 3. TROJROZMĚRNÝ (TROJNÝ) INTEGRÁL Analogick jako dvojroměrný integrál avádíme integrál trojroměrný nebo také trojný. Dvojroměrný integrál bl obecně definován pro funkci dvou neávisle proměnných f(, ) na dvojroměrné oblasti. Rošířením o jednu integrační proměnnou ískáme trojroměrný integrál, který je obecně definován pro funkci tří neávisle proměnných f(,, ) na trojroměrné integrační oblasti. 3.. v kvádru Nejjednodušší integrační oblast u dvojroměrných integrálů tvořil obdélník, jehož stran bl rovnoběžné s osami souřadnic. Podobně u trojroměrných integrálů je výpočet nejjednodušší (,, : < a, b>, < c, d >, < e, h>, v případě, kd integrační oblastí je kvádr { } stručněji < ab, > < cd, > < eh, >, jehož stěn jsou rovnoběžné se souřadnicovými rovinami, a funkce u f(,, ) je v tomto kvádru spojitá a ohraničená. Pak platí: b d h b h d f (,, ) ddd d d f (,, ) d d d f (,, ) d... () G a c e a e c je tak převeden na trojnásobný integrál, ted na trojnásobnou integraci integrálů funkcí jedné neávisle proměnné. Výpočet pak provádíme postupnou integrací, přičemž postupujeme prava doleva. Ponámka. Pro funkce f(,, ) v kvádru namená vtah () hmotnost kvádru, ve kterém je roložení hustot dáno funkcí f(,, ). Příklad 3... Vpočtěte trojroměrný integrál A ln ddd, (,, ) : <, >, <, >, <, >. { } Řešení: A d d ln d d ln d ln d u ln v ln d ([ ln ] d ) [ ln ] 4 u v 4 4 (ln ln+ ) (ln 4 ). 4 4 Ponámk. Jestliže integrand le apsat ve tvaru součinu tří funkcí jedné neávisle proměnné f(,, ) f( ). f( ). f3( ), (,, ): < a, b>, < c, d >, < e, h> b d h platí f( ). f( ). f3( ) ddd f( ) d. f( ) d. f3( ) d. G a c e pak v kvádru { } (a). Obecně neáleží na pořadí integrace. V některých případech ale daný trojroměrný integrál může být snadno řešitelný jedním působem, jiný působ však může být komplikovaný v ávislosti na tvaru integrované funkce. Jarmila Doležalová

2 Příklad 3... Vpočtěte užitím vtahu (a) integrál A předcháejícího příkladu. ln.. (ln ).. (ln ).. (ln 4 ). 4 Řešení: A d d d [ ] Nele-li funkci f(,, ) roložit na součin tří funkcí jedné neávisle proměnné, musíme při integraci postupovat podle vtahu (), ted jako v příkladu 3... Příklad Vpočtěte trojroměrný integrál 3 ( + + ) ddd, {(,, ) : <, >, <, >, <, > }. G Řešení: Příklad vřešíme převedením na trojnásobný integrál a pak postupnou integrací podle (). 3 3 ( + + ) ddd d d ( ) d d d 3ln d d + + 3ln + + 3ln d + + 3ln d d + ln + 3 ln d ln 6ln ln 3ln ln d [ ln + 5 ln ] ( ln + ln ) ( ln + 5ln ) 6ln. Příklad k procvičení:. Vpočtěte daný trojroměrný integrál v kvádru užitím vtahu (a): a) ddd { < > < > < > }, (,, ) :,,,3,,, b) ddd { < > < > < > }, (,, ) :,,,3,,5,, (,, ) :,,,3,,4, c) ddd { < > < > < > } 3+ + d) e ddd { < > < > < > }, (,, ) :,,,,,, cos, (,, ) :,,,,,, e) ddd { < π > < > < > } f) 3 ddd { < > < > < > }, (,, ) :,,,3,,. Jarmila Doležalová

3 . Vpočtěte trojroměrné integrál v kvádru užitím vtahu (): } a) ( ) ddd, {(,, ) : <, >, <, >, <,3 >, b) + ddd { < > < > < > } ( ), (,, ) :,,,,,3,, (,, ) :,,,5,,4, c) ddd { < > < > < > } ( ), (,, ) :,,,,,, d) + + ddd { < > < > < > } e) + + ddd { < > < > < > } ( ), (,, ) :,,,,,. Výsledk:. a) 6; b) 3; c) 5 3 ( 4) ; d) ( )( )( ) 3 6 e e e 5 ; e) ; f). 4. a) 4; b) 9; c) ln ; d) 3ln e) v obecné uavřené oblasti Výpočet trojroměrného integrálu v kvádru můžeme obdobně jako v dvojroměrném integrálu rošířit na výpočet trojroměrného integrálu v trojroměrné oblasti, která je ohraničena uavřenou plochou, jež sama sebe neprotíná, přičemž rovnoběžk s osou, vedené jejími vnitřními bod, ji protínají ve dvou bodech. Takovou oblast naveme normální vhledem k souřadnicové rovině os,. Určení oblasti nerovnicemi provedeme následujícím působem: a) Určíme pravoúhlý průmět výše popsané uavřené ploch do rovin os, ( ). f (,) f (,) Obr. b) Dotková válcová plocha rodělí danou uavřenou plochu na dvě části, které le vjádřit rovnicemi f(, ) a f(, ), vi obr.. Platí řejmě f(, ) f(, ). c) Pravoúhlým průmětem dané uavřené ploch do rovin os, je rovinná oblast, která je normální vhledem k ose nebo vhledem k ose. Způsobem námým dvojného integrálu le stanovit nerovnice Jarmila Doležalová 3

4 :, g( ) g( ), resp. :, h( ) h( ). Pravoúhlé průmět oblasti je možno provést také do souřadnicových rovin os, ( ), resp., ( ). Situace je obdobná, není proto nutno se těmito případ abývat. Jestliže je funkce f(,, ) spojitá v elementární trojroměrné oblasti, pak g ( ) f (, ) f (,, ) ddd d d f (,, ) d, respektive g( ) f(, ) h( ) f(, ) f (,, ) ddd d d f (,, ) d. () h( ) f(, ) Oblast je ted pro převedení na trojnásobný integrál nutno analtick vjádřit v takovém tvaru, ab mee vnějšího integrálu bl konstantní, mee prostředního integrálu mohou obecně být funkcí jedné proměnné a mee vnitřního integrálu mohou obecně být funkcí dvou proměnných. Obvkle postupujeme tak, že nejprve vjádříme mee proměnné. Pak určíme pravoúhlý průmět integrační oblasti do souřadnicové rovin os,. Oblast nakonec vjádříme jako oblast normální vhledem k ose nebo jako oblast normální vhledem k ose. Ze vtahů () vplývá, že nejdříve musí být provedena integrace podle proměnné < f(, ), f(, ) >, jejíž mee jsou funkcemi dvou proměnných (při pravoúhlém průmětu do souřadnicové rovin os, jsou to proměnné, ). Po provedení integrace podle proměnné se jedná již o řešení dvojroměrného integrálu Příklad 3... Stanovte nerovnice určující bod oblasti, která je ohraničena plochou + + a, a >. Řešení: Jedná se o oblast ohraničenou kulovou plochou. Z rovnice + + a vjádříme : ± a. To jsou rovnice horní polovin ( a dolní polovin ( + a ) a ) kulové ploch. Dostaneme ted a a, ( < a, a > ). Obrsová válcová plocha, která promítá kolmo do souřadnicové rovin os, ( ) má po dosaení rovnici + a. V rovině os, jde o rovnici kružnice, která je hranicí průmětu ploch do rovin os,. V tomto případě je také průnikovou křivkou dané kulové ploch a rovin os,. Určení bývajících nerovnic blo vsvětleno v části..: Oblast normální vhledem k ose : a a, resp. oblast a a,, normální vhledem k ose : a a, a a. Jarmila Doležalová 4

5 Příklad 3... Stanovte nerovnice určující prostorovou oblast která je ohraničena rovinami,,, Řešení: Pro bod oblasti, vi obr., řejmě podle adání platí 6. Nní určíme pravoúhlý průmět oblasti do rovin. Oblast je trojúhelník v rovině, jehož stran jsou přímk,, 3. Poslední rovnici ískáme tak, že v rovnici rovin položíme a pak ji upravíme. Určení bývajících nerovnic je již námo příkladů o dvojroměrném integrálu. Oblast normální vhledem k ose : 3, 3 nebo oblast normální vhledem k ose : 3-3, 3. Obr. Příklad Stanovte nerovnice pro oblast která je ohraničena plochami dvou paraboloidů ( + ), 4 ( + ). Řešení: Ze adání je řejmé, že proměnná je určena nerovnicemi ( + ) 4 ( + ). Určíme nní rovnici kolmého průmětu společné křivk k obou ploch, vi obr. 3. Platí ( + ) ( + ) 4 ( + ), po úpravě + 4 k To je rovnice kružnice k v rovině. Pro určení oblasti ohraničené kružnicí k pak platí: Oblast normální vhledem k ose :, 4 4 Obr. 3 nebo oblast normální vhledem k ose :, 4 4. Příklad k procvičení: Stanovte nerovnice pro bod prostorové oblasti, která je ohraničena plochami: a) + + 4, b),,, + +, k 4- ( + ) Jarmila Doležalová 5

6 c),,, 3, + 4, v prvním oktantu, d) Výsledk : a) +, +, v prvním oktantu., 4 4,, 4 4, b),, ; c) d),, nebo ;, 4, 3; Příklad Vpočtěte integrál,,, +, +. B ( + ) ddd, kde je ohraničena plochami Řešení: Ze dvou rovnic v adání obsahujících proměnnou dostaneme nerovnice +. Pro určení pravoúhlého průmětu do rovin ůstal rovnice,, +. Pro bod oblasti vjádřené jako oblast normální vhledem k ose platí:,. + + B d d ( + ) d d ( + )[ ] d d ( + )( + ) d d ( ) + ( ) + ( ) + ( ) d Příklad k procvičení:. Vpočtěte daný trojroměrný integrál v oblasti : a) ddd, :,, +, b) ddd, :,,, c) 3 ddd, :,,, d) ( + 3 ) ddd, :,,,, +, e) ddd, :,,, +, + +, Výsledk:. a) ; 8 b) ; 64 c) ; d) 7 ; 3 e) 7. Jarmila Doležalová 6

7 3.3. Transformace v trojroměrném integrálu Transformace do válcových souřadnic Transformace do válcových souřadnic je určena ejména pro trojroměrné integrál, jejichž integrační oblastí je rotační válec nebo jeho část, rotační kužel nebo jeho část nebo v případech, kd pravoúhlý průmět oblasti do příslušné souřadnicové rovin je kruh či jeho část. Trojici kartéských souřadnic,, nahradíme trojicí válcových souřadnic ρϕ,,. Z obr. 4 je řejmé, že výnam válcových souřadnic ρ a ϕ je stejný jako v případě polárních souřadnic u dvojroměrných integrálů, třetí souřadnice se nemění. (,,) (,,) φ ρ (,,) (,,) Obr. 4 Transformace do válcových souřadnic je v případě válce, který má osu v ose, dána ρcos ϕ, transformačními rovnicemi: ρ ϕ cosϕ ρsinϕ Pro jakobián transformace platí J sinϕ ρcosϕ ρ. ρ ϕ ρ ϕ Součin diferenciálů ddd proto nahradíme výraem ddd ρ dρ dϕ d. Pro transformaci trojného integrálu do válcových souřadnic platí Oblast f (,, ) ddd f ( ρcos ϕ, ρsin ϕ, ) ρ d ρ dϕ d, (3) ρsin ϕ, je obraem oblasti ve válcových souřadnicích.. Ponámk:. Válec + R,, v s osou v ose, výškou v a poloměrem R se ve válcových souřadnicích obraí na kvádr < ρ R, ϕ < π, v.. Jak jste ponali v kapitole 3.. je výpočet trojroměrného integrálu na kvádru jednodušší než na obecné uavřené oblasti Jarmila Doležalová 7

8 Příklad Vpočtěte integrál C ddd, kde je ohraničena plochami +,,. Řešení: Oblast je válec s osou v ose, poloměrem podstav a výškou (obr. 5). Zřejmě je. Určení nerovnic pro ρ a ϕ je stejné jako při transformaci do polárních souřadnic. Pro transformovanou oblast proto platí: : < ρ, ϕ < π,. Obr. 5 Podle (3) platí: π C ρ dρ dϕ d dρ dϕ ρd π ρ π ρdρ dϕ d [ ϕ] [ ] π. Ponámka Vhledem k tomu, že geometrickým výnamem integrálu C je objem integrační oblasti, můžeme snadno ověřit správnost výpočtu: Příklad Vpočtěte integrál ( ) + a rovinou. V πr v π.. π. D ( + ) ddd, je ohraničena parabolickou plochou Řešení: Průmětem do rovin je kruh + 4 ( ( + ), odtud po úpravě + 4 ). Použijeme proto transformace do válcových souřadnic (3). ( + ) Souřadnice je dola ohraničena parabolickou plochou a shora rovinou. Podle vtahu (3) dostaneme ( + ) ( ρ cos ϕ+ ρ sin ϕ) ρ. Pro transformovanou oblast ted platí : ρ, < ρ, ϕ < π. Dále platí: π D ( ρ cos ϕ + ρ sin ϕ) ρ dρ dϕ d ρ dρ dϕ ρ d ρ π π π ρ dρ dϕ d ρ dρ [ ] dϕ ( ) d d ρ ρ ρ ϕ ρ ρ Jarmila Doležalová 8

9 ρ ( ρ )[ ϕ] π dρ π ( ) d ρ ρ ρ ρ ρ π 3 6 π(6 ) π. 3 3 Příklad k procvičení: Transformací do válcových souřadnic vpočtěte: a) b) c) ddd, :, 4,, ( + ) ddd, :,,, ddd, : +,, 6. π Výsledk: a) 4 π ; b) ; 48 c) 3 π Transformace do sférických souřadnic Transformace do sférických souřadnic je určena ejména pro trojroměrné integrál, jejichž integrační oblastí je koule nebo její část (rotační kužel nebo jeho část. Trojici kartéských souřadnic,, nahradíme trojicí sférických souřadnic ρϕϑ,,, obr. 6. Souřadnice ρ namená vdálenost bodu X(,, ) od počátku soustav souřadnic ( ρ ). Souřadnice ϕ onačuje orientovaný úhel měřený v souřadnicové rovině os, od kladného směru os po průvodič bodu (,,) v kladném smslu. Souřadnice ϑ onačuje orientovaný úhel měřený ve svislé rovině od kladného směru os po průvodič bodu (,, ). (,,) (,,) ϑ φ ρ ρ (,,) (,,) Obr. 6 Transformační rovnice do sférických souřadnic: ρcosϕ sin ϑ, ρsinϕ sin ϑ, ρcos ϑ. Jarmila Doležalová 9

10 Pro jakobián transformace platí ρ ϕ cosϕsinj ρsinϕsinj ρcosϕcosj J sinϕsinj ρcosϕsinj ρsinϕcosj ρ sin J. ρ ϕ cosj ρsinj ρ ϕ Součin diferenciálů ddd nahradíme proto výraem Pro transformaci trojroměrného integrálu do sférických souřadnic platí: ddd ρ sinϑ dρ dϕ dϑ. f (,, ) ddd f ( ρcosϕsin ϑ, ρsinϕsin ϑ, ρcos ϑ) ρ sin ϑ dρ dϕ dϑ, (4) Oblast je obraem oblasti ve sférických souřadnicích. Ponámka oule se středem v počátku soustav souřadnic a poloměrem R se ve sférických souřadnicích obraí na kvádr < ρ R, ϕ < π, ϑ π. Příklad Vpočtěte integrál E ( + + ) ddd, : + + 4, + +. Řešení: Oblast je ohraničena dvěma kulovými plochami se středem v počátku soustav souřadnic o poloměrech R a R. Použijeme transformace do sférických souřadnic Oblast je určena nerovnicemi: ρ, ϕ < π, ϑ π. Pro integrál po dosaení podle vtahu (4) platí: E ( ρ cos ϕ sin ϑ+ ρ sin ϕ sin ϑ+ ρ cos ϑ) ρ sinϑ dρ dϕ dϑ ρ sin ϑ(cos ϕ sin ϕ ) cos ϑ + + ρ sinϑ dρ dϕ dϑ π π 4 ρ sin ϑ cos ϑ + ρ sinϑ dρ dϕ dϑ ρ dρ dϕ sinϑ dϑ 5 π π ρ 3 4.[ ϕ].[ cos ϑ]. π. π Příklad k procvičení: Transformací do sférických souřadnic vpočtěte: a) b) ddd, :,,, + + 4, + + ddd, : + +,,,, Jarmila Doležalová

11 c) d) ( + ) ddd, :,,, ( + ) ddd, :, π π Výsledk: a) π ; b) ; c) ; 8 48 d) π 3.4. Aplikace trojroměrného integrálu Objem tělesa funkce f(,, ) v oblasti namená hmotnost oblasti, přičemž roložení hustot oblasti v bodě o souřadnicích (,, ) je dáno funkcí σ f(,, ). Jestliže σ, pak uvedený trojroměrný integrál namená objem tělesa a platí V ddd. (5) Příklad Vpočtěte objem válce, jehož podstavu tvoří kruh o poloměru r a který má výšku v. Řešení: Odpovídá výpočtu integrálu C v příkladu 3.3. v kapitole 3.3: V π. Příklad Vpočtěte objem tělesa, které je ohraničeno válcovými plochami + 3 a rovinami,. 5, Řešení: Ze adání jsou řejmé mee pro proměnnou a proměnnou. Abchom určili mee pro proměnnou, musíme nát rovnici průsečnic válcových ploch. Získáme je vřešením rovnice 5 + 3,,, ±. Pro integrační oblast proto platí nerovnice :,, Objem adané oblasti vpočítáme podle vtahu (5): [ ] V ddd d d d d d d ( ) d 3 6 d ( ) d. d 4. [ ] Příklad Vpočtěte objem trojosého elipsoidu, jehož délk poloos jsou postupně abca,,, >, b>, c>. Řešení: Střed elipsoidu umístíme be újm na obecnosti do počátku soustav souřadnic. Rovnice elipsoidu má v takovém případě tvar + +. Pro řešení použijeme a b c obecněné sférické souřadnice, které vniknou e sférických souřadnic (4) doplněním příslušných délek poloos do transformačních rovnic: Jarmila Doležalová

12 aρcosϕsin ϑ, bρsinϕsin ϑ, cρcos ϑ. Snadno si ověříte, že jakobián transformace je určen vtahem J abcρ sin J. Elipsoid se transformuje na kvádr : < ρ, ϕ < π, ϑ π. Mee pro proměnné ϕ a ϑ určíme geometrického náoru (analogick jako u koule), mee pro proměnnou ρ jistíme dosaením transformačních rovnic do rovnice elipsoidu: a ρ cos ϕsin ϑ b ρ sin ϕsin ϑ c ρ cos ϑ + +, + +, a b c a b c ρ sin ϑ(cos ϕ sin ϕ) cos ϑ + +, ρ, ρ. Podle vtahu (5) platí: 3 ρ π π V ddd abc ρ sinϑ d ρ dϕ dϑ abc [ ϕ] [ cos ϑ], 3 4 V π abc. 3 Příklad k procvičení: Vpočtěte objem tělesa ohraničeného plochami: a),,,, 3, + + 4, (,, ), b) + 6, +,,,, c) , 3, 4, + 5,, (5a) d) e) +,,,, +. Výsledk: a) 55 ; 6 b) 6 ; 3 c) 5 ; d) π 3 ; e) Fikální aplikace Mějme hmotnou oblast, přičemž hustota v každém bodě X(,, ) oblasti je dána funkcí σ σ(,, ). Pak hmotnost tělesa, které je určeno oblastí, je dána vtahem m σ (,, ) ddd, (6) statický moment tělesa S S, resp. S S, resp. S S, vhledem k souřadnicové rovině os,, resp.,, resp., je S S σ (,, ) ddd, (7a) S S σ (,, ) ddd, (7b) Jarmila Doležalová

13 S S σ (,, ) ddd, (7c) souřadnice těžiště T ( ξηζ,, ) tělesa jsou S, m η S, S, (8) m m moment setrvačnosti tělesa vhledem k osám, resp., resp. je I ( + ) σ (,, ) ddd, (9a) I ( + ) σ (,, ) ddd, (9b) I ( + ) σ (,, ) ddd. (9c) Příklad Vpočtěte hmotnost tělesa ohraničeného kulovými plochami + +, + + 4, přičemž jeho hustota v bodě X(,, ) je σ (,, ) + +. Řešení: Odpovídá řešení integrálu E v příkladu v kapitole 3.3.: 4 m π. 5 Příklad Určete hmotnost polokoule + + 4,, je-li její hustota v libovolném bodě přímo úměrná páté mocnině vdálenosti tohoto bodu od středu polokoule a v bodě A (,,) nabývá hodnot. Řešení: 5 Podle adání je hustota určena vtahem σ k( + + ), kde k je konstanta úměrnosti. V bodě A platí: 5 k + + odtud konstanta úměrnosti k a pro ( ), 5 hustotu koule ted platí σ ( + + ). Vhledem ke tvaru integrační oblasti použijeme transformaci do sférických souřadnic (4). 5 Pro hustotu pak platí σ ρ, neboť proměnná ρ je definována jako vdálenost bodu X(,, ) od počátku soustav souřadnic ( ρ + + ). π Integrační oblast je určena nerovnicemi : < ρ, ϕ < π, ϑ. Podle vtahu (6) pro hmotnost koule platí: 5 5 m ( + + ) ddd ρ ρ sinϑ d ρ dϕ dϑ π π 8 π 7 ρ π sin [ ] [ cos ] ρ dρ dϕ ϑ dϑ ϕ ϑ 8 π. 8 Příklad Určete statický moment tělesa, které je ohraničeno válcovou plochou a rovinami 3,,,, vhledem k souřadnicové rovině os., Hustota tělesa v libovolném bodě je přímo úměrná vdálenosti tohoto bodu od souřadnicové rovin os., Jarmila Doležalová 3

14 Řešení: Podle adání je hustota určena vtahem σ k, kde k je konstanta úměrnosti. Ze adání vplývají pro integrační oblast nerovnice: : 3,,. Podle vtahu (7a) pro požadovaný statický moment platí: S kddd k d d d k d k d 3 9 k k. Příklad Určete těžiště homogenního tělesa, které je ohraničeno rovinami,,,,, + +. Řešení: Be újm na obecnosti položíme σ. Nejprve určíme hranice integrační oblasti.. Ze adání vplývá, že pravoúhlým průmětem oblasti do souřadnicové rovin os, je čtverec,. Zdola je oblast ohraničena souřadnicovou rovinou a shora rovinou + +. Platí proto: :,,. určení těžiště potřebujeme podle vtahu (8) vpočítat hmotnost tělesa (vtah 6) a statické moment vhledem k jednotlivým souřadnicovým rovinám (vtah 7a, b, c). m ddd d d d d d[ ] d ( ) d 3 3 ( ) d ( ) d, S ddd d d d d d d ( ) d ( ) ( ) ( ) 7 ( ) ( ), d d ( ) ( ) 3 ( ) 3 5 d (4 3 ) d 4, S ddd d d d d d d d S ddd d d d d ( ) d ( ) d (3 ) d. 3 Pro souřadnice těžiště ted podle vtahu (8) platí: ξ, 5 7 η, ζ. Jarmila Doležalová 4

15 Příklad Stanovte moment setrvačnosti tělesa ohraničeného plochami,,, +, + vhledem k ose, je-li jeho hustota konstantní. Řešení: Be újm na obecnosti položíme σ. Řešení úloh odpovídá řešení integrálu B 64 v příkladu 3..4 v kapitole 3.: I. 5 Příklad Určete moment setrvačnosti trojosého elipsoidu, jehož délk poloos jsou postupně abca,,, >, b>, c>, vhledem k jeho osám. Hustota elipsoidu je konstantní. Řešení: Be újm na obecnosti položíme σ. Střed elipsoidu umístíme do počátku soustav souřadnic. Rovnice elipsoidu má v takovém případě tvar + +. Pro a b c řešení použijeme obecněné sférické souřadnice (4a). Elipsoid se transformuje na kvádr : < ρ, ϕ < π, ϑ π, vi příklad výpočtu momentů setrvačnosti použijeme vtah (9a, b, c). I ( + ) ddd abc ( b ρ sin ϕ sin ϑ+ c ρ cos ϑ) ρ sinϑ d ρ dϕ dϑ π π 4 abc ρ dρ dϕ ( b sin ϕ sin ϑ+ c cos ϑ)sinϑ dϑ 5 π π ρ abc dϕ b sin ϕ( cos ϑ)sinϑ c cos ϑ sinϑ dϑ 5 + (avedeme substituci cos ϑ t, sin ϑ dϑ dt, sinϑ dϑ dt ) π 3 3 π cos ϑ cos ϑ abc dϕ b sin ϕ( cos ϑ ) c π π ϕ 4 4 cos abc ( sin ) ( ) 5 b ϕ+ c dϕ abc b c dϕ π sin ϕ 4π abc ( ) ( ) ( ). 5 b ϕ + c ϕ abc πb + πc abc b + c Analogick vpočítáme 4 I ( ) ddd π 4 + abc( a + c ), I ( ) ( ). 5 + ddd π abc a + b 5 Příklad k procvičení:. Vpočtěte hmotnost tělesa ohraničeného danými plochami, jestliže hustota v každém bodě X(,, ) je dána funkcí σ σ(,, ): a) b) c) + + 4, σ + +, + +, σ, + +, +, +, σ. Jarmila Doležalová 5

16 . Vpočtěte statické moment daných těles, je-li jejich hustota konstantní (be újm na obecnosti položíme σ ): a) Tělesa + +,,, vhledem k rovině, b) kvádru o délkách hran a, b, c 3 vhledem k jeho stěnám, c) rotačního kužele s poloměrem r 3 a výškou v vhledem k rovině procháející vrcholem rovnoběžně s podstavou. 3. Určete souřadnice těžiště daných těles, je-li jejich hustota konstantní (be újm na obecnosti položíme σ ): a) Hranolu ohraničeného rovinami,,,, 4, + + 8, b) jehlanu ohraničeného rovinami,,, + + 3, c) tělesa ohraničeného plochami,,,. 4. Vpočtěte moment setrvačnosti daných těles, je-li jejich hustota konstantní (be újm na obecnosti položíme σ ): a) vádru o délkách hran a, b, c 3 při rotaci kolem hran, b) jehlanu ohraničeného rovinami,,, při rotaci kolem souřadnicových os, c) kužele + +, při rotaci kolem os kužele. Výsledk:. a) 6 π ; b) 8 π ; c) 8 π a) ; b) 3, 6, 9; c) 9 π. 3. a) (,, ); b) (,, ); 4 8 c) π. c) (,, ). 4. a) Ia 6, Ib, Ic ; b) I, I, I ; Jarmila Doležalová 6