ŘEŠENÉ PŘÍKLDY K DOPLNĚNÍ ÝKY. TÝDEN Příklad. K baterii s vnitřním napětím a vnitřním odporem i je připojen vnější odpor (viz obr..). rčete proud, který prochází obvodem, úbytek napětí Δ na vnitřním odporu baterie a velikost svorkového napětí. Dáno: = 4 ; i = Ω ; = 47 Ω rčit: ; Δ ; S Proud tekoucí obvodem S = 4,5 + = + 47 = i Z Úbytek na vnitřním odporu baterie Obr.. Δ = =,5 =,5 i Svorkové napětí - vnitřní napětí zmenšené o úbytek na vnitřním odporu S = Δ = 4,5 =,5 Příklad. Na svorkách zdroje napětí jsme naměřili při odebíraném proudu na svorkách napětí a při proudu napětí. rčete vnitřní napětí a vnitřní odpor i zdroje. Dáno: = m ; = ; = 5 m ; = rčit: ; i Pro napětí na svorkách v prvním případě platí: = i a v druhém případě platí: = i Z obou rovnic vyjádříme = + i = + i Při rovnosti levých stran můžeme napsat: + i = + i
Z této rovnice vypočteme i = = = 5Ω,5, Napětí zdroje v nezatíženém stavu = + i = + 5, =,5 nebo = + i = + 5,5 =,5 Příklad. Zdroj proudu napájí dva paralelně zapojené odpory (viz obr..), z nichž odpor je konstantní a odpor je proměnný v daném rozmezí. yjádřete závislost proudu tekoucího proměnným odporem na jeho velikosti a závislost napětí na tomto proměnném odporu na proudu jím tekoucím. Dáno: = ; = Ω ; =( až ) Ω rčit: = f ( ) ; = f ( ) Proud se rozdělí na proudy a v nepřímém poměru odporů a Obr.. = = Proud určíme ze vztahu = = dosadíme do rovnice pro a dostaneme ( ) = a po úpravě = 6 + Pro vynesení závislosti f ( ) = vypočteme několik bodů. [ Ω ] 4 6... [ ],5,75...
závislost je nakreslena na obr.. 4 [ ] 4 6 8 Ω [ ] Obr.. Závislost f ( ) = získáme ze vztahu = za dosadíme = = a dostaneme ( ) ( ) = = Pro vynesení grafu (viz obr..4 ) vypočteme několik bodů této závislosti. [ ] 7 6 [ ] [ ] 6 4 5 4 4 [ ] Obr..4
. TÝDEN Příklad. rčete, jak velkým výsledným odporem bude zatížen zdroj napětí, je-li obvod zapojen podle obr.. a hodnoty odporů jsou známé. Dáno: = Ω ; = Ω ; = Ω ; 4 =5 Ω ; 5 =66,7 Ω rčit: Obr.. Obr.. Trojúhelník C tvořený odpory,, transfigurujeme do hvězdy C tvořenou odpory,, C (viz obr..). Odpory,, C se vypočítají ze vztahů: 5 = = = Ω + + 6 C + + = = = Ω + + 6, = = = Ω 6 4
Obvod po transfiguraci je na obr.. a tentýž obvod je názorněji překreslen na obr..4. Součet odporů 4 a Součet odporů 5 a nahradíme odporem 4 = + 4 = 5 + 5 = Ω. nahradíme odporem 5 = + 5 =, + 66,7 = Ω. Celkový odpor paralelní kombinace odporů 4 a 5 vypočteme: 4 5 = + 45= = = 5Ω + + 45 4 5 4 5 Obr.. Obr..4 ýsledný odpor = + 4 5= 5 + = 5Ω C Potřebujeme-li transfigurovat hvězdu na trojúhelník, použijeme následujících vztahů: = + C + = + + = + C + C C C 5
Příklad. Do společné sítě pracují dva paralelně spojené zdroje napětí (viz. obr..5). Při odebíraném proudu je na svorkách sítě napětí S. Proud je rozdělen rovnoměrně na oba zdroje s vnitřními odpory i a i. Krátkodobě se zvýší odběr proudu na hodnotu. rčete proudy a tekoucí zdroji při tomto přetížení. Dáno: S = ; = ; = 4 ; i =,5 Ω ; i =,6 Ω rčit: a Pracují-li dva zdroje paralelně do společné sítě, musí mít stejná svorková napětí. ypočteme nejprve vnitřní napětí obou zdrojů = + S i = + S i trvalém provozu je Obr..5 = = = = po dosazení do předchozích rovnic = +,5 = 5 = +, 6 = 6 Při přetížení musí znovu platit rovnost svorkových napětí obou zdrojů. nitřní napětí se nezměnila a proto můžeme psát: Zdroje dodávají do sítě proud: = i i = + Z této rovnice vypočteme ( ) i i a dosadíme do předchozí rovnice = odtud vypočteme + 6 5 +,5 4 = = = 9 +,5 +, 6 i i i = = 4 9= Povšimněte si, že zdroj s menším vnitřním odporem je zatížen větším proudem. 6
Příklad. Máme k dispozici dva zdroje napětí. První z nich má vnitřní napětí a vnitřní odpor a i. Jak velké bude výsledné napětí, spojíme-li oba zdroje do série (viz i, druhý obr..6) a jak velký proud poteče spotřebičem s odporem. Jak se změní poměry v případě, že dojde k opačnému zapojení druhého zdroje (viz obr..7) Dáno: = 4 ; = 6 ; i = Ω ; i = Ω ; = 55 Ω rčit: ; ; ; Při sériovém řazení zdrojů platí pro výsledné napětí = + = 4 + 6 = a výsledný vnitřní odpor i Obr..6 i = i + i = + = 5Ω Proud tekoucí zátěží =,5 + = 5+ 55 = i případě chybného zapojení druhého zdroje bude výsledné napětí = = = 4 6 8 Obr..7 a proud do zátěží (vnitřní odpor i se nezmění) 8 =, + = 6 = i 7
. TÝDEN Příklad. Potřebujeme měřit v síti s napětím. Máme k dispozici voltmetr s rozsahem r a vnitřním odporem při tomto rozsahu. rčete velikost předřadného odporu a konstantu voltmetru k po zvětšení rozsahu, je-li počet dílků na stupnici d. Dáno: = ; r = 6 ; = Ω při rozsahu 6 ; d = dílků P rčit: ; P k Předřadné odpory jsou vyráběny s hodnotami stejnými jako mají vnitřní odpory voltmetrů, proto upravíme nový rozsah na nejblíže vyšší násobek základního rozsahu 4 tj. na 4 n = = 4 6. elikost předřadného odporu konstanta voltmetru je = ( n ) = (4 ) = 6Ω P k k 4 = = = dílek d Poznámka: nitřní odpor voltmetru se udává též hodnotou odporu vztaženého na měřícího rozsahu tedy např. 5Ω. Má-li voltmetr měřící rozsah je = 5 = 6Ω. Příklad. ypočtěte hodnoty odporů a kombinovaného bočníku pro zvětšení rozsahů r a r, má-li základní měřící systém plnou výchylku při proudu S je-li odpor systému S (viz obr..) Dáno: r = ; r = 6 ; S = 5 Ω ; S = m rčit: ; 8
Pro určení velikosti bočníku S platí vztah =, který n aplikujeme na tento případ. a) Pro rozsah n r = = = S 8, očník je tvořen odpory a S 5 + =,6 n = 8, = Ω Obr.. b) Pro rozsah 6 n r 6 = = = S 5 tomto případě se odpor přičítá k odporu S S + 5 + = = n 5 Pro dvě neznámé a máme dvě rovnice 5 + + =,6 = 4999 druhou rovnici dosadíme do první a vypočteme 5 + 4999 + =,6 =,5Ω elikost určíme dosazením za do prvních rovnic =,6 =,6,5 =,Ω 9
Příklad. Neznámý odpor X byl změřen přístroji zapojenými podle obr... rčete hodnotu X jestliže měl voltmetr rozsah r, počet dílků na stupnici d a vnitřní odpor. Při měření ukazoval výchylku α. mpérmetr měl rozsah r a počet dílků na stupnici d. Při měření ukazoval výchylku α. Dáno: r = ; d = dílků ; d = dílků ; α = 5 dílků = Ω ; α = 86 dílků ; r =, ; rčit: X Nejprve vypočteme konstantu ampérmetru k a proud ampérmetrem k r, = = =, dílek d = α k = 5, =, Obr.. bychom určili proud tekoucí voltmetrem, musíme znát změřené napětí konstantu voltmetru k r k = = =, dílek d = α k = 86, = 8,6 X X. ypočteme Pro určení proudu voltmetrem musíme znát vnitřní odpor voltmetru = r = = 4Ω X 8, 6 = = =, 6 4 Proud X tekoucí neznámým odporem = =,, 6 =, 984 X Neznámý odpor X vypočteme X X 8,6 = = = 87,4Ω, 984 X Poznámka: Porovnejte, jak se liší výsledek, jestliže nebudete uvažovat proud tekoucí voltmetrem. X X 8, 6 = = = 84,Ω,
Příklad.4 Na zdroj s napětím jsou zapojeny do série odpory,, (viz. obr..). rčete proud tekoucí ze zdroje a úbytky napětí,, na jednotlivých odporech. Dáno: = 6 ; = 9 Ω ; = 5 Ω ; = 6 Ω rčit: ; ; ; bychom mohli určit proud tekoucí ze zdroje, musíme nejprve znát celkový odpor obvodu = + + = 9 + 5 + 6 = Ω 6 = = =, Úbytky napětí na jednotlivých spotřebičích Obr.. = = 9, = 7 = = 5, = 5 = = 6, = 8 Podle druhého Kirchhoffova zákona můžeme zkontrolovat výpočet = + + = 7 + 5 + 8 = 6
4. TÝDEN Příklad 4. Na zdroj napětí se zanedbatelným vnitřním odporem i připojme dělič napětí tvořený odpory a (viz obr. 4.). Dělič je zatížen odporem z hlediska výstupních svorek ideálním zdrojem napětí rčete velikost výstupního napětí. Dáno: = ; = 5 Ω ; = Ω ; rčit: ; K ; Podle Theveninova teorému je možno jakýkoli lineární obvod nahradit z hlediska výstupních svorek náhradním zdrojem napětí v sérii s vnitřním odporem K. Náhradní napětí je napětí na výstupních svorkách v nezatíženém stavu (pro = ). nezatíženém stavu se napětí rozdělí v poměru odporů Z = Ω ; Z. Nahraďte dělič napětí v sérii s vnitřním odporem K. = = = 6, 67 + 5 + Obr. 4. a náhradní vnitřní odpor K je odpor, který by se v nezatíženém stavu objevil na výstupních svorkách, kdybychom zdroje napětí zkratovali a zdroje proudu rozpojili. našem případě je K dáno paralelní kombinací a. K 5 + 5 + = = = 4Ω Náhradní schéma je na obr. 4. a proud = 6,67, 45 + = 4 + = K Z Obr. 4. Úbytek napětí Δ na odporu K Δ = K = 4,45 =,45 ýstupní napětí při zatížení odporem = Δ = 6,67,45 = 5, Z
Příklad 4. Tři zdroje napětí, a jsou připojeny na obvod složený z odporů,, a 4 podle obr. 4.. ypočtěte metodou superpozice napětí 4 na odporu 4. Dáno: = 9 ; = 6 ; = ; = Ω ; = Ω ; = 6 Ω ; 4 = 4 Ω rčit: 4 Při řešení postupujeme tak, jako by v obvodu byl vždy pouze jeden zdroj (ostatní zdroje napětí jsou zkratovány a zdroje proudu rozpojeny) a proudy vyvolané jednotlivými zdroji se sčítají. Tedy proud odporem 4 je dán součtem proudů, a vyvolanými napětími, a. rčíme proud vyvolaný zdrojem napětí (upravený obvod na obr. 4.4) 9 = = =, 8 + + + + 4 4 Obr. 4. Obr. 4.4 Obr. 4.5 Obr. 4.6 Proud Proud vyvolaný zdrojem (obr. 4.5) vyvolaný zdrojem (obr. 4.6) 6 = = =, 86 + + + + 4 = = =, 4 + + + + 4 4 4 Proud jdoucí odporem 4 působením všech zdrojů = + =, 8 +, 86, 4 =, 7 Napětí 4 na odporu 4 4 = 4 = 4, 7 = 6,84
Příklad 4. Jak velké bude výstupní napětí sčítacího obvodu podle obr. 4.7 v nezatíženém stavu ( = při = ) a jak se změní výstupní napětí v případě, že obvod zatížíme proudem. Dáno: = ; =,6 ; = ; = k Ω ; = k Ω ; = k Ω ; 4 = 5 k Ω rčit: ; Pro řešení tohoto obvodu použijeme metodu uzlových napětí, která využívá k popisu obvodu prvního Kirchhofova zákona. Celý obvod je popsán jednou rovnicí. od zvolíme za referenční uzel a platí + + 4 = po dosazení prvků obvodu: + + = 4 Pro nezatížený stav, kdy = a = + + = Z této rovnice po úpravě vypočteme Obr. 4.7 4 + +,6 + + = = =, 7 + + + + + + 5 4 Po zatížení proudem klesne výstupní napětí + + = 4 + +,6 + +,5 = = =, 5 + + + + + + 5 4 Z výsledku je patrno značné snížení výstupního napětí při zatížení. ude vhodnější volit menší hodnoty odporů ve sčítacím obvodu. 4
5. TÝDEN Příklad 5. Na obr. 5. je nakreslen obvod se dvěma zdroji napětí a. ypočtěte napětí mezi body a a proudy, a jdoucí jednotlivými odpory, a. Použijte: a) metodu Kirchhoffových zákonů b) metodu smyčkových proudů c) metodu uzlových napětí d) metodu superpozice e) Theveninův teorém Dáno: = ; = ; = Ω ; = Ω ; = Ω ; rčit: ; ; ; a) Metodou Kirchhoffových zákonů Obr. 5. Pro zvolené proudy v uzlu platí první Kirchhoffův zákon = Pro zvolený oběh smyček platí podle druhého Kirchhoffova zákona. smyčka + =. smyčka + = Po úpravě a dosazení = + = + = Determinant soustavy D S = = 5 Determinant pro D = = DS D = = =, 5 Determinant pro D D 4 = = 4 = = =,8 DS 5 Determinant pro D = = DS D = = =,6 5 Proud je kladný, směr je tedy správný. Napětí mezi a je dáno Ohmovým zákonem. = =,6= od je záporný a bod je kladný 5
Obr. 5. Správné směry proudů jsou na obr. 5. Obr. 5. b) metodou smyčkových proudů Označení smyčkových proudů je nakresleno na obr. 5.. Směr proudů ve smyčkách je volen souhlasný se směrem oběhu v předchozím řešení. Pro smyčkový proud Pro smyčkový proud můžeme psát ( ) platí ( ) + + = + + = po úpravě a dosazení + = + = a Při řešení metody smyčkových proudů nám stačí dvě rovnice, jejichž řešením jsou proudy,. Řešíme opět pomocí determinantů. Determinant soustavy Determinant pro D S = = 5 D = = = =, 5 Determinant pro D = = 4 4 = =,8 5 Napětí mezi body a je dáno ( ) ( ) = + =,+,8 = Proudy odpory = =,, = =,8, = + =, +,8 =,6 6
c) metodou uzlových napětí (viz. obr. 5.4) tomto případě nám stačí jedna rovnice. Pro uzel platí = = Z této rovnice vypočteme + + + + + + = = = Obr. 5.4 Proudy jednotlivými odpory vypočteme z druhého Kirchhoffova zákona = = = =, + = = = =,8 = = =,6 d) metoda superpozice Při řešení postupujeme tak, jako by v obvodu byl pouze vždy jeden zdroj (ostatní zdroje napětí jsou zkratována a zdroje proudu rozpojeny) a proudy vyvolané jednotlivými zdroji se sčítají. Nejprve budeme uvažovat zdroj. Schéma nakreslené na obr. 5. se zjednoduší na schéma nakreslené na obr. 5.5. bychom určili vypočteme celkový odpor C zapojený na zdroj. Obr. 5.5 7
= + = + = 6.6Ω + + C Proud = = = C 6,6,6 Proud a se rozdělí v nepřímém poměru odporů a = = a platí = + =,6 Z těchto dvou rovnic vypočteme =, a =, 4 Nyní budeme uvažovat zdroj (viz obr. 5.6) bychom určili proud, vypočteme celkový odpor připojený na zdroj. C = + = + = 6, 6Ω + + C = = = C 6,6, Obr. 5.6 Proudy a se rozdělí v nepřímém poměru odporů = = a platí = + =, Řešením těchto dvou rovnic dostaneme =, 4 a =,8. Proud tekoucí odporem je = + =, +, 4 =,6 a napětí = =,6 = proud = =,6,8 =, proud = =, 4, =,8 ýsledky jsou opět shodné. 8
e) metoda Theveninova teorému Při řešení Theveninovým teorémem budeme považovat odpor za zátěž připojenou na svorky a. Nalezneme nejprve napětí, které by bylo na svorkách a v nezatíženém stavu (viz obr. 5.7). Podle obr. 5.7 můžeme psát rovnici + + = Obr. 5.7 Z této rovnice vypočteme = = =,5 + + Opět podle obr. 5.7 můžeme psát + = nebo + = ypočteme = = (,5) = 5 nebo z druhé rovnice = = + (,5) = 5 Náhradní odpor K, který se jeví na svorkách při zkratovaných zdrojích napětí K + + = = = 5Ω Můžeme tedy nakreslit náhradní obvod viz obr. 5.8. Proud tekoucí do zátěže je + = = = K 5 5,6 Na odporu K bude úbytek napětí Δ = = 5,6 = K Δ Obr. 5.8 = Δ = 5 = 9
Proud jednotlivými odpory vypočteme (viz obr. 5.9) z druhého Kirchhoffova zákona + = Z této rovnice vypočteme = = =, Obr. 5.9 Pro druhou smyčku platí + = Z této rovnice vypočteme a = = =,8 = = =,6 Z uvedených výpočtů je vidět, že obvod lze řešit libovolnou metodou, avšak každá metoda nevede k cíli stejně rychle.
6. TÝDEN Příklad 6. rčete svodový odpor S kondenzátoru s kapacitou C, jestliže na něm bylo elektrostatickým voltmetrem (vnitřní odpor voltmetru můžeme považovat za nekonečně velký) změřeno napětí a po uplynutí T minut pokleslo napětí na hodnotu. Dáno: C = μf ; = 5 ; = ; T= 5 minut rčit: S eálný kondenzátor se svodovým odporem S můžeme nahradit ideálním kondenzátorem s kapacitou C a paralelně připojeným odporem (viz. obr. 6.) S Pro obvod na obr. 6. platí rovnice S i+ uc = kde u C je okamžitá hodnota napětí na kondenzátoru. Pro proud obvodem platí Obr. 6. du i i C dt C C = C = a po dosazení dostaneme diferenciální rovnici C S + uc = du dt Řešíme separací proměnných S C du C = dt uc C S Řešení diferenciální rovnice vyjde ve tvaru uc = K e = K e τ kde τ = S C je časová konstanta. Konstantu vypočteme z počátečních podmínek pro čas t = (tj. v čase, kdy na kondenzátoru bylo změřeno napětí ) je t t C = a můžeme psát c t = e τ v čase t = T je = a platí = e τ C Z této rovnice vypočteme S. T T T ln ln τ S τ = = = = ln C,log t a po dosazení S 56 = = 74M Ω 5 6,log
Příklad 6. Kondenzátor s kapacitou C je připojen na dělič napětí tvořený odpory a, které jsou připojeny přes spínač S na stejnosměrné napětí. daném časovém okamžiku se spínač S rozepne. rčete časový průběh napětí u C na kondenzátoru a časovou konstantu τ. Dáno: = ; = kω ; = kω ; C = μ F rčit: u = f() t ; τ C Při sepnutém spínači S je v ustáleném stavu na kondenzátoru napětí u C = + Toto napětí je na kondenzátoru na počátku přechodového děje v čase t =. u () C = u + Obr. 6. Po rozepnutí spínače S se kondenzátor nabije z napětí přes odpor (viz.obr. 6.). Pro obvod na obr. 6. platí diferenciální rovnice du dt C C + uc = ovnici řešíme separací proměnných C duc = dt uc Řešení dostaneme ve tvaru t C e = K( u C ) v čase t = je u () C = u C = + po dosazení dostaneme K = Obr. 6. + po dosazení konstanty dostaneme řešení u = f( t) C t t C C uc = ( e ) + e +
Na počátku přechodového děje (t = ) je napětí na kondenzátoru 4 uc = = = + + v čase t = je u = = C Časová konstanta τ τ = C = = 6 ms Průběh napětí u C je zakreslen na obr. 6.4 uc [ ] t[ ms] Obr. 6.4
Příklad 6. rčete časový průběh proudu i tekoucího sériovým obvodem s odporem a indukčností L při připojení stejnosměrného napětí. rčete časovou konstantu obvodu τ a časový průběh napětí na odporu u a na indukčnosti u L. Dáno: = 4 ; = Ω ; L=,H rčit: i = f( t) ; u = f( t) ; u L = f( t) Pro sériový obvod (dle obr. 6.5) můžeme napsat diferenciální rovnici di i+ L = po separaci dt t L Řešení této rovnice je e = K( i) dt = L di i Konstantu K určíme z počátečních podmínek pro t = je i = pak K = K = po dosazení Obr. 6.5 t e L = ( i ) z této rovnice určíme průběh i i = ( e L ) L, Časová konstanta τ = = =, 6 = 6ms Proud i po dosazení konkrétních hodnot Časový průběh je zakreslen na obr. 6.6. t t t t,6,6 4 i = ( e L ) = ( e ) =, ( e ) i[ ] τ t[ ms] Obr. 6.6 4
Časový průběh napětí na odporu vypočteme t,6 u = i = ( e ) = 4( e ) Časový průběh napětí na odporu je vynesen na obr. 6.7. t τ u [ ] τ t[ ms] Obr. 6.7 Časový průběh napětí na indukčnosti L vypočteme t di ul = L = L e τ = e τ = 4 e dt τ Časový průběh napětí na indukčnosti L je vynesen na obr. 6.8. t t,6 ul [ ] τ t[ ms] Obr. 6.8 5
7. TÝDEN Příklad 7. Cívka relé má indukčnost L a ohmický odpor L. Cívka je zapojena do série s odporem a paralelně k odporu. Celá kombinace (viz. obr. 7.) je zapojena přes spínač S na stejnosměrné napětí. Kotva relé se přitáhne při proudu i a odpadne při proudu i. Za jakou dobu t relé po zapnutí kotvu přitáhne a za jakou dobu t po vypnutí kotva odpadne? Dáno: = 4 ; L= 6H ; rčit: t ; t Nejprve nahradíme obvod nalevo od svorek, náhradním zdrojem napětí v sérii s náhradním odporem. Náhradní napětí je dáno napětím na svorkách, při odpojené zátěži (napětí naprázdno). = = 4 = 8 + 6 + L = Ω ; = 6 Ω ; = Ω ; i = 8 m ; i = 6 m Náhradní odpor i vypočteme jako odpor mezi svorkami, při zkratovaném zdroji. Obr. 7. i 6 + + 6 = = = Ω Náhradní obvod je nakreslen na obr. 7. rčíme velikost ustáleného proudu v čase t = 8 =, m + = + = = L i Časová konstanta obvodu τ při připojení obvodu na napětí L 6 τ = = =,5s + Obr. 7. 6
Průběh proudu v sériovém obvodu L je dán vztahem t i = ( e τ ) (viz. předchozí příklad) Proud i v obvodu v čase z této rovnice vypočteme t t i = ( e τ ) t = τ ln =,τ log i i t Po dosazení dostaneme čas, který uplyne od okamžiku připojení obvodu na napětí do okamžiku, kdy přitáhne relé. t =,, 5 log =, 45s= 4,5ms 8 Po vypnutí můžeme nakreslit náhradní obvod podle obr. 7.. ndukčnost se chová jako zdroj napětí, který protlačí proud přes součet odporů L + = Pro obvod na obr. 7. můžeme psát diferenciální rovnici di ul + u = L + i= dt řešení této diferenciální rovnice dostaneme ve tvaru t i = K e L Konstantu K určíme z počátečních podmínek, pro t = je i = K = po dosazení do předchozí rovnice t i = e τ Obr. 7. Časová konstanta L L 6 τ = = = =,s + + L proud i v obvodu v čase t je t i = e τ Z této rovnice vypočteme čas, který uplyne od okamžiku odepnutí obvodu od napětí do okamžiku, kdy kotva relé odpadne t =, log =,, log =, 48s= 4,8ms τ i 6. 7
Příklad 7. Najděte časový průběh proudu ve schématu podle obr. 7.4, je-li v čase t = připojen zdroj o hodnotě. Počáteční podmínka i () = u + u u = ul L L u + u = u u L dφ = φ = Li dt dli ( ) di = = L dt dt di L i u dt + = Li + i = u p.p. u L ( P i()) + = p i () = Obr. 7.4 ( L + ) = P u p u = = pl ( + ) P u L p( p+ ) t L u () { } ( u it = L e ) ( e L = = ) t 8
8. TÝDEN Příklad 8. Sériově řazené prvky, L, C jsou připojeny ke střídavému napětí s frekvencí f podle obr. 8.. ypočtěte proud, úbytek napětí na jednotlivých prvcích,,, L C. Nakreslete fázový diagram. Dáno: = ; f = 5 Hz ; = Ω ; L=,5 H ; C= 5 μ F ; = 5 Ω rčit:,,,, L C Celková impedance sériově zapojených prvků v obvodu Z = + jl+ + = jc = + j 4,5 j + 5 = 6 4 5 = Ω ( 5 j 55,) = π f = π 5 = 4 rad s Obr. 8. ϕ + t Proud tekoucí obvodem ( 5 j55,) + = = = = Z 5 j55, 5 + 55, =, 9 + j, 48 ( ) j = e = šechny fázorové diagramy kreslíme v předem zvolených měřítcích napětí a proudů. = + =, 9, 48,8 Fázor napětí jsme položili do reálné osy a převedeme fázor do exponenciálního tvaru: Obr. 8., 48 ϕ = arctg =, 4, 9 j,4 =, 8 e 9
Napětí na jednotlivých prvcích jsou j,4 j,4 = =,8 e = 8 e j,4 j,4 L = jc = j4,5,8 e = 6,7 e j,4 j69,6 C = =j,8 e = 9 e 6 jl 4 5 j,4 j,4 = = 5,8 e = 69 e Fázový diagram je nakreslen na obr. 8.. Příklad 8. Obvod dle obr. 8. je napájen střídavým napětím s frekvencí f. ypočtěte celkový proud, proudy,, v jednotlivých paralelních větvích a úbytky napětí na jednotlivých prvcích a X, X. Nakreslete fázový diagram L ( L ) Dáno: = ; rčit:,,,,, X C = 8,5 Ω ; = 5 Ω ; X L Fázor napětí položíme do reálné osy a vypočteme proudy jednotlivými větvemi: X L = 57 Ω ; = 5 Ω j = e = ( vose x) (5 j57) = = = = (, 4 j, 7) + jx 5 + j57 5 + 57 L, 7 =, 4 +, 7 =, ϕ = arctg = 7,5, 4 j7,5 =, e Obr. 8. j9 = = j = j,69 =,69 e jx C 8,5 = = =, 47 Celkový proud je dán fázovým součtem jednotlivých proudů 5 = + + =,(cos 7,5 j sin 7,5 ) + j, 69 +, 47 =, 4 j, 7 + j, 69 +, 47 = (,87 j,58),58 =,87 +,58 =,96 ϕ = arctg = 7,,87 j7, =, 96 e
Proud můžeme také spočítat z Ohmova zákona pomocí výsledné impedance Z obvodu. = + + = + j + = Z + jx jx 5 + j57 8,5 5 L C =, 8 j, 58 + j, 4 +, 66 =, 84 j, 7 = = (,84 j,7) = (,87 j,58) Z j7,5 j7,5 = = 5, e = 66,5 e j7,5 j7,5 X = jx 57, 8,8 L L = j e = e Fázový diagram z vypočtených hodnot je na obr. 8.4 + t ϕ ϕ Obr. 8.4
9. TÝDEN Příklad 9. Daný obvod dle obr. 9. se sérioparalelním řazením impedancí je napájen střídavým napětím s frekvencí f. ypočtěte všechny proudy a napětí. Nakreslete fázový diagram. Řešte metodou Kirchoffových zákonů. Dáno: = ; f = 5 Hz ; L = mh ; L = mh ; = Ω ; C= 5 μ F rčit:,,,,,, L C L Dle. Kirchhoffova zákona platí = + Dle. Kirchhoffova zákona jl = jc jl + jl + = Po dosazení získáme soustavu rovnic pro výpočet,, Obr. 9. j = e = napětí položíme do reálné osy a po úpravě = j 6 ( + j4,) 4 5 = j4, + ( j4,+ ) = j, ( + j, 4) = = j6, 8 + ( + j, 4) = Řešením těchto rovnic dostaneme proudy ve složkovém tvaru a po úpravě v exponenciálním tvaru. j7,7 =,55 j4, 69 = 4,94 e j87, =, 6 + j,9 =,9 e j75, =, 49 j5, 6 = 5, 7 e
4,69 =,55 + 4, 69 = 4,94 ϕ = arctg = 7,7, 55,9 =, 6 +,9 =,9 ϕ = arctg = 87,6 5, 6 =, 49 + 5, 6 = 5, 7 ϕ = arctg = 75,, 49 Napětí na jednotlivých prvcích: j7,7 j8, L = jl = j 4, 4,94 e =, e j87 j C =j =j,9 e = 9 e 6 C 4 5 j75, j4,9 L = jl = j 4, 5,7 e = 8,8 e j75, j75, = = 5, 79 e = 57,9 e Fázový diagram daného obvodu je na obr. 9. ϕ + t ϕ ϕ Obr. 9.
Příklad 9. Obvod z příkladu řešte metodou smyčkových proudů. Dáno: = ; f = 5 Hz ; L = mh ; L = mh ; = Ω ; C= 5 μ F rčit:,, Smyčkové proudy jsou vyznačeny na obr. 9. ovnice pro smyčkové proudy a ( ) ( ) ( ) ( ) + + jc + jl = jl + j L + = Obr. 9. j = e = jsme položili do reálné osy ( ) ( ) j j 8,9 +,4 = ( ) ( ) j j,4 + + 7,7 = Řešením těchto rovnic dostaneme proudy a ve složkovém tvaru a po převedení do exponenciálního tvaru jsou 86, =,9 e j j 7,7 = 4,94 e Proudy jednotlivými větvemi jsou j 7,7 = = 4,94 e j 87 = =,9 e = =,55 4, 69, 6,9 = (, 49 5,59) = ( j ) = ( j ) j j j 4,94 cos 7,7 sin 7,7,55 4,69 ( ) =,9 cos87 + j sin 87 =, 6 + j,9 5,59 = + = ϕ = arctg = 75,, 49, 49 5,59 5, 7 j75, = 5,7 e ýpočet úbytků napětí,,, L C L je stejný jako v příkladu. 4
. TÝDEN Příklad. Kondenzátor s kapacitou C a cívka s vlastní indukčností L a ohmickým odporem jsou zapojeny do série a připojeny na střídavé napětí. Při jakém kmitočtu f r (rezonanční kmitočet) je napětí a proud v obvodu ve fázi (případ sériové rezonance)? Jaká bude pro tento případ výsledná impedance Z r, proud v obvodu r a napětí na kondenzátoru C a na svorkách cívky L? (iz. obr..). Dáno: C= μ F ; L = 5 H ; = 5 Ω ; = rčit: fr, Zr, r, C, L Pro případ sériové rezonance je L = C (viz. fázový diagram na obr..). ezonanční frekvence je dána Thomsonovým vztahem fr = = = 5,8Hz 6 π LC π 5 Obr.. mpedance při rezonanci je rovna ohmickému odporu obvodu Zr r = = 5Ω = = =, 44 5 + t,44 C = r = = 4,8 6 C 6,5 r = π f = 6,5rad s r r L r r ( ) = + L = 5 + 6,5 5, 44 = 457,8 Obr.. 5
Příklad. Kondenzátor s kapacitou C a cívka s odporem a indukčností L jsou zapojeny paralelně a připojeny na střídavé napětí dle obr... Při jakém kmitočtu f r (rezonanční kmitočet) je napětí a proud v obvodu ve fázi (případ paralelní rezonance)? Jaká bude pro tento případ výsledná impedance Z, proud v obvodu, proud v kondenzátoru C a proud v cívce L? Nakreslete fázový diagram odpovídající rezonanci. Dáno: C= 8 μ F ; L = H ; = 5 Ω ; = rčit: fr, Zr, r, C, L Fázový diagram, odpovídající obvodu na obr.., pro případ paralelní rezonance je na obr..4 (opět napětí a proud = r jsou ve fázi). = C + L = jc+ a po úpravě + j L L = + j C + L + L Obr.. j = e fázor napětí položíme do reálné osy + t j = e, musí být L C = + L (rezonance), z toho to vztahu vypočteme r 5 r = = 5rad s 6 = LC L 8 fr = r 5 55,7Hz π = π = Obr..4 Z reálné složky proudu : + r L 5 + 5 Zr = = = 5Ω 5 r r 6 5 8,66 C = r C = = L = = =,6 + L 5 + 5 r = = =,88 Z 5 6
Příklad. Na trojfázovou symetrickou síť s nulovým vodičem x8 s kmitočtem f jsou připojeny spotřebiče podle obr..5. ypočtěte proudy v jednotlivých fázích (,, W),, W a proud v nulovém vodiči N. Nakreslete fázový diagram. Dáno: j = e ; j = e ; j W = e ; f= 5 Hz ; = Ω ; L = H ; C= μ F rčit:,,, W N Proudy tekoucí jednotlivými fázemi j e j9 = = =,7 e =j,7 jl j π 5 e j j = = =, e = =,( cos sin ) = (,,9 ) j j Proud nulovým vodičem je dán = + + = N W =j, 7, j,9, j, 68 = =,, 8 = 4 j 5 j e Obr..5 j 6 W = W jc = e j π 5 = j,8 e =,8 cos + j sin = (, j, 68) = ( ) + t N =, +, 8 = 4 ϕ, 8 ϕ = arctg = 55, Fázový diagram je nakreslen na obr..6 = + + N u v w Obr..6 7
. TÝDEN Příklad. Je dán trojfázový obvod z příkladu.. Jak se změní napětí na jednotlivých spotřebičích,, L C a proudy,,, přeruší-li se nulový vodič? (viz. obr..) W Dáno: j = 8 e ; j W = 8 e ; j W = 8 e ; C= μ F ; L = H ; = Ω ; f = 5 Hz rčit:,,,,, W L C Napíšeme rovnice dle. Kirchhoffova zákona pro smyčky - a - W a rovnici dle. Kirchhoffova zákona pro uzel j = W = jc + + = W W Obr.. = ( ) + j59, W = j 8 e ( ) + + = ( ) j4 8 W Řešíme soustavu rovnic o neznámých,, Dosadíme do () a vypočteme () Z: ( ) Z : W W 8 + = j4 j 8 e = j59, 8 + 8(cos jsin ) + + = j4 j59, j, j,8 + + j,9, 67 + j, 68 =,67 + j,7,67 + j,7 j,64 +,5 j6,7 = = =, 7 j, 6 =,6 e + j, +, 96 8
= + =, 7, 6,6 Dosazením do vztahů pro a dostaneme W,6 ϕ = arctg = 6,7,7 8 + 7 j6 j64 = =j,87,97 =,88 e j4,87 =,87 +,97 =,88 ϕ = arctg = 64,97 j4 ( ) = j,9,67 + j,68,7 j,6 =,678 + j, 49 = e W 6,7 6,7,6 j j = = e = 6 e 64 54 4,88 j j L = jl = j e = 59, e j4 j4 C = W =j e = 477, 7 e 6 jc 4 Porovnejte velikost těchto vypočtených napětí s napětími, která jsou připojena na tytéž prvky v předchozím příkladě. ýsledky můžeme zkontrolovat fázovým diagramem (obr..), nakresleným v měřítku. Musí platit (dle obr..): + + W = = L W = C W = C L + t ϕ Obr.. 9
Příklad. Na trojfázovou symetrickou síť s kmitočtem f bez nulového vodiče jsou připojeny spotřebiče podle obr... ypočtěte proudy v jednotlivých fázích (,, W),, W. Nakreslete fázový diagram. Dáno: j = 8 e ; j W = 8 e ; j W = 8 e ; f = 5 Hz ; C= 8μ F ; = 5 Ω rčit:,, W Nejprve vypočteme proudy jdoucí jednotlivými fázemi 6 9 j C 8 j4 8,95 e j = = = = j,95 j W 8 e j6 W = = = 7, 6 e = (,8 + j6,58) 5 = =j,95,8 j6,58 =,8 j7,5 = W = 8, 4 e j4, Obr.. kde = + =,8 7,5 8, 4 7,5 ϕ = arctg = 4,,8 + t Fázový diagram je nakreslen na obr..4 ϕ + + = u v w Obr..4 4
Příklad. Na trojfázovou symetrickou síť s kmitočtem f bez nulového vodiče jsou připojeny spotřebiče,, C, zapojené do trojúhelníku, podle obr..5. ypočtěte proudy v jednotlivých fázích (,, W),,. Nakreslete fázový diagram. W Dáno: j = 8 e ; j W = 8 e ; j W = 8 e ; f = 5 Hz ; C= μ F ; = 7 Ω ; = 5 Ω rčit:,, W prvky Proudy tekoucí jednotlivými 8 j = = = 5, 4 = 5, 4 e 7 W 8 j j = = e = 7,6 e = 5 ( ) ( ) = 7,6 cos j sin =,8 j6,58 Obr..5 6 8 j j = W = 4 =,9 = (,,59) j C e j e j C j5, = C = 5, 4+, + j,59 = 6, 46 + j,59 = 6, 49 e = + = 6, 46,59 6, 49,59 ϕ = arctg = 5, 6, 46 j 5,5 = + =5, 4,8 j6,58 =9, j6,58 =, e = + = 9, 6,58, 6,58 ϕ = arctg = 5,5 9, j65, W = C =, j,59 +,8 + j6,58 =, 77 + j5,99 = 6, 6 e W = + = ýpočet je správný, jestliže platí, 77 5,99 6, 6 5,99 ϕ W = arctg = 65,,77 + + = 6,46 + j,59 9, j 6,58 +,77 + j 5,99 = W 4
Fázový diagram je nakreslený na obr..6 + t ϕ ϕ W ϕ u = u C = + v = w C Obr..6 4
. TÝDEN Příklad. Na akumulátor s napětím naprázdno a vnitřním odporem i je připojen startér. ypočtěte odpor startéru S, aby odebíraný výkon P S byl maximální. Dáno: = ; i =, Ω rčit: S PS = S kde je proud odebíraný startérem (obr..) = + i S = PS S i + S Obr.. dps Pro maximální výkon P S bude d = S ( i + S) s( i + S) 4 ( + ) ( + ) ( + ) = dp S = = ds i S i S S i S S = =,Ω i Příklad. Na svorkách jednofázového spotřebiče ukázaly měřící přístroje napětí, proud a činný výkon P. ypočtěte zdánlivý výkon spotřebiče S, jeho jalový výkon Q a účiník cosϕ. Dáno: = ; = 5 ; P = 88 kw rčit: S, Q, cosϕ S = = 5 = P 88 cosϕ = = =,8 5 Q= sinϕ = 5,6 = 66 4
Příklad. Zátěž o výkonu P s účiníkem cosϕ je připojena ke zdroji vedením s odporem podle obr... Napětí na svorkách zátěže je. ypočtěte o kolik procent p vzrostou ztráty ve vedení, bude-li výkon přenášen s cosϕ. Dáno: = ; = 7 Ω ; P = W ; cosϕ =,9 ; rčit: p % cosϕ =,8 Ztráty ve vedení při účiníku zátěže cosϕ P P P cos ϕ cos Δ = = = Ztráty ve vedení při účiníku zátěže cosϕ ϕ Obr.. cosϕ P Δ P = cos ϕ Ztráty ve vedení vzrostou při cosϕ o ΔP ΔP cos ϕ cos ϕ,8,9 p = = = = 6,5% ΔP cos ϕ,9 Příklad.4 Na napětí s frekvencí f jsou připojeny spotřebiče podle obr... Jednofázový asynchronní motor M na napětí s jmenovitým výkonem P n, účiníkem cosϕ n a účinností η, odporový vařič s příkonem P p a dvě zářivky Z a Z. Každá zářivka má výkon P Z a účiník cosϕ Z. Nakreslete fázový diagram, vypočtěte celkový proud a výkony (zdánlivý S, činný P, jalový Q), odebírané ze sítě. Dáno: P n =,5 kw ; cosϕ n =,7 ; η =,75 ; P p = 6 W ; P Z = 4 W ; cosϕ Z =,56 ; = ; f = 5 Hz rčit:, S, P, Q 44
Napájecí napětí položíme do reálné osy j = e Proud tekoucí motorem vypočteme (motor je induktivní zátěž, proto je proud zpožděn za napětím o úhel ϕ n ) P 5 = = = n j j45,6 M e ϕn e cosϕn η,7,75 = 4, e j45,6 Pp j 6 j = e = e =,7 Obr.. Zářivka představuje pro síť také induktivní zátěž, proto i proud Z je zpožděn za napětím o úhel ϕ Z. P 4 e e e Z 55,9 55,9 j ϕz j,65 j Z = = = cosϕz,56 4,( cos 45,6 jsin 45,6 ),7,65( cos55,9 jsin 55,9 ) = + + = + + = M Z =,,9 +,7+,7,54 = 6,,6 = 7, j,6 j j j e = + = 6,, 6 7,, 6 ϕ = arctg =,6 6, S = = 7, = 566, 4 P= cosϕ = 7, cos, 6 = 48,W Q= sinϕ = 7, sin,6 = 797,6r ϕ n ϕ z α Obr..4 Fázový diagram je na obr..4 45
Příklad.5 Na trojfázovou symetrickou síť s frekvencí f jsou připojeny spotřebiče podle obr..5. Jednofázový asynchronní motor M (štítkové hodnoty: výkon P, účinnost η, účiník cosϕ ), vařič s ohmickým odporem a trojfázový asynchronní motor M (štítkové hodnoty: výkon P, účinnost η, účiník cosϕ ). Motory jsou plně zatíženy. ypočtěte trojfázový činný příkon P, odebíraný ze sítě. Dáno: j = e ; j = e ; j W = e ; f = 5 Hz ; P = 5 W ; η =,67 ; P = kw ; η =,78 ; = 9 Ω ; cosϕ =,8 ; cosϕ =,85 rčit: P Činné příkony, odebírané z jednotlivých fází: P P = η P W P = η Obr..5 P = P P η + + η Celkový příkon, odebíraný ze sítě: P P 5 P = P + P + P = W 9,95W η + η + =,78 +,67 + 9 = Ke stejnému výsledku bychom mohli dojít pomocí symboliko-komplexní metody (ovšem zdlouhavějším výpočtem). Nejdříve spočítáme proudy,, v jednotlivých fázích. W P jϕ j,8 j,8 = = e = e =, 8 e ( M) cosϕ η,85,78 = + + M ( M ) 46