VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV AUTOMATIZACE A INFORMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF AUTOMATION AND COMPUTER SCIENCE Přesnost nepřímých měření Accracy of Indrect Measrement TITLE BAKALÁŘSKÁ PRÁCE BACHELOR'S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR Zdeněk Urbánek VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR Ing. Frantšek Vdoleček, CSc. BRNO 009
ZADÁNÍ ZÁVĚREČNÉ PRÁCE Strana
Strana 3
Strana 4 LICENČNÍ SMLOUVA Na tomto místě je vložena lcenční smlova.
Strana 5
Strana 6 ABSTRAKT Tato bakalářská práce se zaměřje na základní modely nepřímých měření a metodk analýzy nejstot. Sočástí je rovněž jednodchý model, přblžjící vybraný charakterstcký případ pro potřeby výky. ABSTRACT Ths bachelor's thess srvey on frame ndrect measrement and phlosophy analyses ncertantes. Part of s as well smple model, approxmatng choce characterstc case for needs edcaton. KLÍČOVÁ SLOVA Metrologe, měření, přesnost, nepřímá měření, nejstoty, model vybraného příklad KEYWORDS Metrology, measrement,accracy, ndrect measrement, ncertantes, model choce nstance
Strana 7 PODĚKOVÁNÍ Na tomto místě bych chtěl poděkovat všem, kteří m byl nápomocní př zhotovování bakalářské práce. Především děkj vedocím mé bakalářské práce Ing. Frantškov Vdolečkov, CSc. za cenné rady a přpomínky.
Strana 8 OBSAH Zadání závěrečné práce...,3 Lcenční smlova... 4,5 Abstrakt... 6 Poděkování... 7 Obsah... 8 Úvod... 9 Měření, metrologe... 0. Základní pojmy požívané v měření... 0. Metody měření....3 Měřící jednotky....4 Meznárodní metrologcké organzace... 3.5 Domácí metrologcké organzace... 3 3 Chyby a nejstoty měření... 4 3. Chyby měření... 4 3.. Rozdělení chyb... 5 3.. Zdroje chyb měření... 7 3. Nejstoty měření... 8 3.. Nejstota měření, základní pojmy... 8 3.. Typy nejstot... 9 3..3 Vyhodnocení nejstot pomocí metody typ A... 3..4 Vyhodnocení nejstot pomocí metody typ B... 3..5 Vyhodnocení nejstot pomocí metody typ B pro délková měření... 3..6 Nejstoty kombnované... 3 3..7 Nejstoty rozšířené... 3 3..8 Zdroje nejstot... 4 3.3 Nejstoty přímých a nepřímých měření... 4 3.4 Korekce chyb a nejstot... 5 3.5 Záps výsledk měření s nejstotam... 6 4 Typcká nepřímá měření a analýza nejstot... 7 4. Typcká nepřímá měření... 7 4.. Opakované měření jedním měřdlem... 7 4.. Opakované měření různým měřdly... 7 4..3 Měření kalbrovano sado měřdel... 7 4..4 Měření pomocí měřícího přístroje s konstantní nejstoto... 8 4..5 Příklady nepřímých měření... 30 4. Postpy rčování standardních nejstot př nepřímých měření... 30 4.3 Kovarance př rčování výsledných nejstot... 3 4.3. Kovarance a nejstoty... 3 4.3. Stanovení kovarance mez odhady x a x j metodo typ A... 3 4.3.3 Stanovení kovarance mez odhady x a x j metodo typ B... 3 5 Model vybraného příklad... 34 5. Zadání úkol... 34 5. Standardní nejstota metodo A... 36 5.3 Standardní nejstota metodo B... 37 5.4 Standardní nejstota metodo C... 37 5.5 Zobecněný formlář pro atomatcké vyhodnocení nejstot v Excel... 38 6 Závěr... 40 7 Lteratra... 4 8 Seznam příloh... 4
Strana 9 ÚVOD Měření je čnnost člověka jž od nepamět a jeho každodenní aplkace s ldé an nevědomjí. Hstore měření je přímo propojená s vývojem člověka a spadá do období téměř před 5 tsícletí a to do oblastí prvních cvlzací a to Smer a Mezopotáme, kde se také našlo nejstarší zachované zpodobnění míry délková míra) na kamenné soše Gdey z Lagaše. V období středověk v naší zem bylo měření, míry, váhy velm roztříštěné a byly velm ovlvněné národním, regonálním rozdělením a také městy. Stávalo se, že města přímo sosedící měla různo mír. O větší úpravy v měření a vážení se zasadl Přemysl Otakar II a to rozkazem z rok 68, kdy obnovl všechny míry a váhy po celé zem a nařídl jejch vzory cejchovat královským znamením v rámc měst. Dále také Karel IV. A Václav IV. se snažl mmo jné poslovat žvnost a řemesla právem míle. Ve 4 století exstoval v městech měřč a vážní, kteří dohlížel poctvost tržení. V dané době se měřlo jen mnmm velčn a to délka, plocha, objem a hmotnost. V novodobém středověk je důležtým datem rok 797 kdy byl ložen do státního archv Francozské repblky prototyp metr. Dnešní model metrologe, který známe se datje k přjetí metrcké sostavy ze dne 0. května 875 a to v Paříž, kde byl podepsán dokment Metrcká konvence Dohoda o metr) a podepsalo j 8 států, dnes do této metrcké konvence patří 5 států. Rakosko-Uhersko pod kterým byla naše země) podepsalo tto metrcko konvenc dne 0. května 875 a ratfkována byla až dne 3. prosnce 875. Po rozpad mocnářství bylo potvrzeno členství ČSR v roce 93. Novodobé repblce ČR bylo potvrzeno členství v roce 993. Toto problematko se nyní zaobírá tzv. Úřad pro techncko normalzac, metrolog a státní zkšebnctví. Dnes se přechází př technckých měření k novým metodám k rčování odchylek. Původní chyby měření jso nahrazovány nejstotam měření v rámc meznárodních státních norem ISO, BIPM, OIM, TPM 005x). Nástp nové metodky zpracování výsledků měření se zařazje do období začátk 90 let 0 století. V roce 993 byl vydán dokment směrnce) pod názvem Gde to Expresson of the Uncertanty of Measrement. U nás nové řešení prezentjí hlavně Techncké předpsy metrologcké TPM řady 005x. Důležtost zabezpečování kvalty měřících zařízení a měřících procesů je sočástí norem řady ISO 9000:000. Obr.. Meznárodní prototyp metr Etalonem byla platnová tyč délky jednoho metr zhotovená s přesností 0,0 mm. Meznárodní metr byl pak defnován materálně jako vzdálenost dvo středních rysek na prototyp, loženém v Meznárodním úřadě pro míry a váhy v Sèrves Paříže, př teplotě 0 C, tlak jedné atmosféry, v horzontální poloze a př podepření ve dvo bodech nejmenšího průhyb.
Strana 0 MĚŘENÍ, METROLOGIE. Základní pojmy požívané v měření Metrologe je vědní obor, jehož náplní jso znalost o měření. Podle obsah se metrologe dělí na 5 oborů: Metrologe měřících měrových) jednotek Metrologe měření Metrologe měřdel Metrologe měřících osob Metrologe fyzkálních a technckých konstant. Další dělení: Teoretcká metrologe Aplkovaná metrologe Podle náplně se metrologe dělí na: Metrologe síly Metrologe tlak Metrologe délek Metrologe úhlů Metrologe elektrckých velčn. Měření sobor úkonů potřebných pro stanovení hodnoty rčté velčny. Prncp měření je fyzkální jev nebo sohrn fyzkálních jevů, na kterých je založeno příslšné měření, např. Dopplerův jev pro měření rychlost. Měřcí metoda obecný pops praktckých a teoretckých operací požtých př provádění měření podle daného prncp, obvykle je způsob porovnání požívaný př měření. Postp měření sled úkonů ntných k provedení měření. Kalbrace starší název cejchování) sobor úkonů, hledající za rčených podmínek vztah mez hodnotam dávaným měřcím přístrojem nebo měřcí sestavo) a mez příslšným známým hodnotam měřené velčny. Výsledek kalbrace dovolje odstrant chyby údajů měřcího přístroje a přřadt hodnoty měřené velčny k měřcím značkám lbovolných stpnc. Kalbrací je možno rčovat také jné metrologcké vlastnost. Výsledek kalbrace se často vyjadřje kalbrační křvko. Mnohdy může být výsledek kalbrace vyjádřen jako korekční graf. Původní obsah termín kalbrace znamená přřazení hodnot měřené velčny údaj přístroje, obvykle vyjádřeném v konvenčních jednotkách dílcích). Sočasný význam termín kalbrace je mnohem šrší, vyjadřje zjšťování všech metrologckých vlastností. Nekorgovaný výsledek hrbý výsledek) měření je výsledek měření před odstraněním předpokládaných systematckých chyb. Získáme jej výpočtem artmetckého průměr z ndkací. Jedná-l se o jedno ndkac, je hrbý výsledek totožný s ndkací.
Strana Korgovaný výsledek opravený výsledek) výsledek měření, který z nekorgovaného výsledk získáme provedením potřebných korekcí, odpovídajících předpokládaným systematckým chybám. K tomto výsledk bývá zpravdla přpojován údaj o nejstotě měření. Přesnost měření těsnost sohlasnost) shody mez výsledkem měření a konvenčně) pravo hodnoto měřené velčny. Název přesnost patří spíš do běžné mlvy než do metrologcké termnologe, kde se požíval v mnoha různých významech. Z těchto důvodů se doporčje tento název nepožívat; v případě požtí msí být obsah pojm blíže vymezen.. Metody měření Do metrologe patří také znalost o měření, tedy o postpech jak měřt, o metodách měření, teor chyb, zpracování výsledků fnkční požadavky kladené na měřdla a jejch vlastnost. Přímé měření měřcí metoda, ktero se hodnota měřené velčny získá přímo, anž by bylo ntno provádět dodatečné výpočty založené na fnkční závslost měřené velčny na jných sktečně naměřených velčnách: Za přímo měřcí metod se považje případ, kdy stpnce měřdla je opatřena konvenčním hodnotam dílky, %), vázaným na příslšné hodnoty měřené velčny pomocí tablky nebo graf. Měřcí metoda zůstává přímo v případě, že jso ntná dodatečná měření na stanovení hodnot ovlvňjících velčn, aby se mohly provést příslšné korekce. Příklady přímé metody: měření hmotnost na vahách se stpncí nebo rovnoramenných, měření délky pravítkem a teploty skleněným teploměrem nebo měření tlak deformačním tlakoměrem. Dále je můžeme člent na: Porovnávací porovnání velčn stejného drh, čárkové měřdlo Vyrovnávací účnek je vyrovnán, vyvážen, velčno stejného drh Nahrazovací velčna je nahrazena jným známým hodnotam téže velčny Přemsťovací přemsťování velčny a známých hodnot téže velčny Nepřímé měření je měřcí metoda, př níž se hodnota velčny získává měřením prováděným přímým měřcím metodam) jných velčn, vázaných na měřeno velčn známým vztahem. Příklady nepřímé metody: měření hstoty tělesa na základě měření hmotnost a objem, měření elektrckého odpor na základě měření prod a napětí, měření rychlost na základě měření dráhy a čas. Dělení měření z jného hledska a to takto: Měření etalonážní je to měření s největší dnes dosažtelno přesností. Složí k defnování jednotek k vědeckým účelům. Etalon je vlastně měřdlo, které je rčeno chovávání nebo k reprodkc měřící jednotky. Měření ověřovací př nch se ověřje, zda měřdlo dává sktečné hodnoty měřené velčny v rčtých dovolených mezích. Měření provozní měření, př kterém ve smysl defnce jde o zjíštění hodnot měřené velčny.
Strana.3 Měřící jednotky Sostav SI tvoří sedm základních jednotek tablka.), které spol s jednotkam odvozeným tablka.) vytvářejí celený systém jednotek. Kromě toho byly pro požívání spol s jednotkam SI schváleny některé další jednotky stojící mmo sostav SI tablka.3). Tab.. Základní jednotky SI Tab.. Příklady odvozených jednotek SI Tab..3 Jednotky mmo SI, které jso povoleny
Strana 3.4 Meznárodní metrologcké organzace Meznárodní úřad pro váhy a míry Brea Internatonal des Pods et Mesres BIPM), který vznkl spol s Metrcko konvencí, sídlí v Sevres Paříže a je vědecko nsttcí. Generální konference vah a měr Conference Generale des Pods et Mesres CGPM) je vrcholným orgánem Metrcké konvence a schází se každé čtyř roky a tvoří j delegát členských zemí. Meznárodní výbor pro váhy a míry Comte Internatonal des Pods et Mesres CIPM), je řídícím orgánem mez Generálním konferencem, má 8 členů, volených na CGPM) Poradní výbory Comte Constatf-CCx) jso poradním výbory pro jednotlvé velčny Meznárodní organzace pro legální metrolog Organsaton Internatonale De Metrologe Legale OIML) byla založena vroce 955 a zabývá se specálně legslatvní zákonno stránko metrologe..5 Domácí metrologcké organzace ÚNMZ= Úřad pro techncko normalzac, metrolog a státní zkšebnctví ČMI= Český metrologcký nsttt ČIA= Český nsttt pro akredtac ČNI= Český normalzační nsttt ČSN Česká techncká norma) Garant MPO mnsterstvo průmysl a obchod)
Strana 4 3 CHYBY A NEJISTOTY MĚŘENÍ Přesnost měření byla po dob přblžně jednoho století vyjadřována pomocí chyby měření. Chyba měření je defnována jako rozdíl mez naměřeno hodnoto a pravo hodnoto správno hodnoto) měřené velčny. Přblžně od 80 let 0 století se přesnost vyjadřje nejstoto měření. Také nejstota měření se může vyjádřt v jednotkách měřené velčny čl jako absoltní ), což je nejběžnější způsob vyjádření nejstoty. Drho formo, ktero lze nejstot měření vyjádřt, je forma relatvní, čl poměr absoltní) nejstoty k absoltní hodnotě naměřené velčny. Pojem chyba měření ale an po zavedení nejstoty měření není zcela opštěn. V sočasné době se požívá zejména v korekcích systematckých sostavných) chyb. Systematcká chyba je chyba měření, která zůstává stejná př opakovaných měřeních. V některých případech když je znám mechansms jejího vznk) je možné j odstrant matematcko úpravo výsledk měření, tzv. korekcí. Většna předpsů pracje s pojmem nejstoty měření, popř. ho přesněj defnje a vádí ho do dalších šrších sovslostí. Důvody požtí koncepce nejstot v prax: Nejstota výsledk měření je kvanttatvním kazatelem jeho kvalty. Vyjádření nejstoty výsledk měření možňje porovnat výsledky dosažené různým laboratořem nebo v rámc jedné laboratoře, popř. porovnat výsledky s referenčním hodnotam vedeným ve specfkacích nebo normách. Údaj o nejstotě výsledk kalbrace je neodděltelno sočástí protokol o kalbrac, ktero zákazník požívá př vyhodnocení nejstot měření kalbrovaným měřdlem. Posození složek nejstoty sočasně rčí, kterým aspektům měření, kalbrace nebo zkošky je třeba věnovat pozornost, je-l třeba zlepšt stávající postpy. V prax se msí vzít v úvah stávající problémy hodnocení a dávání nejstot v různých oblastech měření, zkošení a kalbrace. Laboratoř msí být schopna dokázat hodnotícím orgán, že nejstota byla správně vyhodnocena. Toho může dosáhnot vedením úplných záznamů o hodnocení složek nejstot, dokmentováním podrobných výpočtů a přjatých předpokladů. Kde je to možné, má být tento důkazový materál doplněn výsledky mezlaboratorních porovnání. Je potřebné zavést systém řízení měřících procesů 3. Chyby měření V prax nejso žádná měření, žádná měřcí metoda an žádný přístroj absoltně přesné. Nejrůznější negatvní vlvy, které se v reálném měřcím proces vyskytjí, se projeví odchylko mez naměřeno a sktečno hodnoto sledované velčny. Výsledek měření se tak vždy pohybje v jstém tolerančním pol kolem sktečné hodnoty, ale téměř nkdy nenastává deální ztotožnění obo hodnot. Přblížení se k nlové velkost odchylky vytváří velké potíže realzace etalonů. Výsledný rozdíl mez oběma hodnotam je někdy tvořen velm složto kombnací dílčích faktorů.
Strana 5 Sktečná hodnota Pravá hodnota Konvenčně pravá hodnota Naměřená hodnota Základním nedostatkem charakterzování přesnost měření pomocí chyby měření je sktečnost, že sktečno, správno nebo pravo hodnot měřené velčny v prax nkdy neznáme. Proto se př rčování chyby měření nahrazovala konvenčně pravo hodnoto, rčeno měřením pomocí metody nebo přístroje podstatně přesnějšího, než měření, jehož chyb chceme rčt. Od osmdesátých let mnlého století se ale v měřcí technce postpně zavádí hodnocení přesnost měření novým způsobem, ve kterém je klíčovým pojmem tzv. nejstota měření. Chyby se vyjadřjí v absoltních nebo relatvních hodnotách. Jako chyba absoltní Δx) se označje rozdíl mez hodnoto naměřeno x m a sktečno x s vztah 3.). Δ x = x m x s 3.) Podělí-l se absoltní chyba sktečno hodnoto, dosáhne se poměrné vyjádření chyby, tj. chyba relatvní δ x). Platí tedy vztah 3.). x Δ x) x x m s δ ) = = 3.) xs xs 3.. Rozdělení chyb Podle příčn vznk dělíme chyby do tří skpn: systematcké náhodné hrbé Systematcké chyby jso př stálých podmínkách také stálé co do velkost znaménka a svým působením,,systematcky ovlvňjí výsledek měření. Ke stanovení jejch velkost postačí zpravdla vztah vztah 3.). Tyto chyby zkresljí nmercký výsledek měření zcela pravdelným způsobem; bď jej za stejných podmínek vždy zvětšjí nebo vždy zmenšjí a to bez ohled na počet opakovaných měření. Často se navenek neprojevjí a lze je odhalt až př porovnání s výsledky z jného přístroje. Exstjí systematcké chyby s časovým trendem, způsobené stárntím nebo opotřebováním měřcího přístroje. Systematcké chyby ovlvňjí správnost. Náhodné chyby působí zcela nahodle, jso těžko předvídatelné a nelze je vyločt. Př opakování měření se mění jejch velkost znaménko, jak odpovídá předpokládaném zákon rozdělení. Pro rčení jejch velkost se vychází z opakovaných s požtím statstckých metod odpovídajících patřčném pravděpodobnostním model, reprezentovaném zákonem rozdělení příslšné náhodné chyby. V prax velm často jde o rozdělení normální Gassovo, které se požívá ve většně aplkací. Náhodné chyby ovlvňjí pak přesnost výsledk. Výsledek měření, stanovený ze sobor opakovaných měření realzovaných za stejných podmínek, je reprezentován artmetckým průměrem získaným př n opakováních z hodnot x, x,...x,...x n, vztah 3.3) tj.
Strana 6 x = n x = 3.3) Náhodno chyb v klascké teor chyb nejčastěj zastpje směrodatná odchylka výběrového sobor sx), méně často směrodatná odchylka artmetckého průměr s x), získané z následjících vztahů vztah 3.5) a vztah 3.6) a potom směrodatná odchylka základního sobor vztah 3.4) N N Δ x ) x x) = = σ x) = = 3.4) N N n Δ x ) = = s x) = = n s x) s x) = = n = n x n n n ) x x) x) n 3.5) 3.6) Obě směrodatné odchylky patřčným způsobem blíže charakterzjí chování náhodných chyb. Směrodatná odchylka nebo její násobek vyjadřjí jen hranc, ktero může náhodná chyba s rčto pravděpodobností překročt, nebo nepřekročt. Hrbé chyby označované jako vybočjící nebo odlehlé hodnoty) jso způsobeny výjmečno příčno, nesprávným zapsáním výsledk, náhlým selháním měřcí aparatry, nesprávným nastavením podmínek poks apod. Naměřená hodnota se př opakovaném měření značně lší od ostatních hodnot. Takové měření je třeba ze zpracování vyločt, aby nezkreslovalo výsledek měření. Omezt rzko jejch výskyt lze důsledným dodržováním příslšných měřících postpů, podmínek měření a pozorností obslhy. Výsledná chyba měření je vyjadřována jako sočet systematcké a náhodné složky, což lze zapsat vztah 3.7) Δ x) = e + ε 3.7) a její maxmální hodnot je možné odhadnot jako vztah 3.8) Δ = x xs ) s 3.8) max + Kde: systematcká složka je e = x x a náhodná složka je ε = s, popř. ε = s. Sočntel rozšíření s směrodatné odchylky sovsí s pravděpodobností pokrytí nterval a typem rozdělení. Dvojka Gassova rozdělení příslší často žívané 95% pravděpodobnost.
Strana 7 Obr. 3. Vykreslení chyb 3.. Zdroje chyb měření Kompletní proces měření se setkává s řado nedokonalostí a problémů, které se msí odrazt také ve výsledcích měření a chybách, podle možnost vznk je dělíme do řady zdrojů. Chyby přístroje jso to chyby, které plyno z nedokonalost požtých měřících přístrojů, a to vznkající během výroby, montáže č opotřebování. Svo čnnost zde sehrávají další faktory jako např. stárntí přístroje nebo změna charakterstk a parametrů stroje. Hodnoty některých chyb dává výrobce formo korekčních křvek, ostatní chyby dává jako maxmální dovoleno chyb přístroje se znaménkem ± ) a nevztahjí se na jeden přístroj, ale na celý typ přístroje. Chyby nstalace jso to chyby vznkající z důvod nedostatk zapojení, ložení a nebo nastavení měřdel ze vzájemného ovlvňování měřdel zapojených paralelně nebo sérově, chyby plynocí z ovlvnění hodnot měřené velčny měřdlem apod. Chyby metody jso chyby plynocí z nedokonalost požtých měřících metod, z požtí přblžných hodnot fyzkálních konstant a nepřesně odpovídajících závslostí. Chyby pozorování jso chyby způsobené nedokonalostí smyslů pozorovatele nebo jeho nesostředěním schopnost zoom oka). Chyby vyhodnocení jso chyby vznkající zpracováním naměřených hodnot zaokrohlení apod.) Vlvy prostředí chyby, které vnáší do měření nedokonalost a nestálost parametrů prostředí, jejch kolísání a negatvní vlv na jednotlvé sočást měření tlak, teplota, vlhkost).
Strana 8 3. Nejstoty měření 3.. Nejstota měření, základní pojmy Pojem nejstota nejstota měření) je označením pro parametr sovsející s výsledkem měření a charakterzjící rozsah hodnot, které je možno raconálně přřadt k měřené velčně. Nejstota se skládá z několka dílčích nejstot složek). Přínos nejstot: Vysvětlení: Větší nverzálnost Větší výstžnost oprot chybám Jednotnost pojetí všech nejstot Neomezená platnost oblast, stát, svět) původní chyby = dnes zdroje nejstot nejstota = ohodnocení chyby Vyjádření výsledk měření včetně nejstoty měření možňje srovnání s jným laboratořem č podnky. Je znáván meznárodně a možňje jednotno nterpretac výsledků. Dále možňje srovnání výsledků zkošek nových výrobků. Nejstota měření je parametr přdržený k výsledk měření střední hodnotě. Charakterzje rozptyl hodnot, které jso přszovány naměřené velčně s rčto pravděpodobností. Každé měření je zatíženo chybam měření a tak hovoříme o nejstotě měření. Nejstot měření způsobje: Měřdlo Pracovník Prostředí Etalon Výrobek sočást Metoda měření Obr. 3. Proces měření převzato z Desgn Tech Petr Zahrádka Nejstoty měření)
Strana 9 ZÁKLADNÍ POJMY A DEFINICE Z OBLASTI NEJISTOT MĚŘENÍ: Tab. 3. Základní pojmy a defnce z oblast nejstot měření převzato z norem) Artmetcký průměr sočet hodnot podělený počtem hodnot. Koefcent ctlvost sovsející se vstpním odhadem změna hodnot výstpního odhad jako důsledek změny hodnot vstpního odhad podělená změno hodnot tohoto vstpního odhad. Koefcent pokrytí číselný faktor, kterým se násobí standardní nejstota měření s cílem zjstt rozšířeno nejstot měření. Konfdenční pravděpodobnost podíl, obvykle velký, hodnot z rozdělení, které je možné přřadt měřené velčně jako výsledek měření. Korelace vztah mez nebo větším počtem náhodných velčn v rámc rozdělení nebo většího počt náhodných velčn. Koefcent korelace míra relatvní vzájemné závslost náhodných velčn rovnající se podíl jejch kovarance a kladné odmocnny sočn jejch rozptylů. Kovarance míra vzájemné závslost náhodných velčn rovnající se střední hodnotě sočn odchylek náhodných velčn od jejch středních hodnot. Metoda vyhodnocení typ A metoda vyhodnocení nejstoty měření pomocí statstcké analýzy sére měření. Metoda vyhodnocení typ B metoda vyhodnocení nejstoty měření jným způsobem, než je statstcká analýza sére měření. Náhodná velčna konkrétní velčna, která je předmětem měření. Nejstota měření parametr, který sovsí s výsledkem měření a charakterzje rozsah hodnot, jež je možné raconálně přřadt k měřené velčně. Často se požívá také zkrácený název nejstota. Nejlepší měřící schopnost nejmenší nejstota měření, které může laboratoř dosáhnot v rámc předmět své akredtace, když vykonává více méně rtnní kalbrace téměř deálních etalonů s cílem defnovat, realzovat, zachovat nebo reprodkovat jednotk dané velčny nebo jedn nebo několk jejích hodnot. Pravá sktečná) hodnota velčny hodnota, která je ve shodě s defncí dané blíže rčené velčny hodnota po přesném měření). Průřezový odhad rozptyl odhad výběrového rozptyl získaný z dlohé sére měření stejné měřené velčny za stejných podmínek. Vstpní odhad hodnota odhad vstpní velčny požívaná př vyhodnocení výsledk měření. Vstpní velčny a, velčny jejchž odhadovaná hodnota a příslšná nejstota se rčjí přímo měřením měření nebo opakované). b, velčny, jejchž odhad a příslšná nejstota vstpjí do měření z vnějšího zdroje. Výstpní odhad výsledek měření vypočítaný ze vstpních odhadů pomocí fnkce model měření. Výstpní velčna velčna, která př vyhodnocení měření představje měřeno velčn. Relatvní standardní nejstota měření standardní nejstota velčny podělená odhadem dané velčny. Rozdělení pravděpodobnost fnkce vyjadřjící pravděpodobnost, že náhodná velčna nabde rčté hodnoty nebo hodnoty z rčtého nterval. Rozptyl střední hodnota drhé mocnny odchylky náhodné velčny od její střední hodnoty. Rozšířená nejstota velčna defnjící nterval okolo výsledk měření, který zahrnje velko část rozdělení hodnot, jež je možné přřadt k měřené velčně. Směrodatná odchylka drhá odmocnna rozptyl. Standardní nejstota měření nejstota měření vyjádřená jako směrodatná odchylka. Výběrová směrodatná odchylka drhá odmocnna výběrového rozptyl. Výběrový rozptyl velčna charakterzjící rozptýlení výsledků sére n pozorování měření, odečítání) stejné měřené velčny získaná jako drhá mocnny vztah. 3.. Typy nejstot Ke stanovení jejch velkost jso prncpálně k dspozc tyto dvě metody: Nejstoty vyhodnocované metodam A A ) statstcké zpracování naměřených údajů Nejstoty vyhodnocované metodam B B ) jné než statstcké zpracování naměřených údajů
Strana 0 Nejstoty kombnované a rozšířené C ) ze základních typů nejstot A a B se snadno, prostřednctvím sočt jejch čtverců, rčí výsledná nejstota kombnovaná. Obr. 3.3 Typy nejstot Výstpní velčn y, která je fnkcí m vstpních velčn x m, je možno popsat vztahem vztah 3.9): Kde: y.. odhad vstpní velčny, x. odhady velčn vstpních, f.. známý fnkční vztah y = f x, x,... x,... x ) 3.9) m Nejobecnějším pojetí potom lze pro nejstot y odhad y napsat vztah vztah 3.0): y m = A = x 3.0) Kde: y), x ). jednotlvé složky nejstot, A. koefcent ctlvost převod) příslšného zdroje nejstoty, který je znám, popř. se rčí jako parcální dervace fnkce y podle příslšné vstpní velčny x vztah 3.): A y = x f = x, x,... x,... xm ) 3.) x
Strana 3..3 Vyhodnocení nejstot pomocí metody typ A Jedná se o základní kvanttatvní charakterstka nejstoty měření: Označje se symbolem z anglckého ncertanty označení A Odpovídá v podstatě náhodným chybám dle klasckého přístp. Jejch příčny se považjí za neznámé a hodnota nejstoty typ A klesá s počtem měření. Proto se požadje mnmálně 5-0 měření. Je vyhodnocena pomocí statstckých metod a je charakterzována standardní odchylko artmetckého průměr. Značení A y) = směrodatná odchylka artmetckého průměr, Nejstota se zde zpravdla značí A y) a s požtím vztah vztah 3.5) je možné napsat vztah 3.): n s y) A y) = s y) = = y y) n n n ) = 3.) Tato nejstota je způsobena kolísáním naměřených údajů. V případě malého počt měření n < 0) je hodnota rčená pomocí vztah vztah 3.) málo spolehlvá. Potom by bylo třeba tto nejstot způsobeno kolísáním naměřených hodnot) odhadnot metodo typ B na základě jných nformací, než jso sočasně naměřené hodnoty. 3..4 Vyhodnocení nejstot pomocí metody typ B Označení B. Jso získány jnak než statstckým zpracováním výsledků opakovaných měření a jso vyhodnoceny pro jednotlvé zdroje nejstoty rčené pro konkrétní měření a jejch hodnoty nezávsí na počt opakování měření. Pocházejí od různých zdrojů a jejch společné působení vyjadřje výsledná standardní nejstota typ B. Opět se nabízí analoge se systematckým složkam chyb. Rozhodně ale nejde o jednoznačno sovslost, protože metodo B je možné odhadnot vlv náhodných chyb, např. př kalbrac vyžtím mnlých měření. Standardní nejstota se odhadje pomocí raconálního úsdk na základě všech možných a dostpných nformací. Nejčastěj se požívají: údaje výrobce měřící technky, zkšenost z předchozích sérí měření, zkšenost s vlastnostm chování materálů a technky a poznatky o nch, údaje získané př kalbrac a z certfkátů, nejstoty referenčních údajů v přírčkách. Př rčování nejstoty metodo typ B se vychází z dílčích nejstot jednotlvých zdrojů B z j ). Je-l známa maxmální odchylka j-tého zdroje nejstoty z jmax rčí se nejstota B z j ) podle vztah vztah 3.3): z j max B z j ) = 3.3) k Kde: k. sočntel vycházející ze zákona rozdělení, kterým se příslšný zdroj nejstot řídí. V některých případech však může být známa jž přímo hodnota standardní nejstoty B z j ) např. z kalbračního certfkát měřdla).
Strana Obr. 3.4 Hodnoty koefcentů pro různá rozdělení 3.4): Výsledná nejstota se rčí metodo B pro p zdrojů z, z,. Z j,. Z p podle vztah vztah Kde: B z j ). Jso nejstoty jednotlvých zdrojů A j. Sočntel ctlvost 3.4) Takto se nejstota vyhodnocovaná metodo B převede do zcela nové podoby a oprot předchozím představám získávají tyto nejstoty charakter směrodatné odchylky. Jako s takovým, popř. ve drhých mocnnách jako s rozptylem, se s nm nadále pracje. 3..5 Vyhodnocení nejstot pomocí metody typ B pro délková měření M nejstota měřdla je rčena bď výrobcem nebo kalbrací měřdla E nejstota etalon je dána hodnoto z kalbračního protokol T nejstota daná rozdílem teplot od 0 C v případě malých rozsahů stpnce do 50 mm) a pohybje-l se teplota v rozmezí 0 +- ) C lze tento vlv nejstoty zanedbat
Strana 3 Nejstot typ B vypočteme jako geometrcký sočet dílčích nejstot vztah 3.5): B M E T = + + 3.5) Pro většn měření vystačíme s maxmální dovoleno chybo měřdla označení z), ktero vádí výrobce měřdla. Tab. 3. Hodnoty přesností od výrobců Měřdlo Dílek mm) Počet dílků pomocné stpnce Přesnost čtení mm) Maxmální dovolená chyba podle výrobce - z Nejstota M Posvné 0 0,05 ± 0,05 + 0,L) = ± 0, 07mm 0,07/ 3 měřítko Mkrometr 0, 5 50 0,005 ± 0,006mm 0,006/ 3 Výpočet standardní nejstoty typ B se pak zjednodší na tento vztah vztah 3.6): z B = 3.6) 3 Hodnota odmocnny ze tří se požívá pro normální, tedy Gassovo rozdělení naměřených hodnot. 3..6 Nejstoty kombnované 3.7): Označení C a vypočteme j jako geometrcký sočet nejstoty typ A a typ B vztah c A + B y) = y) y) 3.7) 3..7 Nejstoty rozšířené Označení U. Získá se násobením kombnované standardní nejstoty C koefcent rozšíření k vztah 3.8): U y) = kr c y) 3.8) Kde: Uy). Rozšířená nejstota k r. Koefcent rozšíření C y). Standardní nejstota kombnovaná
Strana 4 3..8 Zdroje nejstot Jako zdroje nejstot lze označt veškeré jevy, které nějakým způsobem moho ovlvnt č působt nerčtost jednoznačného stanovení výsledk měření, a tím vzdaljí naměřeno hodnot od hodnoty sktečné. Značno rol zde sehrává také sktečnost, zda jde o měřcí metody přímé nebo nepřímé. Na nejstoty působí výběr měřcích přístrojů analogových nebo číslcových, požtí různých fltrů, vzorkovačů a dalších prostředků v celé trase přenos a úpravy měřcího sgnál. K nejstotám velm výrazně přspívají ršvé vlvy prostředí v tom nejšrším slova smysl. Zde je vedeny alespoň některé možné zdroje nejstot: nedokonalá č neúplná defnce měřené velčny nebo její realzace, nevhodný výběr přístroje rozlšovací schopnost aj.) nevhodný nereprezentatvní) výběr vzorků měření, nevhodný postp př měření zjednodšení zaokrohlení) konstant a převzatých hodnot, lnearzace, aproxmace, nterpolace anebo extrapolace př vyhodnocení, neznámé nebo nekompenzované vlvy prostředí, nedodržení shodných podmínek př opakovaných měřeních, sbjektvní vlvy obslhy, nepřesnost etalonů a referenčních materálů Některé ze zdrojů se projevjí výhradně, č výrazněj v nejstotách vyhodnocovaných nejstoto typ A, jné př požtí nejstoty typ B. Mnohé zdroje ale moho být příčno obo skpn nejstot, a zde právě číhá největší nebezpečí v podobě opomentí jedné ze složek, což může mít velm výrazný zkresljící účnek. 3.3 Nejstoty přímých a nepřímých měření Samotná analýza nejstot je podstatně složtější než základ její teore, který zde byl naznačen. Vše se komplkje především v případech, kdy se na výsledk výstpní velčny podílí několk velčn vstpních a ještě složtější se stace stává měření nepřímých. U takových případů je ještě třeba posodt, zda moho exstovat nějaké vzájemné korelace mez vstpním velčnam a tyto se pak msí projevt také ve výsledné nejstotě. Pokd můžeme výstpní velčn y, která je fnkcí m vstpních velčn x až x m, je možno popsat vztahem vztah 3.9): y = f x, x,... x,... x ) 3.9) m nejstota takovéto fnkce je obecně popsána jako vztah 3.0): m y) = A x ) 3.0) = kde A jso sočntele ctlvost vztah 3.): A y = x f = x x x,,..., m ) 3.) x
Strana 5 Toto vše platí poze pro základní přímá měření, kdy nejso žádné jné vazby mez jednotlvým vstpním parametry. Jestlže mez dvěma č více vstpním velčnam exstjí další vazby, dá se předpokládat jejch vzájemné ovlvňování, které nazývá korelace. U takto korelovaných velčn je také předpoklad, že jejch nejstoty bdo spol nějakým způsobem svázány a tyto vazby se msí zákontě projevt ve výsledné nejstotě. Jedná-l se o korelované velčny, pak vztah 3.0) nabývá charakterstcké podoby vztah 3.): m m m j, j = = jδ y) = A x ) + A A x ) 3.) Kde: x,j ). Kovarance nejstoty mez korelovaným velčnam x a x j x ) = r x ) x ) x ) 3.3), j, j j Kde: rx,j ). Sočntel korelace mez velčnam x a x j a x ), resp. x j ) jso jejch nejstoty. Korelac, vzájemné vazby mez velčnam, představje například opakované měření více velčn téhož drh pomocí jedného měřdla, požtí víceúčelových měřdel, jako jso mltmetry, ale také třeba navázání jsté sére měřdel na jedný společný etalon a podobné vlvy vyskytjící se velm často měření nepřímých. Síla této vazby je oceněna pomocí korelačního sočntele v nterval mez nlo a jednčko. Nla přtom vyjadřje nezávslost č zanedbatelno vazb, zatímco jednčka vazb velm slno. 3.4 Korekce chyb a nejstot Pokd se nám podaří pochopt negatvní vlvy na měření, můžeme s výhodo korgovat podstatno část systematckých vlvů. To platí nejen o běžných systematckých chybách měření, ale také o nejstotách, a to hlavně pro nejstoty, které vyhodnocjeme za pomocí metod typ B. Odstranění, č alespoň zmírnění jejch negatvních vlvů na výsledek měření se projeví značným zpřesněním. Názorný příklad je na obrázk obr. 3.5). Je známo, že korekce je chyba s opačným znaménkem, takže pro získání nejlepšího výsledk měření je třeba od naměřené hodnoty odečíst chyb, nebo naopak k ní přčíst korekc. Obr. 3.5 Zpřesnění výsledků měření pomocí korekce systematckých vlvů
Strana 6 3.5 Záps výsledků měření s nejstotam Níže vedené zápsy výsledk měření v podobě artmetckého průměr s nejstoto jako tolerančního pásma se požívá v mnoha předpsech a je nejběžnějším způsobem záps výsledné nejstoty. Pomocí standardní nejstoty kombnované d = 503, mm s c =, 9 mm d = 503,, 9) mm d = 503, mm ±, 9 mm d = 503, ±, 9) mm Pomocí standardní nejstoty rozšířené d = 503, ± 5, 8) mm s k r = d = 503, ± ± 5, 8) mm Pomocí blanční tablky Kromě běžného standardního) záps výsledk měření v podobě artmetckého průměr s nejstoto jako tolerančním pásmem, doporčen také záps postp rčené výsledné nejstoty měření do tzv. blanční tablky. Tab. 3.3 Obecná podoba blanční tablky q m y) = Aq q x); y) = q y) 3.4) q= Velčna X q ; Y Velčna x q ; y Standardní nejstota q x) Typ rozdělení Koefcent ctlvost A q Příspěvek ke standardní nejstotě q y); nejstota y) X x x) Podle stace A y) X x x) A y) X q x q q x) A q q y) X m x m m x) A m m y) Y y - - - y)
Strana 7 4 TYPICKÁ NEPŘÍMÁ MĚŘENÍ A ANALÝZA NEJISTOT Převzato z článk: Nejstoty v měření III: nejstoty nepřímých měření 4. Typcká nepřímá měření Nepřímým měřením nazýváme takové měřcí úlohy, př nchž se výsledek stanoví výpočtem. Do vztah, podle něhož se hledaná velčna vypočítá, dosazjeme velčny, jejchž hodnoty jsme získal měřením a které tedy známe s rčto nám známo) chybo. 4.. Opakované měření jedním měřdlem Př opakovaném přímém měření stejným měřdlem za stejných podmínek bde odhadem hodnoty dané měřené velčny artmetcký průměr naměřených hodnot a nejstoto stanoveno metodo A bde výběrová směrodatná odchylka artmetckého průměr. Veškeré vlvy chyba měřdla, chyby měření) se započítávají do nejstoty zjštěné metodo B. Kovarance mez měřením vznká společno chybo požívaného měřdla př jednotlvých měřeních a rovná se čtverc nejstoty měřdla korelační koefcent = ). Kovarance rčená metodo A lze v daném případě většno zanedbat. 4.. Opakované měření různým měřdly V stac, že pro každé měření je požíváno jné měřdlo, tím že pocházejí od různých výrobců nebo vyrobeno jno výrobní technologí apod., lze očekávaně předpokládat, že mez chybam měřdel nejso žádné sovslost. Kovarance mez měřením zapříčněné chybo požtých měřdel se nebdo vyskytovat. Kovarance moho být způsobeny jen shodným) podmínkam měření, pokd tyto výsledky měření výrazněj ovlvňjí. Pokd nelze zarčt nezávslost mez chybam požtých měřdel, např. požtá měřdla jso od stejného výrobce a žvatel nemá zajštěno, že jso vyrobena tak, aby jejch chyby byly nezávslé, je ntné tto závslost važovat př dalším výpočt nejstot právě s vyžtím kovarancí. Nelze-l rčt, jaká část chyby požívaných měřdel je závslá, je korelační koefcent mez měřdly =. Pocházejí-l požtá měřdla od stejného výrobce a mají stejno tříd přesnost, postpje se tak, jako by se měřlo jedným měřdlem. 4..3 Měření kalbrovano sado měřdel Př měření pomocí sady měřdel sada měrek, závaží apod.), z nchž jakékolv je schopno reprodkovat jedn hodnot měřené velčny, jso známy odhady jejch hodnot x =,,, p) nejstoty x ). Jednotlvé odhady moho být mez sebo nezávslé nebo také navzájem závslé podle způsob kalbrace měřdel. Je z kalbrace třeba znát nejstoty x )=c, x )=c,., x p )=c p c, c,, c p jso známá čísla) a kovarance x, x j )= c,j c,j jso rovněž známá čísla pro =,,, p-, j>), kdy ale často c,j = 0.
Strana 8 V případě potřeby lze podrobnější metodk postp vzorové příklady nalézt např. v této lteratře: [] [4] [7] 4..4 Měření pomocí měřcího přístroje s konstantní nejstoto Př měření měřcím přístrojem s nejstoto konstantní v plném rozsah přístroje platí, že jso-l známy naměřené hodnoty odhady hodnot měřených velčn) x a nejstoty x)=c pro všechny hodnoty x z daného rozsah přístroje c známé číslo), msí být známy také kovarance x, x j ) [0, c ] pro všechny dvojce x, x j z rozsah přístroje. V reálném žvotě se požívají především krajní hodnoty nterval kovarancí, tj. 0 a c, kde c se získá např. aplkací vztah 4.9 a 4.0. Přtom se važje nlová kovarance mez hodnotam x a x j, když se tato odečítá od výsledné nejstoty, a kovarance rovná c, když je tato přpočítávána k výsledné nejstotě. Tím se posthno nejméně příznvé případy. PŘÍKLAD: Ověřený deformační tlakoměr třídy přesnost s měřícím rozsahem 0, MPa a standardní nejstoto P)=0,58 kpa má kovaranc mez naměřeným hodnotam způsobeno měřcím přístrojem. Hodnota dané kovarance je v rozmezí od 0 kpa do 0, 34 kpa. Pomocí tohoto přístroje se nepřímo rčje např. rozdíl tlaků, model měření vztah 4.3): Δ p = p p 4.3) A pro nejstot Δp) odhad rozdíl tlaků Δp platí vztah 4.4): Δ p) = p ) + p ) p, p ) 4.4) Jelkož se kovarance vlvem chyby měřcího přístroje metoda B) moho pohybovat od 0 kpa do 0, 34 kpa, je třeba v tomto případě volt nlovo hodnot, aby nejstota nebyla v žádném případě neoprávněně zmenšena. Ve všech vztazích vedených v této kaptole se přtom očekává, že výsledná nejstota ovlvní poze kovarance vyhodnocované metodo B, protože měření není opakováno tolkrát, aby bylo možné važovat kovarance rčené metodo A, tj. statstcké vyhodnocení. Pokd by byl výsledek stanoven na základě opakovaných měření a bylo by zřejmé, že do výsledné nejstoty se promítno kovarance A p), pak by se tyto do výsledk zahrnly obvyklým způsobem jako další člen sočt. Daný postp je možné požít také př vyhodnocení poměr tlaků měřených važovaným tlakoměrem. Model měření je vztah 4.5): p p k = 4.5)
Strana 9 A nejstota podíl k p p k) = p) + p ) p, p ) 4.6) 4 p p p p Kovarance způsobena chybo měřcího přístroje metoda B) je opět pokládána za nlovo. Naprot tom př vyhodnocení sočt anebo sočn tlaků naměřených važovaným tlakoměrem je třeba požít maxmální možno hodnot kovarance. Model měření vztah 4.7): p = p + p 4.7) a nejstota výsledk bde vztah 4.8): p) = p ) + p ) + p, p ) 4.8) Bere se v úvah největší možná hodnota, aby v žádném případě nedošlo k neoprávněném menšení nejstoty. Obdobně se postpje př sočn tlaků. Pro Model měření vztah 4.9): p = p p 4.9) a nejstota výsledk bde vztah 4.0): p) = p p ) + p p ) + p p p, p ) 4.0) Jný stav by nastal, kdyby jednotlvé tlaky byly měřeny různým tlakoměry, nchž je jsté, že jso navzájem nezávslým měřdly např. přístroje od různých výrobců, různé prncpy a technologe atd.). Potom chyby měřcích přístrojů jso navzájem nezávslé a jm způsobena kovarance vyhodnocovaná metodo B je nlová. Jestl není jsté, že oba tlakoměry a jejch chyby jso nezávslé, msí se zde važovat s možno kovarancí např. oba vyžívají stejný prncp a nebo mají stejného výrobce, lze předpokládat, že chyby všech tlakoměrů dané třídy jso závslé v důsledk totožné technologe výroby, stejných výrobních strojů apod.).
Strana 30 4..5 Příklady nepřímých měření - měření hstoty tělesa na základě měření hmotnost a objem - měření elektrckého odpor na základě měření prod a napětí - měření rychlost na základě měření dráhy a čas - měření tlak nepřímým měřením - nepřímé měření prod pomocí měření úbytk napětí - nepřímé měření délek - objem na základě měření průměr, výšky např. váleček) tímtéž posvným měřítkem 4. Postpy rčování standardních nejstot př nepřímých měřeních Velčna Y, která je předmětem zájm výstpní velčna), známo fnkc f velčn X, X,, X m. Velčny X, X,, X m vstpní velčna) jso takové, které lze přímo změřt nebo jejchž odhady, nejstoty a kovarance známe z jných zdrojů. Tedy vztah 4.): y = f X, X,..., X ) 4.) m Odhad y výstpní velčny Y se rčí ze vztah vztah 4.): y = f x, x,..., x ) 4.) m Kde: x, x, x m. Odhady vstpních velčn X, X,., X m. Nejstota odhad y velčny Y pro případ, že odhady x, x, x m jso nekolerované se rčí podle vztah vztah 4.3): m = y) = A x) 4.3) přčemž pro koefcenty ctlvost převodové koefcenty) A platí vztah 4.4): A = f x, x,..., x x m ) X = x... X m = x m 4.4) V případě, že odhady x, x,..., x m jso korelované, je třeba važovat také kovarance mez jednotlvým odhady, které tvoří další složky výsledné nejstoty. Pro korelované vstpní velčny se potom nejstota výstpní velčny rčí ze vztah vztah 4.5): m m m= A x ) + = = j y) = A A x, x ) 4.5) j j
Strana 3 Kde: Ux, x j ). Kovarance mez navzájem korelovaným odhady x a x j, což moho být jak dvě vzájemně závslé různé velčny, tak dvě hodnoty téže velčny, mez nmž exstje jstá korelační vazba. Někdy je výhodné rčt nejstoty odhad y výstpní velčny Y zvlášť metodo A a zvlášť metodo B. Potom se celková kombnovaná) standardní nejstota rčí podle vztah vztah 4.6): c A + 4.3 Kovarance př rčování výsledných nejstot 4.3. Kovarance a nejstoty B = y) y) 4.6) Nyní bdo vysvětleny vzájemné vazby mez jednotlvým zdroj, které mají za následek exstenc kovarancí př působení jednotlvých zdrojů nejstot. Kovarance mez odhady vlvů jednotlvých zdrojů rčjí, jak jso tyto odhady vzájemně ovlvněny společným zdroj nejstot. Navzájem závslé zdroje nejstot přspívají k výsledné nejstotě více nebo méně podle toho, jak se příslšné nejstoty slčjí. V úvah se tyto společné zdroje bero proto, aby bylo možné jejch vlv zohlednt ve výsledné nejstotě. Kovarance moho výsledno nejstot zvětšt zmenšt. Závsí to především na jejch charakter zda zdroje působí sohlasně č protchůdně na dva važované odhady) a také na tvar fnkce, ktero jso vázány na výstpní velčn. Kovarance mez jednotlvým vstpním velčnam X a X j se rčí podobně jako nejstoty bď metodo typ A, založeno na statstckém zpracování naměřených údajů, nebo od ní odlšno metodo typ B. 4.3. Stanovení kovarance mez odhady x a x j metodo typ A Metoda typ A se ke stanovení kovarancí mez dvěma odhady x a x j dvo vstpních velčn zdrojů nejstot) X a X j požívá tehdy, je-l k dspozc n naměřených hodnot obo velčn x, x,., x n a x j, x j,. x jn. Jso-l odhady x a x j představovány artmetckým průměry vztah 4.7): x = n n k = x k, x k = n n k = x jk 4.7) vypočítá se kovarance rčená metodo typ A podle vztah vztah 4.8): n A x, x j ) = xk x ) x jk x j ) 4.8) n n ) k =
Strana 3 4.3.3 Stanovení kovarance mez odhady x a x j metodo typ B Kovarance B x, x j ) je kovarance vyhodnocená metodo B, odlšno od metod vycházejících ze statstcké analýzy naměřených údajů. Kovaranc lze rčt: čtením z certfkátů přístrojů, lteratry atd. výpočtem. Výpočet se skládá z těchto pět rámcových kroků: Vytpjí se zdroje závslost zdroje korelací). Pro každý zdroj každé dvojce odhadů se na základě zkšeností odhadne korelační koefcent rx, x j ), vyjadřjící mír závslost mez odhady. Ten může obecně nabývat hodnoty o d - do +. Hodnoty blízké nle odpovídají slabé závslost, hodnoty blízké ± odpovídají závslost slné. Příslšná hodnota kovarance se rčí ze vztah vztah 4.9): B x, x j ) = r x, x j ) B x ) B x j ) 4.9) V případě, že dvě vstpní velčny X, X s odhady x, x jso fnkcem nezávslých velčn Z, Z,..., Z m, které lze vyjádřt vztahy vztah 4.0): X = g Z, Z,..., Z m ) 4.0) X = g Z, Z,..., Z m ) rčí se kovarance mez odhady x, x ze vztah vztah 4.): x, x B m B = ) = A A z ) 4.) Kde: A, A jso koefcenty ctlvost pro fnkce g, g podle vztah 4.4). Vztah 4.) možňje rčt kovaranc mez odhady na základě znalost fnkčních závslostí vstpních velčn X a X na nezávslých velčnách Z, Z,..., Z m. To znamená, že vhodným sestavením model měření je někdy možné jnak nevyhntelné odhadování hodnoty korelačního koefcent. Jestlže se velčny X, X, které vystpjí v model vztah 4.). Vztah 4.0), vzájemně závslé velčny X a X ž dále nebdo v model vztah 4.) vystpovat. V případě, že dvě vstpní velčny X, X s odhady x, x jso fnkcem závslých velčn Z, Z,..., Z m, což lze vyjádřt vztahy vztah 4.0), rčí se kovarance mez odhady x, x ze vztah vztah 4.) m m m B x, x ) = A A jb z, z j ) = A A B z ) + A A jb z, z j ) 4.) = j= = = j=, j m m
Strana 33 Kde: B z, z j ) je známá kovarance mez odhady z a z j. Jestlže nelze rčt korelační koefcent an se vyhnot korelacím sestavením vhodného model, doporčje se rčt maxmální vlv korelace na výsledno nejstot prostřednctvím horní hrance odhad standardní nejstoty měřené velčny. Předpokládejme, že v model vztah 4.) jso velčny X a X korelované a že stpeň korelace neznáme. Ostatní velčny v model nejso korelované, takže potom platí vztah 4.3): [ ] ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 3 3 x x A A x A x A x x A A x A x A x A x A x A y B B m B m B B B B B m B B B B + = = + + + = = + + = = = 4.3) To znamená, že není-l k dspozc dostatek nformací pro přesné ohodnocení kovarancí, a tím výsledek nejstoty, je možné vádět horní hranc nejstoty.
Strana 34 5 MODEL VYBRANÉHO PŘÍKLADU Úkolem příklad je a bde praktcká kázka měření délky a to metodo nepřímého měření, tento model bde vytvořen v prostředí aplkace Mcrosoft Offce Excel. Zadání úlohy je v tom, že je známá jmenovtá hodnota délka) měřeného prvk tělesa, sočást apod.) a změří se sktečná délka prvk tělesa, sočást apod.) za vyžtí přesného čárkového měřítka o délce m a s dělením po mm, a pro úplné měření je ntné provést měření daného prvk tělesa, sočást apod.) nadvakrát, protože jmenovtá délka je větší jak velkost měřdla a to vedený m. Kromě těchto nformací jso dány jné nformace jako jso dovolená chyba měřdla, základní chyba měřdla, koefcent pro výpočet složky chyby závslé na měřené délce, který je poskytnt výrobcem měřdla, vlv např. působnost teploty se zanedbává. Dále se provede rozdělení měřeného prvk, v tomto případě na dvě sekce o rčtých jmenovtých hodnotách. Matematckým modelem daného měření bde sočet daných sekcí, které můžeme rozdělt např. na k a k a celkový sočet těchto sekcí bde d = d + d. Kromě toho se spočítají artmetcké průměry, směrodatná odchylka a to jak pro samotné sekce, tak pro celý sočet daných sekcí. Další postp je v tom, že stanovíme standardní nejstoty získané metodo A B včetně kovarancí samostatně a potom je sločíme. 5. Zadání úkol Úkolem je změřt délk d stol o jmenovté hodnotě 500 mm za pomoc přesného čárkového měřítka o délce m s dělením po mm tzv. přesný svnovací metr). Měření se opakje 0x a to za stejných podmínek, další vlvy na samotné měření se zanedbávají teploty apod.). Dále se provede rozdělení měřeného prvk, v tomto případě na dvě sekce o rčtých jmenovtých hodnotách a to 900 mm a 600 mm modelem daného měření bde sočet daných sekcí, které můžeme rozdělt např. na d a d a celkový sočet těchto sekcí bde d = d + d. Měřdlo má podle certfkát dovoleno chyb δ DOV = δ + δ l př teplotě. Materál měřdla a materál měřeného stol mají stejný teplotní sočntel délkové roztažnost, teplota je stejná. d jmenovtá hodnota = 500 mm d jmenovtá hodnota = 900 mm d jmenovtá hodnota = 600 mm Naměřené a vypočtené hodnoty 0x měření) př nepřímém měření délky stol: Číslo měření 3 4 5 6 7 8 9 0 d mm) 90 903 90 90 903 90 904 90 903 904 d mm) 60 600 60 60 599 600 60 60 600 599 d = d + d mm) 503 503 503 504 50 50 505 504 503 503
Strana 35 ARITMETICKÝ PRŮMĚR: d mm) - artmetcký průměr 90,6000 d mm) - artmetcký průměr 600,6000 d mm) - artmetcký průměr 503,000 SMĚRODATNÁ ODCHYLKA ZÁKLADNÍHO SOUBORU vycházející ze vztah 3.4): σ n = = ± x x ) n d mm) směrodatná odchylka základního sobor 0,965 d mm) směrodatná odchylka základního sobor,355 d mm) směrodatná odchylka základního sobor 0,8778 VÝBĚROVÁ SMĚRODATNÁ ODCHYLKA z výběrového sobor) vycházející ze vztah 3.5): s = ± n = x x n ) d mm) směrodatná odchylka výběrového sobor 0,305505 d mm) směrodatná odchylka výběrového sobor 0,37843 d mm) směrodatná odchylka výběrového sobor 0,905933 A d ) = směrodatná odchylka d ) / 3, číslo 3 se získává n ), kde n je počet měření A d ) = směrodatná odchylka d ) / 3, číslo 3 se získává n ), kde n je počet měření A d) = směrodatná odchylka d) / 3, číslo 3 se získává n ), kde n je počet měření A d ) = s d pro d = 0, 305505 A d ) = s d pro d = 0, 37843 A d ) = s d pro d = 0, 905933
Strana 36 5. Standardní nejstota metodo A d) = A d) + A d) A d, d) A + A d ) = 0, 305505 A d ) = 0, 37843 Výpočet pomocného vztah a to kovarance rčená metodo typ A: Obecný vztah vycházející ze vztah 3., 4.8):: A x, x j n ) = x n n ) k= K x ) x jk x j ) Upravený vztah pro požtý výpočet: A n d, d) = dk d) dk d) n n ) k= A d, d) = 0,4 0,4,4 0,84 00 ) 0,64 + 0,36 + 0,56 0,84 0,4,4) A d mm, d) = 0, 073333 Standardní nejstota metodo A: d) = A d) + A d) A d, d) A + A d) = 0, 305505 + 0, 37843 + 0,073333) A d) = 0, 9059mm
Strana 37 5.3 Standardní nejstota metodo B Dovolená chyba měřdla: δ DOV = δ + δ l podle certfkát) Základní chyba měřdla, představovaná nejmenším dílkem stpnce, je δ = mm rozlšovací schopnost) Výrobce defnje pro výpočet složky chyby závslé na měřené délce koefcent δ = mm/m Jné vlvy, jako je působení teploty apod., se zanedbávají. Obecný vztah: d) = B d) + B d) B d) B d) B + B B δ dov,8 d ) =, δ dov = δ + δ l ; B d ) = =,66mm, δ dov = + 0,9 =,8 3 3 δ dov, d ) =, δ dov = δ + δ l ; B d ) = =,70mm, δ dov = + 0,6 =, 3 3 B d) =,66 +,70 +,66,70 B d) =, 886 mm 5.4 Standardní nejstota výsledk C celková kombnovaná) Obecný vztah vycházející ze vztah 3.7, 4.6): C d) = A d) + B d) C d) = 0,9059 +,886 C d) =, 900mm
Strana 38 VÝSLEDEK + ZÁVĚR: Za hlavní výsledek se považje KOMBINOVANÁ NEJISTOTA skládá se z nejstoty typ A a B): Výsledek: Závěr: C d), 9 mm Výsledek opakovaného měření délky stol je d = 503, mm s c =, 9 mm Změřt délk cca,5 m normálním měřítkem s rozlšením mm s výsledno nejstoto cca ±,9 mm bývá obvyklé. 5.5 Zobecněný formlář pro atomatcké vyhodnocení nejstot v Excel Opakované požtí jedného měřdla je as nejčastějším případem praxe nepřímých měření, takže sočástí této práce je zobecněný formlář v excel pro atomatcké vyhodnocování nejstot takového měření. Cílem je získání výsledné hodnoty a její nejstoty, za předpoklad, že známe jednotlvé naměřené hodnoty a jso dostatečně deklarovány podmínky měření kvantfkovány jednotlvé základní zdroje nejstot Standardní nejstota metodo A, kovarance rčená metodo typ A, Standardní nejstota metodo B rozlšení/přesnost měřdla a další adtvní složka chyby v závslost na velkost měřené délky), Standardní nejstota výsledk C celková kombnovaná), která se skládá z nejstoty A a z nejstoty B. Předpokládáme, že další negatvní složky se neprojeví výraznější odchylka teplot apod.). Pro zjednodšení je napevno naprogramován požadavek 0-t opakování měření, což je v solad s požadavkem norem ČSN ENV 3005, GUM Gde to the Expresson of Uncertanty n Measrement) pro vyhodnocení složek nejstot stanovovaných metodam typ A, typ B a nejstota celkového výsledk C kombnovaná). Větší varantnost počt měření a dalších je samozřejmě možná, ale pro jsté rozpory s výše vedeným předpsy a následné řešení specálním postpy v praktcké příloze řešeny nejso. Důvody pro vybrání aplkace Mcrosoft Offce Excel: Jednodché nttvní ovládání a obslha jak samotné aplkace, tak samotného formláře Mnmální hardwarové požadavky a to jak na hardware, tak také na software Dobré edtační možnost