Soustavy lineárních a kvadratických rovnic o dvou neznámých

Soustavy lineárních a kvadratických rovnic o dvou neznámých

obsah 1.a) x + y = 5 x 2 + y 2 = 13 3 b) x - y = 7 x 2 + y 2 = 65 5 c) x - y = 3 x 2 + y 2 = 5 6 3. a) x + 2y = 9 x. y = 10 12 b) x - 3y = 1 x. y = 1 13 c) x + 2y = 13 x. y = 15 1 2.a) x - y = -3 x 2 - y 2 = -21 7 b) x + y = 9 x 2 - y 2 = -63 8 c) -x - y = 3 x 2 - y 2 = -39 9 d) x + y + 5 = 0 x 2 - y 2 = 5 10 e) x + y = 7 x 2 - y 2 = 35 11

Př. 1.a) x + y = 5 x 2 + y 2 = 13 x = 5 y Soustavy lineárních a kvadratických rovnic řešíme metodou dosazovací ( 5 y ) 2 + y 2 = 13 řešíme kvadratickou rovnici s neznámou y závorku roznásobíme dle vzorce (A-B) 2 =A 2-2AB+B 2 25 10y + y 2 + y 2 = 13 / -13, seřadíme do tvaru ax 2 +bx+c=0 2y 2 10y + 12 = 0 /:2 rovnici pro zjednodušení dělíme dvěma y 2 5y + 6 = 0 pro řešení této kvadratické rovnice lze využít Vietovy vztahy +5 2+3 2.3 2+3=5 2.3=6 y 1 = 2 y 2 = 3 ke každé neznámé y 1, y 2 dopočítáme příslušnou hodnotu neznámé x 1, x 2 dle vyjádřeného vztahu x = 5 y x 1 = 5 y 1 x 2 = 5 y 2 x 1 = 5 2 x 2 = 5-3 x 1 = 3 x 2 = 2 K x1, y1, x2, y2 Množina všech kořenů K obsahuje dvě uspořádané dvojice K 3,2, 2,3

Zkouška Pro ověření správnosti není zkouška nutná, neboť jsme po celou dobu užívali ekvivalentní úpravy, tj. úpravy, při kterých se během řešení nemění počet kořenů. x + y = 5 x 2 + y 2 = 13 x + y = 5 x 2 + y 2 = 13 x 1 = 3 y 1 = 2 3 + 2 = 5 rovnost platí 3 2 + 2 2 = 13 rovnost platí x 2 = 2 y 2 = 3 2 + 3 = 5 rovnost platí 2 2 + 3 2 = 13 rovnost platí

Soustavy lineárních a kvadratických rovnic řešíme metodou dosazovací Př. 1.b) x - y = 7 x 2 + y 2 = 65 x = 7 + y ( 7 + y ) 2 + y 2 = 65 řešíme kvadratickou rovnici s neznámou y závorku roznásobíme dle vzorce (A+B) 2 =A 2 +2AB+B 2 9 + 1y + y 2 + y 2 = 65 / -65, seřadíme do tvaru ax 2 +bx+c=0 2y 2 + 1y - 16 = 0 /:2 rovnici pro zjednodušení dělíme dvěma y 2 + 7y - 8 = 0 pro řešení této kvadratické rovnice lze využít Vietovy vztahy -7-8+1-8.1-8+1=-7-8.1=-8 y 1 = -8 y 2 = 1 ke každé neznámé y 1, y 2 dopočítáme příslušnou hodnotu neznámé x 1, x 2 dle vyjádřeného vztahu x = 7 + y x 1 = 7 + y 1 x 2 = 7 + y 2 x 1 = 7 + (-8) x 2 = 7 + 1 x 1 = -1 x 2 = 8 Množina všech kořenů K obsahuje dvě uspořádané dvojice K K 1, 8, 8,1 x, y, x y 1 1 2, 2

Soustavy lineárních a kvadratických rovnic řešíme metodou dosazovací Př. 1.c) x - y = 3 x 2 + y 2 = 5 x = 3 + y ( 3 + y ) 2 + y 2 = 5 řešíme kvadratickou rovnici s neznámou y závorku roznásobíme dle vzorce (A+B) 2 =A 2 +2AB+B 2 9 + 6y + y 2 + y 2 = 5 / -5, seřadíme do tvaru ax 2 +bx+c=0 2y 2 + 6y + = 0 /:2 rovnici pro zjednodušení dělíme dvěma y 2 + 3y + 2 = 0 pro řešení této kvadratické rovnice lze využít Vietovy vztahy -3-2+(-1) -2.(-1) -2-1=-3-2.(-1)=2 y 1 = -2 y 2 = -1 ke každé neznámé y 1, y 2 dopočítáme příslušnou hodnotu neznámé x 1, x 2 dle vyjádřeného vztahu x = 3 + y x 1 = 3 + y 1 x 2 = 3 + y 2 x 1 = 3 + (-2) x 2 = 3 + (-1) x 1 = 1 x 2 = 2 Množina všech kořenů K obsahuje dvě uspořádané dvojice K K 1, 2, 2, 1 x, y, x y 1 1 2, 2

Soustavy lineárních a kvadratických rovnic řešíme metodou dosazovací Př. 2.a) x - y = -3 x 2 - y 2 = -21 x = y - 3 ( y - 3 ) 2 - y 2 = -21 y 2-6y + 9 - y 2 = -21-6y = -30 y = 5 / -9 řešíme rovnici s neznámou y závorku roznásobíme dle vzorce (A-B) 2 =A 2-2AB+B 2 /: (-6) rovnici dělíme, jedná se o lineární rovnici k neznámé y dopočítáme příslušnou hodnotu neznámé x dle vyjádřeného vztahu x = y 3 x = 5 3 x = 2 Množina všech kořenů K obsahuje jednu uspořádanou dvojici K 2,5 K x, y

Soustavy lineárních a kvadratických rovnic řešíme metodou dosazovací Př. 2.b) x + y = 9 x 2 - y 2 = -63 x = 9 - y ( 9 - y ) 2 - y 2 = -63 81 18y + y 2 - y 2 = -63-18y = -1 y = 8 / -81 řešíme rovnici s neznámou y závorku roznásobíme dle vzorce (A-B) 2 =A 2-2AB+B 2 /: (-18) rovnici dělíme, jedná se o lineární rovnici k neznámé y dopočítáme příslušnou hodnotu neznámé x dle vyjádřeného vztahu x = 9 y x = 9 8 x = 1 Množina všech kořenů K obsahuje jednu uspořádanou dvojici K 1,8 K x, y

Soustavy lineárních a kvadratických rovnic řešíme metodou dosazovací Př. 2.c) -x - y = 3 x 2 - y 2 = -39 x = -y - 3 ( - y - 3 ) 2 - y 2 = -39 řešíme rovnici s neznámou y závorku roznásobíme dle vzorce (-A-B) 2 = (A + B) 2 = A 2 +2AB+B 2 y 2 + 6y + 9 - y 2 = -39 / -9 6y = -8 /: 6 rovnici dělíme, jedná se o lineární rovnici y = -8 k neznámé y dopočítáme příslušnou hodnotu neznámé x dle vyjádřeného vztahu x = y - 3 x = ( - 8) 3 x = 5 Množina všech kořenů K obsahuje jednu uspořádanou dvojici K 5, 8 K x, y

Soustavy lineárních a kvadratických rovnic řešíme metodou dosazovací Př. 2.d) x + y + 5 = 0 x 2 - y 2 = 5 x = -y - 5 ( - y - 5 ) 2 - y 2 = 5 y 2 + 10y + 25 - y 2 = 5 10y = -20 y = -2 / -25 řešíme rovnici s neznámou y závorku roznásobíme dle vzorce (-A-B) 2 = (A+B) 2 = A 2 +2AB+B 2 /: 10 rovnici dělíme, jedná se o lineární rovnici k neznámé y dopočítáme příslušnou hodnotu neznámé x dle vyjádřeného vztahu x = y - 5 x = ( - 2) 5 x = -3 Množina všech kořenů K obsahuje jednu uspořádanou dvojici K 3, 2 K x, y

Soustavy lineárních a kvadratických rovnic řešíme metodou dosazovací Př. 2.e) x + y = 7 x 2 - y 2 = 35 x = 7 - y ( 7 - y ) 2 - y 2 = 35 9 1y + y 2 - y 2 = 35-1y = -1 y = 1 / -9 řešíme rovnici s neznámou y závorku roznásobíme dle vzorce (A-B) 2 =A 2-2AB+B 2 /: (-1) rovnici dělíme, jedná se o lineární rovnici k neznámé y dopočítáme příslušnou hodnotu neznámé x dle vyjádřeného vztahu x = 7 y x = 7 1 x = 6 Množina všech kořenů K obsahuje jednu uspořádanou dvojici K 6,1 K x, y

Př. 3.a) x + 2y = 9 x. y = 10 Soustavy lineárních a kvadratických rovnic řešíme metodou dosazovací x = 9-2y ( 9 2y ).y = 10 9y - 2y 2 = 10-2y 2 + 9y - 10 = 0 2y 2-9y + 10 = 0 2y 2-9y + 10 = 0 a=2, b= -9, c=10 D = b 2 - ac D = (-9) 2.2.10 = 81 80 = 1 řešíme kvadratickou rovnici s neznámou y závorku roznásobíme / -10, seřadíme do tvaru ax 2 +bx+c=0 /. (-1) rovnici pro zjednodušení násobíme pro řešení této kvadratické rovnice využijeme výpočtu přes diskriminant určíme koeficienty a, b, c vypočteme druhou odmocninu z diskriminantu D 1 1 y 1,2 9 22 1 9 1 9 1 9 1 použijeme vzorec pro výpočet kořenů 10 8 5 2 2 x 1,2 b 2a D y 1 = 2,5 y 2 = 2 ke každé neznámé y 1, y 2 dopočítáme příslušnou hodnotu neznámé x 1, x 2 dle vyjádřeného vztahu x = 9-2y x 1 = 9-2y 1 x 2 = 9-2y 2 x 1 = 9 2. 2,5 x 2 = 9 2. 2 x 1 = 9-5 x 2 = 9 - x 1 = x 2 = 5 Množina všech kořenů K obsahuje dvě uspořádané dvojice K x1, y1, x2, y2 K ;2,5, 5,2

Př. 3.b) Soustavy lineárních a kvadratických rovnic řešíme metodou dosazovací x - 3y = 1 x. y = 1 x = 1 + 3y ( 1 + 3y ).y = 1 y + 3y 2 = 1 3y 2 + y - 1 = 0 3y 2 + 1y - 1 = 0 a=3, b= +1, c= -1 D = b 2 - ac D = 1 2.3.(-1) = 1 + 168 = 169 řešíme kvadratickou rovnici s neznámou y závorku roznásobíme / -1, seřadíme do tvaru ax 2 +bx+c=0 pro řešení této kvadratické rovnice využijeme výpočtu přes diskriminant určíme koeficienty a, b, c vypočteme druhou odmocninu z diskriminantu použijeme vzorec pro výpočet kořenů D 169 13 y 1,2 1 169 23 y 1 = 2 y 2 = -7/3 113 6 113 12 2 6 6 113 1 7 6 6 3 x 1,2 b 2a D ke každé neznámé y 1, y 2 dopočítáme příslušnou hodnotu neznámé x 1, x 2 dle vyjádřeného vztahu x = 1 + 3y x 1 = 1 + 3y 1 x 2 = 1 + 3y 2 x 1 = 1 + 3.2 x 2 = 1 + 3(-7/3) x 1 = 1 + 6 x 2 = 1-7 K x 1 = 7 x 2 x = -6 1, y1, x2, y2 Množina všech kořenů K obsahuje dvě uspořádané dvojice K 7,2, 6, 7 3

Př. 3.c) Soustavy lineárních a kvadratických rovnic řešíme metodou dosazovací x + 2y = 13 x. y = 15 x = 13 2y ( 13-2y ).y = 15 13y - 2y 2 = 15-2y 2 + 13y - 15 = 0 2y 2 13y + 15 = 0 2y 2-13y + 15 = 0 a =2, b = - 13, c = 15 D = b 2 - ac D = (-13) 2.2.15 = 169-120 = 9 y 1,2 13 9 22 y 1 = 5 y 2 = 1,5 13 7 řešíme kvadratickou rovnici s neznámou y závorku roznásobíme / -15, seřadíme do tvaru ax 2 +bx+c=0 /.(-1) 13 7 20 5 13 7 pro řešení této kvadratické rovnice využijeme výpočtu přes diskriminant určíme koeficienty a, b, c vypočteme druhou odmocninu z diskriminantu použijeme vzorec pro výpočet kořenů 6 3 1,5 2 x 1,2 D 9 7 b 2a D ke každé neznámé y 1, y 2 dopočítáme příslušnou hodnotu neznámé x 1, x 2 dle vyjádřeného vztahu x = 13-2y x 1 = 13-2y 1 x 2 = 13-2y 2 x 1 = 13 2.5 x 2 = 13 2.1,5 x 1 = 13-10 x 2 = 13-3 x 1 = 3 x 2 = 10 Množina všech kořenů K obsahuje dvě uspořádané dvojice K x1, y1, x2, y2 K 3,5, 10, 3 2

Děkuji za pozornost Zdroj: - Hudcová, Milada, Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium, PROMETHEUS 2002, ISBN 80-7196-165-5 - www.novamaturita.cz - vlastní příklady - klipart