M - Příprava na 4. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK

Transkript

1 M - Příprava na 4. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na

2 ± Intervaly Intervaly, jejich zápis a znázornění Užití intervalů je široké a setkáme se s nimi nejen při řešení nerovnic. Rozdělení intervalů: 1. Uzavřený interval a x b (x je menší nebo rovno b a zároveň větší než a ) - zapisujeme též množinově: x Î <a; b> Grafickým znázorněním tohoto intervalu je úsečka se svými krajními body. 2. Otevřený interval a < x < b (x je menší než b a zároveň větší než a ) - zapisujeme též množinově: x Î (a; b) Grafickým znázorněním je úsečka bez krajních bodů. Poznámka: Zvláštním případem otevřeného intervalu je celá množina reálných čísel. Grafickým znázorněním je přímka. x Î (- ; + ) nebo jinak x Î R 3. Polootevřený (polouzavřený) interval a < x b (x je menší nebo rovno b a zároveň větší než a ) - zapisujeme též množinově: x Î (a; b> Grafickým znázorněním je úsečka s jedním krajním bodem. Takovýto interval někdy také nazýváme zprava uzavřený interval. Pozn.: Analogicky bychom mohli definovat zleva uzavřený interval. 4. Další typy intervalů x < a x Î (- ; a) 1 z 59

3 Analogicky by byl interval pro x > a x a x Î (- ; a> Opět analogicky by vypadal interval pro x ³ a ± Nerovnice Nerovnice Nerovnice je zápis nerovnosti dvou matematických výrazů. Nerovnice, podobně jako rovnice, může obsahovat jednu nebo více neznámých. Postup řešení nerovnic je obdobný, jako při řešení rovnic s tou výjimkou, že pokud násobíme nebo dělíme nerovnici záporným číslem, mění se znak nerovnosti v opačný. >... čteme větší <... čteme menší... čteme menší nebo rovno ³... čteme větší nebo rovno Výsledek řešení nerovnice zpravidla graficky znázorňujeme, zapisujeme intervalem a provádíme ověření správnosti řešení. Pozn.: Ověření správnosti, ne tedy zkouška, proto, že většinou je řešením celý interval a my nemáme možnost všechna čísla z daného intervalu dosadit. Ukázkové příklady: Příklad 1: Řešení: Celou nerovnici vynásobíme čtyřmi, což je kladné číslo, proto znak nerovnosti se nemění. 2x (x + 3) > 4 2x - 1-2x - 6 > 4-7 > 4 Výsledkem je nepravdivá rovnost, proto nerovnice nemá řešení. Příklad 2: 2 z 59

4 Řešení: Celou nerovnici vynásobíme dvanácti: 2. (7-2x) > 3x x > 3x - 7-7x > -21 V tomto případě budeme celou nerovnici dělit číslem (-7), což je číslo záporné, proto se znak nerovnosti změní v opačný: x < 3 Výsledek zapíšeme intervalem: x Î (- ; 3) Graficky znázorníme: Provedeme ověření správnosti řešení pro libovolné číslo z výsledného intervalu - např. pro x = 0: L = = 6 6 L > P Pokud by při řešení nerovnice vyšel závěr, kterým je pravdivá nerovnost, pak řešením je každé reálné číslo, které však nesmí odporovat podmínce řešitelnosti. ± Nerovnice - procvičovací příklady Každé reálné číslo Řešením je libovolné přirozené číslo. 3 z 59

5 z 59

6 ± Kvadratické rovnice Kvadratické rovnice Kvadratická rovnice je rovnice, která ve svém zápisu obsahuje neznámou ve druhé mocnině a zároveň neobsahuje neznámou v mocnině vyšší než druhé. Obecně lze kvadratickou rovnici zapsat: ax 2 + bx + c = 0, kde a ¹ 0 Podobně jako u kvadratické funkce, můžeme jednotlivé členy nazvat: ax 2... kvadratický člen bx... lineární člen c... absolutní člen Kvadratická rovnice má zpravidla dva kořeny x 1, x 2, může jich mít ale i méně. Zkoušku provádíme pro každý kořen zvlášť. Jakoukoliv kvadratickou rovnici můžeme řešit pomocí vzorce, v němž se vyskytuje tzv. diskriminant kvadratické rovnice. Tento postup si ukážeme později. Pokud totiž kvadratická rovnice neobsahuje všechny členy, můžeme většinou použít i postupy jednodušší. Každou kvadratickou rovnici, která obsahuje závorky, či zlomky, nejprve převedeme do tvaru ax 2 + bx + c = 0 Při řešení samozřejmě nezapomínáme na podmínky řešitelnosti, pro které platí stejná pravidla jako při řešení rovnic lineárních. 1. Kvadratická rovnice bez lineárního a bez absolutního členu Jedná se o rovnici zapsanou obecně: ax 2 = 0 Takovouto rovnici řešíme snadno tak, že v prvním kroku celou rovnici vydělíme koeficientem a. Můžeme to provést, protože z definice víme, že koeficient a je nenulový. Dostaneme tak: x 2 = 0 A odtud tedy: x 1,2= Ö0 x 1,2= 0 Protože vyšly oba kořeny shodné, hovoříme o tzv. dvojnásobném kořenu. Příklad 1: Řešte kvadratickou rovnici 3x 2 = 0 Řešení: 3x 2 = 0 :3 x 2 = 0 x 1,2= 0 5 z 59

7 Můžeme tedy vyslovit jednoduchý závěr: Každá kvadratická rovnice bez lineárního a bez absolutního členu má jeden dvojnásobný kořen, a tím je Kvadratická rovnice bez lineárního členu Jedná se o rovnici zapsanou obecně: ax 2 + c = 0 Rovnici řešíme tak, že v prvním kroku převedeme číslo c na pravou stranu: Dostaneme: ax 2 = - c Dále rovnici vydělíme koeficientem a: Dostaneme: x 2 = -c/a Nyní rovnici odmocníme. Pokud ale řešíme v oboru reálných čísel, můžeme tento krok provést pouze tehdy, že v případě, že je číslo a kladné, musí být číslo c záporné (a tedy -c kladné). Druhou odmocninu totiž můžeme v oboru reálných čísel provádět pouze z nezáporných čísel (číslo 0 už jsme ale rozebrali v předcházejícím odstavci) Dostaneme: x 1,2= ±Ö(-c/a) Znamená to tedy, že x 1 = +Ö(-c/a) x 2 = -Ö(-c/a) Příklad 2: Řešte kvadratickou rovnici -3x = 0 v oboru reálných čísel. Řešení: -3x = 0 :(-1) 3x 2-27 = 0 3x 2 = 27 :3 x 2 = 9 x 1,2= ±Ö9 x 1 = 3 x 2 = -3 Příklad 3: V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 3x = 0 Řešení: 3x 2 = -6 x 2 = -2 V tomto případě nemá rovnice v oboru reálných čísel řešení. Příklad 4: V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 3x 2-6 = 0 Řešení: 3x 2 = 6 x 2 = 2 x 1,2= ±Ö2 x 1 = +Ö2 x 2 = -Ö2 3. Kvadratická rovnice bez absolutního členu Jedná se o rovnici, kterou můžeme zapsat obecně rovnicí ax 2 + bx = 0 Při řešení v prvním kroku na levé straně rozložíme na součin vytknutím x: Dostaneme: x.(ax + b) = 0 Nyní využijeme vlastnosti, že součin je roven nule tehdy, když alespoň jeden z činitelů je roven nule. 6 z 59

8 Může tedy nastat, že x 1 = 0 nebo (ax + b) = 0 a odtud: x 2 = -b/a Příklad 5: V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 2x 2 + 6x = 0 Řešení: x 2 + 3x = 0 x.(x + 3) = 0 x 1 = 0 x 2 = -3 Můžeme vyslovit jednoduchý závěr, že kvadratická rovnice bez absolutního členu má jeden kořen vždy roven nule. 4. Obecná kvadratická rovnice Jedná se o rovnici obecně zapsanou ax 2 + bx + c = 0 Samozřejmě předpokládáme, že už jsme zadanou rovnici převedli do výše uvedeného základního tvaru, tzn. odstranili jsme běžným způsobem závorky a zlomky. Tento typ rovnice řešíme podle vzorce: x 1,2 - b ± = 2 b - 4ac 2a Pokud je číslo b sudé, můžeme výhodně použít i vzorec pro poloviční hodnoty: x 1,2 b - ± 2 = Příklad 6: æ b ö ç è 2 ø a 2 - ac V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici x 2 + 4x - 60 = 0 Řešení: a = 1 b = 4 c = -60 Vzhledem k tomu, že b je sudé, použijeme vzorec pro poloviční hodnoty: x 1,2 b - ± 2 = æ b ö ç è 2 ø a ac 4 æ 4 ö - ± ç -1.(- 60) 2 è 2 ø - 2 ± x1,2 = = = -2 ± 1 1 x 1,2= -2 ± 8 x 1 = 6 x 2 = z 59

9 Příklad 7: V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 3x 2-5x + 8 = 0 Řešení: a = 3 b = -5 c = 8 x x 1,2 1,2 - b ± = - = 2 b - 4ac 2a (- 5) ± (- 5) ± = ± = V tomto případě nemá kvadratická rovnice v oboru reálných čísel řešení, protože v oboru reálných čísel nemůžeme vypočítat druhou odmocninu ze záporného čísla. Pozn.: Výraz b 2-4ac, který se vyskytuje ve vzorci pro výpočet kvadratické rovnice pod odmocninou, nazýváme diskriminant kvadratické rovnice. Pro tento diskriminant, označovaný také D, platí: Je-li D > 0... kvadratická rovnice má dva reálné různé kořeny Je-li D = 0... kvadratická rovnice má jeden (dvojnásobný) kořen Je-li D < 0... kvadratická rovnice nemá v oboru reálných čísel žádné řešení Příklad 8: V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 3x 2-5x - 8 = 0 Řešení: a = 3 b = -5 c = -8 x x x 1,2 1,2 1,2 - b ± = - = 2 b - 4ac 2a (- 5) ± (- 5) 5 ± 11 = 6 x 1 = 8/3 x 2 = ( -8) 5 ± = ± = ± Kvadratické rovnice - procvičovací příklady z 59

10 z 59

11 z 59

12 z 59

13 ± Vztahy mezi kořeny a koeficienty Vztah mezi kořeny a koeficienty Každou kvadratickou rovnici zapsanou ve tvaru ax 2 + bx + c = 0 můžeme převést do tzv. normovaného tvaru kvadratické rovnice. Docílíme toho tak, že celou rovnici vydělíme koeficientem a. Provést to můžeme, protože z definice kvadratické rovnice vyplývá, že tento koeficient je různý od nuly. Normovaný tvar kvadratické rovnice: x 2 b c + x + a a = 0 Pokud v takto upravené rovnici lze zlomky vykrátit tak, aby z nich vznikla celá čísla, můžeme při řešení kvadratické rovnice často využít vztah mezi kořeny a koeficienty a vyřešit tak celou kvadratickou rovnici zpaměti. Položme: p = b/a q = c/a Dostaneme: x 2 + px + q = 0 Pro řešení kvadratické rovnice pak platí: x 1 + x 2 = -p x 1. x 2 = q Kvadratickou rovnici tedy nemusíme nyní už řešit jen podle vzorce, ale můžeme ji vyřešit též výše uvedenou soustavou rovnic. Z ní dostaneme přímo kořeny x 1, x 2 kvadratické rovnice. Pozn.: Vztahu mezi kořeny a koeficienty můžeme leckdy vaužít i tehdy, potřebujeme-li trojčlen rozložit na součin dvou činitelů. Máme-li totiž trojčlen zapsaný ve tvaru x 2 + px + q, pak mnohdy snadno najdeme zpaměti dvě čísla a, b, jejichž součet je (-p) a jejichž součin je q. Hledaný rozklad má pak tvar (x - a).(x - b) Postup vztahu mezi kořeny a koeficienty můžeme využít i tehdy, známe-li kořeny kvadratické rovnice a potřebujeme najít naopak zadání kvadratické rovnice. Příklad: Napište kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou 5 a -8 Řešení Platí (x - 5). (x + 8) = 0 x 2 + 8x - 5x - 40 = 0 12 z 59

14 x 2 + 3x - 40 = 0 Jiný způsob řešení: x 1 + x 2 = -p x 1. x 2 = q 5-8 = -p proto p = 3 5. (-8) = q proto q = -40 Závěr: x 2 + 3x - 40 = 0 ± Vztahy mezi kořeny a koeficienty - procvičovací příklady p = p = z 59

15 ± Soustavy rovnic Soustavy rovnic Soustava rovnic je zápis dvou nebo více rovnic, které musí platit současně. V soustavě rovnic se může vyskytovat různý počet neznámých. My se zaměříme na takové soustavy rovnic, kde počet neznámých odpovídá počtu rovnic v soustavě (tedy budeme řešit např. soustavu dvou rovnic o dvou neznámých nebo soustavu třech rovnic o třech neznámých, apod.) Soustavy rovnic můžeme řešit různými metodami - např.: metodou dosazovací metodou sčítací metodou, která kombinuje metodu sčítací a dosazovací metodou grafickou pomocí matic, resp. determinantů Zatím se omezíme na první dvě z uvedených metod. Řešení soustav rovnic metodou dosazovací Tento způsob řešení je založen na postupu, kdy z jedné rovnice vyjádříme jednu neznámou a tu pak dosadíme do zbývajících rovnic soustavy. Pokud byla zadána soustava dvou rovnic, pak už nyní řešíme jednu rovnici o jedné neznámé. Pokud původní soustava obsahovala tři nebo více rovnic, postup vyjádření neznámé opakujeme. Metoda dosazovací je vhodná tehdy, pokud u rovnic v základním tvaru (tj. u rovnic, které dostaneme po odstranění závorek a zlomků a následném sloučení členů) je alespoň u jedné neznámé v některé z rovnic koeficient 1 nebo (-1). Lze ji ale použít i jindy. Metota dosazovací se dále používá tehdy, je-li zadána soustava jedné lineární a jedné kvadratické rovnice. Takovými se ale budeme zabývat později. Metoda dosazovací se s úspěchem dá použít i při řešení soustav třech nebo více rovnic. Ukázkové příklady: Příklad 1: Řešte soustavu rovnic: x + y = 3 x - y = -1 x = 3 - y (3 - y) - y = y - y = z 59

16 -2y = -4 y = 2 x = 3-2 x = 1 Výsledek zapíšeme: [x; y] = [1; 2] Zkouška: L 1 = = 3 P 1 = 3 L 2 = 1-2 = -1 P 2 = -1 L 1 = P 1 L 2 = P 2 Příklad 2: Řešte soustavu rovnic: 2. (x + y) - 5. (y - x) = (x + 2y) + 7. (3x + 5y) = 7 Řešení: 2. (x + y) - 5. (y - x) = (x + 2y) + 7. (3x + 5y) = 7 2x + 2y - 5y + 5x = 17 3x + 6y + 21x + 35y = 7 7x - 3y = 17 24x + 41y = y x = y y = y + 41y = y + 287y = y = -359 y = -1 x = 2 Výsledek zapíšeme [x; y] = [2; -1] Zkouška: L 1 = 2. [2 + (-1)] - 5. (-1-2) = 2-5. (-3) = 17 P 1 = 17 L 2 = 3. [2 + 2.(-1)] + 7. [ (-1)] = = 7 P 2 = 7 L 1 = P 1 L 2 = P 2 Příklad 3: Řešte soustavu rovnic x - y = 1 15 z 59

17 3x - 3y = 3 x = 1 + y 3. (1 + y) - 3y = y - 3y = 3 0 = 0 Soustava má nekonečně mnoho řešení. Výsledek zapíšeme: [x; y] = [x; x - 1] (v tomto obecném zápisu výsledku první neznámou volíme libovolně a druhou neznámou vyjádříme ze kterékoliv zadané rovnice) Ověření správnosti řešení: Pro x = 1 dostáváme [1; 0] L 1 = 1-0 = 1 P 1 = 1 L 2 = = 3 P 2 = 3 L 1 = P 1 L 2 = P 2 Příklad 4: Řešte soustavu rovnic: 3x + y = 2 z + 1 3y + z = 2 x + 1 3x + z = 2 y Stanovíme podmínky řešitelnosti: z ¹ -1; x ¹ -1; y ¹ -1 3x + y = 2. (z + 1) 3y + z = 2. (x + 1) 3x + z = 2. (y + 1) 3x + y = 2z + 2 3y + z = 2x + 2 3x + z = 2y + 2 3x + y - 2z = 2-2x + 3y + z = 2 3x - 2y + z = 2 Z první rovnice vyjádříme neznámou y: y = -3x + 2z + 2 (1) Dosadíme do zbývajících dvou rovnic: 3. (-3x + 2z + 2) + z = 2. (x + 1) 3x + z = 2. (-3x + 2z ) -9x + 6z z = 2x + 2 3x + z = -6x + 4z x + 7z = -4 9x - 3z = 6 Druhou rovnici vykrátíme třemi, poté z ní vyjádříme neznámou z: z = 3x - 2 (2) Dosadíme do první rovnice: -11x + 7. (3x - 2) = -4-11x + 21x - 14 = z 59

18 10x = 10 x = 1 Dosadíme do rovnice (2): z = = 1 Dosadíme do rovnice (1): y = = 1 Výsledky neodporují podmínkám řešitelnosti. Zapíšeme výsledek: [x; y; z] = [1; 1; 1] Zkouška: L = = = 2 P 1 = 2 L 1 = P L = = 2 2 = P 2 = 2 L 2 = P L = = 2 3 = P 3 = 2 L 3 = P Shrnutí postupu řešení soustavy rovnic dosazovací metodou: 1. Jsou-li ve jmenovateli neznámé, stanovíme podmínky řešitelnosti 2. Rovnice upravíme do "základního" tvaru, tj. do tvaru, kdy na levé straně rovnice máme sloučené neznámé (v pořadí podle abecedy) a na pravé straně máme číslo; používáme přitom běžného postupu řešení samostatných rovnic - tedy nejprve odstraňujeme závorky, pak zlomky, atd. 3. Z libovolné rovnice vyjádříme libovolnou neznámou (výhodné je volit tu, kde je koeficient 1). 4. Tuto vyjádřenou neznámou dosadíme do zbývající rovnice (příp. do zbývajících rovnic, je-li jich více). 5. Vyřešíme vzniklou rovnici o jedné neznámé běžným způsobem (platí tehdy, pokud byla zadána soustava dvou rovnic o dvou neznámých; pokud rovnic bylo více, vznikla nám nyní soustava více rovnic a musíme dále opakovat kroky 2) - 4) ). 6. Vypočtenou neznámou dosadíme do rovnice, kde jsme vyjádřili první neznámou (krok 3) ) a vyřešíme druhou neznámou. 7. Provedeme zkoušku, a to tak, že dosazujeme do každé strany každé rovnice. 8. Zapíšeme výsledek uspořádanou dvojicí. Řešení soustav rovnic metodou sčítací Sčítací metodu je výhodné použít tehdy, pokud je u všech neznámých v rovnicích upravených do "základního" tvaru koeficient jiný než číslo 1 nebo (-1). Lze ji s výhodou ale samozřejmě použít i v případě, že tam jednička je. Sčítací metodu používáme zpravidla u soustavy dvou rovnic o dvou neznámých. Je ji ale možno použít i pro více rovnic. Ukázkové příklady: Příklad 5: Řešte soustavu rovnic: 2. (x - 3y) = 15 4x - y = -3 2x - 6y = 15 (1) 17 z 59

19 4x - y = -3 Rovnice upravíme tak, aby po jejich sečtení vypadla neznámá x. Znamená to, že první rovnici vynásobíme číslem (-2) a druhou necháme beze změn. Pozn.: Sečíst rovnice znamená sečíst jejich levé strany a jejich pravé strany. -4x + 12y = -30 4x - y = -3 Rovnice sečteme -4x + 4x + 12y - y = y = -33 y = -3 Vrátíme se k rovnicím v zápisu (1), tj. k rovnicím upraveným do "základního" tvaru. Nyní je upravíme tak, aby po jejich sečtení vypadla neznámá y. Stačí tedy první rovnici ponechat a druhou vynásobit číslem (-6): 2x - 6y = 15-24x + 6y = 18 Obě rovnice opět sečteme: 2x - 24x - 6y + 6y = x = 33 x = -1,5 Zapíšeme výsledek: [x; y] = [-1,5; -3] Zkouška se provádí stejným způsobem jako u dosazovací metody. Pozn.: Někdy se soustava rovnic také řeší tak, že jednu neznámou vyřešíme sčítací metodou a vzniklý kořen pak dosadíme do některé ze zadaných rovnic. Vyřešením rovnice o jedné neznámé pak získáme kořen druhý. V tomto případě ale už nelze hovořit o sčítací metodě. Pozn.: Pokud chceme řešit sčítací metodou soustavu více než dvou rovnic, pak postupujeme tak, že např. v soustavě třech rovnic, která je v "základním" tvaru, upravíme rovnice tak, aby po sečtení libovolných dvou rovnic vypadla jedna neznámá a při sečtení jiné libovolné dvojice vypadla tatáž neznámá. Tím získáme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, kterou pak řešíme podle postupu v příkladu 5. ± Soustavy rovnic - jednodušší příklady Řešením je uspořádaná dvojice [4; 2] 18 z 59

20 Řešením je uspořádaná dvojice [1; -1] Řešení je uspořádaná dvojice [1; 3] Řešením je uspořádaná dvojice [8; 3] Nekonečně mnoho řešení Řešením je uspořádaná dvojice [7; 5] Řešením je uspořádaná dvojice [1; 2] Řešením je uspořádaná dvojice [4; -3] 19 z 59

21 Nekonečně mnoho řešení Soustava nemá řešení Nemá řešení Řešením je uspořádaná dvojice [11; 6] Řešením je uspořádaná dvojice [1; -1] 20 z 59

22 Řešením je uspořádaná dvojice [1; -1] Řešením je uspořádaná dvojice [3; 2] Nemá řešení. ± Soustavy rovnic - složitější příklady [5; 5; 5] [4; 6; 8] 21 z 59

23 [3; 2,5] [20; 17; 5] [15; 12; 10] é5 5 ê ;- ;- ë3 3 4 ; 3 7ù 3ú û [1; -1; 2] [4; 1; 2; 3] 22 z 59

24 [3; 4] [3; 2; 1] [1/3; 1/2] [1; 6] [1; 1; 1; 1] 23 z 59

25 [5; 2; 0] Nemá řešení [3; 4; 5] [0; 0; 0] 24 z 59

26 [-0,25; 3,75; 7,75; 0,25] [3; 2; 2; 3] [10; 1] [7; 5; -3] Nekonečně mnoho řešení 25 z 59

27 [0,2; -1; 1] Nemá řešení [0; 0,5; 0] [1; 2; -2] [5; 4; 1; 2; 1] 26 z 59

28 [8; 5; 3] ± Nerovnice v součinovém a podílovém tvaru Nerovnice v součinovém nebo podílovém tvaru Pokud máme nerovnici v podílovém tvaru, tzn. že ve jmenovateli je výraz s neznámou, nemůžeme takovouto nerovnici násobit nejmenším společným jmenovatelem jako tomu bylo u rovnic, protože nevíme, zda je jmenovatel kladný nebo záporný. Použijeme tedy jiný postup. Stejný postup použijeme i tehdy, budeme-li mít na jedné straně nerovnice součin (nebo podíl) a na druhé straně nerovnice číslo nula. Do takového tvaru lze nerovnici poměrně často převést. Postup je pak následující: 1. Zvážíme, zda podíl (nebo součin) má být kladný nebo záporný (případně nezáporný nebo nekladný) 2. Má-li být kladný, musí být oba činitelé, příp. dělenec i dělitel, buď oba kladné nebo oba záporné; to využijeme v dalším řešení. Má-li být záporný, pak musí být buď první činitel kladný a druhý záporný nebo první činitel záporný a druhý kladný (obdobně pro zlomek). 3. Ze dvou situací, které tak postupně řešíme, nakonec uděláme sjednocení. Ukázkové příklady: Příklad 1: Řešení: Vidíme, že nerovnice je v podílovém tvaru, na pravé straně je číslo 0. Aby byla splněna, mohou tedy nastat dvě situace: 1. možnost: x - Ö3 > 0 Ù 2x + Ö2 > 0 Odtud: x > Ö3 Ù x > -Ö2/2 Z těchto dvou nerovnic děláme průnik (musí platit současně); vhodné je grafické znázornění: Řešením je to, co je šrafováno obousměrně, tedy interval (Ö3; + ) 2. možnost: 27 z 59

29 x - Ö3 < 0 Ù 2x + Ö2 < 0 Odtud: x < Ö3 Ù x < -Ö2/2 Z těchto dvou nerovnic opět děláme průnik (musí platit současně); vhodné je opět grafické znázornění: Řešením je opět to, co je šrafováno obousměrně, tedy interval (- ; -Ö2/2 ) Celkovým řešením je sjednocení obou intervalů, tedy x Î (- ; -Ö2/2 ) È (Ö3; + ) Celkové řešení graficky znázorníme: Ověření správnosti: Pro x = 2: L = = = přibližně 0,05 > P = 0 L > P Příklad 2: Převedeme vše na levou stranu a poté na společného jmenovatele: ( x + 2 )(. x - 2) - ( x - 5 )(. x + 2) + 3. ( x - 5) ( x - 5 )(. x + 2) V čitateli roznásobíme a sloučíme: x x 2 6x - 9 ( x - 5 )(. x + 2) 3. ( 2x - 3) ( x - 5 )(. x + 2) - 2x + 5x x -15 > 0 ( x - 5 )(. x + 2) > 0 > 0 > 0 Celou nerovnici vydělíme třemi, znak nerovnosti se nezmění: ( 2x - 3) ( x - 5 )(. x + 2) > 0 Nyní mohou nastat následující situace: 1. možnost: 2x - 3 > 0 Ù x - 5 < 0 Ù x + 2 < 0 28 z 59

30 x > 3/2 Ù x < 5 Ù x < -2 Závěr: x Î { } 2. možnost: 2x - 3 < 0 Ù x - 5 > 0 Ù x + 2 < 0 x < 3/2 Ù x > 5 Ù x < -2 Závěr: x Î { } 3. možnost: 2x - 3 < 0 Ù x - 5 < 0 Ù x + 2 > 0 x < 3/2 Ù x < 5 Ù x > -2 Závěr: x Î (-2; 3/2) 4. možnost: 2x - 3 > 0 Ù x - 5 > 0 Ù x + 2 > 0 x > 3/2 Ù x > 5 Ù x > -2 Závěr: x Î (5; + ) Celkové řešení: x Î (-2; 3/2) È (5; + ) Graficky znázorníme: Ověření správnosti řešení: Pro x = 0: L = = P = 1- = 1- = -0, L > P Příklad 3: Řešení: 29 z 59

31 ± Nerovnice v součinovém a podílovém tvaru - procvičovací příklady z 59

32 z 59

33 x 4 - x 3 -x 2 - x ± Kvadratické nerovnice Kvadratické nerovnice S kvadratickými nerovnicemi už jsme se vlastně setkali, aniž jsme si to uvědomili, v kapitole Nerovnice v 32 z 59

34 součinovém a podílovém tvaru. Přesněji tedy řečeno v její druhé části, tedy v kapitole nerovnice v součinovém tvaru. Řešit už tedy umíme nerovnice typu (x+3). (x - 5) < 0 Tento typ nerovnic tedy už nebude předmětem výkladu. Problém však může někdy nastat, budeme-li mít zadánu nerovnici formou trojčlenu - např. x 2-2x - 15 < 0 V tomto případě si musíme nejprve zadaný trojčlen rozložit na součin. K tomu využijeme znalost řešení kvadratické rovnice. Napíšeme si tedy pomocnou kvadratickou rovnici x 2-2x - 15 = 0 a tu normálně podle vzorce vyřešíme. Zjistíme, její kořeny jsou -3 a 5. Proto hledaný rozklad bude mít podobu (x + 3). (x - 5) Někdy se nám ale stane, že při řešení kvadratické rovnice vyjde diskriminant (tj. číslo pod odmocninou) záporný. V tom případě rozklad na součin v oboru reálných čísel neexistuje. Pak nastanou dvě možnosti: nerovnice nemá žádné řešení nerovnice má nekonečně mnoho řešení Která z uvedených možností nastane, o tom se přesvědčíme tak, že do zadané nerovnice dosadíme libovolné číslo. Vyjde-li nepravdivá nerovnost, řešení neexistuje; vyjde-li pravdivá nerovnost, řešení je nekonečně mnoho. I v tomto případě ale pozor na podmínky řešitelnosti! Trochu zjednodušit práci si můžeme i tehdy, vyjde-li diskriminant pomocné kvadratické rovnice roven nule. Není to však nezbytně nutné. Kvadratické nerovnice můžeme výhodně řešit i graficky. Např. kvadratickou nerovnici x 2-2x - 15 < 0 bychom mohli graficky vyřešit takto: 1. Zápis si upravíme na x 2-15 < 2x 2. Vytvoříme dvě funkce - z každé strany vzniklé nerovnice jednu - tedy f 1: y = x 2-15 f 2: y = 2x 3. Narýsujeme grafy obou funkcí do jednoho souřadného systému 4. Na ose x nyní vyznačíme interval, v němž platí, že hodnoty kvadratické funkce jsou menší než hodnoty funkce lineární. Vidíme, že se jedná o otevřený interval (-3; 5) 33 z 59

35 ± Kvadratické nerovnice - procvičovací příklady 1. Řeš kvadratickou nerovnici 3x 2-2x + 1 > 0 K = R 2. Řeš kvadratickou nerovnici x 2-5x + 6 > 0 K = (- ; 2) È (3; + ) 3. Řeš kvadratickou nerovnici x 2 + x K = <-4; 3> 4. Řeš kvadratickou nerovnici -x 2 + 3x K = R 5. Řeš kvadratickou nerovnici 2x 2-8x + 8 > 0 R \ {2} 6. Řeš kvadratickou nerovnici -2x 2 + x - 2 > 0 K = { } 7. Řeš kvadratickou nerovnici x 2-6x + 10 < 0 K = { } 8. Řeš kvadratickou nerovnici -x 2-6x - 8 > 0 K = (-4; -2) 9. Řeš kvadratickou nerovnici x 2 + 2x 3 K = <-3; 1> 10. Řeš kvadratickou nerovnici x 2 - x K = <-2; 3> ± Funkce Funkce je přiřazení, které každému prvku nějaké zadané množiny M přiřazuje právě jedno reálné číslo. Množinu M nazýváme definiční obor - značíme D, případně D(f) Reálná čísla, která jsou takto přiřazena, nám tvoří další množinu, kterou nazýváme obor hodnot funkce - značíme H, případně H(f). Funkce může být zadána různými způsoby: tabulkou x y spojnicovým diagramem 34 z 59

36 rovnicí y = 2x + 5 grafem ± Funkce - procvičovací příklady 1. Určete, zda jde o tabulku představující funkci: x y Ne 2. Určete, zda jde o tabulku představující funkci: x y * o # $ 1298 Ne 35 z 59

37 3. Určete, zda jde o tabulku představující funkci: x y Ano 4. Určete, zda jde o graf funkce: 1302 Ne 5. Určete, zda jde o tabulku představující funkci: x * o # o y Ne 6. Určete, zda jde o graf funkce: 1303 Ne 36 z 59

38 7. Určete, zda jde o zápis funkce: y = 2x Ano 8. Určete, zda jde o graf funkce: Ano 9. Určete, zda jde o tabulku představující funkci: x * o # $ y Ano 10. Určete, zda jde o graf funkce: 1301 Ne ± Definiční obor funkce Určování definičního oboru funkce je trochu podobná činnost jako určování podmínek řešitelnosti u lomených výrazů. Musíme tedy vždy určit, pro jaká čísla funkce nenabývá žádné funkční hodnoty - jinými slovy, pro jaké 37 z 59

39 hodnoty nezávisle proměnné neexistuje odpovídající závisle proměnná. Z uvedeného tedy vyplývá, že pokud má být definiční obor funkce jiný než celá množina reálných čísel, je to zpravidla tehdy, pokud se v rovnici, představující zápis funkce, vyskytuje proměnná ve jmenovateli, pod sudou odmocninou, za logaritmem, apod. Definiční obor funkce f zapisujeme: D(f) = R D(f) = (- ; 0> D(f) = {2; 6; 8} D(f) = R \ {0} Při zápisu tedy používáme označení číselných oborů, intervaly, případně množiny. ± Definiční obor funkce - ukázkové příklady 1. Určete definiční obor D(f) funkce f: 1314 y = Návod: 4 2 x Řešení: V zápisu se sice vyskytuje sudá odmocnina, proto se nabízí uvést jako definiční obor všechna nezáporná čísla. Vzhledem k tomu, že ale pod odmocninou je sudá mocnina, ta vlastně nikdy nedosáhne záporné hodnoty. Proto v tomto případě není omezení žádné a definičním oborem jsou všechna reálná čísla. D(f) = R 38 z 59

40 2. Určete definiční obor D(f) funkce f: y = 6x - ( x Návod: Řešení: ) V zápisu funkce se vyskytuje sudá odmocnina, proto musíme dohlédnout, aby výraz pod touto odmocninou nikdy nedosáhl záporné hodnoty. Proto musí platit, že 6x - (x ) ³ 0 Znamená to tedy, že musíme vyřešit kvadratickou nerovnici. Nejprve si výraz na levé straně rozložíme na součin: 6x - (x ) = -x 2 + 6x - 11 = -(x 2-6x + 11) Trojčlen v závorce můžeme rozložit na součin tak, že si vyřešíme pomyslnou kvadratickou rovnici x 2-6x + 11 = 0 přes vzorec a diskriminant. D = b 2-4ac = (-6) = Vzhledem k tomu, že diskriminant vyšel záporný, nemá kvadratická rovnice řešení, proto neexistuje ani rozklad trojčlenu na součin na levé straně nerovnice. Proto mohou nyní nastat dvě možnosti: 1. Buď je zadaná nerovnice splněna pro jakékoliv reálné číslo 2. Nebo není zadaná rovnice splněna pro žádné reálné číslo Která z obou možností nastane, zjistíme snadno tak, že si dosadíme libovolné číslo a posoudíme-je-li v tu chvíli splněna rovnost. Např. pro x = 0 dostaneme -11 ³ 0 To ale není splněno nikdy, proto definičním oborem není žádné reálné číslo, tedy definičním oborem je prázdná množina. D(f) = { } 3. Určete definiční obor funkce f: y = ( 2x -1).( x + 3) Návod: Řešení: V zápisu rovnice funkce se vyskytuje sudá odmocnina, proto musíme dohlédnout, aby výraz pod touto odmocninou byl nezáporný. Tedy musí platit: (2x - 1). (x + 3) ³ 0 Aby byl součin nezáporný, musí být buď oba činitelé nezáporní nebo naopak obačinitelé nekladní. Řešíme tedy dvě situace: 1. (2x - 1) ³ 0 Ù (x + 3) ³ 0 2. (2x - 1) 0 Ù (x + 3) 0 x ³ 0,5 Ù x ³ -3 x 0,5 Ù x -3 x Î <0,5; + ) x Î (- ; -3> Vzhledem k tomu, že stačí, aby nastala alespoň jedna ze situací, je celkovým řešením sjednocení obou intervalů, tedy x Î (- ; -3> È <0,5; + ) x Î (- ; -3> È <0,5; + ) z 59

41 4. Určete definiční obor D(t) funkce f: y = Návod: Řešení: x 6-5x V zápisu rovnice se vyskytují sudé odmocniny. Musíme tedy dohlédnout, aby výrazy pod nimi byly nezáporné. Řešení tedy bude mít dvě části: 1. Čitatel - proto x ³ 0 2. Jmenovatel - proto 6-5x > 0 (rovnost vypadává, protože ve jmenovateli by jinak vyšla nula), odtud x < 6/5 Z obou závěrů uděláme nyní průnik, protože musí být splněny současně: 1316 Závěrem tedy bude uzavřený interval <0; 6/5) D(f) = <0; 6/5) ± Definiční obor funkce - procvičovací příklady y = x x Î {± Ö3} 3 x z 59

42 ± Lineární funkce Lineární funkce je funkce, která je dána rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla. Grafem lineární funkce je přímka (nebo její část). Definičním oborem každé lineární funkce jsou všechna reálná čísla (pokud není definiční obor omezen intervalem). Oborem hodnot každé lineární funkce (pokud se nejedná o funkci konstantní nebo funkci, kde definiční obor je omezen intervalem) jsou všechna reálná čísla. Průsečíky grafu lineární funkce s osami: 41 z 59

43 1. s osou x: - v tomto případě je druhá souřadnice bodů rovna nule, proto do rovnice funkce dosadíme za y = 0 a vypočteme první souřadnici průsečíku s osou x. Příklad: Určete průsečík funkce y = 2x - 1 s osou x. Řešení: Hledaný bod X[x; y] Dosadíme za y = 0, proto 0 = 2x - 1 Vyřešíme vzniklou rovnici a dostáváme x = 0,5 Závěr: Hledaný průsečík je X[0.5; 0]. 2. s osou y: - v tomto případě je první souřadnice bodů rovna nule, proto do rovnice funkce dosadíme za x = 0 a vypočteme druhou souřadnici průsečíků s osou y. Příklad: Určete průsečík funkce y = 2x - 1 s osou y. Řešení: Hledaný bod Y[x;y] Dosadíme za x = 0, proto y = Vyřešíme vzniklou rovnici a dostáváme y = -1 Závěr: Hledaný průsečík je Y[0; -1]. Zvláštní případy lineární funkce: 1. Je-li v rovnici lineární funkce číslo a = 0, pak y = 0. x + b, neboli y = b - jedná se o tzv. konstantní funkci - grafem je přímka, která je rovnoběžná s osou x 2. Je-li v rovnici lineární funkce číslo b = 0, pak y = ax + 0, neboli y = ax - jedná se o přímou úměrnost - grafem je přímka (nebo její část), která vždy prochází počátkem souřadného systému 42 z 59

44 Vlastnosti lineární funkce: 1. Lineární funkce je rostoucí, je-li a > Lineární funkce je klesající, je-li a < 0. Číslo a se také někdy nazývá směrnice přímky. Pozn.: Je-li a = 0, je funkce konstantní, tedy nerostoucí i neklesající. Určení rovnice lineární funkce ze zadaných bodů Vzhledem k tomu, že víme, že grafem lineární funkce je přímka, a přímka je vždy jednoznačně určena dvěma body, stačí nám pro zadání lineární funkce její dva body. Jedním z těchto bodů, případně i oběma body, může být klidně některý z průsečíků s osami, případně i počátek souřadného systému. Příklad: Určete rovnici lineární funkce, jejíž graf prochází body A[2; 3], B[-1; 2] Řešení: Obecná rovnice je y = ax + b. Dosadíme do ní postupně souřadnice obou bodů: 3 = 2a + b 2 = -a + b Dostali jsme soustavu rovnic, kterou vyřešíme sčítací nebo dosazovací metodou. Já použiji např. sčítací: První rovnici opíšu, druhou vynásobím dvěma: 3 = 2a + b 4 = -2a + 2b Obě rovnice sečtu: 7 = 3b b = 7/3 Vrátím se k původním rovnicím a tentokráte opět první rovnici opíšu a druhou vynásobím (-1): 3 = 2a + b -2 = a - b Opět obě rovnice sečtu: 1 = 3a a = 1/3 Dosadíme zpět do původní obecné rovnice lineární funkce a dostaneme: 1 7 y = x Tím jsme stanovili rovnici lineární funkce, která oběma body prochází. 43 z 59

45 Grafické řešení soustavy lineárních rovnic Obě rovnice převedeme do tvaru y = ax + b a sestrojíme grafy obou nově vzniklých funkcí. Souřadnice průsečíku těchto funkcí představují řešení původní soustavy lineárních rovnic. ± Lineární funkce - procvičovací příklady z 59

46 z 59

47 z 59

48 z 59

49 ± Kvadratická funkce Kvadratická funkce je funkce, která je dána rovnicí y = ax 2 + bx + c, kde a, b, c jsou reálná čísla a číslo a ¹ 0. Grafem kvadratické funkce je parabola (nebo její část). 48 z 59

50 Graf kvadratické funkce y -1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 x Definičním oborem kvadratické funkce jsou všechna reálná čísla. Je-li číslo a > 0, pak má funkce minimum (viz horní obrázek), je-li a < 0, pak má funkce maximum. Graf kvadratické funkce -1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 y x Názvy členů funkce: ax 2... kvadratický člen bx... lineární člen c... absolutní člen I. Kvadratická funkce bez lineárního a bez absolutního členu - jedná se o funkci, která je dána rovnicí y = ax 2 - definičním oborem jsou všechna reálná čísla - oborem hodnot je interval <0; + ), je-li a > 0 a interval (- ; 0> je-li a < 0 - souřadnice maxima (resp. minima): M[0; 0] - graf tedy protíná obě osy v počátku souřadného systému - čím je absolutní hodnota čísla a větší, tím je graf užší, sevřenější. II. Kvadratická funkce bez lineárního členu 49 z 59

51 - jedná se o funkci, která je dána rovnicí y = ax 2 + c - definičním oborem jsou opět všechna reálná čísla - oborem hodnot je interval: pro a > 0... <c; + ) pro a < 0... (- ; c> - souřadnice maxima (resp. minima): M[0; c] - graf tedy protíná osu y v bodě, který nazýváme maximum (resp. minimum) - je-li c > 0 a zároveň a < 0 nebo c < 0 a zároveň a > 0, pak graf protíná i osu x, a to ve dvou bodech, které jsou osově souměrné podle osy y. Souřadnice průsečíků s osou x mají v tomto případě souřadnice: é - c ù X1ê ; 0 ú ë a û é - c ù X 2 ê- ; 0ú ë a û III. Kvadratická funkce se všemi členy - jedná se o funkci, která je dána rovnicí y = ax 2 + bx + c - definičním oborem jsou opět všechna reálná čísla Příklad.: Je dána funkce y = 2x 2 + 3x + 4. Určete, zda má funkce maximum nebo minimum, zjistěte jeho souřadnice a určete souřadnice průsečíků s oběma osami. Řešení: Zda má funkce maximum nebo minimum, to rozhodneme podle čísla a. Vzhledem k tomu, že a = 2, což je větší než nula, má funkce minimum. Jeho souřadnice určíme tzv. doplněním na čtverec. Postup: 1. Vytkneme číslo a... y = 2.(x 2 + 1,5x + 2) 2. Podíváme se, jaké znaménko je u lineárního členu a podle toho rozhodneme, zda použijeme vzorec (A+B) 2 nebo (A-B) 2. V tomto případě použijeme ten první. 3. Z kvadratického členu u trojčlenu v závorce určíme číslo A. V tomto případě je tedy x. 4. Z lineárního členu u trojčlenu v závorce určíme číslo B. V tomto případě je tedy 0,75 5. Použijeme vzorec a dostaneme y = 2.[(x + 0,75) 2-0, ] Pozn. 0,75 2 odečítáme proto, aby nebyla porušena rovnost, protože jsme to zahrnuli do závorky 6. Odstraníme hranatou závorku roznásobením číslem a: y = 2.(x + 0,75) 2 + 2, Určíme souřadnice hledaného minima: M[-0,75; 2,875] Všimněme si, že první souřadnici určujeme vždy s opačným znaménkem než má člen v závorce a naopak u druhé souřadnice zůstává znaménko zachováno. Určení průsečíků s osami: a) s osou x V tomto případě y = 0, dosadíme do rovnice funkce a vypočteme x 2x 2 + 3x + 4 = 0 Diskriminant D = = 9-32 = -23 Vzhledem k tomu, že diskriminant vyšel záporný, nemá kvadratická rovnice řešení a neexistují tedy průsečíky s osou x. b) s osou y V tomto případě x = 0, dosadíme do rovnice funkce a vypočteme y y = = 4 Hledané souřadnice tedy jsou Y[0; 4] Pokud máme souřadnice průsečíků a souřadnice extrému (tj. minima nebo maxima), pak můžeme snadno určit průběh grafu a graf tedy načrtnout. Číslo 2 před závorkou nám ještě říká, že graf bude trochu užší. Ačkoliv to nebylo úkolem, můžeme nyní i určit obor hodnot funkce zadané v předcházejícím příkladu. Je to jednoduché. Funkce má minimum, tedy hodnoty se nedostanou pod druhou souřadnici tohoto bodu. Oborem hodnot je tedy interval <2,875; + ) ± Kvadratická funkce - procvičovací příklady 50 z 59

52 z 59

53 z 59

54 z 59

55 Platí - viz graf 54 z 59

56 Existuje - viz graf 55 z 59

57 Neexistuje - viz graf ± Mocninné funkce Mocninné funkce Mocninná funkce je taková funkce, ve které se vyskytuje obecně člen x n A. Uvažujme, že n je přirozené číslo: Nejjednodušším případem je funkce y = x n. Vlastnosti mocninné funkce y = x n : 1. Pro n - sudé: funkce je zdola omezená definičním oborem jsou všechna reálná čísla oborem hodnot je interval <0; + ) funkce je sudá funkce je rostoucí v intervalu (0; + ) funkce je klesající v intervalu (- ; 0) graf funkce je souměrný podle osy y grafem je parabola 2. Pro n - liché (n ¹ 1): funkce není ani zdola, ani shora omezená definičním oborem jsou všechna reálná čísla 56 z 59

58 funkce je v celém definičním oboru rostoucí oborem hodnot jsou všechna reálná čísla graf funkce je středově souměrný podle počátku grafem je kubická parabola Bude-li mít mocninná funkce rovnici y = x n + c, pak je graf tvarově shodný s grafem funkce y = x n, avšak je posunutý ve směru osy y o hodnotu c. Bude-li mít mocninná funkce rovnici y = (x - a) n, pak graf je tvarově shodný s grafem funkce y = x n, avšak je posunutý ve směru osy x o hodnotu a. Pozn.: Logicky lze odvodit, že graf může být posunut současně ve směru obou os. B. Nyní uvažujme, že číslo n je záporné celé číslo Nejjednodušším případem je funkce y = x -n, kde n je přirozené číslo Vlastnosti mocninné funkce y = x -n, kde n Î N 1. Pro n - sudé: definičním oborem jsou všechna reálná čísla s výjimkou 0 oborem hodnot jsou všechna kladná reálná čísla v záporné části definičního oboru je funkce rostoucí, v kladné části definičního oboru je funkce klesající graf funkce je souměrný podle osy y 2. Pro n - liché: definičním oborem jsou všechna reálná čísla s výjimkou 0 oborem hodnot jsou všechna reálná čísla s výjimkou 0 funkce je v celém definičním oboru klesající graf funkce je souměrný podle počátku Pozn.: I v tomto případě můžeme funkci různě modifikovat posouváním ve směru osy y, ve směru osy x, případně ve směru obou os. ± Mocninné funkce - procvičovací příklady z 59

59 Načrtněte graf funkce y = (x - 1) z 59

60 5. Načrtněte graf funkce y = (1 - x) Načrtněte graf funkce y = x z 59

61 Obsah Intervaly 1 Nerovnice 2 Nerovnice - procvičovací příklady 3 Kvadratické rovnice 5 Kvadratické rovnice - procvičovací příklady 8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty 12 Vztahy mezi kořeny a koeficienty - procvičovací příklady 13 Soustavy rovnic 14 Soustavy rovnic - jednodušší příklady 18 Soustavy rovnic - složitější příklady 21 Nerovnice v součinovém a podílovém tvaru 27 Nerovnice v součinovém a podílovém tvaru - procvičovací příklady 30 Kvadratické nerovnice 32 Kvadratické nerovnice - procvičovací příklady 34 Funkce 34 Funkce - procvičovací příklady 35 Definiční obor funkce 37 Definiční obor funkce - ukázkové příklady 38 Definiční obor funkce - procvičovací příklady 40 Lineární funkce 41 Lineární funkce - procvičovací příklady 44 Kvadratická funkce 48 Kvadratická funkce - procvičovací příklady 50 Mocninné funkce 56 Mocninné funkce - procvičovací příklady :29:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (