Mechanika pro bakaláře

Mechanika pro bakaláře Vektorová analýza Skalár je veličina zadaná jednoznačně jediným číselným údajem (teplota, hustota, náboj). V matematice, kde abstrahujeme od měřících jednotek a od názvů veličin, představuje skalár reálné číslo. Jedná se o nejjednodušší fyzikální veličinu, která je i v n-rozměrném prostoru dána jediným údajem velikostí (odvozeno od scala stupnice). Vektor je veličina, pro jejíž popsání nepostačuje jen jedno číslo, ale je nutno vzít n čísel, kde n je dimenze příslušného prostoru. Vektor si lze představit jako orientovanou úsečku nebo uspořádanou n-tici bodů (vektorem nemůže být libovolná n-tice, ale musí splňovat určité transformační vztahy). U vektoru rozlišujeme pojmy velikost, směr a orientace. V textu značíme vektory šipkou nad písmenem, např. v. Ve fyzice rozlišujeme několik typů vektorů: vázaný (pevný) vektor je pevně ukotven na jeden bod prostoru (např. intenzita stacionárního elektrického pole E, rychlost v bodu rotujícího tělesa), klouzavý vektor je vázaný na přímku, podél které se může libovolně pohybovat, aniž by se změnil jeho fyzikální účinek (např. síla F působící na dokonale tuhé těleso), volný vektor je vázaný na množinu rovnoběžných přímek, je možno jej libovolně v prostoru posouvat (např. moment D silové dvojice, která působí na dokonale tuhé těleso) Z hlediska reprezentace lze rozlišovat aritmetický vektor, což je uspořádaná množina čísel, resp. uspořádaná množina dvojic bodů, která se z hlediska dimenze zobrazuje do libovolného geometrického prostoru (přímka, rovina, trojrozměrný prostor), tj. řádková matice. Po připojení pojmu velikosti lze vytvořit geometrický vektor pomocí pojmu orientované úsečky. Tenzor je složitá veličina, k jejímuž určení je třeba více určovacích prvků než je dimenze prostoru. Tenzory rozlišujeme podle tzv. řádu. Nejjednodušší je tenzor druhého řádu, který má ve fyzice praktický význam a který má v n-rozměrném prostoru n 2 složek. V trojrozměrném euklidovském prostoru má 3 2 = 9 složek,které lze psát jako matici a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Ve zvláštních případech lze tenzor vystihnout menším počtem parametrů než 3 2 : symetrický tenzor má složky, splňující podmínku a ij = a ji a je jednoznačně určen 6 složkami, antisymetrický tenzor splňuje podmínku a ij = a ji, ze které plyne a 11 = a 22 = a 33 = 0 (prvky na diagonále jsou nulové), což omezuje počet nezávislých a nutných složek na tři. V trojrozměrném prostoru dále platí, že tenzor nultého řádu má 3 0 = 1 složku (tj. skalár), tenzor prvního řádu má 3 1 = 3 složky (tj. vektor). Obecně tedy platí, že tenzor k-tého řádu má n k složek, kde n je dimenze prostoru. Vektory Fyzikální zákony zapsané ve vektorovém tvaru jsou nezávislé na volbě souřadného systému a mají jednoduchý a přehledný tvar. Z hlediska matematického jsou vektory prvky prostoru (tzv. afinní vektorový prostor), ve kterém jsou pro vektory u, v E definovány operace součtu a násobení reálným číslem následujících vlastností: 1. ( u + v) E, 1

2. u E, α R, α. u E, 3. u + v = v + u komutativní zákon, 4. ( u + v) + z = u + ( v + z) asociativní zákon, 5. u + o = u existuje nulový prvek, 6. u + x = o existuje opačný prvek, 7. 0. u = o, α. o = o, 8. α( u + v) = α. u + α. v, 9. (α + β) u = α. u + β. u disociativní zákon, 10. (αβ). u = α(β. u) = β(α. u), 11. 1. u = u. Ekvipoletní dvojice bodů mají společný střed. Geometrický vektor je množina všech dvojic bodů geometrického prostoru, které jsou ekvipolentní s danou dvojicí. Lineární kombinace vektorů je součet a 1 u 1 + a 2 u 2 + + a n u n, kde a k jsou reálné koeficienty. Říkáme, že vektory jsou lineárně nezávislé, je-li lineární kombinace vektorů rovna nulovému vektoru tehdy a jen tehdy, když a 1 = a 2 =... = a n = 0. Je-li E afinním prostorem, na kterém je nadefinován skalární součin vektorů u. v, pak takový prostor nazýváme euklidovský prostor. Skalární součin je zobrazení, které dvěma vektorům přiřadí reálné číslo, a platí pro něj následující vztahy: 1. u. v = v. u 2. (α. u). v = u.(α. v) = α( u. v) 3. ( u + v). z = u. z + v. z 4. v. v 0, označujeme v 2 5. u = u = u 2 = u. u 6. u. v = 0 pro kolmé vektory (ortogonální) 7. u. v u. v Cauchyho-Buňakovského nerovnost Pro skalární součin platí u. v = u. v cos φ, kde φ je úhel, který tyto vektory svírají. Geometricky je skalární součin roven plošnému obsahu obdélníka, jehož jednou stranou je velikost jednoho vektoru a druhou stranou je průmět druhého vektoru do směru vektoru prvního. Pro skalární součin tří vektorů neplatí asociativní zákon, tj. ( u. v). w u.( v. w). Vektor, pro který platí u = 1, se nazývá jednotkový vektor. Existují tři jednotkové vektory báze i, j, k. Tyto vektory jsou vzájemně kolmé, tedy i. j = i. k = j. k = 0. Definujeme ještě vektor elementárního posuvu d s = dx i + dy j + dz k. Vyjádření vektoru pomocí jeho souřadnic Kolmé průměty vektoru u do souřadnicových os jsou složky u x, u y, u z, kde u x = x 2 x 1, u y = y 2 y 1, u z = z 2 z 1. Zapisujeme u = (u x, u y, u z ). Velikost vektoru se pomocí souřadnic vyjádří jako u = u = u 2 x + u2 y + u2 z = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2. Jednotlivé složky vektoru můžeme určit pomocí skalárního násobení jednotkovými vektory báze, u x = u. i, u y = u. j, u z = u. k. Pro skalární součin vektorů platí ve složkovém vyjádření u. v = u x v x + u y v y + u z v z. Po srovnání s předchozími vztahy můžeme pro úhel mezi vektory psát cos φ = u. v u. v = u xv x + u y v y + u z v z. u. v 2 v φ u

z (x 2, y 2, z 2 ) u (x 1, y 1, z 1 ) x y Vektor lze také zadat pomocí směrových úhlů a velikostí, cos α = ux u, z čehož u x = u cos α a obdobně pro další složky a úhly β, γ. Jednotkové vektory báze mají složky i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1). Vektor r = (x, y, z) se nazývá polohový vektor. Pro vektory lze také definovat vektorový součin, jehož výsledkem je také vektor, kolmý k oběma vektorům. Vektorový součin se označuje pomocí, tj. w = u v. Pro jeho velikost platí w = uv sin φ, kde φ je úhel mezi vektory u, v. Symbolicky lze složky vektorového součinu vyjádřit pomocí determinantu i j k w = u x u y u z v x v y v z = i(u y v z u z v y ) + j(u z v x u x v z ) + k(u x v y u y v x ). Geometricky je velikost vektorového součinu číselně rovna obsahu rovnoběžníka sestrojeného z obou vektorů. Směr je kolmý k rovině, ve které vektory u, v leží. Orientace je určena pravidlem pravé ruky. Vektorový součin není komutativní, platí u v = ( v u). Je ale distributivní, u ( v + w) = u v + u w. Pro dvojnásobný vektorový součin platí u ( v w) = v.( u. w) w.( u. v). Dalším součinem je smíšený součin tří vektorů, pro který platí ( u v). w = u x u y u z v x v y v z w x w y w z. u v v φ uv sin φ u Geometrický význam je následující: velikost smíšeného součinu je ( u v). w) = u v. w cos α, což je plocha základny rovnoběžnostěnu násobená výškou rovnoběžnostěnu, tj. objem rovnoběžnostěnu. Fyzikálně lze chápat výsledek také jako tok vektoru w plochou u b. Příklady 1. Vektor a o velikosti a = 5 svírá s vektorem b o velikosti b = 3 úhel φ = 60. Určete velikost vektoru c = a + b. 2. Vektor a délky 10 cm svírá úhel φ = 30 s vektorem b délky 6 cm. Určete velikost a b. [7] [5,67 cm] 3. Tři navzájem na sebe kolmé vektory o společném počátku mají velikosti 2a, 2a, a. Stanovte velikost vektoru b, který je součtem těchto tří vektorů. 4. Určete velikost vektoru a = 2 i j + 2 k a vypočtěte jeho směrové kosiny. [b = 3a] 3

5. Pomocí skalárního součinu určete, jaký úhel spolu svírají vektory a = i j, b = i 2 j + 2 k. 6. Stanovte skalární a vektorový součin vektorů [φ = 45 ] (a) a = (2, 3, 0), b = (1, 0, 4) (b) a = (3, 1, 5), b = (2, 4, 2) [2; 12 i 8 j + 3 k; 0; 22 i + 16 j + 10 k] 7. Určete objem rovnoběžnostěnu, jehož tři hrany tvoří vektory a = (1, 2, 3), b = ( 2, 0, 1), c = (2, 1, 3). 8. Zjistěte, zda vektory a = (1, 6, 5), b = (3, 2, 4), c = (7, 18, 2) leží v jedné rovině. [9] [ano, objem rovnoběžnostěnu je nulový] 9. Určete vektorový součin dvou vektorů, jejichž velikost je 7 a 4 a svírají spolu úhel 30. 10. Určete úhel, který spolu svírají vektory a = 3 i 4 j + k, b = 4 i + 3 j. [14] 11. Pomocí vektorového součinu vypočítejte plošný obsah P trojúhelníka A 1 = [3, 1, 5], A 2 = [2, 1, 4], A 3 = [ 3, 2, 1]. [90 ] [5,25] 12. Vypočtěte modul výslednice sil F 1, F 2, F 3 působících v hranách pravidelného trojbokého hranolu, vycházejících z jeho vrcholu M. Podstavná hrana hranolu má délku 3, výška hranolu je 3,5; F 1 je rovna délce podstavné hrany, F 2 je 5 3 této délky a F 3 je dvojnásobek výšky hranolu. [7 2] 13. Stanovte vnitřní úhly trojúhelníka, jehož vrcholy jsou A = [2, 4, 9], B = [ 1, 4, 5], C = [6, 4, 6]. [90, 45 ] 14. Nechť jsou dány libovolné vektory určené vektory a, b, a = (1, 2, 1), b = (2, 3, 5) např. p = a + 2 b, q = 3 a b, r = a + b. Ukažte, že c = (13, 7, 1) je kolmý na p, q, r. 15. Dokažte: u ( v z) = v.( u. z) z.( u. v). 4

Klasická mechanika hmotného bodu Úvod Předmět klasické mechaniky (dále jen mechaniky) je mechanický pohyb, jeho popis v prostoru a v čase a jeho příčiny. Mechanický pohyb je změna vzájemné polohy těles v prostoru a čase. Klasická mechanika: rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve vakuu, c = 3 10 8 m/s. Hmotný bod fiktivní objekt, má všechny relevantní znaky tělesa, které reprezentuje, jeho geometrické rozměry jsou v daných souvislostech zanedbatelně malé. Rozdělení mechaniky Kinematika Popis v prostoru a čase bez uvažování příčin pohybu a jeho změn Dynamika Studium příčin pohybu a jeho změn Statika Mechanika bez pohybu Přehled kinematiky Předmětem kinematiky je matematický popis mechanického pohybu v prostoru a čase. Pohyb je relativní, proto je nutno udat vztažné těleso, se kterým spojíme vztažný systém (vztažnou soustavu). Vztažné systémy pravoúhlý (kartézský): x, y, z polární souřadnice (dvojrozměrné): poloměr r, úhel φ válcové souřadnice: poloměr r, úhel φ, souřadnice z kulové souřadnice: poloměr r, úhel φ, úhel θ Kartézský souřadný systém osa z základní vektor k základní vektor j osa x základní vektor i poèátek [0,0,0] osa y Polohový vektor r Směrové kosiny: jsou definovány vztahy cos α = x r, cos β = y r, cos γ = z r a splňují podmínku cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1. 5

Pro velikost polohového vektoru platí r = x 2 + y 2 + z 2, začíná vždy v počátku a končí na trajektorii. Trajektorie je množina koncových bodů polohového vektoru r = r(t). r trajektorie r r t 0,0,0 r (t 0 ) r (t 0 +t) t Parametrické rovnice trajektorie vyjadřují polohový vektor pomocí časově závislých funkcí jeho složek, tedy r = [x(t), y(t), z(t)] 1: Trajektorii je možno vyjádřit i v implicitním tvaru jako F (x, y, z) = 0. 2: Zavádí se jednotkový vektor r 0 = r r = (cos α, cos β, cos γ). Příklad 1. Je dán polohový vektor r = (+12, 5, 0) cm. Pak platí r = 12 2 + ( 5) 2 cm = 169 cm = 13 cm. Pro směrové kosiny dostáváme cos α = 12 5 13, cos β = 13, cos γ = 0. Příklad 2. Vztahy mezi základními vektory Vektor Složky Směrové kosiny Velikost i (1, 0, 0) cos α = 1, cos β = 0, cos γ = 0 i = 1 2 + 0 2 + 0 2 = 1 j (0, 1, 0) cos α = 0, cos β = 1, cos γ = 0 j = 0 2 + 1 2 + 0 2 = 1 k (0, 0, 1) cos α = 0, cos β = 0, cos γ = 1 k = 02 + 0 2 + 1 2 = 1 Základní vektory jsou tedy jednotkové. Základní kinematické veličiny Pro kinematický popis pohybu bodu postačují následující veličiny: (okamžitý) polohový vektor r okamžitá rychlost v okamžité zrychlení a Zavádí se ještě vedlejší kinematické veličiny vektor elementárního úhlového otočení i k j 6

vektor úhlové rychlosti vektor úhlového zrychlení Polohový vektor osa z r = x i + y j + z k osa x i k y j z x osa y Okamžitá rychlost je definována derivací polohového vektoru podle času, trajektorie v A r s B r v = d r dt = r. v B r r 0 s = délka oblouku Mějme na trajektorii dva body A, B. Střední rychlost pohybu mezi nimi je v AB = s t r t. Limitním přibližováním bodu B nekonečně blízko k bodu A se doba nutná k překonání vzdálenosti mezi nimi blíží k nule a střední rychlost přechází v okamžitou rychlost, v AB v. 7

Dle definice tedy v = lim v r AB = lim t 0 t 0 t = d r dt. V kartézské soustavě lze psát i ve složkách v v = (v x, v y, v z ) = (ẋ, ẏ, ż). rt trajektorie 0,0,0 Vektor rychlosti má směr tečny ke trajektorii a jeho orientace odpovídá rostoucím hodnotám času t. Sledujme nyní pouze velikost rychlosti v = v = d r dt = d r = ds dt dt = ṡ. Vidíme, že velikost rychlosti závisí pouze na časové změně dráhy (délky trajektorie). Typické velikosti rychlostí Šíření elmg. vln ve vakuu Orbitální rotace Země kolem Slunce Zvuk ve vzduchu Automobil na dálnici Lidská chůze (průměrná hodnota) Vodivostní elektron v kovu (v drift ) 3 10 8 m/s 29,8 km/s 332 m/s 36,1 m/s 1,2 m/s 0, 001 m/s Délka dráhy (úseku trajektorie) y ds dx dy a x b Infinitesimální přírůstek polohového vektoru lze psát jako d r = dx i + dy j + dz k a pro velikost platí d r = ds = (dx) 2 + (dy) 2 + (dz) 2. 8

Uvažujme nyní dvojrozměrný případ (trajektorie leží v jedné rovině). Pak je element délky ds = (dx) 2 + (dy) 2 a celá délka je dána integrací jako s = b a ds = b a b (dx)2 + (dy) 2 = (ẋ)2 + (ẏ) 2 dt, protože platí ẋ = dx dt, ẏ = dy dt. Poslední odmocnina v předešlých výrazech je velikost rychlosti v, platí tedy s = b a vdt. Okamžité zrychlení a je určeno časovou změnou vektoru rychlosti, a = d v dt = v a opět jej lze v kartézských souřadnicích psát ve složkách a = a x i + a y j + a z k = (ax, a y, a z ) = ( v x, v y, v z ). a 0 d R A ds v B v v dv dv v dv dv n dv t Vektorový element změny rychlosti d v nemá žádný obecný vztah k polohovému vekotoru r, ale existují určité závislosti. Jestliže se mění: pouze rychlost, pak má d v směr tečny k trajektorii a vytváří tečné zrychlení a t, pouze směr rychlosti, pak míří d v ve směru normály k trajektorii a vzniká normálové zrychlení a n V obecném případě je zrychlení dáno součtem obou složek, a = a t + a n. Úhlové veličiny vyjádřené vektory: Mějme dva polohové vektory v blízkých časech, r(t) a r(t + dt), které svírají malý úhel dφ. Tomuto úhlu přiřadíme vektor dφ tak, aby byl kolmý na rovinu tvořenou vektory r(t) a r(t + dt) a jeho velikost byla dφ. Pro změnu polohového vektoru d r platí d r = dφ r a pro velikost dr = d r = dφ r sin π 2. Protože je úhel dφ velmi malý, lze vektor d r považovat za část kruhového oblouku a psát pro element dráhy ds = dr = dφ r sin π/2 = dφr. d r t dt rt d dr 9

Vektorový součin: Pravidlo vývrtky všechny vývrtky jsou pravotočivé určuje orientaci vektoru vzniklého vektorovým součinem c = a b tak, aby výsledný systém byl pravotočivý. c b a c a b JAMAICA Vektor úhlové rychlosti ω se zavádí vztahem a souvisí s obvodovou rychlostí Mezi velikostmi platí vztahy ω = d φ dt v = d r dt = d φ r = ω r. dt v = v = ω r sin π 2 = ωr. r v r v Vektor úhlového zrychlení ε se definuje obdobně pomocí ε = d ω dt. Vztah ke zrychlení a je však složitější. Protože zrychlení je derivací rychlosti podle času, je a = d v dt = d ω d r r + ω dt dt. Vzhledem k platnosti ω v = ω ( ω r) dostáváme a = ε r + ω v = ε r rω 2 n, kde n je jednotkový vektor vnější normály a proto má druhý člen rω 2 n opačný smysl než polohový vektor r. Vektor zrychlení se tedy dá rozložit na dva členy: vektor ε r ve směru tečny a vektor rω 2 n mířící do středu křivosti. 10

Rozklad vektoru zrychlení oskulaèní rovina normála 0 R d B ds A teèna trajektorie Dříve zmíněné členy se označují jako tečné zrychlení a normálové zrychlení. Tečné zrychlení a t = ε r souvisí se zvětšováním rychlosti pohybu bodu a pro jeho velikost lze psát a t = d v dt. Normálové zrychlení a n = ω v souvisí se zakřivováním trajektorie a má velikost a n = rω 2 = v2 r. Velikost celkového zrychlení je vzhledem k jejich vzájemné kolmosti dána vztahem a = a 2 t + a 2 n. r Kruhový pohyb a t a r t Sledujme pohyb po kruhové dráze v rovině z = 0. Pak pro složky polohového vektoru platí x = r cos φ, y = r sin φ. Pro popis takového pohybu je vhodnější přejít do polárních souřadnic r, φ. a n v a v n Pro rovnoměrný kruhový pohyb platí φ = ωt a okamžitý polohový vektor lze vyjádřit ve tvaru r = (r cos ωt) i + (r sin ωt) j. Po otočení o úhel 2π se bod dostává do výchozí polohy a délka trajektorie tudíž musí být rovna obvodu kružnice. Podle obecného vztahu máme s = 2π 0 (dx)2 + (dy) 2 = r 2 (sin 2 ωt + cos 2 ωtdφ = 2π 2π 0 Obvodová rychlost 0 rdφ = 2πr. Obecně pro délku dráhy platí s = φr. osa y r t x y osa x se získá z obecného vztahu a je v = ( ωr sin ωt) i + (ωr cos ωt) j. 11

Absolutní hodnota vektoru rychlosti vychází v = vx 2 + v2 y = r 2 ω 2 (sin 2 ωt + cos 2 ωt) = rω. Obvodová rychlost v je vektor, který leží v rovině trajektorie, je kolmý na rovinu určenou osou rotace a polohovým vektorem a má směr tečny k trajektorii. Proto jej můžeme zapsat jako Zrychlení kruhového pohybu Po dosazení do vztahu a = d v dt získáme a = v = ω r. [ (rω 2 cos ωt) i + (rω 2 sin ωt) ] k. Srovnáme-li vyýsledek s definicí kruhového pohybu, vidíme, že platí a = ω 2 r. dostředivé zrychlení Tedy zrychlení má stejný směr, ale opačnou orientaci jako polohový vektor r. Míří do počátku souřadnic (středu rotace) a nazývá se proto dostředivé zrychlení. Jeho velikost je rovna velikosti normálového zrychlení a n = rω 2 = v2 r. Tečné zrychlení je v případě rovnoměrného kruhového pohybu nulové, protože absolutní hodnota rychlosti je konstantní. Perioda T je doba potřebná k jednomu oběhu kružnice, resp. doba do opsání úhlu φ = 2π. Protože pro rovnoměrný pohyb platí φ = ωt, získáme srovnáním Převrácenou hodnotu periody nazýváme frekvence T = 2π ω. f = 1 T, její jednotkou je 1 Hz hertz. Spojením obou rovnic získáme vztah Příklad. ω = 2πf. Částice se pohybuje po šroubovici, jejíž parametrické rovnice jsou x = 3 cos 2πt, y = 3 sin 2πt z = 6πt. a) Najděte vektor rychlosti, velikost vektoru rychlosti a směrové kosiny vektoru rychlosti v čase t = 1 s. b) Najděte vektor zrychlení, velikost vektoru zrychlení a směrové kosiny vektoru zrychlení v čase t = 1 s. Řešení a) Vektor rychlosti: v = (v x, v y, v z ) = (ẋ, ẏ, ż) = ( 6π sin 2πt, 6π cos 2πt, 6π), jeho velikost je v = vx 2 + v2 y + v2 z = 6π 2 a je nezávislá na čase. V čase t = 1 s má vektor rychlosti tvar v = (0, 6π, 6π) m/s a směrové kosiny tudíž jsou b) Vektor zrychlení: cos α = v x v = 0, cos β = v y v = 1 2, cos γ = v z v = 1 2. a = ( v x, v y, v z ) = ( 12π 2 cos 2πt, 12π 2 sin 2πt, 0) = (2π) 2 r xy, 12

kde r xy je průmět vektoru r do roviny z = 0. Velikost zrychlení je a = a 2 x + a 2 y + a 2 z = 12π 2 a je opět nezávislá na čase. Zrychlení má pouze normálovou složku. Směrové kosiny v čase t = 1 s jsou cos α = a x a = 1, cos β = a y a = 0, cos γ = a z a = 0. Protože a z je nulová, je vektor zrychlení vždy kolmý k ose z. Dynamika hmotného bodu Je částí newtonovské mechaniky, tj. mechaniky makroskopických těles, jejichž rychlost je mnohem menší než rychlost světla (ve vakuu). Její základy byly poprvé popsány v díle Isaaca Newtona Philosophiae naturalis principia mathematica z roku 1687. Předmět dynamiky Dynamika se zabývá studiem souvislostí mezi vzájemným působením a pohybem těles. K tomu používá tyto základní veličiny: hmotnost m hybnost p sílu F kinematické veličiny - polohový vektor r, rychlost v, zrychlení a Nadále se budeme zabývat nejjednodušším případem hmotným bodem. Hmotnost m je skalární kvanitativní míra tíhových a setrvačných vlastností tělesa. je dána vnitřní strukturou těles nezávisí na volbě vztažné soustavy platí zákon zachování celkové hmotnosti Základní jednotka hmotnosti je [m] = 1 kg (kilogram) 1 Hmotnosti některých těles [kg] Slunce 2 10 30 Země 6 10 24 1 m 3 H 2 O 1 10 3 Molekula penicilinu 5 10 17 Proton 1, 7 10 27 Elektron 9, 1 10 31 Hybnost p je vektorová kvanitativní míra mechanického pohybu je kolineární s vektorem rychlosti p = m v charakterizuje míru mechanického pohybu i z hlediska interakcí 1 Jako jediná základní veličina má v soustavě SI základní jednotku začínající předponou kilo. 13

Základní jednotka hybnosti je [p] = 1 kg.m.s 1 Síla F je vektorová kvanitativní míra vzájemného působení těles, které má za následek buďto změnu jejich pohybového stavu nebo jejich deformaci. Síla je klouzavý vektor její působiště je v libovolném bodě vektorové přímky, lze ji podél přímky posouvat. Samotný pojem síly je abstrakcí (podobně jako hmotný bod), nemůže reálně existovat bez hmotných objektů (částic či polí), protože vyjadřuje míru jejich vzájemného působení. Základní jednotkou hybnosti je [F] = 1 N (newton). Příklady sil Tíha těles G = m g, kde g je vektor zemského tíhového zrychlení. Tato síla je přímo úměrná hmotnosti tělesa (jsou ještě jiné síly, úměrné hmotnosti tělesa?) Síla odporu prostředí F r, která působí při pohybu těles ve vazkém prostředí. Je kolineární s vektorem rychlosti a má opačný smysl, ve většině případů lze psát pro její velikost F r = 1 2 ρc x v n, kde ρ je hustota vazkého prostředí, C x je součinitel a exponent n leží v rozmezí (1, 2). Např. pro osobní automobily při rychlostech nad 80 km/hod. platí, že n = 2, C x je okolo 0,3. F r Síla smykového tření Ft vzniká při smýkání pevného tělesa po podložce. Jestliže není pohyb ve svislém směru, platí N + G = 0, N = G, F t = µ N, kde µ je součinitel smykového tření z intervalu (0, 1) a N velikost reakce podložky, jež je vždy kolmá k jejímu povrchu. F t N v v g m G G Síly na náboje v elektromagnetickém poli. Tyto síly: patří do kategorie elektromagnetických interakcí, jsou o cca 25 řádů silnější než gravitační síly, rozhodující pro chemické a biologické procesy a existenci života, jsou využívány v elektro-technice, -energetice, silno-, slaboproudé elektrotechnice, veškerém průmyslu, informatice, atd. Newtonovy zákony (NZ) Jsou to základní zákony dynamiky. 14

Zákon setrvačnosti 1. NZ Těleso setrvává ve stavu rovnoměrného přímočarého pohybu nebo klidu, pokud není nuceno působením jiných těles tento stav změnit. Abstrakce: Formulace tohoto zákona v klasické mechanice je extrapolací emiprických poznatků, protože nedokážeme nikdy eliminovat síly vzájemného působení a tedy přesný experimentální důkaz nelze provést. Platnost zákona však lze pozorovat např. v případě pohybu nebeských těles. Zákon síly 2. NZ Časová změna hybnosti hmotného bodu je rovna výsledné síle, která na těleso působí. F = d p dt, kde p = m v je hybnost hmotného bodu a F je vektorová výslednice všech působících sil, F = F 1 + F 2 + + F n. Jinak formulováno, působením síly bod získává nenulové zrychlení. V klasické mechanice hmotného bodu je vždy m = konst a proto platí F = d(m v) dt = m dv dt, což s ohledem na definici zrychlení dává pohybovou rovnici F = m a (v tomto tvaru platí ovšem jen pro hmotný bod a translační posuvný pohyb). Uvedená rovnice se používá k zavedení jednotky síly [F] = [m]. [a], 1 N = 1 kg.m.s-2. Vyjádřeno slovně: Jeden newton je síla, která hmotnému bodu o hmotnosti 1 kg udělí zrychlení 1 ms 2. Zákon akce a reakce 3. NZ Jestliže těleso A působí na těleso B silou F AB, potom těleso B působí na těleso A silou F BA, a platí F AB = F BA. A F BA F AB B Působení:: Síly F AB a F BA jsou ve vztahu akce a reakce. Každá z nich působí na jiné těleso. Nelze je proto na žádném z těchto těles sečíst. Jestliže tato dvě tělesa považujeme za jeden systém, pak výsledná síla F AB + F BA = 0 je rovna výsledné vntiřní síle systému a jako taková je rovna nule (více v kapitole o mechanice tuhého tělesa). Třetí Newtonův zákon představuje základ části fyziky zvané statika. Inerciální vztažná soustava V přírodě neexistuje ani absolutní klid ani absolutní rovnoměrný přímočarý pohyb, ale závisí na volbě souřadné soustavy. Každá souřadná soustava je spojena s určitým tělesem (vztažným tělesem). Přitom samotné vztažné těleso se může libovolně pohybovat (například Země nebo Slunce), proto není platnost prvního Newtonova zákona univerzální, ale je omezena jen na určité vztažné soustavy. 15

Jako příklad může sloužit kulička na bloku pohybujícím se rychlostí v = v(t). v Soustava, ve které platí 1. Newtonův zákon, se nazývá inerciální vztažná soustava 2. Opakem je neinerciální soustava, ve které první (ani druhý) zákon neplatí. Neinerciální soustava má vzhledem k inerciální nenulový vektor zrychlení a. Příklady: inerciální: sluneční soustava, planeta Země (přibližně), soustavy s ní spojené, atd. neinerciální: dopravní prostředky při zrychlování, zpomalování, změně směru pohybu, startující letadlo, auto jedoucí do zatáčky, kabina výtahu při rozjezdu a zastavení. Pohybová rovnice a její řešení Rovnice F = m a = m r je pohybová rovnice. Je to vektorová rovnice, která reprezentuje 3 skalární rovnice. V pravoúhlé souřadné soustavě to jsou rovnice Existují dvě úlohy: F x = m d2 x dt 2, F y = m d2 y dt 2, F z = m d2 z dt 2. A Jestliže známe trajektorii, můžeme určit působící sílu. Tato úloha je triviální (jedná se o dvojí derivování polohového vektoru podle času). B Jestliže známe souřadnice síly v každém čase t, můžeme (možná?) najít trajektorii pohybu. Tato úloha je fundamentální úlohou dynamiky. Postup řešení úlohy A: 1. zvolíme inerciální souřadný systém 2. jelikož máme dán polohový vektor r = r(t), derivováním podle času najdeme kinematické veličiny v = v(t) a a = a(t) 3. napíšeme tři (nebo dvě) skalární rovnice pro F x, F y, F z. Tím je úloha vyřešena. Postup řešení úlohy B: Jsou dány působící síly F 1, F 2,..., F n. Výslednici sil pak pišme ve tvaru Pro souřadnice síly tedy platí F = n F k = F x i + F y j + F z k. F x = m dv x dt, F y = m dv y dt, F z = m dv z dt. Vektor rychlosti a jeho souřadnice najdeme integrací této rovnice: d v = 1 F m 1 dt, v = F m dt 2 z latinského inertia setrvačnost 16

První integrál pohybové rovnice je tedy v = 1 m F dt + v 0, resp. ve složkách v x = 1 m v y = 1 m v z = 1 m F x dt + v 0x, (1) F y dt + v 0y, (2) F z dt + v 0z, (3) (4) kde integrační konstanty v 0, případně v 0x, v 0y,v 0z, reprezentují libovolný vektor rychlosti. Další integrací získáme druhý integrál pohybové rovnice r = v dt + r 0, resp. ve složkách r x = x = r y = y = r z = z = v x dt + x 0, (5) v y dt + y 0, (6) v z dt + z 0, (7) (8) kde integrační konstanty r 0, případně x 0, y 0,z 0, reprezentují libovolný polohový vektor. Vektory v 0, r 0 nevyplývají z řešení diferenciálních rovnic. Pokud je neznáme, má úloha B nekonečně mnoho řešení. Jen jedno řešení má úloha tehdy, jestliže jsou dány tzv. počáteční podmínky x 0 = x(t 0 ), y 0 = y(t 0 ), z 0 = z(t 0 ) (9) v 0x = v x (t 0 ), v 0y = v y (t 0 ), v 0z = v z (t 0 ) (10) které představují polohový vektor a vektor rychlosti hmotného bodu v určitém definovaném okamžiku t 0 a které množinu řešení omezují na jeden případ. (11) [v 0x, v 0y, v 0z ] F [x 0, z 0, y 0 ] 17

Příklady řešení pohybové rovnice: Hmotný bod v zemském tíhovém poli Tento pohyb je zpravidla rovinný a probíhá ve svislé rovině. Označení souřadných os volíme x, y. Dva typické příklady: 1. Pohyb nad povrchem Země při zanedbání odporu vzduchu, jako jsou vrhy svislý, vodorovný, šikmý. 2. Pohyb na nakloněné rovině s uvážením tření na povrchu této roviny. Předpoklady: na hmotný bod působí síla tíže G = m g = (0, mg), o které předpokládáme, že nezávisí na výšce nad zemským povrchem. Pohyb v obou příkladech se najde řešením stejné pohybové rovnice, pouze působící síly a počáteční podmínky budou různé. y vrh svislý j v0y m m G i v 0x v 0 vrh šikmý vrh vodorovný 0,0 Vrhy Obvyklé počáteční podmínky pro různé vrhy jsou uvedeny v tabulkách Řešení pohybové rovnice svislý x 0 = 0 y 0 = 0 v 0x = 0 v 0y = v vodorovný x 0 = 0 y 0 = h v 0x = v v 0y = 0 šikmý x 0 = 0 y 0 = 0 v 0x = v 0 cos α v 0y = v 0 sin α X Y a x = 0 a y = g v x = v 0x v y = gt + v 0y x = v 0x t + x 0 y = 1 2 gt2 + v 0y t + y 0 Dosazením počátečních podmínek do řešení pohybové rovnice zíkáme následující výsledky. Vrh svislý počáteční rychlostí (0, v) Je charakterizován podmínkami v 0x = 0, v y0 = v, x = y = 0. Po dosazení získáme výsledek: v x = 0, x = 0 x v y = v gt, y = 1 2 gt2 + vt Maximální výška vrhu se zjistí z podmínky nulové rychlosti dy dt t=tm = 0, což dává gt M + v = 0 t M = v g. 18

Vrh vodorovný počáteční rychlostí (v, 0) Je charakterizován podmínkami v 0x = v, v y0 = 0, x = 0, y = h, kde h je výška nad zemí. Po dosazení získáme výsledek: v y = gt, v x = v, x = vt y = h 1 2 gt2 Okamžik t M dopadu homtného bodu na zem získáme z podmínky nulové výšky, tedy y = 0. Po dosazení získáme t M = 2h/g. Místo dopadu hmotného bodu e [x M = x(t M ),0]. Vzálenost dopadu tedy získáme dosazením času t M do rovnice pro x a obdržíme x M = v 2h/g. Vrh šikmý počáteční rychlostí (v 0 cos α, v 0 sin α) Podobným postupem jako dříve dostaneme rovnice trajektorie x = v 0 cos αt, y = v 0 sin αt 1 2 gt2. v 0 v 0y h M v 0x x M x Nechť se hmotný bod dostane do nejvyššího bodu své trajektorie v čase t My. V nejvyšším bodě dráhy y(t My ) = h M je složka rychlosti ve směru osy y nulová a můžeme tedy psát podmínku v y = v 0 sin α gt My = 0, ze které získáme t My a jeho dosazením do rovnice pro složku y získáme maximální výšku svislého vrhu h M = y(t My ) = v2 0 2g sin2 α. Prozkoumejme nyní nejvzdálenější bod trajektorie dostřel. Označme místo, kam po svém letu hmotný bod dopadne x M a čas, kdy se tak stane t Mx. Souřadnice y je v tomto místě a v tomto okamžiku nulová a máme tedy podmínku y(t Mx ) = v 0 sin αt Mx 1 2 gt2 Mx = 0, z níž dostaneme čas dopadu Prostým dosazením získáme dostřel t Mx = 2v 0 g sin α. x M = x(t MX ) = 2 v2 0 g cos α sin α = v2 0 g sin(2α). 19

Těleso na nakloněné rovině Mějme těleso na rovině nakloněné pod úhlem α, které je taženo silou F (rovnoběžnou s rovinou) vzhůru. Během pohybu uvažujme součinitel vlečného tření µ = konst.. Na těleso pak působící následující síly: G = (G sin α, G cos α) gravitační síla F = ( F, 0) tažná síla N = (0, N) normálová síla, reakce roviny T = (T, 0) síla tření Souřadný systém zvolíme podle obrázku a těleso nahradíme hmotným bodem. V ose y není pohyb, proto a y = 0, takže dostáváme podmínku pro rovnováhu sil N G y = 0. Ve směru osy x získáme pohybovou rovnici F + T + G x = ma x.použijeme-li vztah pro sílu tření T = µn, dostaneme výsledné zrychlení [ ] F a x = g(sin α + µ cos α). m Dynamické účinky síly Síla vždy působí neoddělitelně v určitém časovém intervalu t = t 2 t 1 a na úseku trajektorie s mezi koncovými body vektorů r 1, r 2. Síla má dva typy účinku: t = t 2 - t 1 t 2 t 1 r 1 r2 1. Během čas. intervalu t se změní hybnost o p časový účinek síly 2. Na úseku dráhy s se koná mechanická práce A dráhový účinek síly Časový účinek síly impuls síly F dp p 1 p dp 1 t 2 r r dr 1 1 Podle 2. Newtonova zákona platí F = d p dt, což lze psát jako F dt = d p. 20

Integrací dostaneme t2 t 1 F dt = p2 p 1 d p = p 2 p 1. Není-li známa závislost F = F (t), nelze integrál vyjádřit. Jedná se o určitý integrál a jeho hodnota se dá často určit experimentálně. Proto se definuje impuls síly I = t2 t 1 F dt. Impuls síly I se rovná časovému účinku síly během časového intervalu (t 1, t 2 ). Věta o hybnosti: Impuls síly I, působící v určitém časovém intervalu (t 1, t 2 ) na hmotný bod, je roven vektorové změně hybnosti p tohoto hmotného bodu. Nárazová síla: Je-li časový interval t velmi krátký, potom je působící síla nárazová. V tomto případě nastávají velké změny rychlosti při relativně malé změně polohy v prostoru. Má-li nárazová síla po celou dobu nárazu stejný směr, můžeme ji nahradit tzv. střední silou F 0, která způsobí stejný impuls p 2 p 1 I t2 F (t) dt = F0 (t 2 t 1 ) = p. t 1 Jestliže známe změnu hybnosti p, můžeme určit střední sílu, a to i tehdy, když neznáme její časový průběh. Příklad 1: Automobil o hmotnosti 1000 kg změnil svoji rychlost z hodnoty v 1 = 30 m/s (108 km/hod.) na v 2 = 0: 1. brzděním během t = 300 s (5 minut), 2. nárazem na překážku během t = 0, 3 s. Řešení Brzdící síla má velikost F = m v2 v1 t = 3 104 t, což dává pro: 1. brzdění sílu F = 100 N (odpovídá tíze cca. 10 kg) 2. náraz sílu F = 100000 N (odpovídá tíze cca. 10 tun) Využití nárazových sil: tváření (kování), stavebnictví (buchary) 1. NZ: Z věty o hybnosti plyne 1. Newtonův zákon, protože při F = 0 je i p = 0, takže pro libovolné t je p = m v = konst. a proto také v = konst., což je 1. NZ. Příklad 2: Střela o hmotnosti m = 2 g opouští hlaveň rychlostí v = 300 m/s. Síla na střelu v hlavni má velikost F = 400 4 3 105 t, kde t je čas. Jak dlouho trvá pohyb střely v hlavni? Řešení Dobu, po níž se střela pohybuje v hlavni, označme t 1. Impuls síly má velikost I = t1 0 (400 4 3 105 t) dt = 400t 1 2 3 105 t 2 1. Tento impuls síly je roven změně hybnosti, tzn. p = m v = 6 10 1 kg.m.s 1. Dosazením do rovnice I = p dostaneme kvadratickou rovnici Tato rovnice má dvojný kořen t 1 = 3 10 3 s. 2 10 5 t 2 1 1200t 1 + 1, 8 = 0. 21

Moment síly Moment síly vzhledem k bodu Moment síly M vzhledem k určitému bodu je kvantitativní vektorová míra vzájemného působení těles, které má za následek otáčivý pohyb vzhledem k tomuto bodu. Jednotka momentu síly [M]=N.m=newton metr M r F y x Moment síly je definován vztahem M = r F, jeho směr je totožný se směrem okamžité osy rotace, vyjadřuje otáčivý účinek síly a je vázaný na bod. Geometrický pohled na velikost momentu síly a P a F d r M r F Velikost momentu síly je O M = M = rf sin α = F r } sin {{ α } = F d, d kde d je vzdálenost přímky, ve které působí síla F, od vztažného bodu O. Složky momentu síly: i j k M x = xf y yf x M = x y z F x F y F z, rozepsáno M y = zf x xf z M z = xf y yf x Vlastnosti momentu síly 1. Moment síly vzhledem k bodu se nezmění, jestliže se síla posune po své nositelce (vektorové přímce) 2. Momentová věta: Součet momentů sil působících v jednom bodě vzhledem k libovolnému bodu je roven momentu výsledné síly vzhledem k tomuto bodu. Důkaz věty 2: Výslednice F vys = F 1 + F 2 + + F n = n i=1 F i. Spočteme moment této výslednice M vys = r F vys = r ( F 1 + F 2 + + F n ) 22

a použijeme distributivní zákon platný pro vektorový součin M vys = r F 1 + r F 2 + + r F n a získáme výsledek Moment hybnosti M vys = M 1 + M 2 + + M n = n i=1 M i. Moment hybnosti b vzhledem k určitému bodu je kvantitativní vektorová míra rotačního pohybu vzhledem k tomuto bodu a je definován jako b = r p = r m v. z b b r p x r p y Jednotka momentu hybnosti [b]=[r].[mv]=kg.m 2.s 1 Analogie:: Časový účinek momentu hybnosti je tzv. rotační impulz L a platí analogie 1. věty impulzové Souvislost mezi vektory b a M L = t2 t 1 M dt = b2 b 1. Moment síly je definován vztahem M = r ( m d v dt ). Vypočítejme derivaci momentu hybnosti podle času d d r ( r m v) = dt dt d(m v) m v + r. dt První člen na pravé straně je nulový (je to vektorový součin kolineárních vektorů). Z toho plyne, že a pro moment síly můžeme psát d d(m v) ( r m v) = r dt dt M = d b dt, což je analogie 2. Newtonova zákona, resp. pohybová rovnice pro otáčivý pohyb hmotného bodu. Slovně lze psát: Časová změna momentu hybnosti hmotného bodu vzhledem k pevnému bodu je rovna momentu výsledné síly (vzhledem k tomuto bodu), která na tento hmotný bod působí. 23

Analogie mezi veličinami a vztahy pro postupný a otáčivý pohyb Postupný pohyb Otáčivý pohyb Síla F Moment síly M = r F Hybnost p = m v Moment hybnosti b = r p Pohybová rovnice F = p Pohybová rovnice M = b Impuls síly I t2 = t 1 F dt Rotační impuls L t2 = t 1 M dt 1. věta impulzová I = p L = b Dráhový účinek síly: mechanická práce Mechanická práce A je skalární kvantitativní míra předaného mechanického pohybu. Nekonečně malá mechanická práce je da = F d r. Velikost práce závisí na úhlu α, který svírá vektor síly s přírůstkem polohového vektoru, da = F d r cos α = F cos αds. Výraz F cos α je průmět síly F do směru d r, který označíme F r. Elementární práce je pak rovna součinu průmětu síly F r do směru tečny k trajektorii a elementu délky dráhy ds. da F. dr F dr Celková práce A vykonaná silou F mezi body r 1, r 2 je A = r2 F r r 1 F d r = s2 s 1 r trajektorie r dr F cos α ds Jednotka práce: [A]=1 joule (J)= 1 N.m V případě úhlu α = 90 je výsledná práce nulová. Mezi síly, které nikdy nekonají práci, patří dostředivá a odstředivá síla (její reakce) magnetická Lorentzova síla: magnetické pole o indukci B působí na náboj Q pohybující se rychlostí v silou F L = Q v B Vyjádření práce pomocí síly a trajektorie Mějme sílu F = (F x, F y, F z ) a polohový vektor r = (x(t), y(t), z(t)). Elementární práce je skalárním součinem vektorů F a d r. Podle definice skalárního součinu je A = kde jsme použili vyjádření typu dx = ẋdt. Příklad 1 t2 t 1 (F x ẋ + F y ẏ + F z ż) dt, Určete práci, kterou vykoná síla F = (0, 0, +mg), tedy síla působící na hmotný bod proti tíži, na délce jednoho závitu šroubovice o parametrických rovnicích x = 3 cos 2πt, y = 3 sin 2πt, z = 6πt. 0 Řešení Působením síly se po šroubovici pohybuje hmotný bod směrem nahoru. Za čas t = 1 s budou mít 24

jeho souřadnice x a y stejnou hodnotu jako na počátku. Tzn., že za tuto dobu urazí bod délku jed- závitu. Za stejnou dobu se ve směru osy z posune o vzdálenost h = 6p. Použijeme vztah A = noho t2 t 1 (F x ẋ + F y ẏ + F z ż) dt, do kterého dosadíme vektor síly F = (0, 0, mg) a vektor rychlosti v = (ẋ, ẏ, ż) = ( 6π sin 2πt, 6π cos 2πt, 6π). Dostaneme A = int t2 t 1 mgż dt. Pro meze t 1 a t 2, odpovídající posuvu o jeden závit platí t 1 = 0 s, t 2 = 1 s. Odpovídající souřadnice z jsou z 1 = z(t 1 ) = 0, z 2 = z(t 2 ) = h = 6π a výsledná práce je A = 1 0 mg6π dt = mg6π = mgh. Uvedený vztah se dá zobecnit nezávisí totiž na tvaru trajektorie, ale jen na rozdílu výšek z 2 z 1 = h. Tedy pro práci síly překonávající gravitační pole platí Příklad 2 A = mgh. Těleso B leží na vodorovné rovině bez tření. Při výchylce do polohy B o délku x na něj působí tzv. pružná síla (též elastická) velikosti F = kx, která je úměrná konstantě tuhosti k (jednotka [k]=1 N/m) a velikosti výchylky z rovnovážné polohy. V rovnovážné poloze x = 0 je tato síla nulová. Určete práci při protažení pružiny o délku L. Řešení Při protažení působíme silou F proti elastické síle F. Jelikož se jedná o jednorozměrný problém, vynecháváme označení vektoru a píšeme pouze F = kx. Práce síly F potom je A = x 0 F dx = k x 0 x dx = 1 2 kx2. A A = (1/2) k x 2 x F F = - kx Výkon síly P je definován jako podíl elementární práce da k časovému intervalu dt, během kterého byla tato práce vykonána, P = da dt. 25

Je-li síla F F konstantní, lze psát P = d r dt = F d r dt = F v, tedy je výkon konstantní síly roven součinu této síly a rychlosti pohybu hmotného bodu. Jednotka výkonu [P] = 1 W (watt), 1 W = 1 J.s 1 =1 N.m.s 1 Dále se definují pojmy: Příkon P p = dap dt práce za čas příjímaná objektem Výkon P v = dav dt práce za čas vykonaná objektem Účinnost η = Pv P p < 1. Energie Energie je jedna z nejdůležitějších a obecně nejznámějších fyzikálních veličin. Slyšíme o ní denně zejména v souvislosti s její výrobou a spotřebou. Při výrobě energie nejde však o její výrobu, ale o přeměnu z jedné formy energie na jinou, z hlediska využití výhodnější. Kinetická energie charakterizuje pohybový stav hmotného bodu v dané vztažné soustavě. Souvisí s prací, kterou konají síly působící na částici, když se mění velikost její rychlosti. Chceme-li měnit rychlost bodu, musíme konat práci. Jestliže na částici o hmotnosti m, která s vněkterém okamžiku pohybuje rychlostí v 1, působí v časovém intervalu (t 1, t 2 ) síly a tyto síly vykonají práci A 12, pak částice má v čase t 2 rychlost v 2 a platí A 12 = 1 2 mv2 2 1 2 mv2 1. Velikost rychlosti v 2 nezávisí na délce trvání děje, na tvaru trajektorie ani na časovém průběhu působících sil, nýbrž jen na práci vykonané působícími silami. Veličina E k = 1 2 mv2 je kinetická energie. Lze psát A 12 = E k2 E k1. Jednotka energie [E] = 1 J (joule) Ve strojní praxi se k akumulaci energie užívají setrvačníky. Síly, kterými působí např. v motoru na ostatní části, konají střídavě kladnou a zápornou práci, takže setrvačník motoru střídavě dodává a odebírá energii a vyhlazuje jeho chod. Kinetickou energii setrvačníků lze užít např. i k pohonu lodí (jako u setrvačníkových dětských autíček). Mohutný, rychle rotující setrvačník má velkou energii. Roztrhne-li se vlivem setrvačných odstředivých sil a skryté vady, má účinek jako slušná nálož dynamitu. Veličina E k zahrnuje i energii neuspořádaného (tepelného) pohybu molekul v tělesech. Tato část energie se začleňuje do vnitřní energie látky a kinetickou energií soustavy se rozumí pouze pohybová energie uspořádaného pohybu molekul, tj. pohybu tělesa nebo jeho části jako celku. V mechanice máme většinou děje, při nichž se vnitřní energie soustavy nemění. Potenciální (polohová) energie Zvedneme-li v tíhovém poli těleso, vykonáme kladnou práci, aniž těleso získá kinetickou energii. Při zvednutí získalo energii, která závisí na jeho poloze vzhledem k Zemi polohovou energii. Uvažujme částici o hmotnosti m, která se pohybuje z bodu A 1 do bodu A 2 po křivce k v tíhovém poli Země. Na částici trvale působí tíhová síla G = mg a další síly, např. odpor vzduchu a síly těles, se kterými přijde pri pohybu do styku. Práce A, kterou síla vykoná, je A = mg(h 1 h 2 ). Ze vztahu plyne, že práce A tíhové síly působící na částici závisí jen na rozdílu výšek prvního a posledního bodu trajektorie nad vztažnou rovinou. Nezávisí na tvaru trajektorie ani na rychlosti pohybu, ani na jiných silách, které na částici působily. Znaménko práce závisí na znaménku rozdílu h 1 h 2. Je-li trajektorie uzavřená křivka, pak je práce nulová A = 0. Předchozí vztah ukazuje, žepráce je rovna rozdílu hodnot veličiny mgh v počáteční a koncové poloze hmotného bodu. Tuto veličinu nazýváme potenciální energie hmotného bodu v tíhovém poli Země a značíme E p. Tíhová energie soustavy hmotných bodů je součtem tíhových energií všech elementů a lze ji jednoduše vyjádřit pomocí souřadnic jejího těžiště. Nevztahujeme-li úvahy vzhledem k Zemi, ale obecně ke gravitačnímu poli buzenému tělesy libovolné hmotné soustavy (Slunce, Země, Měsíc), pak práce, kterou tyto síly vykonají během libovolného pohybu těles závisí jen na vzájemných polohách těles na začátku a konci děje. Nezávisí na způsobu, jakým se tělesa z počáteční do koncové polohy dostala. Silová pole (nejen gravitační, ale i elektrostatická), která mají tuto vlastnost,se nazývají konzervativní nebo potenciálová. 26

Potenciální energie soustavy, jejíž členy na sebe působí konzervativními silami, je definována takto: Vybereme ze všech možných stavů soustavy, charakterizovaných vzájemnými polohami těles, jeden a označíme jej P 0. Potenciální energii soustavy v tomto stavu označíme E p0 a položíme ji rovnu nule. Potenciální energii soustavy v libovolném jiném stavu P označíme E p a definujeme ji vztahem E p E p0 = A, tj. E p = A, kde A je práce, kterou vykonají uvažované konzervativní síly při přechodu soustavy ze stavu P do stavu P 0. Zákon zachování celkové mechanické energie Příklad Těleso je v klidu ve výšce h nad povrchem Země. Jeho potenciální energie v tomto bodě je E p = mgh, jeho kinetická energie W k = 0. V čase t = 0 je těleso uvolněno a padá k Zemi volným pádem. V čase t = t M dopadne na Zem rychlostí v M. Jeho potenciální energie na povrchu Země je E p = 0. Jaká je v tom okamžiku jeho kinetická energie E k? Řešení Pohyb tělesa je rovnoměrně zrychlený v ose z se zrychlením g (volný pád z výšky h) a je popsán vztahem z(t) = h 1 2 gt2. Z něho dostaneme pro dopad (z = 0) čas t M = v M = gt M = 2gh. Kinetická energie v okamžiku nárazu na Zem je E k = 1 2 mv2 M = mgh 2h g. Rychlost v tomto čase je a je tedy číselně rovná potenciální energii E p (t = 0). Z toho je vidět, že úbytek potenciální energie je roven přírůstku kinetické energie, E p = E k. Přechod k diferenciálům získáváme de p = de k, což lze přepsat do tvaru d(e p + E k ) = 0. Jelikož diferenciál součtu E p + E k se rovná nule, musí být součet E p + E k konstantní, E p + E k = konst. Součet kinetické a potenciální energie tělesa v zemském tíhovém poli je konstantní. To je zákon zachování celkové mechanické energie. Dokážeme, že platí nejen pro volný pád tělesa v zemském tíhovém poli, nýbrž zcela obecně pro jakoukoliv konzervativní sílu. Důkaz: Výkon síly F během intervalu dt je Platí totiž P = da dt = de k dt. da = F d r = mvdv = d( 1 2 mv2 ) = de k Pro konzervativní síly platí vztah da = de p, ze kterého plyne Srovnáním dvou rovnic pro výkon P dostáváme de k dt = de k dt P = de p dt. d dt (E k + E p ) = 0 a po integraci získáme zákon zachování celkové mechanické energie E k + E p = konst. Platí jen pro konzervativní síly Součet kinetické a potenciální energie hmotného bodu je v každém okamžiku konstantní. 27

Konzervativní: Zachování = konzervace Konzervativní síly = takové, pro něž je splněn zákon zachování celkové mechanické energie V uvedeném zápisu je zákon zachování celkové mechanické energie jenom zvláštním případem obecnějšího zákona zachování, který se vztahuje na všechny druhy energie. Zákon zachování celkové energie platí v nezměněném tvaru také v kvantové mechanice pro mikročástice: elektrony, fotony, atd. Aplikace: Užití vztahu mezi mechanickou energií a prací, případně zákona zachování celkové mechanické energie je nástroj k řešení problémů klasické mechaniky. Příklad Střela o hmotnosti m = 0, 002 kg opouští ústí hlavně rychlostí v 2 = 3000 m/s. Velikost výsledné síly na střelu v hlavni je dána vztahem F = 400 8 10 3 x/9, měřeno od bodu začátku pohybu střely. Určete délku hlavně. Řešení Hlaveň je vodorovná, při pohybu střely nedochází ke změně potenciální energie, DeltaW p = O. Přírůstek kinetické energie střely je tedy rovna práci síly F, Podle definice mechanické práce je A = s 0 F dx = A = W k = 1 2 mv2 2 = 90 N. s 0 (400 8 10 3 x/9) dx = 400s 4000s 2 /9. Spojením předešlých rovnic získáme kvadratickou rovnicí, jejíž dvojnásobným kořenem je s = 0, 45 m, což je hledaná délka hlavně. Práce v poli konzervativních sil: Jelikož změna mechanické energie nezávisí na tvaru dráhy (úseku trajektorie), na které k této změně došlo, nezávisí ani práce v poli konzervativních sil na tvaru dráhy. Počítejme práci konzervativní síly F k po libovolné dráze z bodu 1 do bodu 2. A 12 = 2 1 F k d r = W p2 W p1. Nyní vypočítejme práci této síly po libovolné jiné dráze z bodu 2 do bodu 1: A 12 = 1 2 F k d r = W p1 W p2. Sečtěme tyto dvě rovnice: dostaneme celkovou práci na dráze z bodu 2 přes bod 1 zpět do bodu 2, tedy práci po uzavřené křivce k. Dostaneme A 12 + A 21 = F k d r = 0. Práce konzervativní síly po uzavřené dráze je nulová. k 1 A 12 2 A 21 28

Soustava hmotných bodů a tuhé těleso Úvod Dosud umíme řešit jen omezený sortiment problémů, v nichž tvar a vnitřní struktura těles nemají vliv na jejich pohyb. To souvisí s pojmem hmotného bodu, který nepodstatné vlastnosti tělesa zanedbává a jedinou fyzikální veličinou, charakterizující těleso, je jeho hmotnost m. Existuje mnoho mechanických problémů, které lze řešit, když hmotné těleso nahradíme hmotným bodem. Příklady Pohyby vozidel po křivočarých drahách, pohyby střel, pohyb planet ve sluneční soustavě a mnohé další. Touto aproximací však nelze řešit všechny problémy dynamiky těles, protože: 1. dvě síly mohou působit na těleso v obecně různých bodech a tak vést k otáčivému pohybu okolo jeho vlastní osy, 2. působení jedné síly může vést rovněž ke vzniku otáčivého pohybu (eventuelně i posuvného), 3. statické i dynamické vlastnosti prvků stavebních konstrukcí jsou závislé na jejich momentu setrvačnosti vzhledem k určité ose, 4. v točivých strojích jsou rotující součásti (hřídele, setrvačníky), jejichž setrvačné vlastnosti nelze zanedbat a v některých případech (setrvačníky) jsou přímo funkčně využívány. Modely reálného tělesa Reálné těleso můžeme modelovat různými způsoby: Hmotný bod způsob užitý v předcházejicí části, zcela se ignoruje vnitřní struktura tělesa; nejvyšší stupeň idealizace Soustava hmotných bodů umožňuje zachytit část struktury tělesa diskrétním způsobem a může docházet ke změně vzdáleností mezi jednotlivými body Tuhá soustava hmotných bodů jako předchozí, jen vzdálenosti jsou pevné Těleso modeluje reálné těleso jako spojité prostředí (kontinuum) s hustotou ρ, zavádíme element tělesa s objemem dv a hmotností dm, celé těleso pak má hmotnost m = m dm = V ρ dv ; těleso může podléhat změně rozměrů (deformacím) Tuhé těleso stějně jako v předešlém bodě jde o spojité prostředí, které ale není deformovatelné V tomto kurzu se nebudeme věnovat situacím, kdy dochází k deformacím, které nelze zanedbat. dm Příklad Síla F působí na válec na jeho obvodu momentem síly, M = R F, který způsobí rotaci tělesa jako celku okolo pevné osy OO. Jestliže osa není pevná, pak těleso rotuje kolem osy OO a současně se pohybuje jako celek. Druh pohybu závisí na síle F a na počátečních podmínkách. 29

Soustava hmotných bodů Soustava hmotných bodů je definována jako množina n hmotných bodů chápaná jako jeden celek. Výběr hmotných bodů, které budou zahrnuty do soustavy je libovolný, závisí na zvoleném postupu řešení. Počet stupňů volnosti soustavy Hmotný bod počet stupňů volnosti i hmotného bodu je roven počtu nezávislých souřadnic právě nutných k jednoznačnému určení polohy hmotného bodu v prostoru. Volný hmotný bod v prostoru má tři stupně volnosti, i 0 = 3. Je totiž třeba určit právě tři čísla, tj. souřadnice x, y a z ve zvoleném vztažném systému. Jestliže je hmotný bod vázán na plochu o rovnici f(x, y, z) = 0, stačí udat pouze dvě souřadnice polohy, třetí souřadnice se vypočítá ze známé rovnice plochy. V takovém případě má hmotný bod 2 stupně volnosti, i 0 = 2. Při pohybu vázaném na křivku o rovnicích z = f(x, y), z = g(x, y) má hmotný bod jeden stupeň volnosti, i 0 = 1. Plocha, čára, atd., na kterou je vázán pohyb hmotného bodu, se nazývá vazba a její rovnice je vazební podmínka. Výsledný počet stupňů volnosti je i = i 0 k, kde i 0 je počet stupňu volnosti bez vazeb a k je počet vazebních podmínek. Příklad Mějme hmotný bod zavěšený na niti o délce L (matematické kyvadlo). Pro délku L platí L = x2 + y 2, což je jediná podmínka (k = 1). Ze dvou souřadnic x, y stačí udat jen jednu, např. x druhá souřadnice y se vypočítá z rovnice pro L (souřadnice z je stále nulová, pohyb je rovinný). x L y Soustava n hmotných bodů v trojrozměrném prostoru má i = 3n k stupňů volnosti, kde k je počet vazebních podmínek (i mezi body navzájem). Celková hmotnost a celková hybnost soustavy hmotných bodů V určitém čase t = t 0 má k-tý bod hmotnost m k, rychlost v k a hybnost p k = m k v k. Celková hmotnost soustavy hmotných bodů m je skalární kvantitativní míra tíhových a setrvačných vlastností soustavy hmotných bodů a je rovna součtu hmotností jednotlivých bodů n m = m 1 + m 2 + + m n = m k. v j m n m j v n mk v k 30