ento text dolňuje návod k úloze Měření oentu etvčnoti uvedený ve kitech Úvod do fyzikálních ěření. V žádné řídě i neklde z cíl být koletní návode o zěření úlohy. Cíle bylo dolnit teoetické infoce o obletice otáčení tuhého těle, zején odobněji ozebt veličinu oent etvčnoti, dále odvodit někteé vzthy oužívné ři ěření výše zíněné úlohy. Auto
Kted fyziky Obh: eoie... 3 Moent etvčnoti... 3 Steineov vět... 5 Exeientální tnovení oentu etvčnoti... 7 Stnovení oentu etvčnoti etodou lých kyvů... 7 A Pokud znáe olohu hotného tředu těle... 7 B Pokud neznáe olohu hotného tředu těle... 8 Příloh... 0 S.P. - -
Kted fyziky Měření oentu etvčnoti tuhého těle Moent etvčnoti eoie Při otční (otáčivé ohybu tuhého těle kole nehybné oy oiují body těle kužnice, jejichž tředy leží n oe otce. Všechny body těle e z dný č otočí o tejný úhel. Úhlová ychlot je tedy o všechny body tejná. Obvodové ychloti jednotlivých bodů jou řío úěné oloěů kužnic, o nichž e body ohybují. Situci zchycuje obázek. o v v Obázek : Odvození kinetické eneie tuhého těle otujícího kole nehybné oy Kinetickou eneii E k otujícího těle vyočtee jko oučet kinetických eneií jednotlivých bodů: n E k v v... n vn i vi ( i Po velikot ychloti kždého bodu těle ltí vzth: v i i ( S oužití vzthu ( ůžee vzth ( řet do odoby: n n E k i i (3 i i i i Ze vzthu (3 vylývá, že kinetická eneie tuhého těle otujícího kole nehybné oy závií n úhlové ychloti otáčení, n hotnotech jednotlivých bodů tvořících těleo n jejich vzdálenotech od oy otáčení. Kinetická eneie těle ři otci tedy závií n ozložení hotnoti v tuhé tělee. Fyzikální veličin, kteá chkteizuje ozložení látky vzhlede k oe otce, e nzývá oent etvčnoti vzhlede k oe otce znčí e. Moent etvčnoti á jednotku k. 0 S.P. - 3 -
Kted fyziky Po konečný očet bodů tvořících tuhé těleo je oent etvčnoti definován vzthe: n i ( i i Potože většin těle je tvořen nekonečný očte bodů, uíe ve vzthu ( nhdit konečný oučet inteále ře hotnot celého těle. Moent etvčnoti k definuje náledující vzth: d, (b ( kde d je hotnot eleentu těle kolá vzdálenot tohoto eleentu od oy otce. Pokud je teiál, z něhož je tuhé těleo vyobeno, hooenní, k je ožno oužití hutoty řejít ve vzthu (b od eleentu hotnoti k eleentu objeu. d dv (5 ( (V Po těle videlných tvů lze řío z definice (b odvodit oenty etvčnoti. yto oenty lze njít nř. ve fyzikálních tbulkách, vzoce o běžná těle obhuje tbulk. Obuč nebo tenec o oloěu R otáčející e kole eoetické oy R Válec nebo dik o oloěu R otáčející e kole eoetické oy R Koule o oloěu R otáčející e kole oy ocházející její třede 5 R Kužel o oloěu odtvy R výšce v otáčející e kole eoetické oy 3 0 R Pvoúhlý hnol hotnoti hni, b, c vzhlede k oe jdoucí třede ovnoběžně hnou (b c enká tyč délky l otáčející e kole oy vedené třede tyče kolo k její délce l enká tyč délky l otáčející e kole oy vedené jední konce tyče kolo k její délce bulk : Moenty etvčnoti vybných těle 3 l 0 S.P. - -
Kted fyziky Steineov vět Ne vždy uí těleo otovt kole oy, kteá ochází jeho hotný třede. e-li zná oent etvčnoti těle 0 vzhlede k někteé oe o 0 jdoucí hotný třede těle, k lze učit oent etvčnoti těle vzhlede k libovolné oe o ovnoběžné oou o 0. K touto účelu louží tzv. Steineov vět:, (6 0 kde je hotnot těle vzájená vzdálenot o o o 0. o 0 o 0 0 Obázek : Alikce Steineovy věty (hotný třed válce leží n otční oe válce Pozn.: Ze Steineovy věty vylývá, že oent etvčnoti těle vzhlede k oe, kteá neochází jeho hotný třede, je vždy větší než oent etvčnoti 0 vzhlede k oe otce, kteá ochází hotný třede těle. (Hotnot je vždy kldné čílo duhá ocnin vzdálenoti tké, oto e člen. vždy řičítá. Příkld užití Steineovy věty: Hooenní válec o hotnoti = k oloěu = 0, e otáčí kole oy ovnoběžné oou otční yetie válce. Vzájená vzdálenot oy válce oy otce činí = 0,. Stnovte oent etvčnoti válce vzhlede k oe otce. Řešení: Situci zchycuje obázek. Po hooenní válec leží hotný třed n oe yetie jeho otční yetie, tj. oe o 0. Vzoec o výočet oentu etvčnoti 0 vhlede k oe o 0 je znáý lze jej njít nříkld v tbulce tohoto textu. Oy o 0 o jou ovnoběžné, oto oužijee Steineovu větu. Steineov vět: 0 Po oent etvčnoti 0 nleznee v tbulce vzoec: 0 S.P. - 5 -
Kted fyziky Po dození do Steineovy věty zíkáe hledný výledek: Vzth lze teticky uvit do odoby: Po zdné hodnoty: 0, 0, 0,0 0,0 0,005 0,0 0,05 0,05 k 0,05 k Pozn. Moent etvčnoti zdného válce otujícího odle oy o 0 činí: 0 0 0,0 0, 0,005 k 0,005 k 0 S.P. - 6 -
Kted fyziky Exeientální tnovení oentu etvčnoti Stnovení oentu etvčnoti etodou lých kyvů Po tnovení oentu etvčnoti těle lze oužít etodu kyvů, kdy těleo zvěíe nd jeho hotný třede ozkývee. (Zvěšení nd hotný třede těle je nutné, by těleo kývlo. Pokud bycho těleo zvěili v ítě jeho hotného tředu, k e kývt nebude. outo etodou nelze řío zěřit oent etvčnoti 0 vzhlede k oe ocházející hotný třede těle. Po kývání těle v tíhové oli kole vodoovné oy lze o lé výchylky (tj. < 5 z ohybové ovnice odvodit vzth o dobu kitu:, (7 kde je tíhové zychlení, hotnot těle, vzdálenot hotného tředu těle od oy otáčení. A Pokud znáe olohu hotného tředu těle Ze znáé hotnoti, vzdálenoti (okud znáe olohu hotného tředu těle ze zěřené eiody kitů ůžee učit oent etvčnoti z uveného vzthu (7: (8 Po tnovení oentu etvčnoti těle vzhlede k oe ocházející hotný třede těle oužijee Steineovu větu (6 uvenou do odoby: (9 0 Stnovení chyby ěření Stnovení oentu etvčnoti výše uvedený zůobe je klický říkld neříého ěření. Ze zěřených veličin eiody kitů, znáé hotnoti, zěřené vzdálenoti, tbulkové hodnoty tíhového zychlení několik kontnt učíe hledný oent etvčnoti výočte odle vzthu (8. Po chybu vyočteného oentu etvčnoti těle videlného tvu užijee vzth: ( ( ( ( ( ( (0 Loickou úvhou lze někteé závoky ve výzu (0 znedbt vzth tí zjednodušit. Kontnty tíhové zychlení tzv. Ludolfovo čílo jou uvedeny v tbulkách nohe řeněji, než e ná odřilo tnovit ottní veličiny. Chyb učení tíhového zychlení ( chyb učení Ludolfov číl ( jou znedbtelně lé v oovnání ottníi chybi ěřených veličin. (Nř. zobzují běžné klkulčky nejéně n 8 deetinných ít. 0 S.P. - 7 -
Kted fyziky Vzth (0 e zjednoduší do odoby: ( ( ( ( ( ednotlivé ciální deivce e ovnjí:,, B Pokud neznáe olohu hotného tředu těle Pokud olohu hotného tředu těle neznáe, otuujee tkto. Nejdříve tnovíe eiodu kývání těle, o kteou ltí již dříve uvedený vzth (7, (7 kde je tíhové zychlení, vzdálenot hotného tředu těle od oy otáčení. Potože neznáe olohu hotného tředu těle, otřebujee ovnici (7 dolnit o dlší vhodný vzth, bycho ěli outvu dvou ovnic o dvě neznáé. Přidáe k těleu řívžek o znáé hotnoti jednoduché tvu (nejčtěji válec, u něhož je choni učit olohu hotného tředu uíe očítt jeho oent etvčnoti. í dotáváe dlší otřebnou ovnici. Po kývjící těleo řívžke ltí:, ( kde je tíhové zychlení, hotnot outvy těleo lu řívžek, vzdálenot hotného tředu outvy od oy otáčení oent etvčnoti outvy. Po oent etvčnoti outvy těleo lu řívžek ltí jednoduchý vzth (3 (3 kde je oent etvčnoti vzhlede k oe otáčení o. Přívžek volíe jednoduchého tvu nř. jko válec. O otáčení řívžku není totožná oou yetie válce, oto oent etvčnoti řívžku vůči oe otáčení o zíkáe oužití Steineovy věty (6 vzth (3 řejde ve vzth:, (3b 0 kde 0 je oent etvčnoti řívžku vůči oe ocházející jeho hotný třede, hotnot řívžku vzdálenot hotného tředu řívžku od oy otáčení o. Moent etvčnoti 0 o jednoduchý tv řívžku vzdálenot dokážee učit. V ovnici ( chybějící vzdálenot hotného tředu outvy od oy otáčení o vyjádříe oocí vzthu:, ( 0 S.P. - 8 -
Kted fyziky kde je hotnot zkouného těle, hotnot řívžku, vzdálenot hotného tředu zkouného těle od oy otáčení o vzdálenot hotného tředu outvy od oy otáčení o. Vyvětlení ke vzthů ( ž ( obhuje obázek 3. o S S S tředu Obázek 3: Stnovení oentu etvčnoti těle neznáou olohou hotného Ze outvy ovnic (7 ( ž ( lze odvodit vzth o tnovení oentu etvčnoti těle, u kteého neznáe řenou olohu hotného tředu. Při odvození ůžee otuovt nříkld tkto: Z ovnice ( vyjádříe oent etvčnoti outvy (5 Vyjádřený oent etvčnoti dodíe do ovnice (3b. Dále ředokládeje válcový tv řívžku zvole z tbulky vhodný oent etvčnoti o řívžek. Z olohu hotného tředu outvy v ovnici (6 dodíe z ovnice ( zíkáe náledující vzth (Pozn.: hotnot outvy lze n levé tně ovnice (7 vykátit Polohu hotného tředu těle bez řívžku ůžee vyjádřit ze vzthu (7: (8 (6 (7 0 S.P. - 9 -
Kted fyziky 0 S.P. - 0 - Vyjádřenou olohu hotného tředu těle bez řívžku (8 dodíe do ovnice (7, číž dotnee ovnici: (9 V ovnici (9 koě hledného oentu etvčnoti znáe všechny ottní veličiny. ednoduchýi lebickýi úvi doějee k výlednéu výzu oužitelnéu o tnovení hledného oentu etvčnoti: (0 Ze zěřené eiody kyvů těle nevidelného tvu bez řívžku eiody kyvů těle nevidelného tvu řívžke válcového tvu S oužití vzthu (0 tnovíe hledný oent etvčnoti. Stnovení chyby ěření Stnovení oentu etvčnoti těle nevidelného tvu výše uvedený zůobe je oět říkld neříého ěření. Ze zěřených veličin eiody kitů těle bez řívžku, eiody kitů těle řívžke, znáé hotnoti řívžku, zěřené vzdálenoti hotného tředu řívžku od oy otáčení, tbulkové hodnoty tíhového zychlení oloěu řívžku učíe hledný oent etvčnoti výočte odle vzthu (0. Po chybu vyočteného oentu etvčnoti těle nevidelného tvu užijee vzth: ( ( ( ( ( ( ( ( ( Loickou úvhou lze někteé závoky ve výzu ( znedbt. Kontnty tíhové zychlení tzv. Ludolfovo čílo jou uvedeny v tbulkách nohe řeněji, než e ná odřilo tnovit ottní veličiny. Chyb učení tíhového zychlení ( chyb učení Ludolfov číl ( jou znedbtelně lé v oovnání ottníi chybi ěřených veličin. Vzth ( e ná zjednoduší do odoby: ( ( ( ( ( ( ( ednotlivé ciální deivce e ovnjí:,,, (
Kted fyziky Příloh O otce Hotný třed Obázek : Reálná etv exeientu o tnovení oentu etvčnoti těle e znáou olohou hotného tředu (hotný třed outvy leží ve tředu deky. 0 S.P. - -
Kted fyziky S S Obázek 5: Reálná etv exeientu o tnovení oentu etvčnoti těle neznáou olohou hotného tředu (neznáá oloh hotného tředu outvy S je vyznčen čeveně. 0, evize 03, M. Stnilv Pnoš, Ph.D. 0 S.P. - -