Obsah přednášky : Dynamika mechanismů. dynamika mechanismů - metoda uvolňování, dynamika mechanismů - metoda redukce

Transkript

1 Obsh přednášky : Dynik echnisů dynik echnisů - etod uvolňování, dynik echnisů - etod edukce

2 Dynik echnisů Dynik echnisů pojednává o vzthu ezi sili, působícíi n soustvu těles - echnisus, pohybe echnisu, těito sili způsobené. Seznáíe se se dvě zákldníi etodi řešení dyniky echnisů. etod uvolňování etod edukce Obě etody předstvíe n příkldech.

3 etod uvolňování I etod uvolňování spočívá v kobinci již znáých postupů ze sttiky, kinetiky, dyniky tetiky. f G G =? Dvě těles o hotnostech jsou spojen tuhý, ohebný lne, převedený přes kldku o oentu setvčnosti I. N obě těles působí tíhové síly G G. Těleso leží n nkloněné ovině, skloněné pod úhle, s koeficiente tření f, těleso volně visí. Učete s jký zychlení se budou obě těles pohybovt.

4 etod uvolňování S S S I e Pvní koke je příspěvek ze sttiky - uvolnění soustvy těles. (Připoeňe n toto ístě že uvolňování je jeden z nejdůležitějších postupů v echnice.) Uvolnit těleso znená poyslně odstnit vzby nhdit je příslušnýi vzbovýi účinky (sili oenty), kteé vzb přenáší. T G N S V toto přípdě uvolníe lno ezi tělese kldkou - přenáší sílu S, lno ezi kldkou tělese - přenáší sílu S. G

5 etod uvolňování S S I S S e Duhý koke je příspěvek z dyniky - sestvení pohybových ovnic jednotlivých těles - členů echnisu. V pohybových ovnicích jsou koě vnějších sil i vnitřní - vzbové síly (nebo oenty). Těleso : S G sin Z ovnice ovnováhy po sě kolo ke sěu pohybu vyplývá : N G cos T T G N A třecí síl tedy je : T G cos f G Pohybová ovnice těles : S G sin f cos

6 etod uvolňování S S I S e Duhý koke je příspěvek z dyniky - sestvení pohybových ovnic jednotlivých těles - členů echnisu. V pohybových ovnicích jsou koě vnějších sil i vnitřní - vzbové síly (nebo oenty). Těleso : S G sin f cos S Kldk : Ie S S T G N Poznák : V pohybové ovnici by ohl figuovt ještě oent čepového tření. V toto příkldu je čepové tření znedbáno. G

7 etod uvolňování S S I S e Duhý koke je příspěvek z dyniky - sestvení pohybových ovnic jednotlivých těles - členů echnisu. V pohybových ovnicích jsou koě vnějších sil i vnitřní - vzbové síly (nebo oenty). Těleso : S G sin f cos S Kldk : Ie S S T G N Těleso : G S G

8 etod uvolňování S S I S e Duhý koke je příspěvek z dyniky - sestvení pohybových ovnic jednotlivých těles - členů echnisu. V pohybových ovnicích jsou koě vnějších sil i vnitřní - vzbové síly (nebo oenty). Těleso : S G sin f cos S Kldk : Ie S S T G N Těleso : G S G V soustvě tří pohybových ovnic se zdjí být čtyři neznáé : - zychlení těles, e - úhlové zychlení kldky, S - síl v lně ezi tělese kldkou, S - síl v lně ezi kldkou tělese. Ndchází všk třetí kok.

9 etod uvolňování T G S S N I S S G e Třetí koke je příspěvek z kinetiky - vzthy ezi zychlení nebo úhlový zychlení jednotlivých těles. Tento kok ůže být veli jednoduchý, ůže všk předstvovt (zején u echnisů s poěnný převode) nejsložitější část řešení. V nší úloze je příspěvek z kinetiky veli jednoduchý. Je to vzth : e V upvené soustvě tří pohybových ovnic : S G sin f cos I S S G S jsou pk pávě tři neznáé : - zychlení těles, S - síl v lně ezi tělese kldkou, S - síl v lně ezi kldkou tělese.

10 etod uvolňování S I e 4 Konečně čtvtý koke je příspěvek z tetiky - řešení soustvy ovnic. Stnddní postupe pk je vyloučení vzbových sil. Tí získáe tzv. vlstní pohybovou ovnici. T G S N S S G Npř. : Z pvní třetí pohybové ovnice vyjádříe síly v lnech S S dosdíe do duhé pohybové ovnice. S G sin f cos I S S S G G S G S sin f cos Vlstní pohybová ovnice pk á tv : I G G sin f cos

11 etod uvolňování Postup sestvení vlstní pohybové ovnice echnisu ůžee ozdělit do čtyř koků : ) Sttik. Uvolnění jednotlivých těles - členů echnisu, zvedení vzbových silových účinků (sil /nebo oentů). ) Dynik. Sestvení pohybových ovnic jednotlivých těles. (V pohybových ovnicích figuují vzbové síly.) ) Kinetik. Vyjádření zychlení (esp. úhlového zychlení) jednotlivých těles jko násobku zychlení jednoho zvoleného členu echnisu. 4) tetik. Vyloučení vzbových sil z pohybových ovnic. Výsledke je vlstní pohybová ovnice echnisu. Poznák k počtu stupňů volnosti echnisu : Popsný postup se týká echnisu s jední stupně volnosti. Pohyb echnisu s n stupni volnosti je popsán n nezávislýi vlstníi pohybovýi ovnicei. echnisus s n stupni volnosti je též poháněn n nezávislýi hncíi členy s n nezávislýi kinetickýi pety (ychlostí zychlení). Zychlení (esp. úhlové zychlení) kždého jednotlivého těles (viz bod ) je pk vyjádřeno z n nezávislých zychlení n nezávislých hncích členů.

12 etod uvolňování Postup sestvení vlstní pohybové ovnice echnisu ůžee ozdělit do čtyř koků : ) Sttik. Uvolnění jednotlivých těles - členů echnisu, zvedení vzbových silových účinků (sil /nebo oentů). ) Dynik. Sestvení pohybových ovnic jednotlivých těles. (V pohybových ovnicích figuují vzbové síly.) ) Kinetik. Vyjádření zychlení (esp. úhlového zychlení) jednotlivých těles jko násobku zychlení jednoho zvoleného členu echnisu. 4) tetik. Vyloučení vzbových sil z pohybových ovnic. Výsledke je vlstní pohybová ovnice echnisu. Poznák k chkteu převodu echnisu : U echnisu s konstntní převode lze zychlení (esp. úhlové zychlení) kteéhokoliv členu echnisu vyjádřit jko postý násobek zychlení (esp. úhlového zychlení) hncího členu (viz bod ). hnný = p hncí U echnisu s poěnný převode lze zychlení (esp. úhlové zychlení) kteéhokoliv členu echnisu vyjádřit jko součet násobku zychlení násobku kvdátu ychlosti hncího členu. hnný = p hncí + q v hncí

13 e sin y = +e sin etod uvolňování Postup deonstujee ještě jednou n příkldu včkového echnisu. Hncí člene je včk o poloěu, uložená s excenticitou e (vzdálenost středu včky od středu otce),,e e F v, otující s úhlovou ychlostí s úhlový zychlení e. Hnný člene je zvedátko, konjící posuvný, příočý, vtný pohyb ychlostí v se zychlení. Zčít ůžee kinetický ozboe. Včkový echnisus je echnise s jední stupně volnosti, jeho poloh je dán jednou nezávislou souřdnicí (tzv. souřdnice echnisu). Z souřdnici echnisu si zvolíe úhel, učující polohu včky. Nopk souřdnice zvedátk y je souřdnicí závislou. Zdvihová závislost je : y esin Deivcí zdvihové závislosti získáe řešení ychlosti : v y ecos ecos Dlší deivcí pk získáe řešení zychlení : v e cos esin e eecos esin

14 etod uvolňování Dlší koke je uvolnění obou těles. ezi včkou zvedátke je obecná vzb. T přenáší (znedbáe-li tření) pouze sílu R, kolou ke společné dotykové ovině obou povchů. F e cos F v, R,e e e R

15 etod uvolňování Sestvíe pohybové ovnice obou těles. Včk koná otční pohyb, zvedátko posuvný pohyb. F e cos F v, R,e e e R Ie R ecos R F

16 etod uvolňování Z obou pohybových ovnic vyloučíe vzbovou sílu R. R F R F F Ie R ecos Ie F Ie ecos Fecos ecos Konečně vezee v úvhu dříve odvozený vzth : eecos esin,e e v, Pohybová ovnice nbude konečné podoby : I e cos e e sin cos Fecos Dlší řešení se již znčně liší podle toho jkého duhu je řešená úloh. Připoeňe : Úloh. duhu - kinetosttická. Pohyb je definován, řeší se neznáé silové účinky. Úloh. duhu - dynická. Síly jsou dány, řeší se pohyb.

17 etod uvolňování F Pohybová ovnice : I e cos e e sin cos Fecos Úloh. duhu - kinetosttická. Dáno :,, e, F. Vypočtěte :. Z pohybové ovnice sndno odvodíe : Fecos I e cos e e sin cos,e e v, Jedná se o lgebický výz, jenž lze vyčíslit, ev. převést do gfické podoby npř. v tbulkové editou. Npř. po =konst, e=0 F=konst vychází následující půběh. 00 R [N] [N ] [º]

18 etod uvolňování F Pohybová ovnice : I e cos e e sin cos Fecos Úloh. duhu - dynická. Dáno : F,. Vypočtěte : pohyb, tedy = (t), = (t), e=e (t). Pohybovou ovnici upvíe n difeenciální ovnici : I e cos e sin cos Fecos,e e v, Plnohodnotné řešení je tzv. řešení v uzvřené tvu : t???????????????????? Toto řešení se ná všk nepodří nlézt (difeenciální ovnice je II. řádu, nelineání, jednoduše řečeno, znčně složitá). ůžee nlézt nueické řešení. To v době stolní výpočetní techniky není žádný zvláštní poblé. Výsledek le neá podobu funkčního předpisu le podobu tbulky hodnot. t e v R Tbulku lze sozřejě převést do gfické podoby.

19 etod uvolňování Pohybová ovnice : I e cos e e sin cos Fecos,e e F v, Úloh. duhu - dynická. Dáno : F,. Vypočtěte : pohyb, tedy = (t), = (t), e=e (t). Altentivní řešení spočívá v to, že ísto výzů : d d e dt dt d použijee výz : e d Pohybová ovnice bude ít podobu difeenciální ovnice I. ádu : d I e cos e sin cos Fecos d Otázk jejího řešení ť už v uzvřené tvu (zde = () ) nebo řešení nueického (tbulk hodnot) všk zůstává otevřená. V kždé přípdě je výsledke závislost n poloze, nikoliv n čse.

20 etod edukce skutečnost náhd Ztíco etod uvolňování nepřináší žádnou novou yšlenku, je zložen pouze n vhodné kobinování pozntků ze sttiky, kinetiky, dyniky tetiky, etod edukce předstvuje novou yšlenkovou kvlitu. Podsttou etody edukce je náhd. Původní, skutečnou úlohu, úlohu dyniky soustvy těles (echnisu), nhdíe jinou úlohou, úlohou dyniky jednoho těles. Dokonce těles, konjícího jeden ze dvou nejjednodušších pohybů - posuvný nebo otční. Náhd ovše usí být nvžen tk, by řešení náhdní úlohy bylo totožné s řešení skutečné, původní úlohy. ezi skutečností náhdou tedy usí být styčné body. Jk uvidíe, tyto styčné body jsou tři.

21 etod edukce I, skutečnost edukce n posuvný pohyb náhd F ed I, G x,v, ed x,v, Náhd : N fiktivní, ve skutečnosti neexistující těleso o tzv. edukovné hotnosti ed, pohybující se ychlostí v se zychlení, působí tzv. edukovná síl F ed. Postup jko obvykle vysvětlíe n příkldu. Skutečnost : Soustv těles je tvořen poháněcí kldkou o oentu setvčnosti I, o poloěu, otující úhlovou ychlostí. Dále dvojitou převáděcí kldkou o oentu setvčnosti I, o poloěech, otující úhlovou ychlostí, převáděcí kldičkou znedbtelné hotnosti konečně břeene o hotnosti, zvedný ychlostí v se zychlení. N poháněcí kldku působí oent, překonávjící tíhu břeene G.

22 etod edukce I, skutečnost edukce n posuvný pohyb náhd F ed ed I, G x,v, x,v, Pohybová ovnice náhdní úlohy jkož i její řešení bude záoveň pohybovou ovnicí řešení skutečné úlohy. (usí všk existovt ony již zíněné tři styčné body.)

23 etod edukce I, skutečnost edukce n posuvný pohyb náhd F ed ed I, x,v, x,v, G Pvní styčný bode je kinetik : Dáh x, ychlost v zychlení náhdního, fiktivního těles jsou stejné, jko dáh x, ychlost v zychlení zvoleného skutečného těles n skutečné soustvě. Skutečnéu tělesu n skutečné soustvě, s jehož kinetickýi pety (dáhou, ychlostí zychlení) ztotožníe kinetické pety náhdního, fiktivního těles, říkáe člen edukce. Podle toho, zd člen edukce koná posuvný nebo otční pohyb, luvíe o edukci n posuvný pohyb nebo o edukci n otční pohyb.

24 etod edukce I, skutečnost edukce n posuvný pohyb náhd F ed ed I, x,v, x,v, G Duhý styčný bode je kinetická enegie : Kinetická enegie E K náhdního, fiktivního těles usí být stejná, jko kinetická enegie E K skutečné soustvy těles. E k I I skutečnost v ed v náhd Po doplnění kinetických poěů v v se ychlost v vykátí zbude vzth po edukovnou hotnost ed.

25 etod edukce I, skutečnost edukce n posuvný pohyb náhd F ed ed I, x,v, x,v, G Duhý styčný bode je kinetická enegie : Kinetická enegie E K náhdního, fiktivního těles usí být stejná, jko kinetická enegie E K skutečné soustvy těles. ed I I Po doplnění kinetických poěů v v se ychlost v vykátí zbude vzth po edukovnou hotnost ed.

26 etod edukce I, skutečnost edukce n posuvný pohyb náhd F ed ed I, x,v, x,v, G Třetí styčný bode je výkon : Výkon P edukovné síly F ed usí být stejný, jko výkon P skutečných sil oentů n skutečné soustvě těles. P Gv Fed v skutečnost náhd Po doplnění kinetických poěů v v se ychlost v vykátí zbude vzth po edukovnou sílu F ed.

27 etod edukce I, skutečnost edukce n posuvný pohyb náhd F ed ed I, x,v, x,v, G Třetí styčný bode je výkon : Výkon P edukovné síly F ed usí být stejný, jko výkon P skutečných sil oentů n skutečné soustvě těles. F ed G Po doplnění kinetických poěů v v se ychlost v vykátí zbude vzth po edukovnou sílu F ed.

28 etod edukce I, skutečnost edukce n posuvný pohyb náhd F ed ed I, x,v, x,v, G Pohybová ovnice náhdní úlohy, tedy i pohybová ovnice skutečné úlohy, pk á tv : ded ed v Fed dx Pvní člen n levé stně, jkož i pvá stn, odpovídjí pohybové ovnici hotného bodu. Duhý člen n levé stně ůžee chápt jko jistou dň z podsttné zjednodušení úlohy. Je-li všk edukovná hotnost konstntní ed =konst, je její deivce podle dáhy x nulová celý duhý člen odpdá. Tto situce nstává u echnisů s konstntní převode.

29 etod edukce I, skutečnost edukce n posuvný pohyb náhd F ed ed I, x,v, x,v, G Pohybová ovnice echnisu s poěnný převode : ded ed v Fed dx Pohybová ovnice echnisu s konstntní převode ( ed =konst) : ed F ed d ed dx 0

30 G ed F ed edukce n posuvný pohyb etod edukce I, I, x,v, x,v, skutečnost náhd G I I Pohybová ovnice echnisu s konstntní převode ( ed =konst) :

31 etod edukce skutečnost náhd Odvození pohybové ovnice echnisu etodou edukce. Záklde je vět o zěně kinetické enegie, kteá je ovn páci. zěn kinetické enegie po vydělení čse edukce n posuvný pohyb t E K A E K A P t páce výkon de nebo v difeenciální vyjádření K P dt Zěříe se nejpve n levou, pk n pvou stnu ovnice. Kinetickou enegii vyjádříe : E v K Zde ed je vituální ekvivlent skutečných hot, vykzující stejnou kinetickou enegii, jko skutečná soustv, v pk je ychlost členu edukce. Deivci kinetické enegie E k podle čsu je třeb vyjádřit jko deivci součinu (není žádný důvod se donívt že výz ed je konstntní - nejde o skutečnou hotnost). de dt K d dt ed v ed dv v dt ed ed v d dx ed dx dt v ed v d dx ed v dv dt dx dt v

32 etod edukce skutečnost náhd edukce n posuvný pohyb Odvození pohybové ovnice echnisu etodou edukce. Záklde je vět o zěně kinetické enegie, kteá je ovn páci. zěn kinetické enegie po vydělení čse t E K A E K A P t páce výkon de nebo v difeenciální vyjádření K P dt Pvou stnu ovnice, výkon, ůžee vyjádřit jko : P F ed Zde F ed je vituální ekvivlent skutečných sil ( oentů) n skutečné soustvě. Levou pvou stnu pk lze vyjádřit jko : ded ded ed v v ed v v Fed v dx dx nebo po vykácení ychlosti v : ded ed v Fed dx Toto je pohybová ovnice echnisu s jední stupně volnosti po řešení etodou edukce. v

33 etod edukce I, skutečnost edukce n otční pohyb náhd I ed I, x,v,,e ed G Jk již bylo zíněno, pvní styčný bode je volb členu edukce. Kinetické pety náhdní úlohy (ychlost zychlení) jsou shodné s kinetickýi pety jednoho zvoleného skutečného těles, členu skutečného echnisu. Jestliže tento zvolený člen edukce koná otční pohyb, hovoříe o edukci n otční pohyb. Náhdní úlohou je pk poyslný, fiktivní disk o tzv. edukovné oentu setvčnosti I ed, otující úhlovou ychlostí s úhlový zychlení e, n nějž působí tzv. edukovný oent ed.

34 etod edukce I, skutečnost edukce n otční pohyb náhd I ed I, x,v,,e ed G V toto přípdě se nskýtjí dvě ožnosti - edukce n otční pohyb poháněcí kldky nebo edukce n otční pohyb převáděcí kldky. Čstější volb je edukce n hncí člen. Náhdní úlohou je pk poyslný, fiktivní disk o tzv. edukovné oentu setvčnosti I ed, otující úhlovou ychlostí poháněcí kldky = s úhlový zychlení poháněcí kldky e=e, n nějž působí tzv. edukovný oent ed.

35 etod edukce I, skutečnost edukce n otční pohyb náhd I ed I, x,v,,e ed G Duhý styčný bode je kinetická enegie : Kinetická enegie E K náhdního, fiktivního těles usí být stejná, jko kinetická enegie E K skutečné soustvy těles. E k I I skutečnost v I ed náhd Po doplnění kinetických poěů v se úhlová ychlost = vykátí, zbude vzth po I ed.

36 etod edukce I, skutečnost edukce n otční pohyb náhd I ed I, x,v,,e ed G Duhý styčný bode je kinetická enegie : Kinetická enegie E K náhdního, fiktivního těles usí být stejná, jko kinetická enegie E K skutečné soustvy těles. I ed I I Po doplnění kinetických poěů v se úhlová ychlost = vykátí, zbude vzth po I ed.

37 etod edukce I, skutečnost edukce n otční pohyb náhd I ed I, x,v,,e ed G Třetí styčný bode je výkon : Výkon P edukovného oentu ed usí být stejný, jko výkon P skutečných sil oentů n skutečné soustvě těles. P Gv skutečnost ed náhd Po doplnění kinetických poěů v se úhlová ychlost = vykátí, zbude vzth po ed.

38 etod edukce I, skutečnost edukce n otční pohyb náhd I ed I, x,v,,e ed G Třetí styčný bode je výkon : Výkon P edukovného oentu ed usí být stejný, jko výkon P skutečných sil oentů n skutečné soustvě těles. ed G Po doplnění kinetických poěů v se úhlová ychlost = vykátí, zbude vzth po ed.

39 etod edukce I, skutečnost edukce n otční pohyb náhd I ed I, x,v,,e ed G Pohybová ovnice náhdní úlohy, tedy i pohybová ovnice skutečné úlohy, pk á tv : died Ied e ed d Resp. po echnisus s konstntní převode (I ed =konst) : I e ed ed di ed d 0

40 G etod edukce,e ed I ed edukce n otční pohyb I, I, x,v, skutečnost náhd Resp. po echnisus s konstntní převode (I ed =konst) : G I I e

41 etod edukce skutečnost Poslední příkld - dynik echnisu s poěnný převode, řešená etodou edukce. Hncí člene kulisového echnisu je klik délky, o oentu setvčnosti I, otující úhlovou ychlostí s úhlový zychlení e, jehož okžitá poloh je dán úhle. Hnný člene je kulis o hotnosti, posouvjící se ychlostí v se zychlení, jejíž okžitá poloh je dán souřdnicí x. N kliku působí hncí oent, n kulisu působí síl F. Je-li : x sin Pk :, e I x v, v cos F v cos

42 etod edukce skutečnost náhd edukce n otční pohyb I ed,e ed Zvolíe edukci n otční pohyb kliky. Náhdní úlohou je poyslný, fiktivní disk o edukovné oentu setvčnosti I ed, otující úhlovou ychlostí kliky s úhlový zychlení kliky e, n nějž působí edukovný oent ed. Kinetická enegie skutečného echnisu, tedy i kinetická enegie fiktivního disku, je : Je-li : Pk :, e I x v, v cos E k I I ed v v cos I F cos I ed Redukovný oent setvčnosti není konstntní, je funkcí polohy.

43 etod edukce skutečnost náhd edukce n otční pohyb I ed,e Výkon hncího oentu síly F, jkož i výkon edukovného oentu ed, je : P Fv Je-li : Pk :, e I x v, v cos ed F v cos ed F cos ed

44 etod edukce skutečnost náhd edukce n otční pohyb I ed, e I F,e x v, v cos Pohybová ovnice (jk již bylo uvedeno dříve) je : died Ied e ed d Duhý člen v pohybové ovnici všk již není nulový, nopk : di d I ed I ed cos cos sin ed

45 etod edukce skutečnost náhd edukce n otční pohyb I ed I, e x v, v cos Pohybová ovnice v konečné tvu pk je : F,e ed I cos e sin cos F cos neboli : I cos sin cos F cos

46 etod edukce K dlšíu řešení ůžee uvést následující : Řešení úlohy I. duhu (kinetosttická úloh, je dán pohyb síl F, učete hncí oent ) je poěně sndné : I cos e sin cos F cos

47 etod edukce K dlšíu řešení ůžee uvést následující : Řešení úlohy II. duhu (dynická úloh, jsou dány silové účinky F, vyřešte pohyb) je znčně koplikovné. Pohybová ovnice po řešení v čse á podobu nelineání difeenciální ovnice II. řádu : I cos sin cos F cos Její řešení v uzvřené tvu = (t) nedokážee nlézt. ůžee povést nueické řešení. Výsledke je tbulk hodnot, kteou lze převést do gfické podoby. t e [s - ] t [s] Altentivní řešení je řešení v poloze, tedy závislost úhlové ychlosti n úhlu. Dosdíe-li : d e d Pk pohybová ovnice bude nelineání difeenciální ovnicí I. řádu : d I cos sin cos F cos d Řešení (ť už v uzvřené tvu nebo nueický) je závislost úhlové ychlosti n úhlu.

48 Závěe shňe výhody nevýhody obou etod. etod uvolňování - je pcnější, zdlouhvější - řeší i vzbové síly (oenty) - uožňuje zhnout i tření ve vzbách - plikce n echnisy s konstntní převode n echnisy s poěnný převode je shodná etod edukce - je ktší, sndnější, zején u echnisů s konstntní převode - neřeší vzbové síly (oenty) - neuožňuje zhnout tření ve vzbách - plikce n echnisy s konstntní převode n echnisy s poěnný převode se liší ed ed F ed d dz ed v F ed