Automaty a gramatiky. Trochu motivace. Roman Barták, KTIML. rní jazyky. Regulárn. Kleeneova věta. L = { w w=babau w=uabbv w=ubaa, u,v {a,b}* }

Transkript

1 ochu motivce L = { w w=u w=uv w=u, u,v {,}* } Automty gmtiky Romn Bták, KIML tk@ktiml.mff.cuni.cz htt://ktiml.mff.cuni.cz/~tk L = L L L, kde L = { w w=u, u {,}* }, L = { w w=uv, u,v {,}* } L = { w w=u, u {,}* } Můžeme jít ještě dál! L = {}. {,}* L = {,}*. {}. {,}* L = {,}*. {} Pojďme ještě dál L = ({} {})*. {}.{}.{} Nešlo y všechny egulání jzyky oskládt z nějkých tiviálních jzyků Regulán ní jzyky říd eguláních jzyků RJ(X) nd konečnou neázdnou ecedou X je nejmenší tříd jzyků, kteá: oshuje ázdný jzyk o kždé ísmeno x X oshuje jzyk {x} A,B RJ(X) A B RJ(X) uzvřená n sjednocení A,B RJ(X) A.B RJ(X) uzvřená n zřetězení A RJ(X) A* RJ(X) uzvřená n iteci Vlstně lgeický ois jzyků! Seciálně: {} RJ(X) otože {} = * X RJ(X) otože X = x X {x} (ozo! je to konečné sjednocení) {x i,,x ik } RJ(X) X* RJ(X) Kleeneov vět Liovolný jzyk je egulání ávě když je ozozntelný konečným utomtem. Konečnými utomty lze ozoznávt jen tiviální jzyky (ázdný jednoísmenné) jzyky, kteé z nich lze složit oecemi sjednocení, zřetězení itece. Důkz RJ F egulání jzyky jsou ozozntelné konečnými utomty tiviální jzyky jsou ozozntelné konečným utomtem oece sjednocení, zřetězení iteci dávjí oět jzyk ozozntelný konečným utomtem

2 Důkz Kleeneovy věty jzyky ozozntelné konečnými utomty jsou egulání máme utomt A=(Q,X,δ,,F), kteý definuje jzyk L(A) chceme ukázt, že L(A) dostneme z elementáních jzyků oecí definujme R ij = {w X* δ*( i,w)= j } slov řevádějící stv i n j otom L(A) = i F R i slov řevádějící očáteční stv n nějký koncový stv i jsou jzyky R ij egulání okud no, otom L(A) je tké egulání, otože zchovává egulánost definujme R k ij =slov řevádějící stv i n j ez meziůchodu stvy m m>k zřejmě R ij = R n ij (n je očet stvů utomtu) jsou jzyky R k ij egulání R 0 ij je egulání (žádné mezistvy, tj. mximálně jednoísmenná slov) R k+ ij = Rk ij Rk i,k+.(rk k+,k+ )*. Rk k+,j je egulání (sjednocení itece eguláních jzyků) Altentivní důkz Kleeneovy věty jzyky ozozntelné konečnými utomty jsou egulání Indukcí odle očtu hn v nedeteministickém utomtu A = (Q,X,δ,S,F) o dný jzyk L(A) žádná hn ouze jzyky neo {} (n+) hn vyeeme si jednu hnu: tj. δ(,) sestojíme čtyři utomty ez této hny (δ ) A = (Q,X,δ,S,F) A = (Q,X,δ,S,{}) A = (Q,X,δ,{},{}) A = (Q,X,δ,{},F) Potom L(A) = L(A ) (L(A ).).(L(A ).)*L(A ) Jzyky L(A ), L(A ), L(A ), L(A ) jsou egulání (n hn) i k+ j Regulán ní výzy Množin eguláních výzů RV(X) nd konečnou neázdnou ecedou X={x,,x n } je nejmenší množin slov v ecedě {x,,x n,,, +,.,*, (,)}, kteá: oshuje výz výz RV(X), RV(X) o kždé ísmeno x X oshuje výz x x RV(X) α,β RV(X) (α+β) RV(X) α,β RV(X) (α.β) RV(X) α RV(X) α* RV(X) Příkld: ((+((.c)+d)*)+e) Konvence: vnější závoky lze vynecht (+((.c)+d)*)+e závoky lze vynecht u. + díky socitivitě +((.c)+d)*+e tečku lze vynecht +((c)+d)*+e ioit oecí (nejvyšší) *,., + (nejnižší) +(c+d)*+e Hodnot egulán ního výzu Hodnotou eguláního výzu α RV(X) je množin slov [α] (jzyk) definovná následovně: [] =, [] ={}, [x] = {x} [(α+β)] =[α] [β] [(α.β)] = [α]. [β] [α*] = [α]* Regulání výzy odovídjí eguláním jzykům hodnotou eguláního výzu je egulání jzyk kždý egulání jzyk lze eezentovt omocí eguláního výzu (jzyk je hodnotou tohoto výzu) Příkldy: [(+)* + (+)*(+)* + (+)*] = = { w w=u w=uv w=u, u,v {,}* } [(0*0*0*)*0*] = = {w w {0,}*, w =k }

3 Použit ití egulán ních výzů Pktický řehledný záis jzyk eoetický zjednodušení někteých důkzů Vět: L F, x X σ(x) F σ (L) F L σ(x) jsou egulání jzyky, lze je tedy eezentovt eguláními výzy kždý výskyt x ve výzu o L stčí nhdit výzem o σ(x) Rozšířené egulání výzy máme i dlší egulání oece, nř. ůnik (α & β) Ekvivlence eguláních výzů α β jestliže [α] = [β] (tj. výzy eezentují stejné jzyky) Příkld: (0*)* + (0+)* Jk to zjistíme Převod egulán ního výzu n konečný ný utomt Metod (inkementální): řeveď elementání jzyky (ázdný, jednoísmenné) soj oužitím eguláních oecí odle výzu Metod (římá) +(c+d)*+ očísluj symoly ve výzu (zlev do dov) +( c +d )*+ 5 zjisti všechny možné áy symolů, kteé se c, c d, c, mohou vyskytovt z seou d d, d zjisti symoly, kteé mohou ýt vní ve slově,, d, 5 zjisti symoly, kteé mohou ýt oslední ve slově, c, d, 5 zjisti, zd jzyk oshuje ázdné slovo ANO vytvoř nedeteministický utomt s stvy: s + očíslovné symoly d očátek = s konec = oslední symoly (+s o ) d d 5 c řechody: s vní symol x i x j, okud je á x i x j c d Od utomtu k egulán nímu výzu, Pomocí Kleeneovy věty: R 0 ij R k+ ij = R k ij R k i,k+.(r k k+,k+)*. R k k+,j Pozn.: uzel můžeme ignoovt (nevedou řes něj žádné cesty do osttních uzlů) Od utomtu k egulán nímu výzu (říkld ) Pomocí Kleeneovy věty: R 0 ij R k+ ij = R k ij R k i,k+.(r k k+,k+)*. R k k+,j R 0 R R R * + * + * R + R ( ) * ( ) * ( ) * ( ) * ( ) * ( ) * R * + * + * * + * + * * + R (+)* (+)*

4 Od utomtu k egulán nímu výzu jink Ohodnocení hn eguláním výzem Nejve vytvoříme utomt s jedním vstuem jedním výstuem F 0 A α Od utomtu k egulán nímu výzu v říkld kldě, Stčí řidt ouze nový koncový stv. Eliminujeme smyčku. Eliminujeme uzel. Eliminujeme uzel. sojení hn α α+β elimince smyček α β β α * β ( ) * Eliminujeme smyčku. elimince vcholů α β α m β α * α β α ( ) * Eliminujeme uzel. α m α m Můžeme konečné utomty ještě zoecnit Konečný utomt ovádí následující činnosti: řečte ísmeno změní stv vnitřní jednotky osune čtecí hlvu dov Čtecí hlv se nesmí vcet! Co když utomtu ovolíme ovládání hlvy Dvousměn né (dvoucestné) ) konečné utomty Dvousměným (dvoucestným) konečným utomtem nzýváme ětici A = (Q,X,δ,,F), kde: Q - konečná neázdná množin stvů (stvový osto) X - konečná neázdná množin symolů (vstuní eced) δ -zozeníq X Q {-,0,+} (řechodová funkce) řechodová funkce učuje i ohy čtecí hlvy Q (očáteční stv) F Q (množin koncových stvů) Pozo! Automt n ásku nic neíše! Reezentce: stvový digm, tulk, stvový stom

5 Počítání s dvousměnými utomty Kdy dvousměný utomt řijímá slovo Co se děje, je-li hlv mimo čtené slovo Slovo w je řijto dvousměným konečným utomtem, okud: výočet zčl n vním ísmenu slov w vlevo v očátečním stvu čtecí hlv ové oustil slovo w vvo v někteém koncovém stvu mimo čtené slovo není výočet definován (výočet zde končí slovo není řijto) w F Příkld dvousměn ného utomtu Nejve oznámk: ke slovům si můžeme řidt seciální koncové znky # X je-li L(A)= {#w# w L X*} egulání, otom i L je egulání L = # R # (L(A) #X*#) Příkld: L(B) = {#u# uu L(A)} Pozo! oto není levý ni vý kvocient! Nechť A= (Q,X,δ,,F), definujme dvousměný konečný utomt B=(Q Q Q {,, F }), X, δ,, { F }) tkto: δ x # oznámk,-,+,+,- = δ(,x),-,+,+ F,+ F, = δ(,x),+,+ F, = δ(,x),+,+ F,+,+ # u # F Vět o dvousměných utomtech Jzyky řijímné dvousměnými konečnými utomty jsou ávě jzyky řijímné konečnými utomty. Možnost ohyovt čtecí hlvou o ásce nezvětšil sílu konečného utomtu! Pozo, n ásku nic neíšeme! Pokud můžeme n ásku sát, dostneme uingův stoj. Zřejmé: konečný utomt dvousměný konečný utomt dvousměný utomt vždy osouvá hlvu dov KA A=(Q,X,δ,,F) KA B=(Q,X,δ,,F), δ (,x)=(δ(,x),+) Zývá: dvousměný konečný utomt konečný utomt Důkz věty v o dvousměných utomtech () u v ) Fomální ois vlivu slov u n výočet nd slovem v (i) kdy ové oustíme slovo u vvo (v jkém stvu ové vstouíme nd v) f( 0 ) = ové řejdeme n v ve stvu f( 0 ) = 0 nikdy neoustíme u vvo (ii) okud oustíme slovo v vlevo, kdy se nd v oět vátíme f() = vátíme se nd v ve stvu f() = 0 nikdy už se nevátíme ) Výočet nd u máme osný funkcí f u f u : Q { 0 } Q {0} f u ( 0 ) oisuje situci (i): v jkém stvu ové odejdeme vvo, okud zčneme výočet vlevo v očátečním stvu f u () ( Q) oisuje situci (ii): v jkém stvu oět odejdeme vvo, okud zčneme výočet vvo v symol 0 znčí, že dná situce nenstne (odejdeme vlevo neo cyklus) u u v v

6 Důkz věty v o dvousměných utomtech () Po kždé slovo u máme funkci f u oisující výočet dvousměného utomtu A nd u Definujme ekvivlenci slov tkto: u~w def f u =f w tj. slov jsou ekvivlentní, okud mjí stejné výočtové funkce Vlstnosti ~: je to ekvivlence (zřejmé, definováno omocí =) má konečný index (mximální očet ůzných funkcí je (n+) n+ o n-stvový dvousměný utomt) je to vá konguence (zřejmě u~w uv~wv, otože ozhní u v w v je stejné nd v se utomt chová stejně) L(A) je sjednocením jistých tříd ozkldu X*/~ stčí si uvědomit, že w L(A) f w ( 0 ) F u~w f u ( 0 )=f w ( 0 ) (u L(A) w L(A)) Podle Neodovy věty je L(A) egulání jzyk. Převod KA n KA Konstuktivní důkz věty o dvousměných utomtech. Jk výočet s návty řevést n lineání výočet zjímjí nás jen řijímcí výočty díváme se n řechody mezi symoly (v jkém stvu se řechází n dlší olíčko). Njdeme všechny možné řezy - oslounosti stvů (je jich konečně mnoho).. Mezi řezy definujeme (nedeteministické) řechody odle čteného symolu.. Rekonstuujeme výočet skládáním řezů (jko uzzle). Pozoování: stvy se v řechodu (řezu) střídjí (dov/dolev) vní stv jde dov, oslední tké dov v deteministických řijímjících výočtech nejsou cykly vní oslední řez oshují jediný stv Fomáln lní řevod KA n KA Nechť A=(Q,X,δ,,F) je dvousměný konečný utomt. Příkld řevodu KA n KA Mějme následující dvousměný konečný utomt: Definujme ekvivlentní nedeteministický konečný utomt B=(Q,X,δ,( ),F ), kde: Q = všechny koektní řechodové oslounosti oslounosti stvů (,, k ) z Q tkové, že délk oslounosti je lichá (k=m+) žádný stv se neokuje n liché ni n sudé ozici ( i j i j ) & ( i j i+ j+ ) F = {() F} řechodové oslounosti délky oshující koncový stv δ (c,x) = { d d Q & c d je lokálně konzistentní řechod o x} x L(A)=L(B) tjektoie KA A odovídá řezům KA B c d,+,+,+,-,+,- Ukázk výočtu:.. Možné řezy jejich konzistentní řechody: Výsledný nedeteministický KA:,,,,,,