8. Elementární funkce

Transkript

1 Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně eistujících dějů lze reprezentovt mtemtickými model, které jsou popsán tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce je kždá funkce, která vznikne jko výsledek konečného počtu opercí sčítání, odčítání, násobení, dělení skládání funkcí konstntní, mocninné, eponenciální, logritmické, goniometrických cklometrických, ted tzv. zákldních elementárních funkcí. Uveďme nní stručný přehled těchto funkcí včetně jejich vlstností. KONSTANTNÍ FUNKCE Konstntní funkce je funkce f () =, kde je pevně zvolené číslo ( R). Grfem je rovnoběžk s osou. MOCNINNÁ FUNKCE, ODMOCNINA Mocninná funkce s přirozeným eponentem n N je funkce n ( ) f =, D( f ) = R. Jejím grfem je tzv. prbol n-tého stupně (pro n = je to známá kuželosečk). Viz obr. 8.. Pro n-sudé je n sudá funkce, rostoucí n intervlu 0, + ) klesjící n intervlu (, 0. Obor funkčních hodnot je H( f ) = 0, + ). Pro n-liché je n lichá funkce, rostoucí n R ted tké n celém svém definičním oboru prostá. H( f ) = R. Mocninná funkce se záporným celým eponentem n, n N, je funkce f() = n = n. Definičním oborem této funkce je D( f ) = R {0}. Jejím grfem je tzv. hperbol stupně n + (pro n = je to známá kuželosečk rovnoosá hperbol), viz obr. 8.. Pro n-sudé je funkce n sudá, rostoucí n intervlu (, 0) klesjící n intervlu (0, + ). Oborem funkčních hodnot je zde H( f ) = (0, + ). Pro n-liché je funkce n lichá, klesjící n intervlu (, 0) i (0, + ) ted n celém svém definičním oboru tké prostá. Obor funkčních hodnot je pk H( f ) = R {0}.

2 Obrázek 8.. Obrázek 8.. Funkce n-tá odmocnin (n N, n ) je definován jko f ( ) = n. Pro n-sudé je definičním oborem této funkce intervl 0, + ), ted D( f ) = 0, + ), funkce je rostoucí obor funkčních hodnot je H( f ) = 0, + ) (viz obr. 8.3.). Tto funkce je inverzní k funkci = n uvžovné n intervlu 0, + ).

3 Pro n-liché je D( f ) = R, funkce je rostoucí, lichá H( f ) = R (viz obr. 8.). Funkce je inverzní k funkci = n uvžovné n R. Obrázek 8.3. Obrázek 8.. EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE Eponenciální funkce je funkce tvru ( ) f =, kde je pevně zdné, > 0,, D( f ) = R, H( f ) = (0, ). Pro < je eponenciální funkce klesjící, pro > rostoucí (obr. 8.5.). Eponenciální funkce je ted prostá. Je zdol omezená ( > 0), le není shor omezená. Grfem této funkce je tzv. eponenciál. 3

4 Pro eponenciální funkci pltí známé vzth: + = = ( ), =., Obrázek 8.5. Eponenciální logritmická funkce LOGARITMICKÁ FUNKCE = log, Logritmická funkce je funkce inverzní k funkci eponenciální, znčí se číslo je zákld logritmu ( > 0, ). Z definice inverzní funkce vplývá, že D(log ) = (0, ), H(log ) = R. Grf funkcí, log jsou ted souměrné podle os = (obr. 8.5.). Logritmická funkce o zákldu 0 ( = 0), se nzývá dekdická logritmická funkce, obvkle se znčí log. Speciálně pro = e, kde e =,788 (ircionální číslo) se znčí ln nmísto log e dostáváme tzv. přirozenou logritmickou funkci, zákld e se pk nzývá

5 přirozený. Jestliže < je logritmická funkce klesjící, kdž > je rostoucí (obr. 8.5.). Není ni zdol omezená ni shor omezená.grfem logritmické funkce je tzv. logritmická křivk. Pro logritmickou funkci pltí známé vzth: log = log + log, ( ) log = log log, log = log, log = ( ), protože pltí = log = ln = e, ( protože pltí = ln e = ) ln = e. Užitím posledního vzthu můžeme vjádřit funkci f ( ) = r( ) s( ) v tzv. eponenciálním tvru ( ) ( ) s( ) s( ) ln f r = e r( ) = ; což je důležité pro prktické plikce. Příkld: f sin sin ln ( ) = e =. GONIOMETRICKÉ A CYKLOMETRICKÉ FUNKCE Goniometrické funkce zvedeme stejným způsobem, jk se zvádějí n střední škole. U všech goniometrických funkcí vstupuje jko nezávisle proměnná velikost úhlu. Velikost úhlu může být zdán v míře stupňové nebo v míře obloukové, přičemž pltí převodní vzth: o o 80 o = rd, rd= Formálně o = rd 80, 80 o rd=. e je tzv. Eulerovo číslo, které se definuje jko limit tkto: Jednotkou obloukové mír jsou rdián (rd). e = lim +. n n n 5

6 Umístíme-li úhel XOA tk, že X, A leží n jednotkové kružnici se středem O (obr.8.6.), pk jeho velikost o ve stupňové míře odpovídá velikosti rd v obloukové míře, přičemž rd je délk příslušného oblouku kružnice. Jeli úhel vjádřen v obloukové míře, pk se rd vnechává. Poznámk: Je zřejmé proč převodní vzth mjí shor uvedený tvr. U jednotkové kružnice je totiž její obvod roven O =. Délce kružnice ted odpovídá úhel 360 o. X rd O o A Obrázek 8.6. Velikost úhlu Z obrázku 8.6. jsou ptrné vzth 30 o = / 6, 5 o = /. V dlším výkldu bude dán přednost míře obloukové. Sestrojme nní jednotkovou kružnici se středem O (obr. 8.7.). Od bodu A = [, 0] nnesme n kružnici oblouk délk, to proti směru otáčení hodinových ručiček, je-li > 0 ve směru otáčení hodinových ručiček, je-li 0. Tím dostneme bod X. sin O cotg cos X tg, > 0 A = [, 0] Obrázek 8.7. Goniometrické funkce Pk se definuje cos (čte se kosinus ) jko -ová souřdnice bodu X, sin (čte se sinus ) jko -ová souřdnice bodu X. Dále se definují funkce 6

7 sin tg =, cos (čte se tngens, kotngens ). cos cotg =, sin Pltí D(sin) = D(cos) = R, D(tg) = R {; = / + k, k Z}, D(cotg) = R {; = k, k Z} H(sin) = H(cos) =,, H(tg) = H(cotg) = R. Funkce sin, cos, tg, cotg se souhrnně nzývjí goniometrické. Vjm význčných hodnot jsou hodnot goniometrických funkcí ircionální čísl. Převážná většin klkulček obshuje goniometrické funkce jko stndrdní, tj. hledná hodnot je k dispozici po stisknutí příslušného tlčítk (pozor n nstvení správného režimu pro stupňovou, přípdně obloukovou míru). Grf goniometrických funkcí jsou n obrázcích Obrázek 8.8. Funkce sin cos Obrázek 8.9. Funkce tg 7

8 Obrázek 8.0. Funkce cotg Goniometrické funkce vkzují tto zákldní vlstnosti: sin( ) = sin, tg( ) = tg, cotg( ) = cotg ( ) cos cos = liché funkce, sudá funkce; sin ( + k ) = sin, cos ( k ) = cos ( + k ) tg, cotg ( k ) = cotg tg = pro k Z. + periodické funkce se zákldní periodou + periodické funkce se zákldní periodou ; sin, cos tg, cotg omezené funkce neomezené funkce Funkce cklometrické jsou funkce inverzní k funkcím goniometrickým. Jsou definovné n vhodných intervlech, n kterých jsou funkce goniometrické prosté. Funkce sin je rostoucí n /, / ; pro /, / je H(sin) =,. Funkce k ní inverzní se nzývá rkussinus, znčí se rcsin ; D(rcsin) =,, H(rcsin) = /, / (obr. 8..). Příkld: sin =, rcsin = ; rcsin =. 8

9 Funkce cos je klesjící n 0, ; pro 0, je H(cos) =,. Funkce k ní inverzní se nzývá rkuskosinus, znčí se rccos ; D(rccos) =,, H(rccos) = 0, (obr. 8..). Příkld: rccos 3 = ; rccos = 0. 6 Funkce tg je rostoucí n ( /, / ); pro ( /, / ) je H(tg) = R. Funkce k ní inverzní se nzývá rkustngens, znčí se rctg ; D(rctg) = R, H(rctg) = ( /, / ) (obr. 8.3.). Příkld: rctg 3 = ; 3 rctg =. Funkce cotg je klesjící n ( 0, ); pro ( 0, ) je H(cotg) = R. Funkce k ní inverzní se nzývá rkuskotngens, znčí se rccotg ; D(rccotg) = R, H(rctg) = ( 0, ) (obr. 8..). Příkld: rccotg 3 = ; 6 rccotg =. Obrázek 8.. Funkce sin rcsin 9

10 Obrázek 8.. Funkce cos rccos Obrázek 8.3. Funkce tg rctg 0

11 Obrázek 8.. Funkce cotg rccotg Cílové znlosti Vlstnosti všech elementárních funkcí, jejich grf.

12 VIII. Elementární funkce_cvičení MOCNINNÁ FUNKCE, ODMOCNINA. Vpočítejte (uprvte): ) ( 5 0 )( 0 ). b) c) EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE. Řešte rovnice, příp. nerovnice: ) 8 3= 0. b) 9 3 = 0 e) 0 < c) 6 > + +. d) + = Určete definiční obor určete hodnot v bodě : = 5+ e ) f ( ) = 3. b) ( ) f LOGARITMICKÁ FUNKCE. Řešte rovnice, příp. nerovnice: ) log ( ) = 3. b) e log = e) ( log ) log. c) 3+ log = ( log ). d) log( + 3) + log( ) = log =. f) log6 log log > Určete definiční obor funkce: f ( ) =. log ( 3) 6. Určete inverzní funkci: f. 3 ) f ( ) = 3 5. b) ( ) = + log( ) GONIOMETRICKÉ A CYKLOMETRICKÉ FUNKCE 7. Rozhodněte o tom, zd je funkce sudá, příp. lichá: sin ) f( ) =. b) f( ) + cos =.

13 8. Řešte rovnice: ) cos =. b) sin + cos = 0. c) cos 3cos = Nčrtněte grf: ) f( ) = sin. b) f( ) = + cos. c) f( ) = + sin( ). 0. Njděte inverzní funkci: ) f( ) = sin, D( f ) = -/, /. b) ( ) c) ( ) f = rccos, D( f ) = -,. f = 3+ rccotg, D( f ) = R. 3

14 VÝSLEDKY CVIČENÍ. ) ; b) ; c) ) = ; b) = 7 ; c) > 0 ; d) = ; e) <., ± 3. ) D ( f) =, ) ; b) ( f) = R -{ } D.. ) = 00 ; b) e 5. ( f) = ( 3, ) (, ) D. = ; c) = 0 ; d) = 7 ; e) = 0 ; f) > 6. 5 log ) = f ( ) = ; b) = f ( ) = ) sudá funkce; b) ni sudá ni lichá funkce ) = + k, = + k, k Z ; b) = + k, k Z ; c) = + k, = + k, 3 3 k Z. 9. Grf, viz seminář. 0. ) = f ( ) = rcsin ; b) = f ( ) = cotg( 3) ; c) f ( ) = cos =.