URČITÝ INTEGRÁL. Motivace:

Transkript

1 Motivce: URČITÝ INTEGRÁL Pomocí učitého integálu můžeme vpočítt: Osh ovinného ozce. Ojem otčního těles. Délku ovinné křivk. Dlší vužití učitého integálu: ve zice, chemii, ekonomii Histoická poznámk: Deinici učitého integálu popvé podl Gottied Wilhelm Leiniz oku 7. Leiniz tké zvedl oznčení integálu. K podoným závěům došel i Isc Newton, le z svého život o tom nic neuveřejnil. Vzthem učitého integálu pimitivní unkce se zývl i Leond Eule 8. století, z českých mtemtiků Mtáš Lech Kel Pet konec. zčátek. století. Teoie: Učitý integál oznčujeme znkem d. Číslo je dolní integční mez, číslo je honí integční mez. Intevl, je integční intevl. Funkce je integovná unkce neo-li integnd. Po výpočet učitých integálů používáme Newton Leinizovu větu: Nechť unkce je spojitá v intevlu, má v intevlu, pimitivní unkci F spojitou. v intevlu,. Pk eistuje učitý integál unkce od do, po něž pltí: d [ F ] F F Výpočet učitého integálu se tkto převádí n učení pimitivní unkce, do níž se z poměnnou dosdí postupně honí dolní mez integálu výsledné hodnot se v uvedeném pořdí odečtou. Eistuje-li Newtonův učitý integál d, říkáme, že unkce je integovtelná. Je tře si uvědomit, že učitý integál je číslo n ozdíl od neučitého integálu, kteý předstvuje množinu pimitivních unkcí. Vlstnosti učitého integálu: d Výměnou integčních mezí změní učitý integál znménko: F [ F F ] d F d Integční intevl lze ozdělit n dvě i více částí tk, že honí mez jedné části je dolní mez duhé části:

2 [ ] [ ] F F c F F F c F F F d d c c c c d Výpočet učitého integálu: Při jeho výpočtu používáme stejná pvidl jko při výpočtu neučitého integálu. Dný učitý integál můžeme vpočítt nejdříve jko neučitý potom tepve do tkto získné pimitivní unkce dosdit příslušné meze. Běžnější je le přímý výpočet, při němž nesmíme při kždé sustituci zpomenout přepočítt meze. Metod pe ptes: [ ] v u v u v u / / Při výpočtu učitého integálu je tře si vžd uvědomit, zd je unkce spojitá v intevlu, tím splněn předpokld Newton-Leinizov vět. Jink můžeme omálně zcel spávným postupem dojít k nposto nespávnému výsledku. Řešené úloh: Příkld. Učete: d d 8 VÝLEDEK integováním jsme dostli pimitivní unkci dosdili jsme honí mez mínus dosdili jsme dolní mez

3 Příkld : Učete: e d e d Integál udeme řešit sustituční metodou. ustituce: t dt d d dt t t povedeme sustituci musíme přepočítt meze e t dt t d e e dt dostli jsme integál s přepočítnými mezemi dáme před integál [ e ] t e e e VÝLEDEK integováním jsme dostli pimitivní unkci v závoce je doszená honí mez mínus dolní mez

4 Příkld : Vpočtěte: d Integál neeistuje, potože unkce vět Newton Leinizov. není spojitá v intevlu, ted není integovtelná. Viz Příkld 4: Vpočtěte: d ln d d ln [ ln ] 4 ln ln ln výz jsme ozložili n zlomk integovli jsme podle vzoců dosdili jsme honí mez mínus dolní mez VÝLEDEK Příkld : Vpočtěte: d d d Integál udeme řešit sustituční metodou. odmocnin převedená n mocninu

5 ustituce: t dt d t t povedeme sustituci přepočítáme meze integováním jsme dostli pimitivní unkci t dt t t t t 8 8 VÝLEDEK integál s přepočítnými mezemi upvený zlomek mocnin převedená n odmocninu částečné odmocnění doszená honí mez mínus doszená dolní mez Příkld : Vpočtěte: e d 8 8 / u e v e d / u e v Integál udeme řešit metodou pe ptes. 8 8 [ e ] e d [ ] 8 [ ] e e 8 e e e e metod pe ptes [ v] 8 u mínus u v 8 / dosdíme honí mez mínus dolní mez

6 8 e e e e e 7e VÝLEDEK Úloh k pocvičování:. d. 4 d. 4. d. d d d 7. sin cos 4. d 8. d Výsledk:.. -8/. ln 4. /-ln. 8/. / / Osh ovinného ozce kvdtu: Osh ovinného ozce je kldné číslo. Jestliže jsou osh dvou ozců, kteé se nepřekývjí, pk je osh ozce, kteý je sjednocením těchto ozců. Po přípd, že < unkce je v intevlu, spojitá nezáponá, učitý integál udává osh útvu, kteý je vmezen gem unkce, osou přímkmi,.

7 d d dieenciál d oučet oshů všech odélníků v intevlu, je oven d. Výpočet oshu ploch ohničené křivkou: A B d d d

8 Výpočet oshu ploch ohničené dvěm křivkmi: A g B g g [ g ] d d g d [ g d] C c d c d d d d c d

9 Postup při vpočtu oshu ploch:. Nčtneme g unkce unkcí do soustv souřdnic učíme ozec, jehož ploch se má vpočítt.. Zjistíme honí dolní mez integálu -ové souřdnice půsečíků unkcí, kteé ohničují plochu.. Npíšeme vzth po výpočet oshu ploch pomocí učitého integálu. 4. Vpočítáme učitý integál. Řešené úloh: Příkld. Vpočtěte osh ozce, kteý je ohničen osou, přímkou křivkou.. Nčtneme g unkce přímku.. Plochu, jejíž osh máme učit, ohničuje pol, přímk os.. Z náčtu zjistíme honí mez dolní mez integálu. osh ploch 4. Pomocí učitého integálu vpočítáme osh ploch: d d j VÝLEDEK

10 Příkld : Vpočtěte osh ozce ohničeného čmi o ovnicích. Nčtneme g unkce Nejdříve zjistíme vchol pol npříkld z pvní deivce unkce: / V [, ] Duhou souřdnici vcholu vpočítáme ze zdné unkce: Duhou ovnici vjádříme ve tvu. Plochu, jejíž osh máme učit, ohničuje pol přímk. nčtneme její g je to os.. kvdntu. - Funkcí je unkce je unkce, unkcí g osh ploch. Honí dolní mez integálu zjistíme jko půsečík unkce g > řešíme soustvu ovnic , 4. Npíšeme vzth po osh ploch pomocí učitého integálu integál vpočteme: [ g d] d [ ] d d 7 j... VÝLEDEK

11 Příkld : Vpočtěte osh ozce, kteý je ohničen čmi o ovnicích :. Nčtneme g unkcí nhou s vcholem [,] V., g:, h:. gem v oou přípdech je pol otočená Nčtneme g unkce,.. Máme vpočítt osh všovné ploch. Celý ozec je souměný podle os jsou jeho oě části levá i pvá shodné. Osh ozce vpvo od os je oven součtu ozců o oshu. gem je přímk kolmá n osu pocházející odem [ ] g h [ ]d. g d d d j

12 g h : Zjistíme půsečík unkcí g h řešením soustv ovnic je honí mezí integálu, pomocí něhož vpočítáme. [ h g ]d 4 d j Osh celého ozce: 4 4 j VÝLEDEK Příkld 4: Vpočtěte osh ozce omezeného křivkou, osmi, přímkou 7.. Nčtneme g unkce kvdtická unkce, gem je pol. Vchol pol zjistíme npříkld z pvní deivce unkce: / / V [,] Duhou souřdnici vcholu vpočítáme ze zdné unkce: Přímk 7 je kolmá n osu pochází odem [ 7,].. Plochu, jejíž osh máme učit, ohničuje pol, os přímk 7.

13 . Zjistíme půsečík pol s osou meze integálů: : z dosdíme nulu do ovnice: /. /-, 4. d d 7 7 j d d 7 7

14 7 j d d d j 7 7 j VÝLEDEK Úloh n pocvičení:. Vpočtěte osh ozce ohničeného křivkou 4, osou přímkou.. Vpočítejte osh ozce, kteý je omezen částí os oloukem pol.. Vpočítejte osh ozce, kteý je ohničen oloukem pol 4 8 přímkou. 4. Učete osh ozce omezeného polou 4 přímkmi 4,. Vpočtěte osh ozce, kteý je ohničen čmi. 7.. Vpočítejte osh ozce, kteý je omezen částí os oloukem pol. 7. Učete osh ozce, kteý je ohničen g unkcí Učete osh ozce omezeného křivkmi 4. Výsledk:. j. / j., j 4. / j. j. 4/ j 7. / j 8. j

15 Ojem otčního těles kutu: Uvžujeme otční těleso, kteé vznikne otcí útvu kolem os. Útv je ohničen gem unkce spojité v intevlu., Vzth po výpočet ojemu otčního těles: d V Rotční těleso, kteé vznikne otcí křivk, kde,, kolem os : Zdoj o.: Řešené úloh: Příkld. Odvoďte vzoec po ojem koule o poloměu.. Koule vznikne otcí kuhu o poloměu kolem os. třed kuhu umístíme do počátku souřdného sstému. tčí, kdž necháme otovt jen půlkuh.. Z ovnice kužnice vjádříme. Do vzthu po výpočet ojemu otčního těles dosdíme duhou mocninu unkce meze integálu: d d V -

16 V V 4 VÝLEDEK Poznámk: Při výpočtu integálu si musíme uvědomit, že neznámá je, je konstnt. Příkld. Přímk se otáčí kolem os. Vpočítejte ojem vzniklého otčního těles po,.. Z ovnice přímk vjádříme :. Nčtneme g unkce : Musíme zjistit souřdnice dvou odů, kteé leží n gu unkce jednu souřdnici zvolíme, duhou dopočítáme. Výhodné je zvolit, chom zjistili půsečík s osou.. Npíšeme vzth po výpočet ojemu otčního těles: V d Meze integálu zjistíme ze zdání.

17 d V d d j VÝLEDEK Příkld. Vpočítejte ojem těles, kteé získáme otcí olouku kolem os.. Nčtneme g unkce : Gem je pol otočená nhou, vchol má souřdnice [ ], V Zjistíme půsečík pol s osou : :,

18 . Ojem těles vpočítáme podle vzthu: V d 4 d d V 8 j VÝLEDEK jiný způso výpočtu: 4 d d V 8 j Příkld 4. Vpočtěte ojem komolého kužele, kteý vznikne otcí lichoěžníku ABCD kolem os, je-li,,,4 D,. A [ ], B [ ], C [ ], [ ]. Do ktézské soustv souřdnic vznčíme od A, B, C D, kteé tvoří pvoúhlý lichoěžník. C D α α A B. Npíšeme ovnici přímk npř. směnicový tv, kteá pochází od C D: k k směnice přímk

19 [ ], [ ] 4 4, souřdnice odů, kteé leží n přímce, ovnici upvíme 4 vjádříme poměnnou :. Lichoěžník je ohničen gem unkce, jejíž duhá mocnin ude integovnou unkcí. Meze integálu jsou čísl viz o. 4. Vpočítáme ojem těles: V d d d 7 j VÝLEDEK Příkld : Učete ojem těles, kteé vznikne otcí ozce omezeného čmi 4 kolem os.. Křivkou omezující otující útv je ovnoosá hpeol po, 4.. Z ovnice hpeol vjádříme 4 4 dosdíme do vzoce po výpočet ojemu:,, 4 V d d j VÝLEDEK Poznámk: Rovnice 4 je ovnicí hpeol.

20 Převedeme ji n středový tv ovnici vdělíme čtřmi. 4 4 třed hpeol je [,], poloos, ovnoosá hpeol Hlvní os hpeol je ovnoěžná s osou. Vchol hpeol: A [,], B [,] Úloh n pocvičení:. Odvoďte vzoec po ojem otčního válce o výšce v poloměu.. Vpočtěte ojem otčního těles, kteé vznikne otcí pol 4 okolo os.. Zozte ovinný ozec, kteý je ohničen čmi o ovnicích tg, Učete ojem těles vzniklého otcí tohoto ozce kolem os. 4,. Výsledk:. 4 v. 4 j. j