1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině

1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině 1. Základní pojmy Body průsečíky čar, značí se velkými tiskacími písmeny A = B bod A je totožný (splývá) s bodem B A B různé body A, B Přímka je dána dvěma různými body značí se malými písmeny latinské abecedy nebo užitím symbolu např. p = AB D p - bod D leží na přímce p (přímka p prochází bodem D) C p - bod C neleží na přímce p (přímka p neprochází bodem C) Pozn: A, B jsou incidentní s p, p je incidentní s A i B, C není incidentní s p. p není incidentní s C. Polopřímka bod rozděluje přímku na dvě navzájem opačné polopřímky, je jejich společným počátkem např. ΕΒ polopřímka EB Úsečka např. KL úsečka KL KL = KL LK (průnik polopřímek KL a LK) K, L krajní body úsečky M vnitřní bod úsečky (analogicky vnitřní body, vnitřek úsečky) KL délka úsečky vzdálenost bodů K, L KL KL, KL LK, KL KL střed úsečky dělí úsečku na dvě shodné úsečky součtem úseček o délkách a, b je každá úsečka s délkou a + b rozdílem úseček o délkách a, b (a > b) je každá úsečka s délkou a b 1

Př.: součet a rozdíl úseček graficky osa úsečky prochází středem úsečky a je k ní kolmá Rovina je určena třemi různými body nebo přímkou a bodem neležícím na přímce značí se malými písmeny řecké abecedy např. α, β nebo ABC nebo pc Polorovina přímka dělí rovinu na dvě navzájem opačné poloroviny a je jejich společnou hraniční přímkou např. pn ( pm, příp. ABN ) polorovina určená přímkou p a bodem N ( přímkou p a bodem M, příp. body ABN) Vzájemná poloha útvarů : A p... bod A leží na přímce p, přímka p prochází bodem A A ρ... bod A leží v rovině ρ, rovina ρ prochází bodem A p ρ... přímka p leží v rovině ρ (rovina ρ obsahuje přímku p, rovina ρ prochází přímkou p) A p, A ρ, p ρ... opak (neleží, neprochází) 2

Úhel úhlem rozumíme buď průnik dvou polorovin s různoběžnými hraničními přímkami (konvexní úhel) nebo jejich sjednocení (nekonvexní úhel). např. AVB konvexní úhel AVB V vrchol úhlu VA, VB ramena úhlu M vnitřní bod konvex. úhlu AVB N vnitřní bod nekonvex. úhlu AVB nekonvexní 180 < α < 360 nulový α = 0 pravý α = 90 přímý α = 180 úhel konvexní 0 α 180 plný α = 360 ostrý 0 < α < 90 kosý tupý 90 < α < 180 3

Konvexní geometrický útvar geometrický útvar se nazývá konvexní, jestliže úsečka spojující kterékoliv dva body útvaru je součástí tohoto útvaru přímka, polopřímka, úsečka, polorovina, konvexní úhel,... Vrcholové úhly dvě různoběžky p, q se společným bodem V rozdělí rovinu na čtyři úhly - dvě dvojice úhlů jejichž ramena jsou opačné polopřímky. vrcholové úhly jsou shodné dvojice vrcholových úhlů: Doplňkové úhly libovolné dva ostré úhly, jejichž součet velikostí je 90 Výplňkové úhly libovolný ostrý úhel a tupý úhel, jejichž součet velikostí je 180 Styčné úhly konvexní úhly AVB, BVC, které leží v rovině tak, že jejich průnikem je právě jen rameno VB vedlejší úhly styčné úhly, jejichž grafickým součtem je úhel přímý 4

Osa úhlu polopřímka s počátkem ve vrcholu úhlu rozdělí úhel na dva shodné úhly Velikost úhlu zápis: AVB =α velikost konvexního úhlu AVB při měření úhlů volíme za jednotkový úhel určitý díl pravého úhlu úhlový stupeň šedesátinný (označení 1 ) je 1/90 pravého úhlu. Z úhlového stupně jsou odvozeny úhlová minuta (1') a úhlová vteřina (1 ). Platí 1 = 60' = 3 600. setinný (označení 1 g ) je 1/100 pravého úhlu. Grad se dělí na 100 setinných minut, setinná minuta se dělí na 100 setinných vteřin. oblouková míra jednotkovým úhlem je radián (později) Součet úhlů součet úhlů α, β je úhel o velikosti α + β Rozdíl úhlů rozdíl úhlů α, β (α > β) je úhel o velikosti α β Př: Součet a rozdíl úhlů graficky. 5

Shodné geometrické útvary lze je přemístěním ztotožnit každé dvě přímky jsou shodné, každé dvě polopřímky jsou shodné shodné úsečky mají stejné délky, zápis: AB CD AB = CD shodné úhly mají stejnou velikost, zápis AVB CUD AVB = CUD Příklady: 1. Zapiš symbolicky: a) bod B leží na polopřímce AC b) úsečka AC je částí polopřímky BF c) bod B neleží na úsečce AC d) úsečka BA neleží na polopřímce CF e) polopřímka CB nemá s polopřímkou AF žádný společný bod f) úsečky AC a BD mají jediný společný bod C g) přímka AC splývá s přímkou BF. 2. Zapiš symbolicky: a) úsečka CD leží v polorovině ABE b) polopřímka GD neleží v polorovině ABE c) bod F leží v polorovině CDA d) bod F neleží v polorovině CDE e) polorovina CGB splývá s polorovinou CDE f) přímka q leží v obou polorovinách ABE a ACG. 6

2. Vzájemná poloha přímek v rovině, souhlasné a střídavé úhly Různoběžky mají společný právě jeden bod průsečík P a b = {P}; P a b zvláštní případ kolmé přímky, průsečík P = pata kolmice daným bodem lze vést k dané přímce jedinou kolmici a b a c b c b c a b a c Rovnoběžky a b nemají žádný společný bod a b =, nebo nekonečně mnoho společných bodů zvláštní případ splývající (totožné) přímky a b = a = b daným bodem lze vést k dané přímce jedinou rovnoběžku a b b c a c Rovinný pás (a,b) část roviny ohraničená dvěma rovnoběžkami a, b Úhly souhlasné a střídavé Uvažujme dvě různé přímky a, b, které jsou proťaty příčkou p ve dvou bodech A, B (příčka úsečka nebo přímka, která má specif. polohu k jednomu či několika útvarům). dvojice souhlasných úhlů: dvojice střídavých úhlů: Jestliže jsou přímky a a b rovnoběžné, pak každá dvojice souhlasných (střídavých) úhlů jsou shodné a obráceně. 7

3. Odchylky a vzdálenosti Odchylkou α dvou přímek a, b v rovině nazýváme u různoběžných přímek velikost pravého nebo ostrého úhlu, který přímky svírají u rovnoběžných přímek velikost nulového úhlu zápis ab =α; α 0 ;90 Vzdálenost bodu A od přímky a je vzdálenost bodů A, P (P je pata kolmice vedené bodem A k přímce p) zápis Aa A a A a =0 Vzdálenost rovnoběžných přímek a, b je vzdálenost bodů A, B ( viz nákres) zápis a b a=b a b =0 8

3. Trojúhelník Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA, CAB; A B C; A, B, C neleží v jedné přímce. A, B, C vrcholy trojúhelníku AB, BC, AC strany trojúhelníku AB + BC + AC = O obvod trojúhelníku ( délka hranice) vnitřní body a vnitřek trojúhelníku vnitřní úhly trojúhelníku konvexní úhly BAC, ABC, BCA označení BAC... A... α ABC... B... β BCA... C... γ součet vnitřních úhlů trojúhelníku je vždy úhel přímý. vnější úhly trojúhelníku vedlejší úhly k vnitřním úhlům trojúhelníku ABC vnější úhel je roven součtu vnitřních úhlů při zbývajících vrcholech. proti shodným stranám trojúhelníku leží shodné vnitřní úhly, proti větší straně trojúhelníku leží větší vnitřní úhel a naopak. Dělení trojúhelníků podle délek stran různostranné žádné dvě strany trojúhelníku nejsou shodné rovnoramenné právě dvě strany trojůhelníku jsou shodné ramena, třetí je základna, rovnostranné všechny strany trojúhelníku jsou shodné Dělení trojúhelníků podle velikosti vnitřních úhlů ostroúhlé tupoúhlé všechny vnitřní úhly ostré právě jeden vnitřní úhel tupý pravoúhlé právě jeden vnitřní úhel pravý strana proti pravému úhlu - přepona, ostatní dvě strany - odvěsny 9

Trojúhelníková nerovnost součet každých dvou stran trojúhelníku je větší než strana třetí např. AB AC + BC, přičemž A, B, C jsou vrcholy trojúhelníku (neleží v jedné přímce) Pozn: rovnost nastane právě tehdy, když C AB. Úsečky o délkách a, b, c jsou stranami trojúhelníku právě tehdy, když platí b c < a< b+c. Odvození: Střední příčka trojúhelníku úsečka, která spojuje středy dvou stran trojúhelníku A 1 B 1 = 1 2 AB ; A 1 B 1 AB, atd... Výška trojúhelníku úsečka, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhelníku a pata kolmice vedené tímto vrcholem k přímce určené zbývajícími vrcholy trojúhelníku v a, v b, v c výšky trojúhelníku se protínají v jediném bodě O orthocentrum Těžnice trojúhelníku úsečka spojující vrchol se středem protější strany t a, t b, t c těžnice trojúhelníku se protínají v jednom bodě T těžiště vzdálenost těžiště od vrcholu je rovna dvěma třetinám délky těžnice 10

Kružnice opsaná trojúhelníku prochází všemi vrcholy trojúhelníku střed je průsečíkem os stran trojúhelníku, poloměr r Kružnice vepsaná trojúhelníku dotýká se všech stran trojúhelníku střed je průsečíkem os vnitřních úhlů trojúhelníku, poloměr ρ Shodnost trojúhelníků Věta SSS Dva trojúhelníky, které se shodují ve všech jeho stranách, jsou shodné. Věta USU Dva trojúhelníky, které se shodují v jedné straně a úhlech přilehlých k této straně, jsou shodné. Věta SUS Dva trojúhelníky, které se shodují ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném, jsou shodné. Věta SsU Dva trojúhelníky, které se shodují ve dvou stranách a úhlu proti větší z nich, jsou shodné. Podobnost trojúhelníků Trojúhelníky A'B'C' a ABC jsou podobné právě tehdy když existuje kladné reálné číslo k takové, že pro jejich strany platí: A' B ' =k AB ; B' C ' =k BC ; C ' A' =k CA neboli c' =k c; a'=k a; b'=k b. k koeficient (poměr) podobnosti k > 1 zvětšení, k < 1 zmenšení, k = 1 shodnost Zápis: Δ ABC~Δ A ' B ' C ' Je-li Δ ABC~Δ A ' B ' C ' s koeficientem k, pak je Δ A' B ' C ' ~Δ ABC s koef. 1/k. Věta UU Dva trojúhelníky, které se shodují ve dvou úhlech jsou podobné. Věta SUS Dva trojúhelníky, které se shodují v poměru délek dvou stran a úhlu jimi sevřeném, jsou podobné. 11

Příklady 1. (J) (K) Rozhodni, zda jsou podobné trojúhelníky ABC, A'B'C'. a) a= 8 3 cm,b= 7 3 cm,γ=55, a' =4cm,b'= 7 cm, γ' =55 2 b) a=15cm,b=17cm, γ=75 40',a'=10cm,b' =11cm, γ'=75 40' *c) AB =24mm,v c =16 mm, A ' B' =72 mm, A ' C ' =60mm rovnoramenné d) a=12cm,b=16cm,c=19cm,a'=10cm,b' =13 1 cm,c' =15cm 3, trojúhelníky ABC a A'B'C' jsou 2. (J) Stín věže je dlouhý 70 m a stín metrové tyče má v tutéž dobu délku 150 cm. Vypočítejte výšku věže. 3. (J) Určete měřítko mapy, jestliže trojúhelníková pole o rozměrech 162,5 m; 117,5 m; 180 m je na mapě zakresleno jako trojúhelník o stranách 6,5 mm; 4,7 mm; 7,2 mm. 4. (J) V rovnoramenném trojúhelníku ABC se základnou AB veďte středem S ramene BC kolmici na základnu AB s patou D. Dokažte, že platí AD = 3 4 AB. *5. (J) Vrcholy trojúhelníku ABC mají od přímky p vzdálenost d A = 3 cm, d B = 4 cm, d C = 8 cm. Vypočítej vzdálenost těžiště T trojúhelníku ABC od přímky p. 6. (J) Vypočítej délky stran a, b, c trojúhelníku ABC, který je podobný trojúhelníku A'B'C', jestliže obvod trojúhelníku ABC je 100 cm a a'= 8 cm, b'= 14 cm, c'= 18 cm. 7. (J) Pomocí redukčního úhlu (graficky) zkraťte úsečky o velikostech 4 cm, 8 cm, 12 cm v poměru 5 : 11. 8. (J) Pomocí redukčního úhlu (graficky) zvětšete úsečky o velikostech 2 cm, 5 cm, 6 cm v poměru 7 : 5. 9. (J) Přímá cesta rovnoměrně stoupá na každé 2 m o 10 cm. O kolik metrů stoupne cesta při vzdálenosti 1250 m? 10. (K) Trojúhelník ABC má délky stran a = 2 cm, b = 3 cm, c = 4 cm. Najděte trojúhelník podobný, jehož strana a' = 3 cm. 11. (K) Věž vrhá stín dlouhý 56 m. Tyč dlouhá 3 m má ve stejném okamžiku stín dlouhý 1,75 m. Jak vysoká je věž? Pod jakým úhlem dopadají sluneční paprsky k zemi? Řešení: 1. a) A, b) N, c) A, d) N; 2. 140/3 m; 3. 1 : 25 000; 5. 5 cm; 6. a = 20 cm, b = 35 cm, c = 45 cm; 9. o 62,5 m; 10. b' = 4,5 cm, c' = 6 cm; 11. 96 m, 59 44' 12

4.Mnohoúhelníky Pojmy: lomená čára, vrcholy lomené čáry, strany lomené čáry, lomená čára uzavřená... Mnohoúhelník uzavřená lomená čára spolu s částí roviny, kterou ohraničuje Pojmy: hranice mnohoúhelníku, obvod mn., vrcholy a strany mn., vnitřní body a vnitřek mn., konvexní mnohoúhelník n úhleník má n-vrcholů (n = 3 trojúhelník, n = 4 čtyřúhelník, atd...) Úhlopříčka n-úhelníku úsečka s krajními body ve dvou nesousedních vrcholech počet úhlopříček: Konvexní mnohoúhelník 1 2 n (n 3) mnohoúhelník je konvexní, jestliže úsečka spojující kterékoliv dva body mnohoúhelníku je součástí tohoto útvaru tětivový mnohoúhelník konvexní mnohoúhelník, jemuž lze opsat kružnici tečnový mnohoúhelník konvexní mnohoúhelník, jemuž lze vepsat kružnici opěrná polorovina konvexního mnohoúhelníku každá polorovina, v niž konvexní mnohoúhelník leží a jejíž hraniční přímka má s mnohoúhelníkem společnou právě jednu hranu. konvexní mnohoúhelník je průnikem všech svých opěrných polorovin vnitřní úhel konvexního mnohoúhelníku součet velikostí všech vnitřních úhlů konvexního n-úhelníku: (n 2) 180 vnější úhel konvexního mnohoúhelníku Pravidelný n-úhelník má všechny strany a vnitřní úhly shodné vnitřní úhly mají velikost lze mu opsat i vepsat kružnici (n 2) 180 n např: čtverec, pravidelný pětiúhelník 13

Příklady: 1. Velikosti vnitřních úhlů konvexního čtyřúhelníku jsou v poměru m : n : p : q, kde m, n, p, q jsou daná čísla. Jaké mají velikosti? 2. Lichoběžník ABCD s rameny AD délky 3 cm a BC délky 5 cm lze vepsat kružnici. Střední příčka EF dělí lichoběžník na dvě části, jejichž obsahy jsou v poměru 5 : 11. Vypočítej délky základen lichoběžníku. 3. Sestroj pravidelný trojúhelník, čtyřúhelník, pětiúhelník, šestiúhelník, sedmiúhelník a desetiúhelník. 14

5. Konvexní čtyřúhelníky Různoběžníky každé dvě protější strany jsou různoběžné např. deltoid Lichoběžníky právě dvě protější strany jsou rovnoběžné základny, zbývající dvě strany jsou různoběžné - ramena. střední příčka lichoběžníku úsečka spojující středy ramen S 1 S 2 = AB + CD 2 výška lichoběžníku vzdálenost základen součet vnitřních úhlů při rameni je 180 (výplňkové úhly) zvl. případy rovnoramenný lichoběžník stejná délka ramen pravoúhlý lichoběžník - právě jedno rameno je kolmé k základnám 15

Rovnoběžníky každé dvě protější strany jsou rovnoběžné dělení podle vnitřních úhlů pravoúhlé (obdélník, čtverec) úhlopříčky jsou shodné kosoúhlé ( kosodélník, kosočtverec) dělení podle délek stran rovnostranné (čtverec, kosočtverec) úhlopříčky půlí vnitřní úhly a jsou navzájem kolmé různostranné (obdélník, kosodélník) v každém rovnoběžníku platí protější strany jsou shodné protější vnitřní úhly jsou shodné úhlopříčky se navzájem půlí, jejich společný bod je středem rovnoběžníku věty platí i obráceně: Jestliže konvexní splňuje kteroukoliv z uvedených vlastností, pak je to rovnoběžník. Má-li rovnoběžník dva sousední úhly shodné, pak jsou shodné všechny a jsou pravé. Má-li rovnoběžník dvě sousední strany shodné, pak jsou všechny jeho strany shodné.?? Lze každému trojúhelníku opsat a vepsat kružnici??? Lze každému konvexnímu čtyřúhelníku opsat a vepsat kružnici? 16

Tětivový čtyřúhelník čtyřúhelník, jemuž lze opsat kružnici, obdélník, čtverec lichoběžník je tětivový, právě když je rovnoramenný součet protějších vnitřních úhlů tětivového čtyřúhelníku je úhel přímý Tečnový čtyřúhelník čtyřúhelník, jemuž lze vepsat kružnici kosočtverec, čtverec, deltoid lichoběžník je tečnový, právě když součet délek jeho základen je roven součtu délek jeho ramen součty délek dvojic protějších stran tečnového čtyřúhelníky jsou si rovny Dvojstředový čtyřúhelník čtyřúhelník, jemuž lze opsat i vepsat kružnici čtverec Pozn: Kosodélník není ani tětivový, ani tečnový. 17

6. Kružnice, kruh Kružnice k(s, r) množina všech bodů roviny, které mají od daného bodu S danou vzdálenost r S střed kružnice, r poloměr kružnice Kruh K(S, r) množina všech bodů roviny, které mají od daného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu r S střed kruhu, r poloměr kruhu k(s, r) hranice kruhu vnitřní oblast (vnitřek) kruhu, vnější oblast (vnějšek) kruhu Tětiva kružnice úsečka AB, kde A, B jsou dva různé body kružnice průměr kružnice d je tětiva procházející středem kružnice d = 2. r Kružnicové oblouky (oblouky kružnice) s krajními body A, B Větší oblouk - oblouk v polorovině ABS, menší oblouk (AB neprochází bodem S) Půlkružnice oblouky pokud AB prochází bodem S Otevřený oblouk množina všech vnitřních bodů oblouku (oblouk bez krajních bodů) A, B krajní body obou oblouků C 1, C 2 vnitřní body jednoho oblouku Kruhové výseče Kruhové úseče 18

Vzájemná poloha přímky a kružnice Vnější přímka Tečna Sečna žádný společný bod právě jeden společný bod právě dva společné body v > r T bod dotyku A, B průsečíky v = r v < r tečna je kolmá k r úsečka AB tětiva Bodem M, který leží vně kružnice prochází právě dvě tečny kružnice. MT 1 = MT 2... délka tečny Př 1: Je dána kružnice k a vnější bod M. Sestrojte všechny tečny kružnice k procházející bodem M. 19

Vzájemná poloha dvou kružnic k 1 (S 1, r 1 ), k 2 (S 2, r 2 ) Soustředné kružnice S 1 = S 2 nemají žádný společný bod (r 1 r 2 ), nebo nekonečně mnoho společných bodů (r 1 = r 2 ) zvláštní případ totožné (splývající) kružnice, r 1 = r 2 mezikruží - všechny body, které mají od bodu S vzdálenost menší nebo rovnu r 1 a větší nebo rovnu r 2 šířka mezikruží r 1 r 2 výseč mezikruží průnik mezikruží a úhlu, jehož vrcholem je střed kružnice Nesoustředné kružnice S 1 S 2 S 1 S 2 středná úsečka Každá kružnice leží vně druhé Kružnice mají vnější dotyk S 1 S 2 > r 1 + r 2 S 1 S 2 = r 1 + r 2 Kružnice se protínají ve dvou bodech r 1 - r 2 < S 1 S 2 < r 1 + r 2 Kružnice mají vnitřní dotyk S 1 S 2 = r 1 - r 2 Jedna kružnice leží uvnitř druhé (nedotýkají se) 0 < S 1 S 2 < r 1 - r 2 20

7. Úhly příslušné k oblouku kružnice k(s, r) Úhel středový příslušný k oblouku AB... úhel ω má vrchol v bodu S (střed kružnice k), ramena procházejí body A, B oblouk AB v daném středovém úhlu leží středový úhel k půlkružnici je úhel přímý Úhel obvodový příslušný k oblouku AB úhel α vrchol V leží na kružnici k, neleží na oblouku AB (ke kterému obvodový úhel přísluší), ramena úhlu procházejí body A, B obvodový úhel je vždy konvexní Ke každému oblouku existuje právě jeden středový úhel a nekonečně mnoho obvodových úhlů. 21

Velikost středového úhlu (ω ) je rovna dvojnásobku velikosti obvodového úhlu (α) příslušného k témuž oblouku. ω = 2. α Platí: Všechny obvodové úhly k danému oblouku jsou shodné. Obvodový úhel příslušný k menšímu oblouku je ostrý. Obvodový úhel příslušný k většímu oblouku je tupý. Obvodový úhel příslušný k půlkružnici je ostrý. Součet obvodových úhlů příslušných k oběma obloukům AB je úhel přímý (viz tětivový čtyřúhelník) Thaletova věta všech úhly nad průměrem kružnice jsou pravé. 22

8. Obvody a obsahy geometrických obrazců Geometrický obrazec geometrický útvar ohraničený uzavřenou čarou, která je také částí obrazce Obvod O délka hranice geometrického útvaru Obsah S kladné číslo přiřazené geometrickému obrazci tak, že platí Přehled vzorců 1. Shodné obrazce mají sobě rovné obsahy. 2. Skládá-li se obrazec z několika obrazců, které se nepřekrývají, rovná se jeho obsah součtu jejich obsahů. 3. Obsah čtverce se stranou 1 (mm, cm, ) je 1 (mm 2, cm 2, ) Obrazec Obvod Obsah Trojúhelník O=a+ b+c S= 1 2 a v a= 1 2 b v b= 1 2 c v c Heronův vzorec: S = s ( s a) (s b) (s c), kde s= 1 2 (a+b+c) Obdélník strany a, b Čtverec strana a O=2 (a+ b) S =a b O=4 a S=a 2 S= 1 2 e2 Kosodélník O=2 (a+b) S=a v a =b v b 23

Kosočtverec O=4 a S=a v S= 1 2 e f Lichoběžník O=a+ b+c +d S = 1 2 (a+c) v Kruh O=2 π r=π d S =π r 2 = 1 4 π d 2 d=2ṙ Mezikruží S=π (r 1 2 r 2 2 ) S= 1 4 π (d 2 1 d 2 2 ) d 1 =2 r 1 d 2 =2 r 2 Pravidelný n-úhelník strana... a poloměr kružnice vepsané ρ O=n a S =n 1 2 a ρ= 1 2 O ρ 24

Pozn: Kružnice přísluší středovému úhlu 360, půlkružnice středovému úhlu 180. Délka oblouku, kterému přísluší středový úhel 1 je je 1 360 1 180 délky celé kružnice, tj. délky celé půlkružnice, tj. 2 π r 360 Délka kružnicového oblouku, kterému přísluší středový úhel o velikosti α ( ) AB = π r 180 α Oblouková míra jednotkový úhel. 1 radián středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici (r =1) oblouku o délce 1. α velikost úhlu v míře stupňové (ve stupních), [α] = ' '' arc α, x velikost úhlu v míře obloukové (v radiánech), [x] = rad délka oblouku jednotkové kružnice, který přísluší ke středovému úhlu o velikosti α v míře stupňové x= π α [rad], α=180 x [ ] 180 π velikost úhlu v míře obloukové a velikost úhlu v míře stupňové jsou přímo úměrné. 25