Synteticá geometrie Josef Tadlec Kurz vznil v rámci projetu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáy a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím online prostředí, Operační program Praha daptabilita, registrační číslo Z.2.17/3.1.00/31165.
Synteticá geometrie Josef Tadlec, FF UK Tento urz posytuje ucelený úvod do elementární synteticé planimetrie. V něolia oddílech jsou vysvětlena a doázána nejdůležitější tvrzení, se terými si člově vystačí při řešení naprosté většiny geometricých úloh matematicé olympiády, láta je ilustrována na řešených příladech a čtenáři jsou předložena cvičení, nimž jsou na onci uvedeny návody. Text nepředpoládá žádné předchozí znalosti. Obvodové úhly a tětivové čtyřúhelníy Začněme hned tím bezesporu nejdůležitějším tvrzením synteticé geometrie. Je jím věta o obvodovém a středovém úhlu. Věta. (O obvodovém a středovém úhlu) ána je ružnice se středem O a její tětiva. Probíháli bod X jeden z oblouů ružnice určených body,, zůstává X onstantní. Navíc platí X = 1 2 O, tedy obvodový úhel příslušný danému oblouu je roven polovině úhlu středového. X 1 X 2 X O X 3 O ůaz. Pro jednoduchost předpoládejme, že O je vnitřním bodem trojúhelnía X; ostatní případy se doáží analogicy. Trojúhelníy OX a OX jsou rovnoramenné, taže můžeme psát 2 X = 2 ( XO + OX ) = OX + X + XO = = 180 O O = O, de v posledních dvou rovnostech jsme využili toho, že součet vnitřních úhlů v trojúhelnících X a O je roven 180. Věta je doázána. Přílad. Kružnice, l se středy O 1, O 2 se protínají v bodech,. odem vedeme přímu p terá protne ružnice, l podruhé v bodech K, L. Pro terou volbu přímy p je déla úsečy KL největší možná? Řešení. Spojme body K, L s bodem. l l K 1 K 2 O 1 O 2 L 1 L 2 max O 1 O 2 K 0 L 0 Pro libovolný bod K na ružnici je veliost úhlu K díy předchozí větě onstantní. Podobně je onstantní veliost úhlu L. Všechny možné trojúhelníy KL jsou si ta podobné. éla úsečy KL je proto největší právě tehdy, dyž jsou největší zbylé dvě strany trojúhelnía KL. To se stane, budou-li úsečy K 0, L 0 průměry ružnic, l. Zbývá si rozmyslet, zda je tato situace přípustná (tj. zda 1
2 body K 0,, L 0 leží v přímce). Z Thaletovy věty máme oamžitě K 0 L 0 = K 0 + L 0 = 90 + 90 = 180, taže tato situace opravdu přípustná je. Jaé volbě přímy p odpovídá možnost K 0, L 0? Jeliož K 0 L 0 i O 1 O 2 jsou olmé na, je déla úsečy KL maximální, poud je p rovnoběžná s O 1 O 2. Pro zjednodušení formulací si teď zaveďme určitou terminologii. Řeneme, že čtyřúhelní je tětivový, jestliže mu lze opsat ružnici. Podobně řeneme, že čtyřúhelní je tečnový, jestliže mu lze ružnici vepsat. íy předchozí větě můžeme velice jednoduše charaterizovat tětivové čtyřúhelníy. Tvrzení. (haraterizace tětivových čtyřúhelníů) (i) Jestliže je čtyřúhelní tětivový, pa aždá jeho strana je vidět ze zbylých dvou vrcholů pod stejnými úhly a aždá jeho úhlopříča je vidět ze zbylých dvou vrcholů pod úhly, jejichž součet je 180. (ii) Jestliže je něterá strana čtyřúhelnía vidět ze zbylých dvou vrcholů pod stejným úhlem, je čtyřúhelní tětivový. (iii) Jestliže je něterá úhlopříča čtyřúhelnía vidět ze zbylých dvou vrcholů pod úhly, jejichž součet je 180, je čtyřúhelní tětivový. O O ůaz. Pro důaz bodu (i) označme O střed ružnice opsané čtyřúhelníu. Podle věty o obvodových úhlech platí = 1 2 O = a podobně doážeme ostatní tři rovnosti. ále jeliož součet úhlů sevřených úsečami O, O je roven 360, je součet příslušných obvodových úhlů poloviční, tj. roven 180. Část (ii) doažme sporem s využitím již doázané části (i). Předpoládejme, že ve čtyřúhelníu platí = a označme druhý průsečí přímy a ružnice opsané trojúhelníu. Pa díy (i) máme = =, taže přímy a jsou rovnoběžné, tedy totožné, bod splývá s bodem a čtyřúhelní je tětivový. Třetí část se doáže obdobně jao část druhá (viz obráze). Toto jednoduché tvrzení má nesmírně široé uplatnění v úlohách. Následující tři přílady nevyžadují nic jiného než dovedné manipulování s veliostmi různých úhlů. Přílad. (O svázaných ružnicích) Kružnice, l se protínají v bodech,. Příma vedená bodem protne ružnice, l po řadě v bodech K 1, L 1. Příma vedená bodem protne ružnice, l po řadě v bodech K 2, L 2. Uažte, že K 1 K 2 L 1 L 2. Řešení. Rozlišíme dva případy odpovídající následujícím obrázům.
3 L 2 L 1 K 1 l K 2 K 2 l K 1 L 1 L 2 V prvním z nich máme K 1 K 2 = 180 K 2 = L 2 = 180 L 2 L 1, taže sutečně K 1 K 2 L 1 L 2. Ve druhém případě máme K 1 K 2 = K 2 = L 2 = L 1 L 2 a jsme hotovi taé. Přílad. (obrazy ortocentra) Je dán trojúhelní s ortocentrem 1 H. Uažte, že obrazy bodu H v osových souměrnostech podle stran padnou na ružnici opsanou trojúhelníu. Zároveň uažte, že obrazy bodu H ve středové souměrnosti podle středů stran trojúhelnía padnou na jeho ružnici opsanou rovněž. Řešení. 0 0 H H H Tvrzení zřejmě stačí doázat pro obrazy přes jednu ze stran trojúhelnía. Označíme-li obrazy ortocentra podle strany, resp. jejího středu postupně H, H, stačí doázat, že čtyřúhelníy H a H jsou tětivové. Jeliož trojúhelníy H, resp. H jsou díy symetrii (osové, resp. středové) shodné s trojúhelníem H, stačí doázat, že H + = 180. To je vša zřejmé z pohledu na čtyřúhelní 0 H 0, de 0, 0 značí po řadě paty olmic z vrcholů, na strany trojúhelnía. Tento čtyřúhelní má totiž dva úhly pravé. Přílad. (iquelův bod čtyřúhelnía) Je dán čtyřúhelní, jehož žádné dvě protější strany nejsou rovnoběžné. Označme Q průsečí polopříme a a R průsečí polopříme a. oažte, že ružnice opsané trojúhelníům Q, Q, R a R procházejí všechny jedním bodem. Tento bod se nazývá iquelův bod čtyřúhelnía. 1 Ortocentrum je průsečí výše.
4 Q X R Řešení. Označme X druhý průsečí (červených) ružnic opsaných trojúhelníům Q a Q. Stačí uázat, že X leží i na zbývajících dvou (modrých) ružnicích, čili že čtyřúhelníy XR a XR jsou tětivové. Pišme X = QX QX = Q Q = = (180 R ) R = R, taže čtyřúhelní XR je sutečně tětivový (jeho strana je ze zbývajících dvou vrcholů vidět pod stejným úhlem). Podobně uážeme i X = XQ XQ = (180 Q ) (180 Q ) = = QR QR = R = R a jsme hotovi. vičení 1. Je dán trojúhelní a na jeho stranách,, postupně body, K, L. Uažte, že ružnice opsané trojúhelníům L, K a KL procházejí jedním bodem. vičení 2. oažte, že v obrázu z posledního příladu leží bod X na přímce QR právě tehdy, je-li tětivový. Švrčův bod Jeliož stejně dlouhým tětivám odpovídají stejně velé středové úhly, musejí jim díy větě o obvodovém úhlu odpovídat i stejně velé úhly obvodové. ůsledem tohoto pozorování je následující tvrzení. Tvrzení. (Švrčův 2 bod) án je trojúhelní. Označme Š střed toho oblouu ružnice mu opsané, terý neobsahuje bod. Pa Š leží na ose strany i na ose vnitřního úhlu u vrcholu. 2 Jaroslav Švrče je dlouholetý organizátor česé O a velý propagátor tohoto bodu. Š
ůaz. Jeliož Š je střed oblouu, je Š = Š, tedy Š sutečně leží na ose strany. Jeliož Š = Š, musejí oblouům Š a Š odpovídat stejně velé obvodové úhly. Tedy Š leží na ose vnitřního úhlu u vrcholu. Švrčův bod má řadu zajímavých vlastností, z nichž jednu si uvedeme v rámci následujícího příladu. Přílad. V trojúhelníu označme I střed ružnice vepsané a E střed ružnice připsané vzhledem vrcholu. Uažte, že čtyřúhelní EI je tětivový a bod Š z výše zmíněného tvrzení je středem jeho ružnice opsané. Řešení. Osy vnitřního a vnějšího úhlu jsou na sebe olmé, taže ve čtyřúhelníu EI je IE = IE = 90. Čtyřúhelní je proto sutečně tětivový. 5 I Š Stačí uázat, že bod Š je středem ružnice opsané trojúhelníu I. Již víme, že Š = Š, taže uážeme-li např. Š = ŠI, budeme hotovi. Veliosti vnitřních úhlů trojúhelnía IŠ umíme vyjádřit pomocí veliostí vnitřních úhlů trojúhelnía. Sutečně, ŠI = Š + I = Š + I = 1 2 α + 1 2 β, IŠ = 180 I = I + I = 1 2 α + 1 2 β. Přílad. (JO 2010) Osy vnitřních úhlů u vrcholů, trojúhelnía protnou protější strany po řadě v bodech K, L. Osa úsečy L protíná přímu K v bodě. od N leží na přímce L ta, že KN L. oažte, že KN = N. L N K Řešení. od leží na ose vnitřního úhlu u vrcholu a zároveň na ose strany L, taže je to Švrčův bod trojúhelnía L a čtyřúhelní L je ta tětivový. Podobně jao v příladu o svázaných ružnicích můžeme přenést úhly NK = L = L = N
6 a usoudit, že čtyřúhelní KN je rovněž tětivový. Jeliož bod N leží na ose vnitřního úhlu u vrcholu v trojúhelníu K a zároveň na ružnici trojúhelníu K opsané, je to střed oblouu K (tj. Švrčův bod), pročež leží i na ose strany K a my máme ýžené KN = N. vičení 3. Osy vnitřních úhlu u vrcholů,, trojúhelnía protnou jeho ružnici opsanou podruhé v bodech Ša, Šb, Šc. Označme I střed ružnice trojúhelníu vepsané. Uažte, že I je ortocentrem trojúhelnía ŠaŠbŠc. Úseové úhly Již jsme viděli, že pomocí veliostí úhlů umíme charaterizovat lecteré geometricé onfigurace (rovnoběžné přímy, 4 body na ružnici,... ). alší onfigurací, terá je úhly snadno postižitelná, je ružnice s tečnou. Následující tvrzení podává tuto charaterizaci v ucelené podobě. Tvrzení. (O úseovém úhlu) Je dán trojúhelní a příma p procházející vrcholem. Na přímce p zvolme bod P ta, aby příma oddělovala body P,. Pa p je tečnou e ružnici opsané trojúhelníu právě tehdy, dyž P =. ůaz. p P O Jeliož tečna e ružnici opsané trojúhelníu v bodě je jediná, stačí doázat, že je u ní úhel o veliosti. K tomu stačí postupně počítat P = 90 O = O = 1 O = 2 a jsme hotovi. I toto tvrzení má široé uplatnění, vyřešme pomocí něj proto dva přílady. Přílad. Kružnice, l se středy O 1, O 2 se protínají v bodech,. odem vedeme přímu p, terá protne ružnice, l podruhé v bodech K, L. Tečny e ružnicím, l vedené body K, L se protnou v bodě. Uažte, že body K,, L, leží na jedné ružnici. Řešení. vojím použitím tvrzení o úseovém úhlu dostáváme KL = 180 LK LK = 180 L K = 180 LK, taže čtyřúhelní K L je tětivový. l O 1 O 2 L K
Přílad. (O 58 I 2) Pravoúhlému trojúhelníu s přeponou je opsána ružnice. Paty olmic z bodů, na tečnu této ružnici v bodě označme, E. Vyjádřete délu úsečy E pomocí déle odvěsen trojúhelníu. Řešení. E 7 b a c = a 2 + b 2 Z úseových úhlů máme = a = E. Jeliož trojúhelníy,, E se dále shodují v pravém úhlu, jsou všechny podobné. Zbývá vyjádřit dély a E. Označíme-li si a, b, c dély úseče,,, můžeme psát = a b c, E = b a c E = 2ab a2 + b 2. vičení 4. (rocardův bod trojúhelnía) Je dán trojúhelní. Kružnice a se dotýá jeho strany v bodě a prochází vrcholem. Kružnice b, c jsou definovány obdobně. Uažte, že ružnice a, b, c procházejí jedním bodem. Tento bod se nazývá 1. rocardův bod trojúhelnía. Náš dosavadní arzenál nám dovoluje mnoha způsoby naládat s úhly. V následujícím oddílu ho rozšíříme o techniu, terá nám umožní zapojit do našich postupů i netriviální úvahy o délách úseče. ocnost bodu e ružnici efinice. (ocnost) Je dán bod a ružnice se středem O a poloměrem r. ocností 3 bodu e ružnici rozumíme číslo p(, ) = O 2 r 2. Předchozí definice je velmi neprůhledná není ani trochu zřetelné, proč by se ružnici a bodu mělo přiřadit číslo podle právě výše popsaného pravidla. Jistou geometricou interpretaci může nabídnout to, že pro bod vně ružnice vyjadřuje číslo p(, ) druhou mocninu vzdálenosti bodu od bodu T, což je bod, v němž se ružnice dotýá tečna ní vedená bodem. Uveďme vša vlastnosti mocnosti popořádu. r T T 2 = O 2 r 2 = p(, ) O 3 Značení písmenem p pochází z anglicého termínu power of a point.
8 Záladní vlastnosti Nechť je bod a (O; r) ružnice. (i) Číslo p(, ) je nulové právě tehdy, dyž bod leží na ružnici. Číslo p(, ) je ladné/záporné právě tehdy, dyž leží vně/uvnitř ružnice. (ii) uď N další bod. Je-li p(, ) = p(n, ), pa O = ON. (iii) Poud leží vně, označme T ten bod ružnice, pro terý je příma T e ružnici tečnou. Pa platí p(, ) = T 2. (iv) (zásadní!) Nechť příma p vedená bodem protne v bodech,. Pa = p(, ), de úsečy, nahlížíme jao orientované. Poslední z uvedených vlastností je pro mocnost líčová, a proto načrtněme její zdůvodnění. p O Označme, průsečíy přímy O a ružnice. Našim cílem je uázat, že =, neboť pravá strana je rovna ( O + r)( O r) = O 2 r 2 = p(, ). Zaměřme se na trojúhelníy a. Ty jsou díy tětivovosti podobné podle věty uu. Z této podobnosti již plyne = a zbývá roznásobit. Než poročíme samotným příladům na mocnost, povšimněme si ještě, že tato zásadní vlastnost mocnosti nám sýtá další ritérium pro tětivovost čtyřúhelnía. Sutečně, jejím přímým použitím zísáme následující Tvrzení. uď čtyřúhelní a předpoládejme, že polopřímy a se protnou v bodě. Pa je tětivový právě tehdy, dyž =. ůaz. Poud je čtyřúhelní tětivový, pa zmíněný vztah zřejmě platí. Naopa, platí-li =, pa jsou trojúhelníy a podobné podle věty sus, taže = a čtyřúhelní je tětivový, jeliož součet jeho dvou protějších úhlů je 180. nyní již onečně e slibovaným příladům. Ve druhém z nich si vzpomeneme i na úseové úhly. Přílad. Kružnice, l se středy K, L se protínají v bodech,. Příma protne společnou tečnu ružnic, l, terá se jich dotýá v bodech T, U, v bodě P. Uažte, že P T = P U.
9 K L l T P U Řešení. Z mocnosti bodu P e ružnici máme P T 2 = P P. Podobně z mocnosti bodu P e ružnici l máme P P = P U 2. Porovnáním a odmocněním dostáváme výslede. Přílad. (PraSe 2005) Nechť je čtyřúhelní vepsaný do ružnice taový, že přímy a se protínají v bodě Q. Označme průsečí přímy a rovnoběžy s přímou vedené bodem Q. Zvolme T ta, aby T byla tečnou ružnice. oažte, že T = Q. Řešení. Z mocnosti bodu e ružnici opsané čtyřúhelníu plyne T 2 =. Úloha po nás tedy vlastně chce doázat Q 2 = (všimněte si, že jsme se tím ompletně zbavili umělého bodu T ). Q T Teď si uvědomíme, že vztah Q 2 = je evivalentní tomu, že Q je tečna ružnice opsané trojúhelníu Q (opět díy mocnosti). Pro vyřešení úlohy by tedy stačilo doázat rovnost (potenciálního obvodového) úhlu Q a (potenciálního úseového) úhlu Q. To je vša snadné, protože díy tětivovosti a rovnoběžnosti příme a Q můžeme psát Q = = Q, přesně ja bylo požadováno. Následující přílad shrnuje všechny dosud zmíněné techniy. Přílad. ějme pravoúhlý trojúhelní s přeponou. Na jeho odvěsně zvolme bod. Nyní sestrojme ružnici 1, terá se dotýá v bodě a prochází bodem. ále též ružnici 2, terá se dotýá v bodě a též prochází bodem. Označme E druhý průsečí ružnic 1 a 2. oažte, že úhly a E jsou shodné. Řešení. Označme průsečí přímy E a strany.
10 E 1 2 Podobně jao v prvním příladě užitím mocnosti bodu e ružnicím 1, 2 dostáváme 2 = p(, 1 ) = E = p(, 2 ) = 2, taže je středem přepony pravoúhlého trojúhelnía, a tedy taé středem jeho ružnice opsané. Speciálně je trojúhelní rovnoramenný a my máme =. Taé ovšem díy úseovému úhlu e ružnici 1 máme = E = E, taže z bodů a E je úseča vidět pod stejným úhlem a čtyřúhelní E je tětivový. Proto je i E = E = =. vičení 5. (O 56 I 5) V rovině je dána ružnice se středem S a bod S. Určete množinu středů ružnic opsaných všem trojúhelníům, jejichž strana je průměrem ružnice. Poročme nyní dále ve studiu onceptu mocnosti bodu e ružnici zadefinováním dalšího termínu. hordály efinice. Nechť, l jsou ružnice. nožinu těch bodů X, pro teré platí p(x, ) = p(x, l), nazýváme chordálou ružnic, l. Následující převapivé tvrzení je široce uplatnitelné v mnoha úlohách. Jeho důaz je bohužel poměrně technicý. Pro používání samotného tvrzení vša jeho znalost naštěstí není nezbytná. Tvrzení. hordálou dvou nesoustředných ružnic 1 (S 1, r 1 ), 2 (S 2, r 2 ) je příma olmá na spojnici jejich středů. Poud se navíc ružnice protínají, je to právě spojnice jejich průsečíů. ůaz. Předpoládejme, že jsme našli nějaý bod P, terý má stejnou mocnost oběma ružnicím. Označme p olmici vedenou bodem P na přímu S 1 S 2 a X její průsečí s S 1 S 2. Uážeme nejdříve, že potom už aždý bod přímy p má stejnou mocnost e ružnicím 1, 2. p 1 S 1 S 2 2 P 2 1 S 1 X S 2 Sutečně, hodnota p(p, 1 ) p(p, 2 ) = ( P S 1 2 r 2 1) ( P S 2 2 r 2 2) = ( P S 1 2 P S 2 2 ) (r 2 1 r 2 2) = = ( P X 2 + XS 1 2 P X 2 XS 2 2 ) (r 2 1 r 2 2) = ( XS 1 2 XS 2 2 ) (r 2 1 r 2 2) nezávisí na poloze bodu P na přímce p. Je-li tedy pro jeden bod přímy p tato hodnota nula, je rovna nule pro všechny body. Stačí tedy doázat, že na přímce S 1 S 2 existuje právě jeden bod X, pro nějž je p(x, 1 ) = p(x, 2 ), tj. pro nějž je XS 1 2 XS 2 2 = r 2 1 r 2 2. To je vša snadné, neboť probíhá-li bod X přímu S 1 S 2 zleva doprava, levá strana roste. Hodnoty r 2 1 r 2 2 ta nabyde přesně jednou.
Poud se ružnice protínají, mají oba jejich průsečíy oběma ružnicím mocnost 0, taže oba na chordále leží. Jeliož výše jsme doázali, že chordála je příma, je to právě příma spojující tyto dva průsečíy. Přílad. Na úsečce je dán bod. Ve stejné polorovině určené přímou zonstruujme čtverce a EF. Jejich opsané ružnice se podruhé protnou v bodě N. Uažte, že příma N prochází pevným bodem nezávislým na volbě bodu. Řešení. Příma N je chordála ružnic opsaných čtvercům a EF. hceme tedy najít bod, terý má oběma ružnicím vždy stejnou mocnost. E F 11 N P Zonstruujme bod P ta, aby trojúhelní P byl rovnoramenný pravoúhlý se záladnou a příma oddělovala bod P a dva zadané čtverce. Nezávisle na volbě bodu je P je tečna e ružnici opsané čtverci a podobně P je tečna e ružnici opsané čtverci EF (úseový úhel). ocnost bodu P oběma ružnicím je tedy rovna P 2 = P 2 a my jsme hotovi. Přílad. (IO 2008, P1) Označme H ortocentrum ostroúhlého trojúhelnía. Kružnice a se středem ve středu strany procházející bodem H protíná stranu v bodech 1, 2. ody 1, 2, 1, 2 definujeme podobně. Uažte, že body 1, 2, 1, 2, 1, 2 leží na jedné ružnici. Řešení. Označme středy stran, postupně, N. Uážeme nejdříve, že body 1, 2, 1, 2 leží na jedné ružnici. 1 1 N 2 H O 2 Spojnice středů ružnic b, c je střední příča v trojúhelníu, což je příma rovnoběžná se stranou. Spojnice průsečíů těchto dvou ružnic tedy bude na olmá. Jeliož obě ružnice b, c procházejí bodem H, leží jejich druhý průsečí na výšce z vrcholu. od proto leží na chordále ružnic b, c, taže má oběma stejnou mocnost. Z 1 2 = p(, c ) = p(, b ) = 1 2 ovšem vyplývá, že body 1, 2, 1, 2 leží na jedné ružnici. Střed této ružnice najdeme jao průsečí os úseče 1 2, 1 2 je jím tedy střed ružnice opsané trojúhelníu (označme ho O). Podobně uážeme, že na jedné ružnici leží i body 1, 2, 1, 2. Tyto dvě ružnice mají totožný střed O i poloměr O 1, taže jde o jednu jedinou ružnici a tvrzení úlohy je doázáno. vičení 6. Je dán čtverec a jeho střed S. Zonstruujme ružnice, l ta, že prochází body
12,, ružnice l prochází body a a navíc se, l protínají v bodech P, Q. Uažte, že body P, Q, S leží v přímce. Stejnolehlost Na onci tohoto urzu se ještě dotneme jednoho geometricého zobrazení, totiž stejnolehlosti. efinice. Stejnolehlost h je zobrazení 4 určené středem H a oeficientem r (r 0, r 1), teré zobrazuje bod na ten bod přímy H, pro nějž H H = r. Stejnolehlost se středem H a oeficientem r značíme h(h, r). r = 1 r = 1 2 H r = 1 2 r = 2 Šipe nad úsečami se netřeba leat vyjadřují jen to, že je-li r > 0, polopřímy H a H splývají, zatímco v opačném případě (r < 0) jsou sobě navzájem opačné. Než se vrhneme na přílady, uveďme bez důazu záladní vlastnosti stejnolehlosti. Vlastnosti stejnolehlosti (i) Stejnolehlost s oeficientem 1 je středová souměrnost. (ii) Stejnolehlost je podobné zobrazení (tj. pro aždé dva body, platí = r ). (iii) Obrazem přímy ve stejnolehlosti je příma s ní rovnoběžná. (iv) Obrazem ružnice ve stejnolehlosti je ružnice. (v) Pro dvě ružnice s různými poloměry existují dvě stejnolehlosti, teré převádějí jednu na druhou. Jedna z nich má ladný oeficient, druhá záporný. Středy těchto stejnolehlostí lze najít jao průsečíy vnějších, resp. vnitřních společných tečen, poud tyto existují. Přílad. (Turnaj měst, 1984) Uvnitř čtverce je dán bod P. Uažte, že těžiště trojúhelníů P, P, P, P tvoří čtverec. Řešení. T 3 T 3 T 4 P T 2 T 4 P T 2 T 1 T 1 Označme těžiště zmíněných trojúhelníů postupně T 1, T 2, T 3, T 4. Označme dále,,, středy stran,,, čtverce. Jeliož těžiště trojúhelnía leží vždy v jedné třetině 4 Z anglicého homothety.
13 těžnice, stejnolehlost h(p, 2 3 ) zobrazí středy stran čtverce na příslušná těžiště. Středy stran čtverce ale tvoří čtverec, proto i ona těžiště tvoří čtverec. Přesvědčivou apliací stejnolehlosti je následující slavné tvrzení z geometrie trojúhelnía. Přílad. (Feuerbachova ružnice) uď trojúhelní a H jeho ortocentrum. Označme středy stran trojúhelnía postupně K, L,, jeho paty výše 0, 0, 0 a onečně středy úseče H, H, H postupně 1, 1, 1. Uažte, že body K, L,, 0, 0, 0, 1, 1, 1 leží na jedné ružnici. Této ružnici se říá Feuerbachova ružnice (nebo též ružnice devíti bodů) trojúhelnía. Řešení. Uvažme ružnici trojúhelníu opsanou. Označme H a, H b, H c obrazy ortocentra v osové souměrnosti podle příslušných stran a H a, H b, H c obrazy ve středové souměrnosti podle středů příslušných stran. Těchto šest obrazů (stejně jao body,, ) leží na ružnici. H b H c 1 0 H b H c 0 H O L 1 1 0 K H a Uvažme stejnolehlost h se středem H a oeficientem 1 2. V této stejnolehlosti se ružnice zobrazí na ružnici (označme ji ) o polovičním poloměru. ody H a, H b, H c se zobrazí na paty výše trojúhelnía, body H a, H b, H c na středy stran a onečně vrcholy na středy spojnic H, H, H. Všech těchto devět bodů leží na ružnici a my jsme hotovi. H a Časté je užití stejnolehlosti v případech, dy se v zadání vysytují dvě dotýající se ružnice. V taovém případě je užitečné zaměřit se na stejnolehlost se středem v příslušném bodě dotyu, terá na sebe dvě dotýající se ružnice převádí. Přílad. (Lemma o ose úhlu) Kružnice, l mají vnitřní doty v bodě T. Tětiva ružnice se dotýá ružnice l v bodě. Uažte, že příma T je osa úhlu T. Řešení. Uvažme stejnolehlost se středem T, terá zobrazí l na. Obrazem přímy bude příma s rovnoběžná, terá se bude dotýat ružnice. Označme tuto přímu t a bod dotyu. T l t
14 Jeliož je obraz bodu ve stejnolehlosti se středem v T, leží body T,, v přímce. Zbývá si povšimnout, že ze symetrie je bod středem oblouu ružnice, taže je to Švrčův bod trojúhelnía T. Jao taový leží mimo jiné na ose úhlu T, což jsme chtěli doázat. Řešení předchozí úlohy se dá velmi dobře vidět, poud si bez újmy na obecnosti ( búno ) položíme tětivu vodorovně a bod T nad ni. Pa je totiž bod na ružnici l dole, taže i jeho obraz (průsečí T a ) bude na své ružnici dole. Jeliož jsou ale body, stejně vysoo, bude středem oblouu, pročež bude příma T osou úhlu T. Následující přílad využívá myšlenu bodů dole v nepatrně obecnější podobě. Přílad. Označme Ša, Šb, Šc středy ratších oblouů ružnice opsané ostroúhlému trojúhelníu a, E, F po řadě body dotyu ružnice vepsané se stranami,,. Označme ještě O, resp. I střed ružnice opsané, resp. vepsané trojúhelníu. Uažte, že přímy Ša, Š b E, Š c F a OI procházejí jedním bodem. Řešení. Položme stranu vodorovně. Pa F je bod dole na ružnici vepsané a bod Šc je bod dole na ružnici opsané. Jejich spojnice proto prochází středem stejnolehlosti s ladným oeficientem, terá zobrazuje ružnici vepsanou trojúhelníu na ružnici mu opsanou (označme ho H + ). Š a Š b E H + I O F Obdobně můžeme položit vodorovně terouoliv jinou stranu. Tím dostaneme, že přímy Ša, ŠbE, Š c F všechny procházejí bodem H +. Zbývá si uvědomit, že zmíněná stejnolehlost zobrazuje i střed ružnice vepsané na střed opsané, a tedy v přímce leží i H +, I a O. vičení 7. (KS 2011) Na ružnici se středem O jsou vyznačeny dva poloměry O, O. Kružnice l se dotýá ružnice v bodě Q a zmíněných poloměrů O, O postupně v bodech,. Určete veliost uhlu Q. vičení 8. (PraSe 2010) V téže polorovině určené přímou p leží ružnice, l, m, teré se jí dotýají v bodech K, L,. Navíc se ružnice, l dotýají v bodě T a ružnice l, m v bodě U. Uažte, že přímy KT, U a ružnice l procházejí jedním bodem. Čerpal jsem ze článu Š c Literatura a zdroje. Rolíne, J. Tadlec: The Š point, http://onlinemathcircle.com a dále z archivů různých národních i mezinárodních soutěží: PraSe (atematicý orespondenční seminář): ms.mff.cuni.cz, KS (Korešpondenčný matematicý seminár): ms.s, O (atematicá olympiáda): math.muni.cz/ rvmo, Turnaj měst (The Tournament of Towns): http://www.math.toronto.edu/oz, JO (Junior alan ath Olympiad), IO (International athematical Olympiad): http://www.artofproblemsolving.com.
Návody e cvičením 15 vičení 1. Návod: Označte průsečí ružnic opsaných např. trojúhelníům L a K písmenem X a uažte, že KLX je tětivový. vičení 2. Návod: Rozdělte P XQ na součet dvou jiných úhlů a aždý z nich pomocí tětivového čtyřúhelnía přeneste. vičení 3. Návod: Uažte, že Ša je olmá na ŠbŠc (vyjádřete úhel mezi dvěma tětivami ružnice jao součet obvodových úhlů příslušných dvěma oblouům). vičení 4. Návod: Protněte dvě ružnice a uažte, že jejich průsečí leží na ružnici třetí. Užijte úseové úhly. vičení 5. Návod: Naměřte mocnost bodu S e ružnici opsané libovolnému trojúhelníu po dvou různých přímách a vyvoďte, že všechny ružnice opsané procházejí romě bodu ještě jedním pevným bodem. o to říá o jejich středech? vičení 6. Návod: Příma P Q je chordála ružnic, l, stačí tedy uázat, že S má oběma ružnicím tutéž mocnost. vičení 7. Návod: Použijte Lemma o ose úhlu nebo si uvědomte, že je-li vpravo a na l dole, protne příma Q ružnici taé dole a čtvrtružnici přísluší obvodový úhel 45. vičení 8. Návod: Položte přímu p vodorovně a uažte, že přímy KT, U obě protínají ružnici l v bodě nahoře.