ANALÝZA PRŮCHODU PAPRSKOVÝCH SVAZKŮ KOUTOVÝM ODRAŽEČEM P Kytka J Novák ČVUT v Praze Fakulta tavební katedra fyziky Práce e zabývá analýzou průchodu paprků koutovým odražečem což je typ hranolu který je běžně používán v inženýrké eodézii pro měření V práci je teoreticky popán způob chodu paprků a je provedena komplexní analýza vlivu nepřenotí jednotlivých úhlů hranolu na chybu odchylky vytupujícího paprku po jeho průchodu hranolem využitím výpočetního protředí MATLAB Úvod Určení odchylky paprku po průchodu různými optickými členy je jednou ze základních úloh eometrické optiky která louží pro navrhování optických přítrojů a outav Přenot výroby jednotlivých členů je základním faktorem který polečně fyzikálními parametry navrhovaných optických outav limituje výlednou kvalitu zobrazení Optické hranoly jou optické prvky z průhledného optického protředí rovinnými plochami které mezi ebou vírají určité předem definované úhly Při průchodu paprkových vazků e využívá jak lomu tak především odrazu na těnách Primárním úkolem hranolů v optických přítrojích je poté změna měru a orientace procházejících paprkových vazků pomocí odrazu a lomu větla na funkčních plochách hranolu Hranoly jou oučátí mnoha přených optických měřicích přítrojů Důležitou otázkou pro praxi je to jak e projeví chyby jednotlivých úhlů hranolu na výledné odchylce paprku což ouvií též úlohou přeného měření úhlů optických hranolů Vzhledem k tomu že výroba každého optického prvku je vždy ztížena určitou chybou nechovají e vyrobené optické prvky tak jak by e měly teoreticky chovat Je proto velmi důležité pro praxi znát vliv chyb jednotlivých optických prvků V praxi jou úhly hranolů vždy zatíženy chybami které vznikají v proceu výroby Tyto úhlové chyby hranolu jou podtatnou ložkou při pouzování kvality hranolu a rozhodují o možné aplikaci hranolu v různých přítrojích Někdy e chyby úhlů u vyrobených hranolů navzájem kompenzují a je tedy nutno pooudit kvalitu hranolu komplexně ohledem na jeho využití V rámci této práce e zaměříme na průchod paprků koutovým odražečem což je typ hranolu který je běžně používán v inženýrké eodézii pro měření V práci je teoreticky popán způob chodu paprků u zvoleného hranolu Dále je provedena komplexní analýza vlivu nepřenotí jednotlivých úhlů hranolu na chybu odchylky vytupujícího paprku po jeho průchodu hranolem využitím výpočetního protředí MATLAB Průchod paprkových vazků hranolem Určení odchylky paprku po průchodu různými optickými členy je jednou ze základních úloh eometrické optiky která louží pro navrhování optických přítrojů a outav Přenot výroby jednotlivých členů je základním faktorem který polečně fyzikálními parametry navrhovaných optických outav limituje výlednou kvalitu zobrazení [] Optický hranol i lze obecně předtavit jako outavu rovinných ploch které mezi ebou vírají určité úhly Primárním úkolem hranolů v optických přítrojích je poté změna měru a orientace procházejících paprkových vazků pomocí odrazu a lomu větla na funkčních plochách hranolu Důležitou otázkou pro praxi je to jak e projeví chyby jednotlivých úhlů hranolu na výledné odchylce paprku což ouvií též úlohou přeného měření úhlů optických hranolů Vzhledem k tomu že výroba každého optického prvku je vždy ztížena určitou chybou nechovají e vyrobené optické prvky tak jak by e měly teoreticky chovat Je proto velmi důležité pro praxi znát vliv chyb jednotlivých optických prvků V praxi jou úhly hranolů vždy zatíženy chybami které vznikají v proceu výroby Tyto úhlové chyby hranolu jou podtatnou ložkou při pouzování kvality hranolu a rozhodují o možné aplikaci hranolu v různých přítrojích Někdy e chyby úhlů u
vyrobených hranolů navzájem kompenzují a je tedy nutno pooudit kvalitu hranolu komplexně ohledem na jeho využití Nejprve e budeme zabývat popiem průchodu paprku obecným optickým hranolem definovaným vektorovou bází normálových vektorů lámavých a odrazných ploch Budeme předpokládat že těny hranolu jou dokonale rovinné plochy tj omezíme e na eometrickou teorii průchodu paprku hranolem a zanedbáme možné deformace těn hranolu které ovlivňují kvalitu zobrazení a způobují též odchylky procházejících paprků [] Jak již bylo řečeno při průchodu paprku optickým hranolem dochází k jeho lomu rep odrazu na jedné nebo více funkčních plochách hranolu Pro měrový vektor lomeného paprku na dané ploše poté podle zákona lomu platí [] n n n [ ( ) n n ] () n kde je jednotkový měrový vektor dopadajícího paprku je jednotkový vektor normály k ploše na které natává lom n je index lomu prvního protředí a n je index lomu druhého protředí Pro odraz na funkčních plochách optického hranolu poté můžeme podle zákona a odrazu pát pro měrový vektor odraženého paprku [] ( ) () kde vektor značí jednotkový normálový vektor k dané ploše na které natává odraz Potupným využitím předchozích vztahů již můžeme provét propočet paprku libovolným typem hranolu V dalším e zaměříme pouze na případ koutového odražeče Koutový odražeč Koutový odražeč je optický hranol který tvoří pravoúhlý trojhran (rovnoramenný čtyřtěn) V ideálním případě paprek který vtupuje na čelní těnu hranolu (podtavu trojhranu) e třikrát odráží na jednotlivých těnách hranolu a poté vytupuje zpět čelní těnou v přeně opačném měru tj o úhlová odchylka dopadajícího paprku je rovna 8 Koutový odražeč nachází široké pole půobnoti v řadě odvětví vědy a techniky např pro přená měření délek apod U ideálního hranolu jou tři úhly pravé a pro další tři vychází in ω 6 / co ω / Všechny úhly jou však v praxi zatíženy určitými chybami způobenými výrobním proceem hranolu Podle výše uvedených vztahů pro lom a odraz větla na rozhraní hranolu lze opět pro odchylku paprku po průchodu koutovým odražečem jenž je vyroben z materiálu o indexu lomu n pát náledující rovnice: Lom ( ): n [ ( ) ] () n n Odraz ( ): ( ) () Odraz ( ): ( ) () Odraz ( ): ( ) (6) Lom ( ): n ( n [ ( ) n ) (7) kde ] jou jednotkové normálové vektory ke těnám hranolu na kterých natává odraz a je jednotkový normálový vektor k čelní (vtupní) ploše hranolu Pomocí uvedených vztahů lze
modelovat průchod obecného paprku vyšetřovaným hranolem a vliv nepřenotí výroby jednotlivých úhlů hranolu na výlednou odchylku vytupujícího paprku Situace je chématicky znázorněna na obr Podle uvedeného obrázku platí pro jednotkové normálové vektory k jednotlivým funkčním plochám hranolu že () () () () / (8) Odchylku ϑ vtupujícího a vytupujícího paprku poté jednoduše můžeme určit ze vztahu co ϑ (9) Obr: Průchod paprku koutovým odražečem Podle uvedených obecných vektorových vztahů byl vytvořen oftware který umožňuje pomocí eometricko-optické teorie analyzovat odchylku vytupujícího paprku v záviloti na výrobní přenoti hranolu Průchod paprku koutovým odražečem použitím vektorového počtu můžeme též vyjádřit analyticky Budeme-li předpokládat že odrazné plochy jou dokonale rovinné a v dalším budeme uvažovat pouze trojnáobný odraz na těchto plochách hranolu Nechť a jou jednotkové vektory kolmé těmto plochám přičemž e uvažuje pravotočivá ouřadná outava Dále nechť vektory a jou rovnoběžné průečíkem ploch takže budou platit vztahy: kde [ ] ( ) značí míšený oučin vektorů Nechť dopadající paprek jednotkovým měrovým vektorem potupně protíná jednotlivé plochy tak že jou po jednom dvou a tří odrazech užitím zákona lomu ve vektorovém tvaru jeho měry a Kombinací vektorových rovnic zákona odrazu pro výledný měr na výtupu odražeče dotaneme:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 8( )( )( ) Předchozí rovnice e dá upravit tak že oddělíme členy chybami různých řádů využitím vlatnotí vektorů a vektorů ' ' ' které tvoří reciproký ytém Po úpravě tak lze obdržet výledný vztah [ ( ) ' ( ) ' ( ) ' ] ( )( )( ' ) ( )( )( ' ) ( )( )( ') ( )( )( ') ( )( )( ') ( )( )( ') 8( )( )( ) () Tento výledek je přený pro libovolnou hodnotu úhlů tří odrazných ploch Protože však koutový odražeč má plochy přibližně kolmé potom rozdíly ( ') ( ') a ( ') jou malé Malé hodnoty jou také oučiny To znamená že ve vztahu () ( ) ( ) ( ) jou hodnoty za prvním členem výrazu veličiny velikoti druhého řádu které lze pro malé chyby úhlů (jež e v praxi vykytují) zanedbat Jetliže tedy α α α označíme malé abolutní chyby pravých úhlů mezi jednotlivými těnami koutového odražeče (dané výrobní přenotí hranolu) pak lze pát: π co α in α in α in α Protože e jedná v praxi o úhly velikotí několika vteřin lze použít aproximaci in α α Subtitucí předchozích vztahů a uvážením pouze členu velikoti prvního řádu potom dotaneme pro výledný vektor paprku ( α α α ) () Toto je explicitní tvar výrazu pro měr odraženého paprku vyjádřený pomocí veličin dopadajícího paprku za předpokladu malých úhlových chyb koutového odražeče Pro úplný popi průchodu paprku muíme ještě započítat lom na vtupní ploše hranolu Simulace průchodu paprků koutovým odražečem Nechť úhly které vírají jednotlivé těny koutového odražeče jou označeny α α α V případě ideálního hranolu budou všechny úhly pravé Na základě velikoti těchto úhlů můžeme určit jednotkové normálové vektory k jednotlivým těnám hranolu Zvolme např ( ) Dále platí coα coα coα
Pomocí předchozích vztahů poté obdržíme pro zbývající tři ložky normálových vektorů in α coα coα coα in α in α Abychom provedli tatitickou analýzu vlivu chyb jednotlivých úhlů na chybu odchylky paprku vytupujícího z hranolu provedeme počítačovou imulaci náhodných chyb úhlů hranolu Na počátku imulace určíme odchylku a měrový vektor pro ideální hranol (tj hranol kdy chyba velikoti ϑ úhlů je nulová) Budeme předpokládat že chyby α α jednotlivých úhlů jou dány α normálním rozdělením nulovou třední hodnotou a měrodatnými odchylkami δα α N ( δα ) α N ( δα ) α N ( δα ) Jednotlivé úhly koutového odražeče tedy budou mít hodnotu α α α α α α α α α δα δα Po průchodu hranolem zíkáme jednotkový měrový vektor a odchylku ϑ vtupujícího a vytupujícího paprku poté jednoduše určíme ze vztahu co ϑ Simulace e provádí pro velký počet opakování (výpočet odchylky ϑ pro různé hodnoty α α α ) a náledně e dá určit třední hodnota ϑ a rozptyl hodnot σ odchylky ϑ ϑ Úhlovou odchylku paprku mezi počítačově imulovaným případem a ideálním případem zíkáme jednoduše ze vztahu co δϑ Budeme-li chtít tatiticky zpracovat nejen velikot úhlové odchylky δϑ ale i její měr ϕ v rovině kolmé na vektor ) potom zavedeme jednotkové vektory ( ( ) t t b tj Úhel ϕ v rovině kolmé na vektor lze poté vypočítat z náledujících vztahů r ( t b r r in δϑ ) t ( b ) r t co ϕ in δϑ Poté lze výledné odchylky zpracovat tatiticky nejen podle velikoti ale i podle jejich měru Předpokládejme nyní případ ideálního koutového odražeče o α α α 9
Předpokládejme dále že vtupní měr paprku je () / Provedená imulace úhlových odchylek jednotlivých úhlů hranolu α α α a výpočet měrodatné odchylky σ δϑ je uveden v tabulce pro zvolené hodnoty měrodatné odchylky úhlových chyb δα δα δα δα Tabulka : Závilot měrodatné odchylky σ δϑ na chybách úhlů hranolu δα δα [ ] σ δϑ [ ] 8 99 9 6 7 79 9 988 87 6 88 Směrovou závilot a velikot úhlových odchylek δϑ vytupujících paprků je možno raficky zobrazit pomocí rozdělení relativní četnoti odchylek nebo v polárních ouřadnicích jako bodový raf v rovině (obr) Obr: Zobrazení rozdělení úhlových odchylek δϑ
Závěr V práci byla provedena teoretická analýza průchodu paprků koutovým odražečem Byl zkoumán vliv nepřenotí jednotlivých úhlů hranolu na chybu odchylky vytupujícího paprku po jeho průchodu hranolem Dále byla provedena tatitická analýza daného problému využitím výpočetního protředí MATLAB 6 Literatura [] AMikš : Aplikovaná optika - Geometrická a vlnová optika Vydavateltví ČVUT Praha [] AMikš: Interferometrické metody vyhodnocování férických ploch v optice Jemná mechanika a optika roč 6 č 9- [] AMikš JNovák: Tetin of Plano-Optical Element Optica Applicata () 9- [] EKašpar: Optické hranoly Zvláštní otik Sborníku Maarykovy akademie práce r č Petr Kytka Fakulta tavební ČVUT v Praze Thákurova 7 669 Praha 6 email: pkytka@eznamcz InJiří Novák PhD katedra fyziky Fakulta tavební ČVUT v Praze Thákurova 7 669 Praha 6 email: novakji@fvcvutcz