M - Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.
± Planimetrie Planimetrie Planimetrie je geometrie zabývající je rovinnými útvary (= rovinná geometrie). Základní geometrické prvky a útvary: Bod - nejmenší geometrický útvar Znázorňujeme: Přímka - rovná čára spojující dva body; každými dvěma body je jednoznačně určena právě jedna přímka. Přímku značíme buď malým písmenem (např. p) nebo dvěma body (např. «AB) Znázorňujeme: Pozn.: Dvěma body může být dána i polopřímka nebo úsečka Polopřímka: Znázorňujeme: Zapisujeme: AB Úsečka: Znázorňujeme: Zapisujeme: AB Pozn.: Potřebujeme-li vyjádřit délku (velikost) úsečky AB, pak zapisujeme AB = 20 cm Pozn.: Platí, že AB ¹ BA Rovina - geometrický útvar, který je určen třemi nekolineárními body, případně přímkou a bodem, který na této přímce neleží. Znázorňujeme: nebo Zapisujeme: «ABC nebo «pc Pozn.: Obdobným způsobem vyjadřujeme i polorovinu. 1 z 55
Zapisujeme: ABC nebo pc Úhel - je část roviny, která je ohraničena dvěma polopřímkami se společným počátečním bodem. Znázorňujeme: Zapisujeme: Úhel může být: nulový (velikost 0 ) = a kosý (velikost 0 < a < 180 ) pravý (velikost 90 ) 2 z 55
přímý (velikost 180 ) plný (velikost 360 ) Jiné dělení: úhel konvexní (velikost 0 < a < 180 ) úhel konkávní (někdy též nekonvexní) (velikost 180 < a < 360 ) Dvojice úhlů v rovině: 1. Dvojice úhlů vrcholových (oba úhly mají stejnou velikost) 3 z 55
2. Dvojice úhlů vedlejších (jejich součet je 180 ) 3. Dvojice úhlů souhlasných nebo střídavých (mají stejnou velikost) 4. Dvojice úhlů výplňkových 4 z 55
5. Dvojice úhlů doplňkových 6. Dvojice úhlů styčných Rovinné útvary I. Trojúhelník Trojúhelník je nejjednodušší rovinný útvar, má tři vrcholy, tři strany, tři vnitřní úhly a tři vnější úhly. Součet všech vnitřních úhlů v trojúhelníku je vždy 180. Součet vnitřního úhlu a vnějšího úhlu při stejném vrcholu je 180. Vnější úhel má vždy stejnou velikost jako součet obou vnitřních úhlů při zbývajících dvou vrcholech. Pro každý trojúhelník musí platit trojúhelníková nerovnost (součet každých dvou stran musí být vždy větší než strana třetí). Strany v trojúhelníku značíme podle jejich protějších vrcholů. Každý trojúhelník má tři výšky (kolmice spuštěná z vrcholu k protější straně); průsečík výšek se nazývá orthocentrum. 5 z 55
Každý trojúhelník má tři těžnice (úsečka spojující vrchol se středem protější strany); průsečík těžnic se nazývá těžiště; těžiště rozděluje těžnici na dva úseky, které jsou v poměru 1 : 2, větší díl je blíže k vrcholu. Každý trojúhelník má tři střední příčky (úsečka spojující dva středy stran); střední příčka je vždy rovnoběžná s jednou stranou trojúhelníka a má vůči ní poloviční velikost. Každý trojúhelník má střed kružnice opsané (průsečík os stran); kružnice opsaná prochází všemi vrcholy trojúhelníka. Každý trojúhelník má střed kružnice vepsané (průsečík os vnitřních úhlů); kružnice vepsaná se dotýká všech tří stran. obvod trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = a + b + c obsah trojúhelníka se vypočte podle vzorce S = (1/2).a.v a obsah trojúhelníka se může též vypočítat podle vzorce S = (1/2).a.b.sing pro obsah trojúhelníka platí též Heronův vzorec: 6 z 55
S = s.( s - a).( s - b).( s - c) a + b + c s = 2 Rozdělení a vlastnosti trojúhelníků: A. Obecný trojúhelník nemá žádné specifické vlastnosti, platí pro něj vlastnosti výše uvedené B. Ostroúhlý trojúhelník trojúhelník, který má všechny vnitřní úhly ostré C. Pravoúhlý trojúhelník 7 z 55
trojúhelník, který má jeden vnitřní úhel pravý a zbývající dva vnitřní úhly ostré zvláštní význam má rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, který má jedem vnitřní úhel velikosti 90 a zbývající dva vnitřní úhly shodné - velikosti 45. u pravoúhlého trojúhelníka nazýváme nejdelší stranu (proti pravému úhlu) přepona a zbývající dvě strany odvěsny u pravoúhlého trojúhelníka je střed kružnice opsané vždy středem přepony; tato vlastnost vyplývá z Thaletovy věty pro výpočet obsahu pravoúhlého trojúhelníka, který má odvěsny a, b a přeponu c, platí vzorec S = (1/2).a.b; je to proto, že odvěsny jsou v tomto typu trojúhelníka zároveň výškami v pravoúhlém trojúhelníku platí Pythagorova věta c 2 = a 2 + b 2 (při označení přepony písmenem c) v pravoúhlém trojúhelníku, kde c je přepona, platí též goniometrické funkce: protilehlá a sin a = = přepona c protilehlá tg a = = přilehlá a b D. Tupoúhlý trojúhelník přilehlá b cosa = = přepona c přilehlá b cotga = = protilehlá a má jeden vnitřní úhel tupý a zbývající dva vnitřní úhly ostré dvě výšky tohoto trojúhelníka leží mimo trojúhelník; mimo trojúhelník leží i orthocentrum E. Rovnoramenný trojúhelník 8 z 55
má dvě strany shodné - nazývají se ramena, a zbývající strana se nazývá základna vnitřní úhly při základně jsou shodné trojúhelník je osově souměrný, osa souměrnosti půlí základnu výška spuštěná z hlavního vrcholu (tj. z vrcholu proti základně) je kolmá k základně střed kružnice opsané i vepsané leží na ose souměrnosti výška spuštěná z hlavního vrcholu je zároveň i těžnicí na ose souměrnosti leží i těžiště rovnoramenný trojúhelník může být i ostroúhlý i tupoúhlý, ale i pravoúhlý obvod rovnoramenného trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = 2a + c F. Rovnostranný trojúhelník má všechny strany stejně dlouhé má všechny vnitřní úhly stejně velké a mají velikost 60 má všechny vnější úhly stejně velké a mají velikost 120 je osově souměrný - má tři osy souměrnosti střed kružnice opsané je zároveň i středem kružnice vepsané a zároveň i orthocentrem a těžištěm výšky jsou zároveň i těžnice obvod rovnostranného trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = 3.a výška se vypočte podle vzorce v = a.ö3/2 II. Čtyřúhelník A. Obecný čtyřúhelník 9 z 55
má čtyři strany, čtyři vrcholy, ale jinak žádné specifické vlastnosti čtyřúhelníky zpravidla značíme ABCD, jejich strany pak a, b, c, d a úhlopříčky AC = e, BD = f součet všech vnitřních úhlů ve čtyřúhelníku je 360 Pozn.: Různoběžník B. Rovnoběžník čtyřúhelník, který má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné obvod rovnoběžníka se vypočte podle vzorce o = 2.(a + b) obsah rovnoběžníka se vypočte podle vzorce S = a. v a každé dva protější vnitřní úhly jsou shodné součet dvou sousedních vnitřních úhlů je 180 úhlopříčky se navzájem půlí je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček a) čtverec má všechny strany stejně dlouhé, všechny vnitřní úhly shodné - velikosti 90 úhlopříčky čtverce jsou shodné, půlí se a jsou navzájem kolmé průsečík úhlopříček je středem kružnice opsané i středem kružnice vepsané je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček je osově souměrný, má čtyři osy souměrnosti (2 osy stran a 2 prodloužené úhlopříčky) obvod se vypočte podle vzorce o = 4.a obsah se vypočte podle vzorce S = a 2 nebo také S = u 2 /2 10 z 55
úhlopříčka se vypočte podle vzorce u = a.ö2 b) obdélník má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné má všechny vnitřní úhly pravé úhlopříčky obdélníka jsou shodné, navzájem se půlí průsečík úhlopříček je střed kružnice opsané je středově souměrný podle středu úhlopříček je osově souměrný - má dvě osy souměrnosti, kterými jsou osy stran obvod se vypočte podle vzorce o = 2.(a + b) obsah se vypočte podle vzorce S = a.b pro výpočet délky úhlopříčky platí Pythagorova věta c) kosočtverec má všechny strany stejně dlouhé každé dva protější vnitřní úhly jsou shodné každé dva sousední vnitřní úhly mají součet velikostí 180 úhlopříčky se navzájem půlí a jsou na sebe kolmé je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček je osově souměrný, má dvě osy souměrnosti, které jsou prodlouženými úhlopříčkami obvod se vypočte podle vzorce o = 4.a obsah se vypočte podle vzorce S = a.v a nebo také S = u 1.u 2/2 lze vepsat kružnici - středem je průsečík úhlopříček d) kosodélník 11 z 55
má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné má každé dva protější vnitřní úhly shodné každé dva sousední vnitřní úhly mají součet velikostí 180 úhlopříčky se navzájem půlí je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček C. Lichoběžník čtyřúhelník, který má dvě protější strany rovnoběžné a zbývající dvě protější strany různoběžné; rovnoběžné strany nazýváme základny, zbývající dvě strany nazýváme ramena obvod lichoběžníka se vypočte podle vzorce o = a + b + c + d obsah lichoběžníka se vypočte podle vzorce S = ( a + c). 2 v a) rovnoramenný lichoběžník má obě ramena shodná má oba vnitřní úhly při každé základně shodné úhlopříčky jsou shodné je osově souměrný - má jednu osu souměrnosti, kterou je osa obou základen lze mu opsat kružnici b) pravoúhlý lichoběžník 12 z 55
má právě dva vniřní úhly pravé jedno rameno je kolmé k oběma základnám D. Deltoid má dvě a dvě strany shodné úhlopříčky jsou na sebe kolmé nestejně dlouhé strany svírají stejné úhly je osově souměrný - má 1 osu souměrnosti obvod se vypočte podle vzorce o = 2.(a + b) obsah se vypočte podle vzorce S = e. f / 2 Jiné dělení a) Čtyřúhelník konvexní b) Čtyřúhelník nekonvexní 13 z 55
III. Pravidelný pětiúhelník má všechny strany shodné má všechny vnitřní úhly shodné postup konstrukce: sestrojíme kružnici se středem S a v ní navzájem dva kolmé průměry AB a CD najdeme střed K úsečky SB sestrojíme úsečku KC obloukem kružnice o středu K a poloměru KC protneme průměr AB a získáme tak bod L úsečka LC je pak délkou strany pravidelného pětiúhelníka; tuto úsečku naneseme kružítkem na původní kružnici a získáme tak vrcholy hledaného pravidelného pětiúhelníka IV. Pravidelný šestiúhelník má všechny stany shodné je středově souměrný je osově souměrný - má 6 os souměrnosti sestrojíme-li všechny úsečky spojující střed s vrcholy, rozdělíme pravidelný šestiúhelník na 6 shodných rovnostranných trojúhelníků každý vnitřní úhel má velikost 120 lze opsat i vepsat kružnici postup konstrukce: sestrojíme kružnici se středem S a poloměrem r na kružnici zvolíme libovolný bod A z bodu A postupně naneseme na kružnici poloměr r a získáme tak zbývajících pět vrcholů hledaného šestiúhelníka V. Pravidelný osmiúhelník má všechny strany shodné je středově souměrný je osově souměrný - má čtyři osy souměrnosti lze opsat i vepsat kružnici VI. Kruh, kružnice a jejich části Základní pojmy: 14 z 55
Kružnici označujeme k, kruh označujeme K. Často zapisujeme k(s; r) nebo K(S; r), což znamená kružnice (resp. kruh) o středu S a poloměru r. Kružnice je množina bodů, které mají od jednoho pevného bodu stejnou vzdálenost. Tento pevný bod nazýváme střed a konstantní vzdálenost bodů od středu nazýváme poloměr kružnice. Kruh je množina všech bodů, které mají od jednoho pevného bodu vzdálenost, která je menší nebo rovna poloměru obvodové kružnice. Jinými slovy lze též vyjádřit, že kruh je část roviny, která je ohraničena kružnicí. Poloměr označujeme nejčastěji r. Dvě délky poloměru tvoří průměr kružnice - označujeme d. Přímka a kružnice mohou mít několik vzájemných poloh: 1. Přímka a kružnice nemají žádný společný bod, pak přímku nazýváme vnější přímkou kružnice (nesečnou). 2. Přímka a kružnice mají právě jeden společný bod, pak přímku nazýváme tečnou. 15 z 55
Tečna je vždy kolmá na poloměr. 3. Přímka a kružnice mají dva společné body, pak přímku nazýváme sečna. Část přímky, která v tomto případě leží uvnitř kružnice, nazýváme už zmíněnou tětivou. Tětiva kružnice je úsečka, jejíž krajní body leží na kružnici. Nejdelší tětivou kružnice je její průměr. Osa tětivy vždy prochází středem kružnice. Úhel a nazýváme obvodový úhel; úhel w nazýváme středový úhel. Platí pravidlo, že úhel středový je dvojnásobkem úhlu obvodového. Kružnice Pro výpočet délky kružnice platí vzorce: l = 2.p.r nebo l = p.d Kruh Pro výpočet obvodu kruhu platí vzorce: o = 2.p.r nebo o = p.d Pro výpočet obsahu kruhu platí vzorce: S = p.r 2 nebo S = p.d 2 /4 Kruhový oblouk 16 z 55
Pro délku kruhového oblouku a platí: p.r a =.a 180 nebo p.d a =.a 360 Soustředné kružnice Jedná se u dvě nebo více kružnic, které mají stejný střed, ale různý poloměr. Kruhová výseč Jedná se o rovinný útvar. Pro obsah kruhové výseče S platí: 2 p.r S =. a 360 nebo 2 p.d S =. a 1440 Kruhová úseč Jedná se opět o rovinný útvar. 17 z 55
Mezikruží Rovinný útvar. Obsah mezikruží: S = p. (r 2 2 - r 1 2) ± Shodnost trojúhelníků, důkazy Shodnost trojúhelníků O dvou útvarech říkáme, že jsou shodné, lze-li je v rovině přemístit tak, že se kryjí. Shodnost rozlišujeme: 1. Útvary přímo shodné (posunutím v rovině se navzájem kryjí) 2. Útvary nepřímo shodné (nelze je posouváním ztotožnit, ale lze je ztotožnit převrácením) 18 z 55
Uvedené vlastnosti platí analogicky i v prostoru. Můžeme ztotožnit tělesa - např. krychle, kvádry, apod.; nelze ale ztotožnit např. levou a pravou ruku. Proto i zde hovoříme o nepřímé shodnosti, někdy též tzv. zrcadlení. Věty o shodnosti trojúhelníků: Věta sss. Pro každé dva trojúhelníky ABC, A B C platí: Shodují-li se trojúhelníky ve všech třech stranách, jsou shodné. Věta sus: Shodují-li se dva trojúhelníky ve dvou stranách a v úhlu jimi sevřeném, pak jsou shodné. Věta usu: 19 z 55
Shodují-li se dva trojúhelníky v jedné straně a v obou úhlech k této straně přilehlých, pak jsou shodné. Věta Ssu: Dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se ve dvou stranách a v úhlu ležícím proti větší z nich. Pozn.: Každá matematická věta se skládá ze dvou částí - z předpokladu a z tvrzení. Po vyslovení každé matematické věty by měl následovat její důkaz. V tom se také matematická věta liší od definice. Definice je obecně platné tvrzení, které už nedokazujeme. Pro důkazy matematických vět používáme obvykle 3 typy důkazů: 1. Přímý důkaz - na základě předpokladu uvedeného v matematické větě a na základě obecně platných vlastností vyplývajících z definic nebo z jiných už dokázaných vět, vyvozujeme tvrzení vyslovené matematické věty. 2. Nepřímý důkaz (důkaz sporem) - předpokládáme, že platí negace tvrzení stanoveného v matematické větě. Na základě obecně platných definic nebo už dokázaných matematických vět dojdeme ke sporu, tj. k závěru, který neplatí. V důsledku toho pak vyslovíme závěr, že negace původně stanoveného tvrzení neplatí a musí tedy platit původní tvrzení. 3. Důkaz matematickou indukcí - s tímto typem důkazu se seznámíme později; založen je na tom, že dokážeme, že věta platí pro n = 1, pak pro libovolné n + 1 a v závěru na základě získaných poznatků větu dokážeme. Důkazové úlohy: 20 z 55
Příklad 1: Nad stranami AC a BC rovnostranného trojúhelníka ABC jsou sestrojeny rovnostranné trojúhelníky ACD a BCE tak, že každý z nich leží vně trojúhelníka ABC. Dokažte, že trojúhelník AEC je shodný s trojúhelníkem DBC. Řešení: AC = CD.. vyplývá z předpokladu věty a z vlastností rovnostranného trojúhelníka BC = CE.. vyplývá z předpokladu věty a z vlastností rovnostranného trojúhelníka AC = BC.. vyplývá z vlastností zadaného rovnostranného trojúhelníka... (1) Z uvedených tří vlastností vyplývá, že CD = CE... (2) úhel g = 60.. vyplývá z vlastností zadaného rovnostranného trojúhelníka úhel DCB = g + 60 úhel ACE = g + 60 Z uvedených dvou vlastností vyplývá, že úhel DCB = úhel ACE... (3) Ze závěrů (1), (2), (3) vyplývá, že trojúhelníky jsou tedy shodné podle věty sus. CBD Příklad 2: Je dán čtverec ABCD. Veďte v něm dvě libovolné příčky k sobě kolmé, z nichž jedna protíná strany AD a BC v bodech P a Q a druhá protíná strany AB a CD v bodech U a V. Dokažte, že platí PQ = UV Řešení: 21 z 55
D BCE je shodný s D ABF (Ssu) Odtud vyplývá, že: EC = FB = UV = PQ Závěr: PQ = UV CBD ± Shodnost trojúhelníků - procvičovací důkazové úlohy 1. Nad stranami AB a AC ostroúhlého trojúhelníka ABC jsou sestrojeny čtverce ABPQ a ACRT tak, že leží vně trojúhelníka ABC. Dokažte, že CQ = BT. 648 2. Na ose o ostrého úhlu AVB zvolte bod S uvnitř úhlu AVB a sestrojte kružnici k(s; r) tak, aby r > SV. Dokažte, že platí MN = PQ, kde M, N jsou body, ve kterých přímka AV protíná kružnici k a P, Q body, ve kterých přímka VB protíná kružnici k. 650 3. Je dán rovnoramenný trojúhelník ABC a bod D, který je středem jeho základny AB. Bodem D jsou vedeny kolmice k ramenům AC a BC trojúhelníka ABC a jejich paty označeny M, N. Dokažte, že D DMC je shodný s D DNC. 652 4. Je dána kružnice k(s; r) a bod P, který leží vně kružnice k. Veďte bodem P ke kružnici k tečny t 1, t 2 a označte jejich dotykové body T 1 a T 2. Dokažte, že PT 1 = PT 2 a úhel SPT 1 = úhel SPT 2. 649 5. Rovnoramenný trojúhelník ABC má při základně AB úhel 30. Dokažte, že osy ramen tohoto trojúhelníka rozdělují jeho základnu AB na tři stejné díly. 651 22 z 55
± Podobnost trojúhelníků Podobnost trojúhelníků Definice: Trojúhelníky ABC, A B C jsou podobné, jestliže pro jejich strany platí: a = k. a b = k. b c = k. c Číslo k nazýváme koeficientem (poměrem) podobnosti. Koeficient podobnosti je vždy větší než nula. Je-li k > 1, hovoříme o tzv. zvětšení, je -li 0 < k < 1, hovoříme o tzv. zmenšení. Pozn.: Pokud by bylo k = 1, nastala by shodnost. Shodnost je tedy zvláštní případ podobnosti. Věty o podobnosti trojúhelníků: Věta sss: Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže jejich poměry každých dvou odpovídajících si stran jsou shodné. Věta sus: Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže se shodují v jednom úhlu a poměry odpovídajících si stran, které svírají uvedený úhel, jsou shodné. Věta uu: Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže se shodují ve dvou odpovídajících si úhlech. Poznámka: Pro podobné útvary tedy platí: - odpovídající si úsečky jsou ve stejném poměru - odpovídající si úhly jsou shodné Důkazové úlohy: Příklad 1: Věta: Jestliže dva libovolné trojúhelníky ABC, A B C jsou rovnostranné, pak jsou podobné. Důkaz: Vnitřní úhly při vrcholech A, B, C mají velikost 60... vyplývá z vlastností rovnostranného trojúhelníka Vnitřní úhly při vrcholech A, B, C mají velikost 60... vyplývá z vlastností rovnostranného trojúhelníka Vnitřní úhel při vrcholu A je tedy shodný s vnitřním úhlem při vrcholu A, vnitřní úhel při vrcholu B je shodný s vnitřním úhlem při vrcholu B. Oba trojúhelníky jsou tedy podobné podle věty uu. CBD Příklad 2: Věta: Jestliže dva pravoúhlé trojúhelníky jsou rovnoramenné, pak jsou podobné. Důkaz: 23 z 55
Vnitřní úhly při vrcholech A, A mají velikost 90 a jsou tedy shodné (vyplývá z předpokladu) AB = AC... vyplývá z předpokladu a z vlastností rovnoramenného trojúhelníka A B = A C... vyplývá z předpokladu a z vlastností rovnoramenného trojúhelníka A B AB = A C AC = k Trojúhelníky jsou tedy podobné podle věty sus. CBD Výpočtové úlohy: Příklad 3: Les tvaru trojúhelníka ABC je na mapě v měřítku 1 : 50 000 zakreslen jako trojúhelník A B C o stranách délek 3,2 cm, 4,8 cm 5,4 cm. Určete skutečné velikosti stran trojúhelníka. Řešení: A B = 3,2 cm B C = 4,8 cm A C = 5,4 cm k = 1 : 50 000 AB =? [cm] BC =? [cm] AC =? [cm] ------------------------------ AB = (1/k). A B AB = 3,2. 50 000 cm = 160 000 cm = 1,6 km BC = 4,8. 50 000 cm = 240 000 cm = 2,4 km AC = 5,4. 50 000 cm = 270 000 cm = 2,7 km Rozměry lesa jsou 1,6 km, 2,4 km, 2,7 km. ± Podobnost trojúhelníků - procvičovací příklady 1. Jsou dány trojúhelníky ABC a A B C a platí: a = 6 b = 8 c = 9 a = 5 b = 6 2/3 c = 7 1/2 Rozhodněte, zda jsou trojúhelníky podobné. Jsou podobné. 666 24 z 55
2. Trojúhelníkové pole o rozměrech 162,5 m, 117,5 m a 180 m je na mapě zakresleno jako trojúhelník se stranami 6,5 mm, 4,7 mm, 7,2 mm. Určete měřítko mapy. 1 : 25 000 3. Z vrcholu pahorku 80 metrů vysokého je vidět na vodorovné rovině za sebou dvě tyče pod hloubkovými úhly 62 a 42. Určete vzdálenost obou tyčí. 46,3 m 4. Školní budova vrhá na rovinu dvora stín 16 m dlouhý a v téže době vrhá svislá tyč stín 132 cm dlouhý. Určete výšku budovy. 12,12 m 5. Trojúhelníky EFG a MNK jsou podobné a platí, že: EF = 5 cm MN = 7 cm EG = 6 cm NK = 4 cm Vypočtěte délku strany FG. 2,86 cm 6. Dva rovnoramenné trojúhelníky mají základny c, c a výšky v, v. Dokažte, že jsou trojúhelníky podobné, platí-li c : v = c : v 653 660 654 664 659 7. Nepřátelská pozorovatelna je vzdálena 4 200 metrů a je položena o 180 metrů výše než postavení dělostřelecké baterie. Jak daleko lze umístit dělo za krytem, aby nebylo vidět z nepřátelské pozorovatelny? Kryt před baterií je 15 metrů vysoký. 350 m 8. Jsou dány dva podobné trojúhelníky, jejichž koeficient podobnosti je k. Určete, v jakém poměru jsou jejich obvody. k 9. Dokažte, že trojúhelník ABC a trojúhelník A B C, který má vrcholy ve středech stran trojúhelníka ABC, jsou trojúhelníky podobné. 656 661 663 10. Jsou dány dva podobné trojúhelníky, jejichž koeficient podobnosti je k. Určete, v jakém poměru jsou jejich obsahy. k 2 11. Rozhodněte, zda trojúhelníky ABC, A B C jsou podobné, je-li zadáno: a = 2,5 b = 7 vnitřní úhel při vrcholu C je 90 a = 5 b = 13,9 vnitřní úhel při vrcholu C je 90 Nejsou podobné 662 658 25 z 55
12. Přímá cesta rovnoměrně stoupá na každých dvou metrech o 46 cm. O kolik metrů stoupne cesta na vzdálenosti 270 metrů? 62,1 m 13. Trojúhelníky EFG a MNK jsou podobné a platí, že: EF = 5 cm MN = 7 cm EG = 6 cm NK = 4 cm Vypočtěte délku strany MK. 8,4 cm 14. Rozhodněte, zda trojúhelníky ABC, A B C jsou podobné, je-li zadáno: a = 5/3 b = 11/6 vnitřní úhel při vrcholu C je 70 a = 5/2 b = 11/4 vnitřní úhel při vrcholu C je 70 Jsou podobné 655 665 657 ± Pythagorova věta Pythagorova věta Věta: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců sestrojených nad oběma odvěsnami. Důkaz: Na základě Eukleidovy věty o odvěsně platí: a 2 = c. c a 26 z 55
b 2 = c. c b ---------------- Sečteme-li pravé i levé strany obou rovnic, dostáváme: a 2 + b 2 = c. c a + c. c b = c. (c a + c b) = c. c = c 2 Platí také věta obrácená: CBD Věta: Platí-li o stranách trojúhelníka ABC předpoklad, že c 2 = a 2 + b 2, pak jde o pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem při vrcholu C. Důkaz: Zvolme pravoúhlý trojúhelník A B C takový, aby při vrcholu C byl pravý úhel. Nechť jeho odvěsny jsou shodné se stranami AC a BC daného trojúhelníka ABC. Platí tedy: a = a b = b Pro přeponu trojúhelníka A B C platí Pythagorova věta: c 2 = a 2 + b 2 = a 2 + b 2 = c 2 Z toho vyplývá, že c = c Trojúhelník ABC je pak shodný s trojúhelníkem A B C (sss), proto i vnitřní úhel při vrcholu C (který je pravý) je roven vnitřnímu úhlu při vrcholu C. I ten je tedy pravý a to jsme měli dokázat. Ukázkové příklady: Příklad 1: Rozhodněte, zda trojúhelník daný třemi stranami o délkách 4 cm, 5 cm, 6 cm je pravoúhlý. Řešení: a = 4 cm b = 5 cm c = 6 cm c =? [cm] ----------------------- Podle Pythagorovy věty vypočteme pomocí předpokládaných odvěsen (tj. kratších stran) a, b délku pomyslné přepony c. Pokud bude platit c = c, pak je původní trojúhelník pravoúhlý. 2 c = a + b 2 = 4 2 + 5 2 = 41 ¹ 6 Závěr tedy zní: Zadaný trojúhelník není pravoúhlý. ± Pythagorova věta - procvičovací příklady 1. 696 12 27 z 55
2. 697 3. 694 12 cm 4. 698 5. 692 110 m 6. 700 4,9 cm 7. 695 8. 691 6,06 cm 9. 0,6 cm 690 10. 689 1,4 m 11. 693 1 092 cm 2 12. 699 1,78 cm 28 z 55
± Eukleidovy věty Eukleidovy věty 1. Věta o výšce Pata výšky C rozdělí stranu c na dvě části: c a, c b. Tvrzení: Trojúhelník AC C je podobný s trojúhelníkem CC B. Důkaz je zřejmý podle věty uu, neboť oba trojúhelníky obsahují úhly alfa a beta. Pozn.: Dva úhly, které mají na sebe kolmá ramena, jsou shodné. Z podobnosti trojúhelníků vyplývá: v c b ca = v Þ v 2 = c. c a Rovněž by se dalo vyjádřit se stejným závěrem: v c a cb = v Þ v 2 = a b c. c b Vzniklý závěr nazýváme Eukleidovou větou o výšce a můžeme ji slovně vyjádřit následující větou: Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka, jehož stranami jsou úseky strany c. Každou větu je nutno dokázat - důkaz už byl ale vlastně proveden výše. 2. Věta o odvěsně 29 z 55
Trojúhelník AC C je podobný s trojúhelníkem ACB. Podobnost lze odůvodnit opět podle věty uu, neboť v obou trojúhelnících jsou opět úhly alfa i beta. Z podobnosti trojúhelníků vyplývá: c b b = Þ b 2 = cb c b c. Rovněž by se dalo vyjádřit: c a a = Þ a 2 = ca c a c. Vzniklé vzorce jsou matematickým vyjádřením Eukleidových vět o odvěsně. Protože každý pravoúhlý trojúhelník má dvě odvěsny, jsou vždy i dvě Eukleidovy věty o odvěsnách. Opět můžeme napsat matematickou větu: Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka, jehož stranami jsou přepona a úsek přilehlý k dané odvěsně. Důkaz i této věty už byl vlastně proveden výše. Ukázkové příklady Příklad 1 - určení druhé odmocniny pomocí Eukleidovy věty o výšce: Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku o délce x = Ö10 Řešení: 1. Číslo pod odmocninou rozložíme na součin libovolných dvou činitelů - např. 2. 5 2. Rovnost x = Ö10 upravíme do tvaru x 2 = 10, resp. x 2 = 2. 5 3. Zvolíme-li x = v, c a = 2, c b = 5, pak můžeme snadno použít větu o výšce. 4. Protože platí c a + c b = c, zjistíme, že přepona bude dlouhá 2 + 5 = 7 5. Narýsujeme úsečku AB o délce 7. 6. Vyznačíme bod C a to tak, že je vzdálen od bodu A o délku 5. 7. Najdeme střed úsečky AB a uděláme půlkružnici k s tímto středem a poloměrem odpovídajícím polovině úsečky AB. 8. V bodě C vstyčíme kolmici, její průsečík s kruhovým obloukem označíme X. 9. Délka úsečky C X pak odpovídá hledané x = Ö10 Příklad 2 - určení druhé odmocniny pomocí Eukleidovy věty o odvěsně: Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku o délce x = Ö10 30 z 55
Řešení: 1. Číslo pod odmocninou rozložíme na součin libovolných dvou činitelů - např. 2. 5 2. Rovnost x = Ö10 upravíme do tvaru x 2 = 10, resp. x 2 = 2. 5 3. Zvolíme-li x = a, c a = 2, c = 5, pak můžeme snadno použít větu o odvěsně a. 4. Narýsujeme úsečku AB o délce 5. 5. Vyznačíme bod C a to tak, že je vzdálen od bodu B o délku 2. 6. Najdeme střed úsečky AB a uděláme půlkružnici k s tímto středem a poloměrem odpovídajícím polovině úsečky AB. 7. V bodě C vstyčíme kolmici, její průsečík s kruhovým obloukem označíme X. 8. Délka úsečky XB pak odpovídá hledané x = Ö10 ± Střední geometrická úměrná a čtvrtá geometrická úměrná Střední geometrická úměrná Vraťme se zpět k Eukleidově větě o výšce: v 2 = c a. c b neboli v = c. c a b Výška v pravoúhlém trojúhelníku je střední geometrickou úměrnou obou úseků. Eukleidovy věty proto využíváme ke konstrukci algebraických výrazů - zejména odmocnin. Příklad 1: Je dán kruh o poloměru r. Rozdělte jej kružnicí s ním soustřednou na dvě části, jejichž obsahy se sobě rovnají. Řešení: Označme poloměr zadaného kruhu r a poloměr kledané soustředné kružnice r 1. Pak má platit: 2 2 r r 1 = 2 r r = 1. r 2 Hledaný poloměr je tedy střední geometrickou úměrnou Čtvrtá geometrická úměrná Platí-li pro čtyři úsečky o délkách a, b, c, x vztah 31 z 55
a = b c x pak úsečka x je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček a, b, c v tomto pořadí. Příklad 2: Narýsujte čtvrtou geometrickou úměrnou úseček 3 cm, 5 cm, 2Ö2 cm Řešení: Ze zadání musí platit vztah: 3 = 5 2 2 x Příklad 3: Narýsujte úsečku, která vyhovuje vztahu: 2 a x = b Řešení: Zadaný vztah přepíšeme do tvaru x = a neboli b = a a b a x 32 z 55
± Střední geometrická úměrná - procvičovací příklady 1. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö22. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,69 2. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö13. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,61 3. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö23. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,80 4. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö11. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,32 5. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö13. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,61 6. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö19. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,36 7. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö18. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,24 8. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö21. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,58 686 679 676 677 669 672 667 674 33 z 55
9. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö12. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,46 10. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö11. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,32 11. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö8. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 2,83 12. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö19. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,36 13. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö18. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,24 14. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö22. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,69 15. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö15. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,87 16. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö28. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 5,29 17. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö21. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,58 18. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö17. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,12 19. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö10. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,16 20. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö14. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,74 678 670 673 684 683 675 681 668 685 682 671 680 34 z 55
± Čtvrtá geometrická úměrná - procvičovací příklady 1. Narýsujte úsečku délky x = (abc)/d 2, kde a, b, c, d jsou velikosti daných úseček. Pomocná úsečka y je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček b, a, d. Úsečka x je pak čtvrtou geometrickou úměrnou úseček y, a, d. 2. Nechť a, b, c jsou délky tří daných úseček. Sestrojte čtvrtou úsečku délky x, která vyhovuje rovnici x = bc/a Úsečka x je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček a, c, b. 688 687 ± Výpočty rovinných útvarů Výpočty rovinných útvarů Tato kapitola obsahuje řešení příkladů s využitím všech teoretických vlastností, se kterými jsme se seznámili v předcházejících kapitolách z planimetrie. Převážnou většinu příkladů budeme vždy řešit nejprve obecně, pak teprve dosadíme číselné hodnoty a na kalkulačce spočítáme výsledek, který vhodně zaokrouhlíme. Obecné řešení považujeme za hotové tehdy, obsahuje-li vzorec pouze proměnné, které máme v zápisu příkladu a výraz už nelze dále zjednodušit. ± Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady 1. 802 17,32 cm 2. 801 9,18 cm 35 z 55
3. 786 75 4. 738,, 5. 764 40,2 m 2 6. 743 7. 729 8. 811 9. 731 Není zavlažováno 61,81 m 2, třetí strana pole je 33,94 m. 10. 725 0,08 m 2, 800 cm 2 36 z 55
11. 977 m 2 763 12. 804 13,5 cm 13. 787 b) 14. 11 773 15. 713 16. 4 krát 777 37 z 55
17. 756 18. 719 2 400 cm 2 19. 797 20. 710 21. 721 38 z 55
22. 796 23. 727 34,9 % 24. 715 30 m 25. 740 94 26. 760 Nemohou 27. 779 77,8 % 28. 810 16 trojúhelníků 39 z 55
29. 706 70 30. 790 15 31. 791 32. 739 3,14 cm 2 33. 762 5 cm 40 z 55
34. 707 280 Kč 35. 751 ABD 36. 794 o = 24 cm; S = 41,6 cm 2 37. 770 38. 778 54 cm 2 39. 771 BC = 10 cm, obsah je 54 cm 2 40. 732 Ne 41 z 55
41. 780 13,9 cm 42. 774 6 43. 809 4 cm 2 44. 772 Porovnejte obsahy trojúhelníků ABC a ABC na obrázku. Oba obsahy jsou shodné 45. 817 42 z 55
46. 745 47. 744 2 řešení: 10,5 cm; 1,5 cm 48. 803 140 m 49. 816 193 m 50. 795 10 cm 51. 728 112 dlaždic 52. 800 19 cm 2 43 z 55