Kapitola 8 Gavitace 8.1 Gavitační zákon 8.1.1 Isaac Newton a objev gavitačního zákona Keple objevil své evoluční zákony o pohybu planet v oce 1609 a 1619. Dlouho však byly jeho výsledky přijímány s nedůvěou. Například samotný Galileo nikdy nepřijal představu eliptických dah planet za svou a tval na kuhových pohybech. Zákon o plošných ychlostech byl ignoován zhuba 80 let, pouze třetí Kepleův zákon byl přijat ostatními astonomy záhy po svém objevu. V oce 1679 napsal Robet Hooke dopis Isaacu Newtonovi, v němž vysvětloval, že pohyb planet může souviset s přitažlivou silou, kteá planety tvale odchyluje od jejich pohybu po přímce. Newton se tehdy ještě domníval, že dáhou částice vžené z vysoké věže bude spiála, Hooke naopak spávně tvdil, že dáhou bude elipsa, stejně jako u planet. Newton uznal, že jeho vlastní představa není spávná, ale tvdil, že Hookovo řešení předpokládá, aby gavitace byla konstantní. Hooke odpověděl, že jeho teoie vychází ze zákona, podle něhož gavitace klesá se čtvecem vzdálenosti od zdoje. Později Hooke tvdil, že gavitační zákon objevil jako pvní on sám a nikoliv Newton. Že přitažlivá síla Slunce klesá se čtvecem vzdálenosti planety od Slunce, dokázal také oku 1683 Edmond Halley. Dokázal to s použitím třetího Kepleova zákona, ovšem jen po kuhové dáhy. Od spávně tušeného zákona až k jeho objevu bylo v tuto chvíli ještě daleko. Především bylo třeba dokázat, že přitažlivá síla klesá podle stejného zákona i po eliptické dáhy planet. V oce 1684 Chistophe Wen, Hooke a Halley diskutovali v Kálovské společnosti, zda eliptický tva dah planet je důsledkem zákona poklesu intenzity gavitace s duhou mocninou vzdálenosti od Slunce. V spnu 1684 Halley navštívil Newtona v Cambidge, aby se ho dotázal na jeho názo. Newton potvdil, že dáha bude eliptická, příslušné výpočty, kteé to dokazují, sice už někam založil, ale pokud si Halley přeje, dokáže to znova. Newton na základě své koespondence s Hookem z oku 1680 své důkazy přepacoval a Halleymu poslal devítistánkový 393
394 KAPITOLA 8. GRAVITACE článek De motu copoum in gyum (O pohybu těles na dáze). Tento spisek se později ozostl v Newtonovo stěžejní dílo Philosophiae Natualis Pincipia Mathematica (Matematické pincipy filozofie příody), kteé vyšlo oku 1687 nemalou zásluhou Halleyho. Položil v něm základy mechaniky se svými třemi slavnými pohybovými zákony, dále předložil univezální gavitační zákon a dokázal, že tento zákon vede k pohybu těles po elipse, paabole nebo hypebole. Newton zavedl také pojem gavitas (latinsky váha, tíha) po univezální přitažlivost těles. 14. listopadu 1680 byla objevena jasná kometa, kteá byla viditelná až do 5. posince, kdy se přiblížila ke Slunci. Pak se znovu objevila za dva týdny, kdy se od Slunce vzdalovala. Newton ukázal, že její dáhou je paabola. Newton v Pincipiích odvodil také třetí Kepleův zákon a pokoušel se řešit poblém tří těles. Později toho však nechal s poznámkou, že tento poblém překačuje možnosti lidského myšlení. Halley použil Newtonovu metodu a zjistil u většiny komet paabolické dáhy. Když oku 1705 počítal dáhy tříkomet,kteéseobjevilypostupně v letech 1531, 1607 a v oce 168, kdy pozoování povedl sám, zjistil, že jejich dáhy jsou téměř identické. Halley odtud spávně usoudil, že jde o jedinou kometu a učil, že kometa musela být viditelná také v letech 1456 a 1378. Vypočetl eliptickou dáhu této komety a uvedl, že planety Jupite a Satun ideální dáhu komety slabě naušují. Halley započetl petubace těchto planet a předpověděl, že kometa bude opět v peihéliu 13. dubna 1759. Halleyova kometa byla znovu pozoována v posinci 1758 a peihéliem pošla 1. března 1759. Šlo tak o pvní matematicky předpovězenou kometu. 8.1. Gavitace Vše na Zemi podléhá působení tíže, potýkáme se s ní tak často, že si ji ani patřičně neuvědomujeme. Zemská tíže nás dží na povchu Země, stejně jako vodu a atmosféu. Nakonec i Zemi samotnou utváří gavitace, a poto má Země sféický tva. Totéž platí i o jiných planetách a hvězdách. Gavitace je zodpovědná za vesmíný řád, udžuje planety na jejich dáhách a také Zemi udžuje v optimální vzdálenosti od životadáného Slunce. Gavitace fomuje hvězdy, galaxie a celý vesmí. Bez zemské tíže by život nemohl vzniknout. Jak ale dosvědčuje zkušenost kosmonautů, člověk může bez zemské tíže žít. Co je příčinou zemské tíže, dlouho nebylo známo. Podle antického učence Aistotela byla příčinou zemské tíže přiozenost věcí dostat se do středu světa. Nešlo tedy podle něj o žádné vzájemné působení těles. Pohyby planet kolem Slunce byly popsány Kepleovými zákony, ty se však zdály být naposto odlišnými od pozemských zákonů mechaniky. Připomeňme si, že v té době stále ještě nebyla definitivně překonána aistotelovská představa o tom,že zákony pohybu na zemi jsou zcela jiné, než zákony pohybu na nebesích. A ti, kdož hlásali opak, jako například Galileo Galilei, byli ponásledováni. V 17. století nebylo známo dokonce ani to, že stejná síla, kteá nutí všechny předměty padat na zem, nutí také obíhat Měsíc kolem Země. Gavitační zákon byl nejpve objeven v kosmu a až pak na Zemi.Největší zásluhu na jeho objevu má geniální zakladatel modení mechaniky Isaac Newton.
8.1. GRAVITAČNÍ ZÁKON 395 Někteří fyzikové, především Huygens a Hooke, už dříve tušili, že gavitace ubývá se čtvecem vzdálenosti, ale nemohli to dokázat, potože neznali difeenciální a integální počet. Ten objevil až Newton někdy v letech 1665 až 1670. Bez znalosti matematické analýzy není možné spojit Kepleovy zákony se zákonem gavitačním. 8.1.3 Silové působení Slunce na planety Ukažme si nyní, jak Newtonovi současníci dospěli k přesvědčení, že sluneční přitažlivost ubývá se čtvecem vzdálenosti. Předpokládejme planetu, kteá obíhá ovnoměně pokuhovédázeopoloměu kolem Slunce ychlostí v. Je-li T oběžná doba planety, pak platí v = π T. Planetu přidžuje na kuhové dáze přitažlivá síla Slunce F, kteá je ovna dostředivé síle, poto platí F = mv =4π m T m T. Podle třetího Kepleova zákona však platí T 3, takže po dosazení za T odtud dostaneme po přitažlivou sílu závislost F m. Přitažlivá síla Slunce je tedy nepřímo úměná čtveci vzdálenosti planety od Slunce a je také úměná hmotnosti planety. v m F Ilustace k odvození gavitačního zákona po planetu obíhající po kuhové dáze kolem Slunce. Tento výsledek po kuhové dáhy odvodil Edmond Halley oku 1683. Dokázat jej po obecnou eliptickou dáhu je ovšem mnohem složitější a na tom všichni ztoskotali. Tepve až Newtonovi se podařilo matematicky dokázat, že i po eliptické oběžné dáhy vyjde stejný gavitační zákon. Příklad 8.1 Dokažte, že síla působící na planetu v peihéliu a aféliu je nepřímo úměná čtveci její vzdálenosti od Slunce. Řešení: Elementáně se to dá dokázat pomocí duhého Kepleova zákona v A A = v P P =w. Dostředivá síla působící na planetu v peihéliu a aféliu je F P = ma P = m v P R = 4mw R 1 P a F A = ma A = m v A R = 4mw R 1, A
396 KAPITOLA 8. GRAVITACE kde R je polomě křivosti elipsy v peihéliu a aféliu. Jak je tedy vidět, přitažlivá síla klesá skutečně sečtvecem vzdálenosti planety od Slunce i v případě vcholů eliptické dáhy. 8.1.4 Měsíc a zemská tíže Komě toho, že Newton objevil matematickou podstatu sil, kteé řídí pohyby nebeských těles, dokázal také, že tato síla je stejného duhu, jako běžná přitažlivost zemská. Rozhodující nápad dostal údajně v okamžiku, kdy mu na hlavu spadlo jablko ze stomu, pod nímž ve své zahadě seděl. Přemýšlel pávě o tom, jaká síla nutí Měsíc, aby obíhal kolem Země. Newton dostal nápad, že by to mohla být síla stejného duhu jako síla, kteá nutí padat na zem jablko, tedy síla zemské tíže. Měsíc však, na ozdíl od jablka, nespadne na zem, potože má dostatečně velkou obvodovou ychlost v =π/t 1.06 km / s, kde 385 000 km značí půměnou vzdálenost Měsíce od středu Země a T 7.3 dne oběžnou dobu Měsíce vzhledem ke hvězdám. Aby Měsíc obíhal kolem Země po kuhové dáze, musí na něj Země působit přitažlivým zychlením g M, kteéjepávěovnodostředivému zychlení g M = a M = v 0.0073 m / s. Newton již takévěděl, že gavitace ubývá se čtvecem vzdálenosti a potože Měsíc obíhá ve vzdálenosti asi 60 zemských poloměů, je zřejmé, že při povchu Země by toto přitažlivé zychlení mělo být asi 60 kát větší. Tak dospěl Newton k numeickému výsledku g 60 g M 9. 8 m / s. No a potože mu touto úvahou vyšlo obyčejné tíhové zychlení popisující i pád výše zmíněného jablka, dospěl Newton k nezvatnému přesvědčení, že zemská tíže je stejného původu jako síla, kteá dží Měsíc na jeho oběžné dáze kolem Země a že se obě síly dají popsat jediným univezálním gavitačním zákonem, kteý platí po pohyby těles na zemi stejně jakonanebi. Síla,kteánutíjablkoiMěsíc padat k Zemi, je tatáž sílagavitační. 8.1.5 Gavitační zákon z Kepleových zákonů Dokažme nyní, že z Kepleových zákonů skutečně plyne, že na planety obíhající po eliptických dáhách působí centální síla F 1/. To byl záoveňtennejdůležitější
8.1. GRAVITAČNÍ ZÁKON 397 matematický kok, kteý musel Newton udělat, aby oku 1684 konečně dospěl k objevu gavitačního zákona. Hledáme zychlení planety ze známé kinematiky planet učené Kepleovými zákony. Jako nejvhodnější se ukazuje popis pohybu v poláních souřadnicích, tam totiž nejlépe využijeme faktu, že Slunce leží v ohnisku elipsy. Připomeňme, že zychlení má v poláních souřadnicích dvě složky, adiální a azimutální, po kteé platí a = φ a a φ =ṙ φ + φ. Podle duhého Kepleova zákona platí φ =w, (8.1) kde plošná ychlost w je konstantou po danou planetu. Potože za peiodu T musí být původičem opsána celá elipsa o ploše πab, platí také w = πab/t. Vzhledem ke duhému Kepleovu zákonu (8.1) je azimutální složka zychlení ovna nule a φ =ṙ φ + φ = 1 ³ 1 φ = ẇ =0. To však znamená, že na planetu působí síla směřující vždy do Slunce. Nyní spočteme adiální složku zychlení planety a = φ. Chceme ji vyjádřit jako funkci polohy, musíme poto odstanit všechny výazy obsahující časové deivace souřadnic a φ. Nejpve nahadíme φ výazem w/ podle (8.1), dostaneme a = 4w 3. Ještě musíme upavit. Podle pvního Kepleova zákona platí 1 = 1 (1 + e cos φ), (8.) p cožjeovniceelipsyvpoláníchsouřadnicích. Odtud deivací podle času dostaneme 1 ṙ = 1 p e φ sin φ neboli ṙ = 1 ew sin φ, p kde jsme k vyloučení φ opět využili (8.1). Další deivací podle času pak dostaneme = 1 p ew φ cos φ. Výaz e cos φ odstaníme pomocí definice elipsy (8.) a φ pomocí (8.1), tak dostaneme µ = 4w 1 1. p
398 KAPITOLA 8. GRAVITACE Radiální složka zychlení planety je tedy ovna a = 4w µ 1 1 4w p 3 = 4w p 1. Takže nám vyšlo, že zychlení planety má jen adiální složku a = a = k, kteá závisí jen na vzdálenosti planety od Slunce a že planeta je přitahována ke Slunci silou, kteá klesá se čtvecem vzdálenosti. Navíc, konstanta úměnosti k = 4w p = 4π a 3 T =konst (8.3) je vzhledem ke třetímu Kepleovu zákonu po všechny planety obíhající kolem Slunce stejná a nezávisí ani na velikosti planety, ani na její vzdálenosti od Slunce. Při poslední úpavě konstanty k jsme dosadili za plošnou ychlost w = πab/t aza paamet p = b /a. Planeta je tedy ke Slunci přitahována silou F = ma = k m. Ze symetie silového působení obou těles, tj. planety o hmotnosti m a Slunce o hmotnosti M S, se dá očekávat, že výsledná síla bude mít tva symetický vzhledem k oběma tělesům. To splňuje jen gavitační zákon ve tvau F = κ mm S. Po konstantu k tedy máme vyjádření k = κm S, kde κ je univezální konstanta. Stučnější odvození přitažlivésílysedostanetakézbinetova vzoce u 00 + u = m F L u, (8.4) kteý platí po centální silová působení. Pokud se planeta pohybuje po eliptické dáze, platí u = 1 = 1 (1 + e cos φ), p po dosazení do Binetova vzoce (8.4) dostaneme po gavitační sílu výaz F = L u mp = L mp. Potože L =mw, dostaneme odtud opět výsledek F = km/, kde k je dáno vzocem (8.3).
8.1. GRAVITAČNÍ ZÁKON 399 8.1.6 Univezální gavitační zákon Jakmile se Newton ujistil, že silové působení Slunce na planety, silové působení Země na Měsíc a zemská tíže jsou všechny popsány stejným zákonem, fomuloval oku 1684 univezální gavitační zákon: Libovolná dvě tělesa se přitahují silou, kteá je přímo úměná součinu jejich hmotností a nepřímo úměná čtveci jejich vzdálenosti. Newtonův gavitační zákon platí v celém vesmíu a učuje pohyby planet, komet, umělých satelitů, stejně jako hvězd a galaxií. Gavitace způsobuje sféický tva velkých nebeských těles. Gavitace umožňuje hvězdám dosáhnout dostatečného tlaku a teploty k zapálení temojadené eakce. Gavitace přidžuje vodu a vzduch k povchu Země. Poměnná gavitace způsobená pohybem Měsíce a Slunce způsobuje pavidelná dmutí hladiny všech moří, tzv. přílivy a odlivy. m 1 -FG F G m Univezální gavitační zákon vyjádřen vzocem zní Ilustacekegavitačnímu zákonu F G = κ m 1m, kde konstanta úměnosti κ se nazývá gavitační konstanta amáhodnotu κ 6. 673 10 11 N m / kg. Velikost gavitační konstanty Newton neznal, popvé ji naměřil až Heny Cavendish oku 1798 pomocí přesných tozních vah.podařilo se mu popvé změřit malé přitažlivé síly, kteými na sebe působí dvě velké a dvě malé olověné koule. Konstanta κ je dodnes jednou z nejméně přesných fyzikálních konstant. F G M F G Schéma uspořádání Cavendishova expeimentu. Z eakce tozního vlákna na silový moment M je možno učit gavitačnísíluaodtudgavitační konstantu. O nepatné velikosti gavitačních sil svědčí například tato skutečnost. Kdybychom měli ve volném postou dvě stejné olověné koule, každou o půměu jeden met, ve vzdálenosti jeden kilomet od sebe a na počátkuvklidu,pakbyseobě koule vzájemným gavitačním přitahováním uvedly do pohybu a sazily by se až za 460 dní! Smě přitažlivé síly je učen spojnicí obou těles, jak to vyžaduje zákon akce a eakce. Poto je možno zapsat gavitační zákon také v obecném vektoovém tvau F G = κ m 1m 3, (8.5)
400 KAPITOLA 8. GRAVITACE kde je polohový vekto tělesa m vzhledem k m 1 a F G je síla, jakou je hmotný bod m přitahován k m 1. Až do objevu gavitačního zákona působily všechny známé síly kontaktem těles, tedy na blízko. Gavitace byla pvní silou, kteá působí na dálku, ad distantio, a to podle Newtona okamžitě. Všechna astonomická pozoování to skutečně potvzují. Nicméně ani sám Newton silovému působení na dálku neozuměl a pokud byl dotázán na podstatu své gavitační síly, odpovídal výokem: Hypotheses non fingo (Hypotézy nevymýšlím). Modení výklad silového působení na dálku spočívá v zavedení hmotného silového pole v postou, kde se tělesa nacházejí. Ukazuje se také, že silové působení není okamžité, ale má konečnou ychlost, kteou je ychlost světla. Tato většinou malá zpřesněnípopisujeteoiegavitacealbeta Einsteina z oku 1916, kteá je známá spíše pod názvem obecná teoie elativity. Jeden kásný, ale nespávný model gavitace Jak jsme již uvedli, Newton nepodal ke svému gavitačnímu zákonu žádné vysvětlení původu gavitace. Poto se objevilo mnoho pokusů o mechanické vysvětlení toho, odkud se gavitace bee. Jedna z populáních teoií je založena na představě, že celý vesmí je naplněn mořem velmi ychlých a dobných částic, kteé se pohybují náhodně všemi směy a občas naážejí do kosmických těles. Tím jim udělují silový impulz, kteý působí podobně jako tlak v plynu ze všech stan stejně, a nemá poto žádného mechanického účinku. Pokud však přiblížíme k sobě dvě tělesa, budou se před tímto poudem částic navzájem stínit, čímž dojde k naušení izotopnosti tlaku částic a ve výsledku se budou obě tělesa k sobě přitahovat. Silový efekt stínění bude pochopitelně tím větší, čím budou obě tělesa větší a čím budou k sobě blíže. Snadno se ukáže, že výsledná přitažlivá síla bude klesat se čtvecem vzdálenosti obou těles. p R 1 F 1 R Podlemodelujepřitažlivost těles způsobena vzájemným odstíněním obou těles před náazy dobných a ychlých částeček přicházejících ovnoměně zevšechmožných stan kosmu. Skutečně, mějme dvě koule o velikostech R 1 a R ve vzdálenosti od sebe. Koule napavo odstíní částice, kteé by jinak dopadly na levou kouli, a to z postoového úhlu o velikosti Ω πr. Odstíněná (bílá) plocha na levé kouli bude mít velikost S 1 Ω R 1 πr 1 R.
8.1. GRAVITAČNÍ ZÁKON 401 Pokud písmenem p označíme velikost izotopního tlaku částic, kteé bombadují obě naše tělesa, pak výsledná síla působící na levou kouli bude ovna F 1 ps 1 p πr 1R. Výsledná síla tedy bude silou přitažlivou a bude mít smě spojnice obou těles. Snadno se ukáže, že stejně veliká síla působí i na duhé těleso a je tedy splněn zákon akce a eakce. Pokles přitažlivé síly se čtvecem vzdálenosti plyne naposto přiozeně z uvedeného modelu. Model by fungoval i případě víceneždvoutěles. Tento model mechanismu gavitace poslavil pod názvem kinetická teoie gavitace oku 178 Geoge-Luis Le Sage. Myšlenkajevšakještěstašíapochází od Nicolas Fatio de Duilliea, kteý s ní oku 1690 seznámil Chistiaana Huygense. Bohužel, popsanýmodelnenískutečným mechanismem gavitace. Nespávně totižpředpokládá, že gavitační síla nezávisí na hmotnostech, ale jen na geometických ozměech těles. Z modelu dále plyne nespávný závě, že při pohybu tělesa v moři částic vzniká odpoová síla úměná absolutní ychlosti tělesa. Potože však planety obíhají kolem Slunce po miliady let, aniž bysejejichpohyb nějak zpomalil, je zřejmé, že žádná odpoová síla neexistuje. 8.1.7 Hmotnost Země a Slunce Velikost gavitační konstanty Newton neznal, popvé ji naměřil až Heny Cavendish oku 1798. Do té doby byl znám z pohybu Měsíceazměření tíhového zychlení jen součin gavitační konstanty a hmotnosti Země κm Z, případně zpohybůplanet součin gavitační konstanty a hmotnosti Slunce κm S. Zjednodušeně, ale vcelku spávně, se poto říká, že Cavendish ve své laboatoři zvážil Zemi a Slunce. Hmotnost Země můžeme učit například pomocí tíhového zychlení na povchu Země. Z gavitačního zákona plyne vzoec g = F G m = κ M Z. Velikost Země R Z známe, stejně taktíhovézychleníg, apotonajdeme M Z = gr Z κ 5.98 104 kg. Newton sám odhadl hmotnost Země z velikosti a hustoty Země. Poovnáním hustoty běžných mineálů odhadlhustotuzemějakoρ Z 5 000 kg / m 3, atak dostal po hmotnost Země odhad R Z M Z ρ Z V Z 4 3 πρ ZR 3 Z 5 104 kg. Po hmotnost Slunce dostaneme z ovnosti odstředivého a přitažlivého zychlení v = κ M S
40 KAPITOLA 8. GRAVITACE vzoec M S = 4π 3 κt 1.99 1030 kg, kde 1.50 10 11 m je střední vzdálenost Země odslunceat 365 dní 3.15 10 7 s je oběžná doba. 8.1.8 Zákon zachování enegie a potenciální enegie Dva hmotné body m 1 a m se vzájemně přitahují podle Newtona gavitační silou G 1 = κ m 1m 3 1 1 a G = κ m 1m 1 3 1. Pokud chceme tělesa od sebe oddálit, musíme vykonat páci. Vykonaná páce zvyšuje enegii soustavy A = E = T + U. Spočteme nyní potřebnou páci. Pohybové ovnice obou těles jsou Příůstek páce obou sil je tedy m 1 a 1 = F 1 + G 1 a m a = F + G. da = F 1 d 1 + F d =(m 1 a 1 G 1 ) d 1 +(m a G ) d =dt +du, kde příůstek kinetické enegie je dt = m 1 a 1 d 1 + m a d =d µ 1 m 1v1 + 1 m v apříůstek potenciální enegie je du = G 1 d 1 G d = κ m µ 1m 1 3 1 d 1 =d κ m 1m, 1 kde 1 = 1 je elativní vzdálenost obou těles. Potenciální gavitační enegie U = κ m 1m 1 obou těles je tedy závislá jen na elativní vzdálenosti a hmotnostech obou těles. F F 1 G1 1 G Ilustace k odvození potenciální enegie gavitačních sil. Potenciální gavitačníenegievycházívždy záponě, největší potenciální enegii mají od sebe nekonečně vzdálená tělesa, jejich potenciální enegie je ovna nule
8.. KEPLEROVA ÚLOHA 403 U =0. Pokudnasoustavutěles nepůsobí vnější síly, je vložená páce ovna nule A =0a musí platit zákon zachování enegie soustavy dvou hmotných bodů E = 1 m 1v 1 + 1 m v κ m 1m 1 =konst. Často je jedno z těles mnohem hmotnější než duhé a téměř se nepohybuje, například Slunce je třistatisíckát hmotnější než Země nebo Země je o dvacet řádů těžší než satelit.v tom případě bude mít zákon zachování enegie jednodušší tva E = 1 mv κ mm =konst, kde m je hmotnost malého a M hmotnost velkého tělesa. Pokud se vzdálenost obou těles příliš nemění, tak jako například při šikmém vhu kamene, můžeme psát = R Z + h, kde R Z je polomě Země ah výška tělesa nad povchem Země. Podle předpokladu platí h R Z, takže vzoec po potenciální enegii můžeme ozvinout do Tayloovy řady. Pokud se omezíme na pvní dva členy, dostaneme U = κ mm Z R Z + h κ mm Z R Z + κ mm Z RZ h = U R + mgh, kde g = κm Z /RZ. Potenciální enegie oste přibližně lineáněsvýškouodzemského povchu, stejně jako tomu bylo v homogenním tíhovém poli, veličinu g poto můžeme intepetovat jako tíhové zychlení Země. Zákon zachování enegie pak má známý tva 8. Kepleova úloha E 1 mv + mgh =konst. 8..1 Fomulace Kepleovy úlohy Poté, co Newton postuloval gavitační zákon, obátil úlohu a začal zkoumat pohyb tělesa, na kteé působí Slunce podle gavitačního zákona (8.5). Potože podle zákona akce a eakce působí také planeta na Slunce stejně velikou silou jako Slunce na planetu, musí se i Slunce pohybovat. I po tu největší planetu sluneční soustavy však platí, že její hmotnost je ve sovnání s hmotností Slunce téměř zanedbatelná. Například Jupite je tisíckát a Země dokonce třistatisíckát lehčí než Slunce. Poto lze v pvním přiblížení předpokládat, že Slunce se vůbec nepohybuje. Pohyb planety v gavitačním poli nehybného centálního tělesa řeší tzv. Kepleova úloha. Řešením Kepleovy úlohy Newton zjistil, že těleso se v gavitačním poli Slunce nemusí pohybovat vždy po elipse, ale může se pohybovat obecně po jakékoliv kuželosečce. Kuželosečky jsou všechny křivky, kteé dostaneme při ovinném řezu kuželové plochy. Podle sklonu řezu dostaneme kužnici, elipsu, paabolu nebo hypebolu. Konkétní typ kuželosečky dáhy je učen mechanickou enegií planety. Je-li enegie planety záponá, tajektoií je elipsa nebo kužnice a těleso obíhá
404 KAPITOLA 8. GRAVITACE peiodicky kolem Slunce. Je-li enegie ovna nule, tajektoií je paabola. Konečně, je-li enegie tělesa kladná, tajektoií je hypebola a těleso poletí kolem Slunce jen jedinkát a zase se vzdálí do nekonečného kosmu. Takto se chovají například někteé komety. V každém případě je však společným ohniskem všech těchto kuželoseček Slunce. 8.. Řešení Kepleovy úlohy Budeme tedy zkoumat, podobně jako Newton, pohyb planety nebo komety o hmotnosti m vgavitačním poli nehybného Slunce o hmotnosti M S. Pohyb planety je popsán pohybovou ovnicí = κ M S 3. Tajektoii planety můžeme pohodlně najítnapříklad pomocí Binetova vzoce, jako jsme to dělali již dříve v dynamice. Nás však zajímá i časový půběh pohybu. Ukážeme si poto jiné řešení, kteé využívá integálůpohybu,tj.zákona zachování enegie E = 1 mv κ mm S a zákona zachování momentu hybnosti planety kteý je jen jiným vyjádřením duhého Kepleova zákona. L = m φ, (8.6) U ef E>0 0 1 E<0 pohyb po hypebole pohyb po elipse Půběh efektivního potenciálu U ef () a celková enegie E učují, zda bude pohyb planety omezen na inteval 1 (pohyb po elipse) nebo omezen jen zdola 0 (pohyb po hypebole). V poláních souřadnicích je možno psát mechanickou enegii planety ve tvau E = 1 ³ m ṙ + φ κ mm S. Vyloučením φ pomocí (8.6) dostaneme L E = 1 mṙ + 1 m κ mm S = 1 mṙ + U ef (), kde U ef () představuje efektivní potenciální enegii. Tatoovnicepředstavuje difeenciální ovnici po funkci (t), kteou můžeme upavit do tvau ṙ = E m + κm S L m
8.. KEPLEROVA ÚLOHA 405 a vyřešit. Hledejme ale nejpve ovnici tajektoie (φ). Čas z ovnice vyloučíme opět pomocí duhého Kepleova zákona (8.6). Platí ṙ = d dt = d dφ dφ dt = 0 φ = 0 L m, kde čákou označujeme deivace podle azimutu φ. Substituce u = 1 dává ṙ = u 0 L m, aodtud u 0 = du me dφ = ± L + κm Sm L u u. Tuto difeenciální ovnici umíme vyřešit například sepaací poměnných. Označímeli kořeny kvadatické funkce pod odmocninou jako u 1 a u, pak bude řešení u (φ) eálné, jen pokud platí u 1 u u. Pomocí kořenů u 1 a u lze difeenciální ovnici zapsat ve tvau u 0 = ± p (u 1 u)(u u ). Kteé znaménko u odmocniny skutečně platí, to ozhodnou počáteční podmínky. Po kořeny u 1 a u platí známé Viètovy věty u 1 + u = κm Sm L a u 1 u = me L. Oba kořeny jsou tudíž kladné, jen když jee 0. Planeta je pak vázána v gavitačním poli Slunce 1 anemůže jej opustit. V případě E =0vychází u =0, takže planeta se může vzdálit až donekonečna. Konečně vpřípadě, že E>0, bude u i záponé a pohyb planety je ovněž omezen jedinou podmínkou 1. 1 Kepleova úloha. Planeta obíhá po elipse v pstenci vymezeném dvěma extémními hodnotami vzdálenosti 1 a od Slunce. Sepaací poměnných dostaneme nejpve ovnici ±dφ = a odtud její integací dostaneme du p (u1 u)(u u ), (φ φ 0 ) = accos u u 1+u u 1 u.
406 KAPITOLA 8. GRAVITACE Obvykle volíme počátek měření azimutu φ v peihéliu, tj. tam, kde je u = u 1 = u max, esp. = 1 = min, poto je φ 0 =0. Záoveň azimutměříme obvykle na tu stanu, na kteou azimut přiozeným pohybem planety skutečně oste. Poto platí jen znaménko plus. Řešení ovnice má tedy tva u = u 1 + u což jeobecnáovnice kuželosečky + u 1 u cos φ, (8.7) 1 = 1 (1 + e cos φ). (8.8) p Zgeometiekuželoseček je známo, že po e =0dostaneme = p = a, tj. kužnici, po e < 1 dostaneme elipsu, poe = 1dostaneme paabolu akonečně poe > 1 dostaneme jednu větev hypeboly. Poovnánímřešení (8.7) s ovnicí elipsy (8.8) dostaneme po paamet p ovnici 1 p = u 1 + u = κm Sm L (8.9) a po excenticitu e ovnici s s e = u 1 u = 1 4u 1u u 1 + u (u 1 + u ) = Tím jsme dokázali pvní Kepleův zákon po pohyb planet. Záoveňjsmejejozšířili o poznatek, že dáha tělesa nemusí být eliptická, pokud má těleso dostatečnou enegii. V případě, že je celková enegie E tělesa kladná, je jeho dáha hypebolická, 1+ EL κ MS. (8.10) m3 potože pak je e>1. Vpřípadě, že enegie tělesa je přesně ovnanule,pohybuje se těleso po paabole, nebo tjee, =1. Speciálně po elipsu je velká poloosa ovna Obáceně platí také a = 1 + = u 1 + u u 1 u = κmm S E 0. E = κmm S, (8.11) a takže celková enegie planety závisí jen na velké poloose její oběžné dáhy. Podobně z ovnice (8.9) vyjádříme obitální moment L pomocí dáhových elementů L = κm S m p. (8.1) Obitální moment můžeme vyjádřit také přes plošnou ychlost w = πab/t vztahem L =mw =πmab/t. Dosazením do (8.1) odtud dostaneme po malé úpavě třetí Kepleův zákon ve tvau a 3 T = κm S 4π. Pomocí univezálního gavitačního zákona jsme tak pohodlně dokázali všechny tři Kepleovy zákony.
8.. KEPLEROVA ÚLOHA 407 8..3 Rychlost planety Celková enegie planety je podle (8.11) ovna E = 1 mv κ mm S odtud se spočte okamžitá ychlost planety jako s v = κm S µ 1 a = κ mm S a,. (8.13) Například po peihélium P = a (1 e) a afélium A = a (1 + e) vycházejí ychlosti κms 1+e κms 1 e v P = a v A = a 1 e a 1+e. Vpřípadě kuhové dáhy = a je zřejmě κms v = a. 8..4 Kepleova ovnice Tajektoii planety (φ) už známe, musíme ještě najít závislost polohy planety na čase, hledáme tedy dále funkce φ (t) a (t). Z (8.6) a (8.1) máme φ = L m = κms p κms p = p (1 + e cos φ), takže sepaací poměnných a integací odtud dostaneme Z φ 0 dφ (1 + e cos φ) = Z t 0 s κm S p 3 dt = Integál vlevo upavíme pomocí vhodné substituce 1 e y = 1+e tg φ aspočteme. Tak dostaneme µ y M = actg y e 1+y, kde výaz na levé staně ovnice M = s κm S p 3 t. κms a 3 t = nt (8.14)
408 KAPITOLA 8. GRAVITACE se nazývá střední anomálie a n = p κm S /a 3 střední pohyb planety. Po paktické výpočty v astonomii je tento vzoec nevhodný, potože se jedná o elativně složitou tanscendentní ovnici vzhledem k y. Poto se zavádí dále excentická anomálie E vztahem y =tg E, pak je y 1+y = 1 sin E. Tak dostaneme mnohem vhodnější vzoec k výpočtu excentické anomálie známý jako Kepleova ovnice M = E e sin E. (8.15) Při výpočtu polohy planety se tedy v paxi postupuje takto: Po dané paamety elipsy a, e spočteme v daný okamžik t nejpve střední anomálii M planety podle (8.14). Odtud pak pomocí Kepleovy ovnice (8.15) najdeme excentickou anomálii E a z ní pak spočteme pavou anomálii (azimut) φ pomocí vzoce tg φ 1+e = 1 e tg E. Vzdálenost planety pak spočteme bu djiž, ze známé pavé anomálie φ azovnice elipsy (8.8) anebo s pomocí excentické anomálie E ze vztahu = a (1 e cos E), kteý dostaneme úpavou vzoce (8.8), kam dosadíme za výaz cos φ = 1 tg φ 1+tg φ 8..5 Hypebolická dáha = cos E e 1 e cos E. Je-li celková enegie tělesa, například komety, kladná, vychází excenticita větší než jednae>1 avelkápoloosadáhyzáponě a < 0. Dáhou tělesa je tudíž hypebola. Ze stejného důvodu vycházejí také střední anomálie M a excentická anomálie E jako yze imaginání veličiny. Fomálně však zůstávají všechny výše odvozené vzoce nadále v platnosti. Pokud definujeme nové eálné veličiny M a E vztahy M =im a E =ie a využijeme známých komplexních identit sin (ix) = i sinh x, cos (ix) = coshx a tg (ix) = i tgh x, dostaneme po výpočet polohy tělesa na hypebolické dáze následující míně upavené vztahy. Po střední anomálii s M κm S = a 3 t,
8.. KEPLEROVA ÚLOHA 409 po excentickou anomálii upavenou Kepleovu ovnici po pavou anomálii ovnici a po výpočet vzdálenosti máme M = e sinh E E, tg φ e +1 = E tgh e 1 = a (e cosh E 1) nebo stále platící (8.). Geometický význam paametu p = a 1 e > 0 se nemění a nadále platí, že paamet p učuje vzdálenost tělesa od Slunce v kvadatuře p = (π/) nebo polomě křivosti dáhy ve vcholu hypeboly p = R (0). φ asymptota a φ A hypebola e a Asymptoty hypebolické dáhy svíají navzájem úhel φ A. Pohyb po hypebole už není peiodický, potože hamonické funkce nahadily funkce hypebolické. Polohu asymptot, to jest přímek, k nimž se dáha tělesa v nekonečnu přimyká, najdeme snadno z ovnice hypeboly. Asymptoty odpovídají takovým směům φ = ±φ A, kdy vzdálenost jde do nekonečna a tedy, kdy jmenovatel 1+e cos φ jde k nule. Odtud máme cos φ A = 1 e. Po e 1 máme paabolu a asymptoty jsou maximálně ozevřené, nebo, tpakje φ A π. 8..6 Paabolická dáha Paabolický pohyb odpovídá limitnímu případu, kdy celková enegie tělesa je ovna nule. Příslušné ovnice popisující pohyb dostaneme třeba limitním přechodem z eliptické dáhy. Místo paametu a, kteý oste do nekonečna, je v tomto případě vhodnější užívat konečného paametu p. Po e 1 dostaneme místo Kepleovy ovnice přímo ovnici po pavou anomálii M =tg φ + 1 3 tg3 φ, (8.16)
410 KAPITOLA 8. GRAVITACE kde střední anomálii definujeme vztahem M = s 4κM S p 3 t. V dobách, kdy ještě nebyly počítače, nebylo snadné numeicky vyřešit kubickou ovnici (8.16), poto se hledaly způsoby, jak numeické řešení kubické ovnice obejít. Vnašempřípadě takovýzpůsob existuje a my si jej nyní ukážeme. Metoda je založena na goniometické identitě cotg x = 1 (cotg x tg x). Zave dme, tedy pomocný agument γ vztahem tg φ =cotgγ =cotgγ tg γ adosa d, me do pavé stany ovnice (8.16). Po jednoduché úpavě dostaneme tg φ + 1 3 tg3 φ = 1 3 cotg3 γ 1 3 tg3 γ. Pokud dále zavedeme ještě agument β vztahem tg γ =tg3 β, můžemepavoustanudáleupavit 1 γ 3 cotg3 1 γ 3 tg3 = 1 3 cotg β 1 3 tg β = cotg β, 3 takže máme nakonec výsledek M = cotg β. 3 Dostali jsme tak přímou souvislost mezi střední anomálií M aagumentemβ, z něhož pohodlněnajdemeγ azněho pak pavou anomálii φ. Vzdálenost tělesa od Slunce pak už snadno spočteme třeba podle vzoce = 8..7 Lambet-Euleův vzoec p 1+cosφ = p sec φ. Známe-li paamety dáhy, můžeme spočíst vzdálenost a polohu planety v libovolném čase. Obácenou úlohou je poblém řešený popvé Johann Heinich Lambetem 1 oku 1761. Z astonomických pozoování jsou známy vzdálenosti 1 a 1 Johann Heinich Lambet se zabýval vedle mechaniky také optikou a temodynamikou. V matematice dokázal oku 1768 iacionálnost čísla π, jako pvní se systematicky zabýval studiem hypebolických funkcí.
8.. KEPLEROVA ÚLOHA 411 stejné planety ve dvou ůzných místech P 1 a P odpovídající časovým okamžikům t 1 a t a dále je známa úhlová vzdálenost planety φ = φ φ 1. Pomocí kosínové větytedydokážeme učit také vzdálenost q s = 1 + 1 cos φ mezi oběma polohami P 1 a P. Předpokládejme tedy, že známe 1, a s adále, že známe poloosu a dáhy planety a hmotnost centálního tělesa M S nebo střední denní pohyb planety κms n = a 3. Máme učit, jaký časový inteval t = t t 1 mezi oběma pozoováními P 1 a P uběhl. Vzhledem k tanscendentnosti Kepleovy ovnice je poblém netiviální. P s S 1 P 1 Ilustace k Lambetově větě. Máme učit dobu, za kteou se planeta přemístí z P 1 do P. Z řešení Kepleovy úlohy víme, že platí nt 1 = E 1 e sin E 1, nt = E e sin E, kde E 1 a E jsou excentické anomálie. Odtud n t = E E 1 e sin E E 1 Pomocí substituce cos E + E 1. g = E E 1 to lze upavit do tvau a cos h = e cos E + E 1 Po vzdálenosti planety platí odtud je n t =g sing cos h. (8.17) 1 = a (1 e cos E 1 ) a = a (1 e cos E ), 1 + =a ea cos E E 1 cos E + E 1,
41 KAPITOLA 8. GRAVITACE takže platí 1 + =a (1 cos g cos h). (8.18) Konečně po vzdálenost s z geometického významu excentické anomálie platí Tuto ovnici upavíme do tvau s =4a sin E E 1 anebo do tvau s = a (cos E cos E 1 ) + b (sin E sin E 1 ). sin E + E 1 s =4a sin E E 1 + b sin E E 1 µ 1 e cos E + E 1, cos E + E 1 což můžeme přepsat pomocí výše definovaných paametů g a h jako s =a sin g sin h. (8.19) Sečtením a odečtením ovnic (8.18), (8.19) a známých tigonometických vzoců dostaneme cos (h ± g) =cosg cos h sin g sin h =1 1 + a Odtud veličiny λ 1 = h + g a λ = h g splňují ovnice cos λ 1 =1 1 + + s a a s a. cos λ =1 1 + s, a takže podle (8.17) spočteme hledaný časový inteval t z ovnice n t = λ 1 λ sin λ 1 λ cos λ 1 + λ =(λ 1 sin λ 1 ) (λ sin λ ). Těmito vztahy je poblém vyřešen, poslední ovnice přitom představuje hledaný Lambetův vzoec. Po hypebolickou dáhu bychom dostali podobný vzoec kde n t =(sinhλ 1 λ 1 ) (sinh λ λ ), cosh λ 1 =1+ 1 + + s a a cosh λ =1+ 1 + s. a