Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života člověka, počet gólů v zápase, počet zkoušek, které dopadnou na výborně,... číselně vyjádřený výsledek náhodného pokusu předem neznáme její hodnotu Náhodná veličina je funkce, která zobrazuje elementární jevy ω Ω na reálná čísla. většinou značíme písmenky X, Y, Z atd. každému elementárnímu jevu ω přiřadí reálné číslo (převádí elementární jevy (abstraktními objekty) na čísla) její hodnota X (ω) se liší podle toho, který elementární jev ω Ω nastal víme-li, který ω nastal, známe hodnotu náhodné veličiny X (ω) Matematická statistika Šárka Hudecová 1/ 45 Matematická statistika Šárka Hudecová 2/ 45 Příklad děti Příklad (Děti) Uvažujme náhodně vybranou rodinu, která má tři děti. Zaveďme náhodné veličiny X určuje počet dcer a Y je počet starších bratrů nejmladšího dítěte. Prozkoumejme náhodné veličiny X a Y. Prostor elementárních jevů Ω je dán výčtem pohlaví dětí od nejstaršího do nejmladšího (uspořádané trojice). Ω = {SSS, SSD, SDS, DSS, DDS, DSD, SDD, DDD} (S je syn, D je dcera). Matematická statistika Šárka Hudecová 3/ 45 Příklad děti pokrač. ω X (ω) Y (ω) SSS 2 SSD 1 2 SDS 1 1 DSS 1 1 DDS 2 DSD 2 1 SDD 2 1 DDD 3 Vidíme, jakých hodnot X a Y nabývají, a uměli bychom spočítat, s jakými pravděpodobnostmi. Matematická statistika Šárka Hudecová 4/ 45
Rozdělení náhodné veličiny Distribuční funkce Rozdělení náhodné veličiny X charakterizuje jakých hodnot může náhodná veličina X nabývat a s jakými pravděpodobnostmi. Distribuční funkce F náhodné veličiny X je funkce R, 1 definovaná předpisem Značení F () = P[X ] pro (, ). P[X = ] P({ω Ω : X (ω) = }) pro R, P[X ] P({ω Ω : X (ω) }) pro R, P[X B] P({ω Ω : X (ω) B}) pro B R Předpis, který nám pro každou B R udává P[X B], se nazývá rozdělení náhodné veličiny X. hodnota F () je pst, že X nepřekročí distribuční funkce jednoznačně určuje rozdělení X známe-li F () pro každé dokážeme spočítat P[X B] pro libovolnou B R někdy značení F X Matematická statistika Šárka Hudecová 5/ 45 Matematická statistika Šárka Hudecová 6/ 45 Vlastnosti distribuční funkce 1. Věta Distribuční funkce F splňuje 1 je neklesající; tj. F()..6.4.2 1 < 2 F ( 1 ) F ( 2 ),. 2 1 1 2 3 4 5 2 je zprava spojitá, 3 F () se blíží k pro, tj. lim F () =, 4 F () se blíží k 1 pro, tj. F() 1...6.4 lim F () = 1..2. 3 2 1 1 2 3 Matematická statistika Šárka Hudecová 7/ 45 Matematická statistika Šárka Hudecová / 45
Věta 1 Pro a < b je P[a < X b] = F (b) F (a). 2 P[X = b] rovna velikosti skoku funkce F v bodě b. Speciálně, je-li F v bodě b spojitá, pak P[X = b] =. Význam předchozí věty Ze znalosti distribuční funkce F jsme schopni okamžitě spočítat pravděpodobnost konkrétní hodnoty P[X = a], P[X = b], pravděpodobnost, že je X větší (menší, větší rovno, menší rovno) než dané číslo 1.. P[X a], P[X < a], P[X > a], P[X a], F().6.4.2 P(a<X<=b) pravděpodobnost, s jakou X leží v nějakém intervalu P[a < X b], P[a < X < b], P[a X b], P[a X < b].. 3 2 1 1 2 3 Matematická statistika Šárka Hudecová 9/ 45 Matematická statistika Šárka Hudecová 1/ 45 Význam náhodných veličin Náhodné veličiny převádějí abstraktní a většinou neznámou Ω na čísla pracuje se s nimi lépe ve složitějších situacích je těžké rozumně popsat ω nevadí nám to, stačí nám znát rozdělení X a pracovat na reálných číslech slouží jako model pro naše empirická pozorování (data) v teorii pravděpodobnosti s nimi pracujeme teoreticky jejich rozdělení považujeme za dané a zkoumáme jejich vlastnosti ve statistice se snažíme cosi usoudit o jejich neznámém rozdělení na základě konkrétních realizací Různé druhy náhodných veličin Diskrétní náhodná veličina může nabývat jen konečně nebo spočetně mnoha různých hodnot počty (četnosti), indikátory jevů apod. počet gólů v zápase, počet bodů na testu,... Spojitá náhodná veličina může nabývat nespočetně mnoha různých hodnot hodnoty z nějakého intervalu v R nebo celé R každá konkrétní hodnota má nulovou pravděpodobnost (nelze mluvit o pravděpodobnosti konkrétní hodnoty) výsledek měření: koncentrace látku ve vzorku, výška náhodně vybraného člověka... Matematická statistika Šárka Hudecová 11/ 45 Matematická statistika Šárka Hudecová 12/ 45
Rozdělení diskrétní náhodné veličiny Distribuční funkce diskrétní veličiny mluvíme o diskrétním rozdělení rozdělení charakterizováno výčtem možných hodnot 1, 2,... a jejich pravděpodobnostmi p 1, p 2,..., kde p k = P[X = k ] > tabulka rozdělení Distribuční funkce F () = j: j p j musí platit hodnota 1 2... pravděpodobnost p 1 p 2... p j = 1, p j (, 1) j je po částech konstantní mezi jednotlivými j, v každém bodě j má skok o velikosti p j, je nulová pro pro < min j j. Matematická statistika Šárka Hudecová 13/ 45 Matematická statistika Šárka Hudecová 14/ 45 Příklad děti Připomenutí: Uvažujeme rodinu se třemi dětmi, X je počet dcer. Rozdělení X : Náhodná veličina X může nabývat hodnot, 1, 2, 3, a to s následujícími pravděpodobnostmi Výpočet: P[X = ] = {SSS} atd. 1 2 3 P(X = ) 1 3 3 = 1 {SSD, SDS, DSS}, P[X = 1] = = 3 Matematická statistika Šárka Hudecová 15/ 45 1 Příklad děti Znázornění pravděpodobností (rozdělení) P[X=k]..1.2.3.4 1 1 2 3 4 k Matematická statistika Šárka Hudecová 16/ 45
Příklad děti Distribuční funkce veličiny X : má skoky v bodech, 1, 2, 3 o velikostech 1, 3, 3, 1 je nulová pro < a rovna jedné pro 3. F() 1...6.4.2. 2 1 1 2 3 4 5 Matematická statistika Šárka Hudecová 17/ 45 Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina může nabývat nespočetně mnoha různých hodnot hodnoty z nějakého intervalu reálných čísel, nebo jakékoli reálné číslo každá konkrétní hodnota má nulovou pravděpodobnost Příklady výsledek nějakého měření, který může nabývat velkého počtu hodnot uvnitř nějakého konečného či nekonečného intervalu výška, hladina cholesterolu v krvi, rychlost molekuly plynu nelze mluvit o pravděpodobnost jednotlivých hodnot (je jich nespočetně) většinou nelze rozumně popsat ω a Ω, stačí nám ale chování X Matematická statistika Šárka Hudecová 1/ 45 Hustota Nechť X je spojitá náhodná veličina. Pak její distribuční funkce F je spojitá a také diferencovatelná (skoro všude). Pro spojitou náhodnou veličinu X s distribuční funkcí F eistuje funkce f taková, že F () = f (t) dt. Funkci f nazýváme hustota náhodné veličiny X. Platí f () = F (), tj. hustota je derivací distribuční funkce (a naopak, distribuční funkce je primitivní funkcí k hustotě). Matematická statistika Šárka Hudecová 19/ 45 Význam hustoty hustota popisuje, jakých hodnot X nabývá a s jakými pravděpodobnostmi, f () ukazuje, jak často padá X do úzkého okolí bodu f()..1.2.3.4.5 15 16 17 1 19 2 velké hodnoty v oblastech, kam X padá častěji, malé hodnoty v oblastech, kam X padá méně často, a nulové hodnoty v oblastech, kam X nepadá nikdy. Matematická statistika Šárka Hudecová 2/ 45
Vlastnosti hustoty Vlastnosti hustoty Pro spojitou náhodnou veličinu X platí: Každá hustota f musí splňovat je nezáporná, tj. f () pro všechna R, celková plocha pod hustotou je rovna jedné, tj. f () d = 1. Věta 1 Pravděpodobnost, že X nabude konkrétní hodnoty je nulová, tj. P[X = a] = pro všechna a R. 2 Pro l a < b platí P[a < X b] = P[a < X < b] = P[a X b] = P[a X < b] a P[a < X < b] = F (b) F (a) = b a f () d, tj. pravděpodobnost, že X padne do nějakého intervalu, je dána plochou pod hustotou mezi krajními body intervalu. Matematická statistika Šárka Hudecová 21/ 45 Matematická statistika Šárka Hudecová 22/ 45 Vlastnosti hustoty (pokrač.) Hustota Věta 3 Podobně, f() P[a<X<b] P[X < b] = P[X b] = F (b) = b P[X > a] = P[X a] = 1 F (a) = f ()d, a f ()d. a b 4 Hustota je na intervalu (a, b) nulová právě tehdy, když X do tohoto intervalu nemůže padnout, tj. f () = pro všechna (a, b) P[a < X < b] =. Matematická statistika Šárka Hudecová 23/ 45 Matematická statistika Šárka Hudecová 24/ 45
Hustota Příklad Mawellovo rozdělení f() P[X>a] Mawellovo rozdělení udává rozdělení rychlosti částic ideálního plynu (rychlost = spojitá náhodná veličina) v trojrozměrném prostoru. a Hustota je dána vzorcem Hustota f () = 2 a 3 2π 2 e 2 2a 2 f() F(b)=P[X<b] kt pro > (f () = pro < ), kde a =, k je Boltzmannova m konstanta, T je teplota [K] a m je hmotnost molekuly [kg]. b Matematická statistika Šárka Hudecová 25/ 45 Matematická statistika Šárka Hudecová 26/ 45 Hustota Mawellova rozdělení Hustota rychlosti molekuly O 2 při 25. Distribuční funkce Distribuční funkce má tvar (počítá se numericky) F () = 1 2π 2 /a 2 z e z/2 dz, hustota f..1.2 2 4 rychlost v m/s 6 1 Distribucni fce F..2.4.6. 1. 2 4 6 1 12 rychlost v m/s Matematická statistika Šárka Hudecová 27/ 45 Matematická statistika Šárka Hudecová 2/ 45
Určení pravděpodobnosti daného rozmezí Charakteristiky náhodných veličin Distribucni fce F hustota..2.4.6. 1...15 P[4<V<6] =.36 2 4 6 1 rychlost v m/s Plocha =.36 2 4 6 9 Hustota a distribuční funkce popisují celé rozdělení náhodné veličiny se vším všudy. To je často příliš mnoho podrobností Někdy nás zajímá jen nějaký aspekt rozdělení náhodné veličiny, který se dá popsat jedním číslem očekávaná hodnota variabilita možných hodnot, hodnota, nad níž leží jen malé procento možných hodnot apod. číselné charakteristiky rozdělení rychlost v m/s Matematická statistika Šárka Hudecová 29/ 45 Matematická statistika Šárka Hudecová 3/ 45 Střední hodnota Střední hodnota náhodné veličiny Střední hodnota Střední hodnota 1 Střední hodnotou diskrétní náhodné veličiny X, která nabývá hodnot 1, 2,... s pravděpodobnostmi p 1, p 2,..., rozumíme součet EX = p i i, i 2 Střední hodnotou spojité náhodné veličiny X s hustotou f () rozumíme integrál EX = f () d, Střední hodnotu EX lze chápat jako průměrnou (očekávanou) hodnotu veličiny X, kolem níž náhodná veličina náhodně kolísá, míru polohy, populační průměr, vážený průměr všech možných hodnot jako těžiště možných hodnot Poznámka: střední hodnota eistuje, je-li příslušný integrál (součet) konečný budeme pracovat jen s náhodnými veličinami, pro které střední hodnota eistuje Matematická statistika Šárka Hudecová 31/ 45 Matematická statistika Šárka Hudecová 32/ 45
Střední hodnota Příklad děti Střední hodnota Příklad Mawellovo rozdělení Příklad: Připomenutí: Uvažujeme rodinu s třemi dětmi a náhodnou veličinu X (počet dcer). Spočítejme střední počet dcer EX. Měli jsme: X je diskrétní, nabývá hodnot, 1, 2, 3 (to jsou i ) s pstmi po řadě 1, 3, 3, 1 (to jsou p i). EX = K i=1 p i i = 1 + 1 3 + 2 3 + 3 1 = 3 + 6 + 3 = 1.5 Střední počet dcer v rodině se třemi dětmi je 1.5. Očekávaný počet dcer v rodině je 1.5. Střední rychlost molekuly Pro a = EX = kt m 2 f () d = a 3 2π dostaneme EV = π kt m, 3 e 2 2a 2 dv = π a. tedy střední rychlost molekul je přímo úměrná odmocnině z teploty a nepřímo úměrná odmocnině z hmotnosti molekul. Matematická statistika Šárka Hudecová 33/ 45 Matematická statistika Šárka Hudecová 34/ 45 Střední hodnota Střední hodnota poznámky Rozptyl Rozptyl náhodné veličiny Poznámky: Náhodná veličina nemusí nikdy nabývat své střední hodnoty. Příklad: příklad děti (EX = 1.5 dcer), hod kostkou... Podobně lze počítat Eg(X ), kde g je nějaká funkce (tj. např. EX 2, E X apod.). { i Eg(X ) = g( i)p i pro diskrétní n.v., g()f ()d pro spojitou n.v. Rozptylem náhodné veličiny X rozumíme hodnotu výrazu míra variability var X = E(X EX ) 2. střední kvadratická odchylka X od EX udává velikost kolísání (variabilitu) kolem střední hodnoty rozptyl je malý X padá s velkou pravděpodobností blízko své střední hodnoty rozptyl je velký X často padá daleko od své střední hodnoty Matematická statistika Šárka Hudecová 35/ 45 Matematická statistika Šárka Hudecová 36/ 45
Rozptyl Výpočet rozptylu Rozptyl Směrodatná odchylka náhodné veličiny Platí pro diskrétní veličinu X var X = EX 2 (EX ) 2 var X = i pro spojitou veličinu X var X = ( ) 2 i 2 p i i p i, i ( 2 2 f ()d f ()d). Směrodatnou odchylkou σ X náhodné veličiny X rozumíme odmocninu z rozptylu, t.j. var X. směrodatná odchylka má stejný fyzikální rozměr jako veličina X rozptyl je vyjádřen v jednotkách 2 Matematická statistika Šárka Hudecová 37/ 45 Matematická statistika Šárka Hudecová 3/ 45 Rozptyl Vlastnost střední hodnoty a rozptyly Vlastnosti střední hodnoty a rozptyly hustota f()..1.2.3.4 2 2 4 6 Pro náhodnou veličinu X a a, b R platí 1 Je-li X = a, pak EX = a a var X =. 2 Platí E(a + bx ) = a + bex, var (a + bx ) = b 2 var X. hustota f()..1.2.3.4 3 var X a rovnost nastane pouze, je-li X konstatní. 4 2 2 4 Matematická statistika Šárka Hudecová 39/ 45 Matematická statistika Šárka Hudecová 4/ 45
Kvantily Medián náhodné veličiny Kvantily Výpočet mediánu spojitého rozdělení Je-li distribuční funkce F rostoucí a spojitá, pak Mediánem náhodné veličiny X rozumíme kterékoli reálné číslo m X, které splňuje P[X m X ] 1 2 a zároveň P[X m X ] 1 2. míra polohy podobně jako střední hodnota medián je bod, který náhodná veličina v polovině případů nedosáhne a v polovině případů přesáhne F..2.4.6. 1. m X = medx = F 1 (1/2) 4 2 2 4 6 Matematická statistika Šárka Hudecová 41/ 45 Matematická statistika Šárka Hudecová 42/ 45 Kvantily Obecná situace Jestliže není F rostoucí, pak může definici mediánu vyhovovat celý interval čísel vezmeme jeho střed F..2.4.6. 1. 1 1 2 3 4 Kvantily Vlastnosti mediánu Pro náhodnou veličinu X a a, b R platí: 1 Platí med(a + bx ) = a + b medx 2 Je-li g rostoucí nebo klesající funkce, pak med g(x ) = g(medx ). 3 Má-li náhodná veličina X symetrické rozdělení (hustota je symetrická kolem nějakého bodu a R), pak EX = a = medx Matematická statistika Šárka Hudecová 43/ 45 Matematická statistika Šárka Hudecová 44/ 45
Kvantily Kvantil náhodné veličiny Kvantil je zobecnění mediánu. Nechť je dáno číslo α (, 1). α-kvantilem náhodné veličiny X rozumíme kterékoli reálné číslo q X (α), které splňuje P[X q X (α)] α a zároveň P[X q X (α)] 1 α. pro α = 1/2 dostaneme medián α-kvantil je bod, který náhodná veličina ve 1α % případů nedosáhne a v 1(1 α) % případů přesáhne je to hodnota, pod kterou je 1α % pravděpodobnosti je-li distr. fce F rostoucí a spojitá, pak eistuje právě jeden α-kvantil q X (α) = F 1 X (α) Matematická statistika Šárka Hudecová 45/ 45