Mechanika s Inventorem 2. Základní pojmy CAD data FEM výpočty Petr SCHILLING, autor přednášky Ing. Kateřina VLČKOVÁ, obsahová korekce Optimalizace Tomáš MATOVIČ, publikace 1
Obsah přednášky: Lagrangeův variační princip 3 Symetrie 8 Diskretizace 11 Okrajové podmínky 13 Singularita 19 Výpočtový model 23 Výstupy a závěrečná diskuse 24 2
Lagrangeův variační princip Definice: Mezi všemi funkcemi posuvů zachovávajících spojitost tělesa a splňujících geometrické okrajové podmínky, se realizují ty posuvy, které udílejí potenciální energii Π stacionární hodnotu. Π celková potenciální energie tělesa W energie napjatosti tělesa P potenciál vnějšího zatížení Π = W P Poznámka: stacionární hodnota Π představuje minimum 3
Lagrangeův variační princip Legenda: k konstanta tuhosti pružiny [Nmm -1 ] m hmotnost tělesa [kg] g... gravitační zrychlení [ms -2 ] F gravitační síla [N] u deformace pružiny [mm] 4
Lagrangeův variační princip Platí: Π = W P 1 2 W = k u 2 P = F u = m g u Π = 1 2 k u 2 m g u 5
Lagrangeův variační princip Hledáme minimum funkce Π = Π(u), což odpovídá parciální derivaci Π(u) podle deformace (posuvu) u. Π u u ( ) = k u m g 0 = k u m g m g u = k Π ( u) = u 0 6
Lagrangeův variační princip Legenda: Π min minimum funkce celkové potenciální energie tělesa Π = Π(u) 7
Symetrie 3D geometrické modely (CAD data) mohou mít osy a roviny symetrie vlastnosti symetrie lze s výhodou využít výsledky MKP analýzy s využitím symetrických vlastností jsou totožné jako u MKP analýzy bez zahrnutí symetrie vede na výrazně menší výpočtový model (poloviční, čtvrtinový) menší počet uzlů a elementů menší počet rovnic snížení času nutného pro výpočet vede při zachování velikosti modelu na mnohem jemnější síť výrazné zjednodušení definice okrajových podmínek 8
Symetrie 9
Symetrie 10
Diskretizace 3D geometrické modely (CAD data) jsou rozděleny na konečný počet částí (elementů) objem a tvar modelu je vyplněn elementy s dostatečnou přesností výsledkem procesu síť konečnoprvkového modelu výrazné ovlivnění získaných výsledků hustota sítě (velikost elementu, počet elementů a tolerance vyplnění) výpočtová náročnost úlohy roste výrazně s hustotou sítě větší počet algebraických rovnic kontinuální těleso je nahrazeno konečným prvkem elementů diskretizováno jednotlivé elementy v matematických bodech se známými souřadnicemi v prostoru tzv. uzlech 11
Diskretizace síť elementů (prvků) lze v problematických místech zahušťovat obecně: Získané výsledky silně závisí na hustotě a kvalitě použité sítě použité pro výpočtovou studii! 12
Okrajové podmínky představují předepsané hodnoty posunutí a rotací (strukturální úlohy) či předepsané teploty (teplotní úlohy) představují: zatížení (síla, tlak, moment ) a vazby (vetknutí, podepření, kloub ) špatná definice okrajových podmínek jiné napěťové stavy a zcela jiné deformace řešíme jinou úlohu znehodnocení výsledků výpočtové studie obtížně odhalitelné chyby i pro zkušené výpočtáře software pouze prostředkem řešení nikoliv řešením problému bez znalostí výpočtáře silně ovlivňují výsledky FEM analýz 13
Okrajové podmínky Ukázka ovlivnění výsledku Studie: Určení ekvivalentního napětí u součásti uložené a zatížené dle obrázku. Čep je dokonale tuhý a není předmětem našeho zkoumání = idealizace. 1.Nevhodný přístup vetknutí zabrání deformaci kruhového otvoru výrazně jiný průběh napětí než ve skutečnosti jiná úloha 2. Vhodný přístup tlaková vazba reálnější model předpoklad nulové vůle v uložení čepu větší vůle již odchylka 14
Okrajové podmínky Nevhodný přístup 15
Okrajové podmínky Nevhodný přístup 16
Okrajové podmínky Vhodný přístup 17
Okrajové podmínky Vhodný přístup 18
Singularita takové místo v 3D geometrickém modelu, kde i při postupném zahušťování sítě roste napětí nad všechny meze, tj. diverguje (nekonverguje ke správným hodnotám) nevyskytuje se v reálných tělesech obsahují pouze výpočtové modely důvodem idealizace a zjednodušení při modelování MKP studií Nejčastější singularity: bodová okrajová podmínka = bodové zatížení a vazba ostrá hrana na geometrii 19
Singularita singularita je vzdálena od řešené oblasti (oblast zájmu) mizivé nebo žádné ovlivnění výsledku singularita je v blízkosti řešené oblasti (oblast zájmu) výsledky znehodnoceny nevěrohodné 20
Singularita σ = N S N vnitřní silový účinek (normálová vnitřní síla) [N] S plocha průřezu (N je normálou plochy) [mm 2 ] σ normálové napětí [MPa] S 0 σ 21
Singularita odstranění divergující výsledky po zahuštění sítě konvergují ke správným hodnotám lze vyhodnocovat napětí odstranění divergující výsledky po zahuštění sítě stále divergují k vyšším a vyšším hodnotám nelze vyhodnocovat napětí 22
Výpočtový model numerické simulace prováděny ve virtuálním světě výpočtové studie vždy jen model s určitou mírou idealizace 3D geometrické modely (CAD data) FEM mesh (síť konečných prvků) 3D CAD geometrie model skutečné geometrie (výrobku) FEM mesh matematická reprezentace CAD dat Přesnost výsledku ovlivňuje: numerická přesnost = kvalita MKP sítě (FEM mesh) správná definice výpočtové úlohy (geometrie, okrajové podmínky, materiálové parametry, zatížení atd.) vždy jistá idealizace 23
Výstupy přednášky a závěrečná diskuse seznámení se základními pojmy: Lagranžův variační princip, symetrie, diskretizace, okrajové podmínky, singularita a výpočtový model vysvětlení významu singularit, hustoty sítě, okrajových podmínek a symetrie v rámci výpočtové studie Závěrečná diskuse, dotazy 24