FYZIKÁLNÍ PRAKIKUM Úsav fyziky FEI VU BRNO Spolupracoval Příprava Šuranský Radek Opravy méno Ročník 1 Škovran an Předn. skup. B Měřeno dne 5.4. Učiel Sud. skupina 1 Kód 17 Odevzdáno dne 16.5. Hodnocení Oddělení Název úlohy Momen servačnosi desky, momen servačnosi servačníku Číslo úlohy 5 MOMEN SERVAČNOSI DESKY 1. eoreický úvod do měření Momen servačnosi je skalární veličina, kerá charakerizuje rozložení hmonosi v ělese vzhledem k dané ose.pokud je hmonos v ělese rozložena rovnoměrně,pak se určí momen servačnosi vzahem: = r dm Kde dm je hmonos elemenu uhého ělesa ve vzdálenosi r od osy. Momen servačnosi je mírou servačných vlasnosí ělesa při oáčivém pohybu. Používá se při popisu vlasnosí ělesa při roačním pohybu(je analogický jako hmonos ělesa v úlohách newonovské mechaniky,ady se hmonos považujeme za nezávislou veličinu), momen servačnosi závisí na poloze osy roace. Nejmenší momen servačnosi je při roaci kolem osy procházející ěžišěm ělesa značí se,eno momen se aké nazývá cenrální. Mezi momeny servačnosi uhého ělesa vzhledem ke dvěma rovnoběžným osám, z nichž jedna prochází ěžišěm uhého ělesa, plaí Seinerova věa: = ml (ii) Kde m je hmonos ělesa a l je vzdálenos osy roace od ěžišě(j.vzdálenos obou ěcho rovnoběžných os).momen servačnosi je výhodné určova výpočem jen u ěles jednoduchého varu. Např. hom.deska obdélníkového varu o rozměrech a,b a hmonosi m má hlavní momen servačnosi vzhledem k ose kolmé na 1 plochu desky = m( a b ) 1 (iii) U ěles složiějších varů se momen servačnosi určuje někerou z nepřímých meod měření,např z doby kmiu fyz.kyvadla. Fyz.kyvadlo je každé uhé ěleso o hmonosi m, keré je oáčivé kolem horizonální osy, jejíž vzdálenos od ěžišě ělesa je l. Pohybová rovnice uhého ělesa, oáčejícího se kolem pevné osy, je d ϕ M = ε = (iv) d kde M je výsledný momen vnějších sil vzhledem k ose oáčení, momen servačnosi ělesa vzhledem k ose d ϕ oáčení a ε = je úhlové zrychlení. d Vychýlíme-li ěleso z rovnovážné polohy o úhel φ, působí na něj íha momenem, kerý se snaží vrái ho zpě do rovnovážné polohy ěleso začne kona kmiavý pohyb. Velikos momenu íhy (obr. 1.)je: M = mgl sin ϕ. (v) Záporné znaménko vyjadřuje okolnos, že momen íhy ělesa M má vždy opačný smysl než výchylka (i)
Pro malé výchylky z rovnovážné polohy můžeme položi (vi) sin ϕ =& ϕ, akže M = -mglϕ. Chyba, jaké se při om dopusíme, je při φ = 5 asi,5%. Po dosažení rovnice (5) do (3) a malých úpravách obdržíme rovnici d ϕ mgl (vii) ϕ =. d ao rovnice je oožná s diferenciální rovnicí harmonického pohybu, v níž mgl (viii) = ω je kvadrá úhlové frekvence kmiavého pohybu kyvadla. Doba kmiu fyzického kyvadla (při jeho nahrazení harmonickým pohybem) rovna = π a závisí na vzdálenosi osy od ěžišě. Z rovnice (8) obdržíme pro momen servačnosi vzah mgl π = mgl. (ix) (x) Dosadíme-li za z rovnice (1), určíme nejkraší dobu kmiu z podmínky pro minimum funkce (l): d dl = d dl ml π mgl =. (xi) Z řešení rovnice (1) vyplývá, že nejkraší doba kmiu nasává pro =, ml (xii) kde l se nazývá poloměr servačnosi. Do éo vzdálenosi by se musela sousředi veškerá hmonos ělesa, aby měla sejný momen servačnosi vůči ose, kerá prochází ěžišěm, jako dané ěleso.po experimenálním určení polohy akové osy při níž je doba kmiu nejkraší,vypočíáme ako (ale musíme zná hmonos ělesa!!).úkol Sanove momen servačnosi homogenní desky: přímo z definičního vzahu a experimenálně z doby kmiu fyzického kyvadla. 3. Posup měření 1. Abychom mohli pro výpoče momenu servačnosi použí vzah (iii), musíme zná hmonos desky a její rozměry. - Hmonos (není-li uvedena) zjisíme vážením na prakikanských vahách - Opakovaně změříme rozměry desky. Měření zpracujeme obvyklým způsobem. Sanovíme sousavné a vypočené náhodné chyby měření (absoluní i relaivní) a porovnáme je. - Vypočíáme. Sanovíme chybu výsledku.
. Desku, opařenou několika ovory, upevňujeme posupně ak, aby kývala kolem různých os. - Pro každou osu změříme její vzdálenos l i od ěžišě a odpovídající dobu kmiu i. Měříme n-násobek, n volíme podle lumení kmiavého pohybu (obvykle n = 1).Určíme chyby (l) a (). - Z každého měření vypočíáme momen servačnosi i (x). Z chyb přímo měřených veličin vypočíáme chybu (). - Ze všech měření vypočíáme pomocí Seinerovy věy momen servačnosi. Určíme ( ). - Uvedeme rozpěí výsledků, určíme nejpravděpodobnější hodnoou. 3. Hodnou určíme z minima funkce (l). - Sesavíme abulku hodno i, l i pro všechny proměřované osy. - Naměřené hodnoy vyneseme do grafu a proložíme hladkou křivkou. (Při zpracování na PC někerých z abulkových procesorů např. Microsof Excel 5. vybereme vhodnou regresivní funkci.) - Z grafu určíme hodnou l (minimum funkce) a z rovnice (xi) vypočíáme. - Posoudíme a odhadneme přesnos výsledku získaného ouo meodou (promínuí chyb přímo naměřených hodno i, l i chyb grafického zpracování aj.). 4. Použié přísroje a pomůcky homogenní deska, sojan, posuvné měřidlo, mer, sopky 5. Naměřené a vypočené hodnoy v abulkách AB 1: Rozměry homogenní desky,její hmonos je 1,85kg, délka, šířka a loušťka jsou uvedeny v abulce a při výpočech budu používa arimeický průměr ěcho naměřených veličin Čís.měř. 1 3 4 5 6 7 8 9 1 Ari.průměr Délka 6. 6.1 59.9 6. 6.1 59.9 6. 6. 59.9 6.1 6. [cm] loušťka 5. 5.3 5.1 5. 5.1 5. 5.3 5. 5.3 5.1 5. Šířka [cm] 8. 7.9 8. 8.1 7.9 8. 7.9 8.1 8.1 8. 8. AB : Vzdálenos os oáčení od ěžišě desky a od konce desky Díra 1 3 4 5 6 Vzdálenos od 76 175 14 73 3 ěžišě Vzdálenos od konce desky [cm] 57,6 5,5 47,6 4,5 37,5 3,6 AB 3 : Vypočený momen servačnosi experimenálně l(vzdál.díry) 1 3 4 prum. () [ ] [ ] () [1-4 ] ( ) [1-4 ] 76 1,45 1,33 1,9 1,3 1,34,1387,189,5,67 1,6 11,6 11,7 11,77 11,69 11,71,1468,133,44,69 6,7 175 1,4 11,59 11,9 1,1 11,91,1596,111,55 1,89 18,9 14 1,5 1,15 1,3 1,13 1,5,19,83,55 1,88 18,8 73 13,3 13, 13,36 13,4 13,33,953,58,484,79 7,89 3,95 1,3,67 1,1,97,156,45,444,15 1,49
AB 4: Určení hodnoy z minima funkce: i 1,339 1,1167 1,18 1,19 1,39,83 l i [m],76,,175,14,73,3 6. Příklad výpoču 1. Sanovení průměrné periody a momenu servačnosi všechny odchylky i 1,45 1,33 1,9 1,3 = = = 1,34s n 4 σ n 1,854 S = = =,47 s n 4 ( ) = n, p S = 3,548,47=,1387s 1,34 = mgl = 1,85 9,81,76 =,189 1 π π. Cenrální momen ze Seinerovy věy: = ml =,189 1,85,76 =,5 ( ) = mg ( l) ( ) ( 1 π ) ( ) 4 3 ( ) = ( ) ml ( l) =,67 1 1,85,76,1 = 1,6 1 1 π 1,34 = 1,85 9,81 π mgl 1,85 9,81,76,1 1,34,1387 =,67 1 π 3.Rozsah výsledků a nejpravděpodobnější hodnoa (48,5±,9).1-3 (58,8±,81).1-3 4,56,588,48,515,494,485 = = = &,51 n 6 4.výpoče s rozměru desky 1 1 3 = m( a b ) = 1,85(8,4 69,93 ) = 56,93* 1 1 1 7. Graf i 3,5 1,5 1,5,5,1,15,,5,3 l i [m]
Z grafu jsme odečeli l =,176 m, akže: = ml = 1,85,176 =,559 8. Závěr Měřili jsme řemi způsoby: Nejprve jsme vypočíali momen servačnosi desky, k omu jsme pořebovali zná hmonos desky a její rozměry. Rozměry délky jsme měřili merem s nejmenším dílkem,5 mm. Šířkové rozměry jsme měřili posuvným měřidlem s nejmenším dílkem,5 mm. Z ohoo důvodu jsou chyby u šířky a délky jiné. Rozměry desky edy jsou : a = 8,4 ±,5 mm ; b = 69,94 ±,4 mm. Momen servačnosi desky : = (5693 ± 9). 1-5 U počíání momenu servačnosi pomocí fyzického kyvadla jsme měřili vzdálenos osy od ěžišě a dobu kmiu. Chybu odečení vzdálenosi jsme určili 1 mm, což byl nejmenší dílek supnice meru. Čas kmiu jsme měřili 4x. Spočíali jsme momen servačnosi. Ke spočeným hodnoám jsme jsme sanovili chyby. Výsledné hodnoy jsou v rozmezí < (48,5 ±,9) (58,8 ±,81) >.1-3. Nejpravděpodobnější hodnoa : = 5,1. 1-3. Sesrojili jsme graf závislosi doby kmiu na vzdálenosi od ěžišě. Zněj jsme odečeli hodnou l, ve keré byla doba kmiu minimální. ao hodnoa činí,176 m. Vypočíali jsme hodnou = 55,9. 1-3. eno výsledek je nejméně přesný, proože odečení minimální hodnoy grafu nebylo přesné. Způsob [1-3 ] 1. 56,93. 5,1 3. 55,9 Nepřesnosi výsledků se dají vysvěli nesprávným odečíáním hodno, chybou při počíání, nepřesnosí měřících přísrojů.
Momen servačnosi servačníku 1. eoreický úvod do měření Souvislos oáčivého pohybu a momenu servačnosi můžeme sledova na servačníku. e realizován yčí, na jejíž obou koncích jsou umísěny válečky o sejné hmonosi. yč je uprosřed pevně spojena s hřídelí poloměru r a volně se oáčí kolem pevné vodorovné osy. Momen servačnosi servačníku je, jeho hmonos M. Navineme-li na hřídel lanko se zavěšeným závažím o hmonosi m a uvolníme servačník, dá se celá sousava do pohybu. o ovšem za předpokladu, že momen íhy závaží vzhledem k ose servačníku Mg = rmg je věší než momen sil ření M = rf. sou-li síly ření navíc konsanní, bude závaží klesa rovnoměrně zrychleně. Za čas se vlákno odmoá a závaží (urazí mezi ím dráhu h) odpadne. eho rychlos v omo okamžiku je v = a a dráha, kerou za čas 1 urazilo, je h = a. Spojením obou rovnic dosaneme pro rychlos vzah h (i) v =. v Kruhová rychlos servačníku je ω =, po dosazení z (i) r h (ii) ω =. r Z planosi zákona zachování energie plyne 1 1 (iii) mv ω A = mgh kde A je práce řecích sil. esliže za dobu je poče oáček servačníku n 1 (olikrá vlasně navineme vlákno na hřídel), můžeme A vyjádři posupně = sf = π rn F = kn F (iv) A 1 1 Po odpadnuí závaží se servačník působením sil ření F za jisou dobu vykoná přiom n oáček zasaví. I v omo případě můžeme psá (v) A = kn F Ze zákona zachování energie plaí 1 (vi) ω A = Vyloučením k z rovnic (4), (5) a po dosažení do (6) obdržíme (vii) 1 n F A = ω 1. n F Pro jednoduchos předpokládejme, že ření je úměrné pouze laku v ložiscích servačníku (se závažím i bez něj) a edy hmonos servačníku. Pak F M m F = c( M m), F = cm, a edy =. F M Rovnici (7) můžeme pak psá ve varu 1 ( M m) n1 A = ω. (viii) M n
Dosazením (1), (), (8), do (3) vyjádříme momen servačnosi našeho servačnosi našeho servačníku následujícím vzahem r m( g h) (ix) =. ( M m) n1 h 1 M n V éo rovnici se už vyskyují pouze veličiny, keré dovedeme snadno změni. Orienačním výpočem po prvním měření zjisíme, zda požadovaná přesnos (běžná úroveň výsledků laboraorních měření je 1 až 5%) umožňuje zanedba druhé členy v závorce. Pokud ano, zjednoduší se rovnice (9) na r mg =. h.úkol Sanove momen servačnosi daného servačníku 3.Posup měření 1. Posuvkou změře průměr hřídele. Pro zvolený poče záviů n 1 vypočěe h ( h = π r n 1 ). 3. Pro každé n 1 změře aké čas, po kerý působí momen íhy závaží na servačník a poče n oáček servačníku do zasavení. Odhaduje i zlomky oáček. 4. Měření opakuje pro různá n 1 podle svých časových možnosí. Pro každé měření proveďe hrubý odhad přesnosi měření. U přímo měřených veličin odhadněe (s přihlédnuím k měřicím přísrojům a svým schopnosem) velikos maximální chyby pro každou z nich. 5. Určee chyby ( i ) pro každé měření 6. Porovneje hodnoy vypočené z jednolivých měření a sanove inerval < max, min >. eví-li hodnoy i normální rozdělení, vypočíeje nejpravděpodobnější hodnou a chybu (). 7. Pokuse se posoudi a procenuálně vyjádři sousavné chyby meody měření. 4. Použié přísroje a pomůcky Posuvné měřidlo, sopky, servačník, závaží 5.Naměřené a vypočené hodnoy v abulkách Hmonos závaží je m = 117 g AB 1: Délka nii závaží d 3.74 3.7 3.68 3.71 3.73 d 3.7 AB :perioda a momen servačnosi servačníku n 1 [o.] h (h) 1 n [o.] [m:s] [ ] () [ ],5 6,798,549,91 1,5 1:19,81 3,9*1-5 5,9*1-5,5 53,596,199 3,47 17,5 1:3,6 3,8*1-5,1*1-5 1, 17,19,199 3,81 8,5 1:59,7,3*1-5,79*1-5, 14,38,4398 5,46 71,5 :47,5,3*1-5,5*1-5 3, 31,57,6597 6,9 8,75 3:34,49,5*1-5,41*1-5 6. Příklad výpoču
h = πdn ( h) = πn ( d ) ( ) 1 = π 34,1,5 = 6,798 ( ) 1 d mg,341,117 9,81,91 = = 8h 8,6798 Chyba =, s d = mg 4h 5 ( ) = 7,1 1 = π,5,7 =, mm ( d ) ( ) ( h) d h mm = 3,9 1 5,341,117 9,81,91 = 4,6798 4 7 1,341,,91,,67 Inerval min - max (,5 ±,41). 1-5 (3,9 ± 5,9). 1-5 Nejpravděpodobnější hodnoa : = n = 5 (,9 3,8,3,3,5) 1 5 3 5 =,96 1 7.Závěr Průměr hřídele jsem změřil 5x a spočel jsem arimeický průměr jeho hodnoy a chybu měření.dosal jsem pak uu hodnou d = 34,1 ±,7 mm.vypočel jsem h, momen servačnosi servačníku a samozřejmě i jeho chybu. Hodnoy se pak pohybují v inervalu (,5 ±,41). 1-5 (3,9 ± 5,9). 1-5.Odud je nepravděpodobnější, že je,96*1-5. Nepřesnos výsledků měření se vysvělí španým odečíáním hodno,chybou při zaokrouhlování a nepřesnosí přísrojů.