Téma 10: Momenty setrvačnosti a deviační momenty

Transkript

1 Savení saika, ročník akalářskéo sudia Téma : Momeny servačnosi a deviační momeny Cenrální kvadraické momeny ákladníc průřeů Cenrální kvadraické momeny složenýc průřeů Kvadraické momeny k pooočeným osám Polární momen servačnosi Kaedra savení mecaniky Fakula savení, VŠB - Tecnická univeria Osrava

2 Průřey pruovýc konsrukčníc prvků Výpoče deformovaelnýc pruů vyžaduje v geomerické carakerisiky průřeu: Ploca průřeu (Téma 9) Saické momeny S a S průřeu k momenovým osám a (Téma 9) Souřadnice T, T ěžišě T průřeu (Téma 9) Momeny servačnosi, k osám, eviační momen k osám, Předpoklad: průře íově omogenní, fikivní měrná ía γ (e fyikálnío roměru) Pojem kvadraickýc momenů rovinnýc oraců /

3 Kvadraický momen rovinnýc oraců Ploca elemenárnío odélníkovéo dílku: d d d V počáečním odě dílku půsoí elemenární fikivní sila kolmá k rovině průřeu: d P γ d d γ γ Momen servačnosi (vždy kladné) a deviační momen (kladný či áporný) k osám, - osy servačnosi: d d d Ponámka: elemeny plocy násoeny kvadráy souřadnic a neo součinem souřadnic, proo kvadraické momeny průřeu, saické momeny lineární Roměr [délka ], pravidla m neo mm Pojem kvadraickýc momenů rovinnýc oraců K výkladu kvadraickýc momenů Or 5 / sr 57 /

4 Kvadraický momen rovinnýc oraců Ve savení mecanice kvadraické momeny k osám, procáejícím ěžišěm T cenrální osy servačnosi, cenrální kvadraické momeny průřeu, lavní osy servačnosi (moou ý pooočené) Pravidlo o kvadraickýc momenec k rovnoěžně posunuým osám: c T d T + c + d + d ( + c) d ( + d ) d d + cs d + ds ( + c)( + d ) d + c d + c d d + c Pojem kvadraickýc momenů rovinnýc oraců + d d d + d + c S d + c d + + d S d + d + + c d K výkladu kvadraickýc momenů Or 5 / sr 57 /

5 Kvadraický momen rovinnýc oraců Saické momeny průřeu k ěžišním osám průřeu: S S Výsledné vary vaů pro kvadraické momeny k osám, neprocáejícím ěžišěm průřeu: + c + d Seinerova věa + c d Jako Seiner (796-86) Po úpravě le použí rovněž: c d Pojem kvadraickýc momenů rovinnýc oraců c d K výkladu kvadraickýc momenů Or 5 / sr 57 5 /

6 6 / Cenrální kvadraické momeny odélníku Odélník Or 5 / sr 59 Cenrální kvadraické momeny ákladníc průřeů, T O Zvoleno: Výpoče lavníc cenrálníc momenů servačnosi: 8 8 d d d d + Odoně: d d d d d ůka nulovéo deviačnío momenu:

7 7 / Kvadraické momeny odélníku ve složeném oraci Odélník Or 5 / sr 59 Cenrální kvadraické momeny ákladníc průřeů [ ],, d c T O T T Zvoleno: Výpoče momenů servačnosi: c + + c d + + Seinerova věa d + +

8 Kvadraické momeny čverce Čverec o sraně a: Výpoče lavníc cenrálníc momenů servačnosi: a a Kvadraické momeny čverce k osám procáejícím jeo sranami:, a + c a + a a a + c d + a a a a Cenrální kvadraické momeny ákladníc průřeů Odélník Or 5 / sr 59 8 /

9 9 / Zvoleno: O ve vrcolu rojúelníku Cenrální kvadraické momeny pravoúléo rojúelníku Pravoúlý rojúelník Or 5 / sr 59 Cenrální kvadraické momeny ákladníc průřeů (a) () Výpoče nejprve kvadraickýc momenů k vodorovné ose a svislé ose : d d d d d 8 d d d d d d d d d d

10 / Cenrální kvadraické momeny pravoúléo rojúelníku Pravoúlý rojúelník Or 5 / sr 59 Cenrální kvadraické momeny ákladníc průřeů (a) () Výpoče cenrálníc momenů servačnosi (nejsou ale lavní momeny): 6 9 c 7 8 c d Seinerova věa d 6 9 c d

11 Cenrální kvadraické momeny rovnoramennéo rojúelníku Rovnoramenný rojúelník le roděli na dva symerické pravoúlé Svislá osa symerie jsou ároveň lavní momeny servačnosi a nulový deviační momen Kvadraické momeny ve složeném oraci k vodorovným osám, : Rovnosranný rojúelník o sraně : 96 &,8 Cenrální kvadraické momeny ákladníc průřeů Rovnoramenný rojúelník Or 5 / sr 6 /

12 π r Cenrální kvadraické momeny čvrkruu Zvoleno: O S Plaí: rsinϕ Momen servačnosi k vodorovné ose : r π sin sin dd ϕcos r rcosϕ ϕ rcosϕ rcosϕdϕ ϕdϕ r d d Osa symerie skloněná o 5 o - ϕ sin ϕ 8 d rcosϕ dϕ π 6 π r π r rsinϕ r π dd sinϕcos r cos rcosϕ ϕ rcosϕdϕ r ϕdϕ 8 d d π [ cos ϕ] r Cenrální kvadraické momeny ákladníc průřeů 8 Čvrkru Or 55 / sr 6 /

13 Cenrální kvadraické momeny čvrkruu Kvadraické momeny k neěžišním osám edy: π r r 6 8 Souřadnice ěžišě: r c d &, r (Téma 9) π π r Ploca: Cenrální kvadraické momeny k ěžišním osám rovnoěžným s, : r r 8 π 6 9π 6 r 9π c 6 π r &,588 r c d π r r Cenrální kvadraické momeny ákladníc průřeů 8 6 r 9π 9π π r &,67 r Čvrkru Or 55 / sr 6 /

14 Cenrální kvadraické momeny půlkruu Složený oraec e dvou čvrkruů, keré mají k oou osám sejné momeny servačnosi, ale deviační momeny s opačným naménkem: 6 8 π r π r Osa osa symerie, lavní cenrální osa servačnosi Hlavní cenrální momeny servačnosi edy: π 6 9π π 8 8 9π r r &,976 r π r 8 (a) Cenrální kvadraické momeny ákladníc průřeů Půlkru Or 56a / sr 6 /

15 Cenrální kvadraické momeny kruu a meikruží Kru: složený oraec e dvou půlkruů, kerákoliv ěžišní osa je osou symerie, momen servačnosi ke kerékoliv ěžišní ose je lavní cenrální momen servačnosi Meikruží: složený oraec vnějšío kruu o poloměru r a odečíaný vniřní kru o poloměru r π r π r π( r r ) 8 () Kru Or 56 / sr 6 Cenrální kvadraické momeny ákladníc průřeů (c) Meikruží Or 56c / sr 6 5 /

16 Výpoče kvadraickýc momenů pomocí aulek Cenrální kvadraické momeny ákladníc průřeů 6 /

20 Výpoče kvadraickýc momenů pomocí aulek Cenrální kvadraické momeny ákladníc průřeů /

25 Cenrální kvadraické momeny složenýc průřeů Průřey složené jednolivýc oraců Posup výpoču: a) voli pomocnou souřadnicovou sousavu, ) roděli složený oraec na n jednoduššíc prvků i,, n c) pro každý prvek urči i a souřadnice jeo ěžišě, v pomocné souřadnicové sousavě (ovory mají plocu se naménkem mínus) d) urči plocu celéo průřeu (součem i ), urči souřadnice ěžišě, T T celéo orace, kerým proloži cenrální osy servačnosi průřeu, rovnoěžné s osami, e) pro každý prvek urči ramena ěžišě T i ci i T di i T f) vypočía cenrální kvadraické momeny celéo orace: n ( + ci i ) n ( ) i + d n i i i ( + ci di i ) i i i i (Ovory mají momeny servačnosi se naménkem mínus, deviační momeny s opačným naménkem) i Cenrální kvadraické momeny složenýc průřeů 5 /

26 Příklad Požadavek: Urči cenrální kvadraické momeny servačnosi (a) Složený oraec: e ří jednoducýc prvků pravoúlý rojúelník, odélník a výře varu půlkruu Cenrální kvadraické momeny složenýc průřeů Zadání příkladu Or 57a / sr 6 6 /

27 Příklad Posup výpoču: a) Rodělení na prvky ) Urči plocy prvků a souřadnice jejic ěžišť v pomocné souřadnicové sousavě c) Vypočía plocu celéo orace a souřadnice jeo ěžišě () Cenrální kvadraické momeny složenýc průřeů Řešení příkladu Or 57 / sr 6 7 /

28 Příklad d) Kvadraické momeny prvků a ramena jejic ěžišť e) Cenrální kvadraické momeny průřeu dle: (c) n i n i ( + c ),66m i i i ( + d ),9m i i i n i ( + c d ),885m i i i i i Cenrální kvadraické momeny složenýc průřeů Řešení příkladu Or 57 / sr 6 8 /

29 Průřey složené válcovanýc yčí T P U i T[ T, Y ] R P U T + Cenrální kvadraické momeny složenýc průřeů + 9 /

30 Kvadraické momeny k pooočeným osám Geomerická ransformace souřadnic při pooočení souřadnicovýc os: cosα sinα sinα + cosα Kvadraické momeny orace k pooočeným osám: d d d po dosaení: sin + sinα cosα ( sinα + cosα ) α sin cos α + α + d + d + cos sin α + sin α + d α cos α sin α Kvadraické momeny k pooočeným osám d d Geomerická ransformace souřadnic při pooočení os Or 58 / sr 65 /

31 Kvadraické momeny k pooočeným osám po dosaení: d ( cosα sinα ) d cos α d sinα cosα d + sin α cos α d po dosaení: sinαcosα sin α + sin α sin ( cosα sinα )( sinα + cosα ) sin α + d + ( sin α cos α ) cos α sin α α + d cos α d sinαcosα sin α d ( ) sin α + cos α ůležié pooočení α os servačnosi, při kerém naudou oa momeny servačnosi erémníc odno (maimální a minimální) d Kvadraické momeny k pooočeným osám /

32 d dα Kvadraické momeny k pooočeným osám erivace dle α oou momenů rovna nule: sinαcosα + sinαcosα + cos α ( ) sin α + Závěr: Oa momeny servačnosi naývají erémní odnoy, když je deviační momen nulový Jeden nic je maimální, druý minimální cos α Hlavní osy servačnosi se sklonem α : ( ) sin α + cos α gα α ± 9 α Hlavní momeny servačnosi: + cos α + cos α + + sin α ( + ) + ( ) + g ( ) ( ) sin α ( + ) + ( ) α + gα + g α cos α + Kvadraické momeny k pooočeným osám /

33 Po úpravě: Kvadraické momeny k pooočeným osám + Znaménko před odmocninou: + - ( + ) ± ( ), Hlavní osy servačnosi se sklonem α : gα,, ma min α ma α min α ± 9 Poučka: Souče momenů servačnosi ke dvěma vájemně kolmým osám servačnosi se při oáčení oou os kolem počáku nemění, ůsává konsanní (neměnný, invarianní) α Kvadraické momeny k pooočeným osám /

34 Příklad Požadavek: Urči lavní cenrální momeny servačnosi a sklony jim příslušnýc lavníc os Posup: a) Cenrální kvadraické momeny k vodorovné a svislé ose ) Hlavní cenrální momeny servačnosi c) Sklon lavníc cenrálníc os servačnosi + ( + ) ± ( ), ma,8779m gα,, min,89m Kvadraické momeny k pooočeným osám Příklad Or 59a / sr 68 /

35 Kvadraické momeny k pooočeným osám,759m,75m,5m α o o 8 8,,8,6,,, -, (alfa) (alfa) -, (alfa) Kvadraické momeny k pooočeným osám 5 /

36 Kvadraické momeny k pooočeným osám,759m,,75m,5m,8779m α +5, o,m,8,6,,, -, (alfa) (alfa) -, (alfa) Kvadraické momeny k pooočeným osám 6 /

37 Kvadraické momeny k pooočeným osám,759m,,75m,5m,89m α 6,9,m o,8,6,,, -, (alfa) (alfa) -, (alfa) Kvadraické momeny k pooočeným osám 7 /

38 Příklad Požadavek: Urči lavní cenrální momeny servačnosi a sklony jim příslušnýc lavníc os Posup: a) Cenrální kvadraické momeny k vodorovné a svislé ose ) Hlavní cenrální momeny servačnosi c) Sklon lavníc cenrálníc os servačnosi + ( + ) ± ( ), 8 ma,67 mm gα,, 8 min,7 mm Kvadraické momeny k pooočeným osám Příklad Or 59 / sr 68 8 /

39 Příklad Požadavek: Urči lavní cenrální momeny servačnosi a sklony jim příslušnýc lavníc os Posup: a) Cenrální kvadraické momeny k vodorovné a svislé ose ) Hlavní cenrální momeny servačnosi c) Sklon lavníc cenrálníc os servačnosi + ( + ) ± ( ), ma,765m gα,, min,957m Kvadraické momeny k pooočeným osám Příklad Or 59c / sr 68 9 /

40 Poloměr servačnosi Geomerická carakerisika průřeu: i i Hlavní cenrální poloměry servačnosi: i ma ma i min min Hlavní cenrální poloměry servačnosi pro odélníkový průře : (šířka, výška ) i ma &,887 i min &,887 Hlavní cenrální poloměry servačnosi pro čvercový průře (srana a): i i &,887 a ma min Hlavní cenrální poloměry servačnosi pro kruový průře: π r r i ma imin π r r Kvadraické momeny k pooočeným osám /

41 Polární momen servačnosi Polární momen servačnosi: (p je vdálenos od pólu) p p d Kvadraický momen, roměr [délka ], pravidla m neo mm p ( + ) + d d d + + Poučka: Polární momen servačnosi k pólu O je roven souču aiálníc momenů servačnosi k jakýmkoli dvěma vájemně kolmým osám servačnosi, keré ímo pólem procáejí Ve savařské prai pólem je výradně ěžišě průřeu, cenrální polární momen servačnosi, využií u roačně symerickýc průřeů Polární momen servačnosi K výkladu polárnío momenu servačnosi Or 5 / sr 7 /

42 Příklad 6 Požadavek: Urči cenrální polární momen servačnosi ocelové ruky Řešení: Cenrální polární momen servačnosi pro kru: Cenrální polární momen servačnosi pro meikruží: π Konkréně: p r mm ( r r ) r mm p π r π r p π 5 ( ) 7,59 mm Polární momen servačnosi Zadání příkladu 6 Or 5 / sr 7 /

43 Okruy prolémů k úsní čási koušky Cenrální kvadraické momeny ákladníc průřeů Cenrální kvadraické momeny složenýc průřeů Kvadraické momeny k pooočeným osám Polární momen servačnosi Podklady ke koušce /