5 ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI SPOJITÉ NÁHODNÉ VELIČINY 5. Rovnoměrné rozdělení R(a,) - má náhodná veličina X, která má stejnou možnost naýt kterékoliv hodnoty z intervalu < a, >; a, R Definice 5..: Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení R(a,) právě tehdy, když její pro a, hustota pravděpodonosti je určena vztahem: f a. 0 pro a, H ( X ) a, f pro a, a 0 pro a, 0 pro, a a F pro a, a pro, a E( X ) a D( X ) Poznámka: ) Rovnoměrné rozdělení je tedy rozdělení, jehož hustota pravděpodonosti je konstantní na nějakém intervalu a, a všude jinde je nulová. ) Rovnoměrným rozdělením lze popsat například: dou čekání na autous, který přijíždí v pravidelných intervalech.
Příklad 5..: Tramvajová linka číslo 8 odjíždí ze zastávky každých 0 minut. Cestující může přijít na zastávku v liovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a rozptyl doy čekání na tramvaj a pravděpodonost, že cestující ude čekat déle než 7 minut. Řešení: X doa čekání na tramvaj, X R(0,0) H (X ) 0, 0 a 0 0 E ( X ) 5 a 0 0 D ( X ) 8,3 0, 0, 0 0 0, 0 7 3 P ( X 7) P(7 X ) ) 7) 0,3 0 0 5. Eponenciální rozdělení E() - má náhodná veličina X, která udává délku čekání na Poissonovský náhodný jev, případně délku intervalu mezi dvěma Poissonovskými náhodnými jevy Definice 5..: Náhodná veličina X má eponenciální rozdělení E() právě tehdy, když její 0, 0 hustota pravděpodonosti je určena vztahem: f (.. e, 0 H ( X ) 0, ) 0, f (. e, 0 0 0, e, 0 0
E ( X ) D ( X ) Poznámka: ) Eponenciální rozdělení úzce souvisí s rozdělením Poissonovým. Jestliže například počet dopravních nehod na Martinovské křižovatce v určitém časovém intervalu popisuje rozdělení Poissonovo, pak dou od jedné nehody do druhé lze popsat rozdělením eponenciálním. ) Oě tato rozdělení hrají důležitou roli v teorii spolehlivosti. Časté aplikace jsou též v teorii hromadné osluhy (teorii front), kde se pomocí eponenciálního rozdělení modeluje doa čekání ve frontě. Eponenciální rozdělení rovněž doře popisuje rozdělení doy života u systémů, u kterých dochází k poruše ze zcela náhodných příčin (nikoliv v důsledku opotřeení, jako jsou např. mechanické opotřeení, únava materiálu apod.), tj. u systémů nacházejících se v odoí stailního života. 3) Všimněte si, že parametr u eponenciálního rozdělení není roven střední hodnotě tohoto rozdělení, jak je tomu u rozdělení Poissonova, ale její převrácené hodnotě ( / E( X ) ). 4) Eponenciálním rozdělením lze popsat například: dou čekání na osluhu v restauraci, vzdálenost mezi dvěma poškozenými místy na silnici, dou mezi dvěma poruchami elektronického systému. 5) Hodnoty distriuční funkce eponenciálního rozdělení vypočteme v Ecelu užitím funkce EXPON.DIST. Pro náhodnou veličinu X s rozdělením E () platí: P( X P( X EXPON.DIST( ; ;) Příklad 5..: Mějme náhodnou veličinu X s eponenciálním rozdělením pravděpodonosti E(3). Určete pravděpodonost toho, že naude hodnoty z intervalu a) (,), ) ( 8, ), c) 3,. Řešení: X E(3) 0, 0 F ( 3 e, 0 P ( X (,)) P( X ) ) ) e EXPON.DIST (;3;) EXPON.DIST(;3;), 3. 3. 3 6 a) e e e 0, 047 3.8 4 ) P ( X (8, )) P(8 X ) ) 8) e P ( X 8) EXPON.DIST(8;3;), e 3,8.0 3. 3 c) P ( X 3, ) P( 3 X ) ) 3) e 0 e 0, 950 F ( ) 0 EXPON.DIST(;3;). Příklad 5..: Doa čekání na výroek u výroní linky trvá průměrně 8 minut. Určete: a) pravděpodonost, že udeme čekat na výroek déle než minut, ) dou čekání, ěhem které ude výroek vyroen s pravděpodoností 0,9. 3
Řešení: X doa čekání na výroek, X E() E ( X ) 8 8 0, 0 8 e, 0 8 a) P ( X ) P( X ) ) ) e 0, 3 P ( X ) ) EXPON.DIST(;/ 8;) ) tentokrát hledáme takové, že P X 0, 9, tedy F ( 0, 9 e 8 0,9 e 8 0, ln 0, 8 ln 0, 8,5 minuty 8 5.3 Normální rozdělení N(, ) - má náhodná veličina X popisující jev, který je výsledkem půsoení velkého počtu nepatrných, na soě nezávislých vlivů Definice 5.3.: Náhodná veličina X má normální rozdělení N(, ) právě tehdy, když její.. hustota pravděpodonosti je určena vztahem: f. e pro, Normální rozdělení má dva parametry: střední hodnotu μ, která určuje střed, kolem kterého se pohyují hodnoty náhodné veličiny, a rozptyl, charakterizující rozptýlení hodnot náhodné veličiny kolem její střední hodnoty. H ( X ) (, ) - f ( e, R. Grafem hustoty pravděpodonosti normálního rozdělení N(, ) je tzv. Gaussova křivka, která má typický zvonovitý tvar (angl. ell curve ). Je to symetrická křivka (koeficient šikmosti je u normálního rozdělení roven nule), dosahující maima v odě = μ. Parametr σ udává horizontální vzdálenost infleních odů od μ a tím i šířku Gaussovy křivky. 4
e. t- dt, R Distriuční funkce normálního rozdělení má typický S-tvar ( S shape curve ) a má inflei v odě = μ. E (X ) D ( X ) Normální rozdělení je jedním z nejdůležitějších pravděpodonostních rozdělení. Je to nejčastěji používané rozdělení, které nachází uplatnění v nejrůznějších olastech lidské činnosti, jako jsou přírodní vědy, medicína, ekonomie i technika. Z hlediska aplikací ývá vhodné k popisu náhodných veličin, které lze interpretovat jako výsledek mnoha nepatrných, vzájemně nezávislých vlivů, kam patří např. chya měření neo odchylka rozměru výroku od požadované hodnoty, proto ývá toto rozdělení také označováno jako zákon chy. Značný význam normálního rozdělení spočívá rovněž v tom, že za určitých podmínek lze pomocí něj aproimovat řadu jiných spojitých i nespojitých rozdělení. Normované normální rozdělení N(0,) Vztahy pro hustotu pravděpodonosti a distriuční funkci oecného normálního rozdělení N(, ) jsou poměrně složité a výpočet funkčních hodnot pomocí těchto vztahů velmi pracný. Proto ylo zavedeno normované normální rozdělení N(0,), což je speciální případ oecného normálního rozložení pro 0 a. U tohoto rozdělení najdeme vyrané hodnoty distriuční funkce v taulkách. Hustota pravděpodonosti normovaného normálního rozdělení se značí a je určena vztahem:. pro, e Distriuční funkce normovaného normálního rozdělení se značí a je určena vztahem: t e dt pro, 5
Vztah mezi normovaným normálním rozdělením N(0,) a oecným normálním rozdělením N( ) vyjadřuje následující věta: Věta 5.3.: Nechť náhodná veličina X má normální rozdělení s parametry μ a X N( ; ). Pak náhodná veličina Z N(0;). Z X má normované normální rozdělení Poznámka: ) V taulkách nalezneme pouze hodnoty distriuční funkce pro 0. Hodnoty pro < 0 není nutno uvádět, neoť ze symetrie Gaussovy křivky plyne: ( (. ) Hodnoty distriuční funkce normálního rozdělení lze vypočíst také v Ecelu užitím funkce NORM.DIST. Pro náhodnou veličinu X s rozdělením N(, ) platí: P( X P( X NORM.DIST( ; ; ;). 3) U normálního rozdělení umožňuje Ecel vypočítat i hodnotu funkce inverzní k funkci distriuční, a to pomocí funkce NORM.INV. Tuto funkci používáme k výpočtu kvantilů normálního rozdělení (viz poznámka pod Definicí 3.4.4). Pro náhodnou veličinu X s rozdělením N(, ) vypočteme p-kvantil pomocí funkce NORM.INV takto: p NORM.INV( p; ; ). Příklad 5.3.: Inteligenční kvocient má v populaci normální rozdělení se střední hodnotou 00 a rozptylem 5. Vypočtěte, jaká je pravděpodonost, že IQ náhodně vyraného jedince ude a) menší než 90, ) větší než 30, c) v mezích od 05 do 5. Řešení: Označme X IQ náhodně vyraného jedince, X N(00; 5) Máme-li k dispozici program Ecel, můžeme příklad vyřešit pomocí funkce NORM.DIST. V našem případě je 5 5 a výpočet vypadá následovně: a) P ( X 90) P( X 90) 90) ) 90) 0 90) NORM.DIST(90;00;5;) 0,5 ) P ( X 30) P(30 X ) ) 30) 30) NORM.DIST(30;00;5;) 0,03 c) P ( 05 X 5) 5) 05) NORM.DIST(5;00;5; ) NORM.DIST(05;00;5;) 0,3 Bez použití počítače ychom příklad řešili pomocí normované náhodné veličiny, jejíž distriuční funkce má hodnoty uvedeny v taulkách. Jelikož při řešení tímto postupem musíme při výpočtu mezí zaokrouhlovat na dvě desetinná místa, může se takto získaný výsledek od toho předchozího, přesnějšího, mírně lišit: 00 X 00 90 00 0 a) P ( X 90) P( X 90) P P Z 5 5 5 5 ( 0,67) ( ) (0,67) 0 0,5 30 00 5 X 00 5 00 5 ) P( X 30) P(30 X ) P P Z 6
( ) () () 0,03 05 00 X 00 5 00 5 5 c) P ( 05 X 5) P P Z 5 5 5 5 5 (,67) (0,33) 0,33 Příklad 5.3.: Nechť náhodná veličina X modelující odchylku šířky výroku od požadované hodnoty má normální rozdělení se střední hodnotou 0 mm a směrodatnou odchylkou 5 mm. Určete: a) pravděpodonost, že odchylka ude nejvýš 7 mm, ) 0,75. Řešení: Tento příklad vyřešíme rovněž dvěma způsoy pomocí Ecelu a pomocí taulek. a) P ( X 7) NORM.DIST(7;0;5;) 0, 74 0 X 0 7 0 3 P ( X 7) P( X 7) P P Z 5 5 5 5 ( 0,6) ( ) (0,6) 0 0, 74 Pravděpodonost toho, že odchylka šířky výroku od požadované hodnoty ude maimálně 7 mm, je tedy 7,4%. ) Potřeujeme určit hodnotu horního kvartilu 0,75, což je hodnota, pro kterou platí 0,75 ) = 0,75 (viz Definice 3.4.4), tudíž 0,75 = F - (0,75) a užitím ecelovské funkce NORM.INV dostáváme: NORM.INV(0,75;0;5) 3,37 0,75 0 X 0 0,75 0 0,75 F 0,75 P( X 0,75) P( X 0,75) P 5 5 5 0,75 0 0,75 0 0,75 0 0, 75 0 P Z 0 5 5 5 5 0,75 0 0,67 0,75 0,67 5 0 3, 35 5 S pravděpodoností 75% tedy odchylka šířky výroku od požadované hodnoty nepřekročí 3,37 mm. Příklad 5.3.3: Město nechalo nainstalovat 000 lamp veřejného osvětlení. Životnost (doa svícení) těchto lamp má normální rozdělení se střední hodnotou 000 hodin a standardní odchylkou 00 hodin. Určete: a) jaká je pravděpodonost, že životnost liovolné lampy ude menší než 700 hodin, ) jaká je pravděpodonost, že životnost liovolné lampy ude přesně 700 hodin, c) jaká je pravděpodonost, že životnost liovolné lampy ude mezi 700 a 750 hodinami, d) u kolika lamp se dá očekávat, že jejich životnost ude mezi 700 a 750 hodinami, e) po kolika hodinách se dá očekávat, že zůstane svítit jen 0% lamp. Řešení: Řešení tohoto příkladu ukážeme pouze pomocí ecelovských funkcí. Označme X životnost lampy, X N(000; 00 ) a) P ( X 700) NORM.DIST(700;000;00;) 0,067 7
Pravděpodonost, že životnost liovolné lampy ude menší než 700 hodin, je 6,7%. ) P ( X 700) 0 (viz poznámka pod Orázkem 3.3. v Kapitole 3) Pravděpodonost, že životnost liovolné lampy ude přesně 700 hodin, je 0%. c) P ( 700 X 750) 750) 700) NORM.DIST(750;000;00;) NORM.DIST(700;000;00;) 0,039 Pravděpodonost, že životnost liovolné lampy ude mezi 700 a 750 hodinami, je 3,9%. d) 000. P(700 X 750) 000. 0,039 = 78 Očekávaný počet lamp s životností mezi 700 a 750 hodinami je 78 (3,9% všech lamp). e) P ( X ) 0,0 P( X P( X 0, 90 0,90 F (0,90) NORM.INV(0,90;000;00) 56 Očekávaná doa, po které zůstane svítit jen 0% všech lamp, je 56 hodin. Příklad 5.3.4: Určete pravděpodonost toho, že náhodná veličina X s normálním rozdělením N(, ) naude hodnoty z intervalu ( 3, 3 ). Řešení: 3 X 3 P( 3 X 3 ) P P 3 Z 3 ( 3) ( 3) (3) (3). (3) 0, 997 Výsledek Příkladu 5.3.3 je znám pod názvem pravidlo 3. Toto pravidlo říká, že máme-li data pocházející z normálního rozdělení o parametrech μ, σ, pak téměř všechna (99,7% z nich) leží v intervalu (μ ± 3σ). 8
Příklady k procvičení:. Určete pravděpodonost toho, že náhodná veličina X s eponenciálním rozdělením pravděpodonosti s parametrem 5 naude a) hodnoty z intervalu <,3), ) hodnoty menší než, c) hodnoty aspoň.. Výroní zařízení má poruchu v průměru jednou za 000 hodin. Předpokládejme, že "doa čekání" na poruchu je náhodná veličina s eponenciálním rozdělením. Určete hodnotu t tak, ay pravděpodonost, že přístroj ude pracovat delší dou než t, yla 0,99. 3. Určete pravděpodonost toho, že náhodná veličina X s normálním rozdělením N(6,9) naude hodnoty z intervalu (-3,3). 4. Norma připouští délku hřídele v rozmezí 5-6 mm. Při použití standardní technologie se vyroí hřídel, jejíž délka má normální rozdělení se střední hodnotou 5,4 mm a rozptylem 0,09 mm. Stanovte pravděpodonost toho, že náhodně vyraná hřídel ude odpovídat normě. 5. Dálkoměr má systematickou chyu +3cm, náhodné chyy mají normální rozdělení se směrodatnou odchylkou 5 promile měřené délky. Určete pravděpodonost toho, že při měření délky 0 m ude chya měření v asolutní hodnotě menší než 0 cm. 6. Trolejusy MHD odjíždějí ze zastávky v desetiminutových intervalech. Cestující může přijít na zastávku v liovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a rozptyl doy čekání na odjezd trolejusu. 7. Pekárna dodává čerstvé pečivo každé ráno mezi pátou a šestou hodinou. Jaká je pravděpodonost, že pečivo ude dodáno mezi půl šestou a tři čtvrtě na šest? 8. Každá tramvaj DPMO je jednou za měsíc podroena technické kontrole, přičemž doa prohlídky silně závisí na typu závady. Předpokládejme, že doa prohlídky má eponenciální rozdělení se střední hodnotou 3 hodiny. Určete pravděpodonost, že doa prohlídky ude: a) kratší než dvě hodiny, ) delší než čtyři hodiny. 9. Měření nadmořské výšky je zatíženo náhodnými chyami, které jsou rozděleny normálně se střední hodnotou 0 cm a rozptylem 00 cm. Určete pravděpodonost toho, že chya měření nepřesáhne v asolutní hodnotě 0 cm. 0. Tloušťky tyčí vyráěných určitým výroním postupem mají normální rozdělení se střední hodnotou 8,4 mm a standardní odchylkou,95 mm. Kvůli zajištění ezpečnosti zákazník požaduje, ay alespoň 95% tyčí mělo tloušťku větší než 4 mm. Splňují tyto tyče zákazníkův požadavek? 9