Vysoá šol áňsá - Technicá unierzi Osr ul srojní Aplioný echni jo součás ýu onsruérů ýojářů čás TECHNICKÉ KMITÁNÍ Teorie příldy předěu Technicé iání Jn Ondrouch Jiří Podeš Osr Tyo sudijní eriály znily z finnční podpory Eropsého sociálního fondu (ES) rozpoču Česé repuliy ráci řešení projeu OP VK CZ..7/.3./9.47 Vzděláání lidsých zdrojů pro rozoj ýů e ýoji ýzuu.
Technicé iání Náze : TECHNICKÉ KMITÁNÍ Auor : Jn Ondrouch, Jiří Podeš Vydání : prní, Poče srn : 79 Náld : Sudijní eriály pro sudijní oor Aplioná echni uly srojní Jzyoá oreur : neyl proeden. Tyo sudijní eriály znily z finnční podpory Eropsého sociálního fondu rozpoču Česé repuliy ráci řešení projeu Operčního progru Vzděláání pro onurenceschopnos. Náze: Číslo: Relizce: Vzděláání lidsých zdrojů pro rozoj ýů e ýoji ýzuu CZ..7/.3./9.47 Vysoá šol áňsá Technicá unierzi Osr Jn Ondrouch Jiří Podeš Vysoá šol áňsá Technicá unierzi Osr ISBN 978-8-48-76-9 ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání POKYNY KE STUDIU Technicé iání Pro předě 5. seesru lářsého sudi ooru Aplioná echni jse održeli sudijní lí oshující ýuoý e, zěřený n proleiu echnicého iání. Prereiziy Pro sudiu ohoo předěu se předpoládá soloání předěu Mei, Si, Dyni I, yučoné ráci lářsého sudi. Cíl učení opory Cíle je seznáení se záldníi pojy echnicého iání. Po prosudoání odulu y ěl suden ý schopen proádě sředně náročné ýpočy lineárního iání s jední supně olnosi, s íce supni olnosi nelineárního iání, o různých echnicých plicích. Pro oho je předě určen Modul je zřzen do sudijního plánu lářsého sudi ooru Aplioná echni, sudijního progru Srojnicí, le ůže jej sudo i zájece z eréhooli jiného ooru, poud splňuje poždoné prereiziy. Sripu se dělí n čási, pioly, eré odpoídjí logicéu dělení sudoné láy, le nejsou sejně osáhlé. Předpoládná do e sudiu pioly se ůže ýrzně liši, proo jsou elé pioly děleny dále n čísloné podpioly ě odpoídá níže popsná sruur. ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání Při sudiu ždé pioly doporučujee následující posup : Čs e sudiu : hodin N úod pioly je ueden čs pořený prosudoání láy. Čs je orienční ůže á slouži jo hrué odío pro rozržení sudi celého předěu či pioly. Cíl: Po prosudoání ohoo odsce udee uě Pops Defino Vyřeši Ihned poo jsou uedeny cíle, erých áe dosáhnou po prosudoání éo pioly onréní doednosi, znlosi. Výld Následuje lsní ýld sudoné láy, zedení noých pojů, jejich ysělení, še doproázeno orázy, uli, řešenýi příldy, odzy n nice. Příld V ždé piole je ueden příld. Úspěšné příjené sudiu s ío učení ee Vá přejí uoři. Jn Ondrouch Jiří Podeš ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání Osh PŘEDMLUVA...- - ÚVOD...- 4 -. KMITÁNÍ LINEÁRNÍCH SOUSTAV S º VOLNOSTI...- 5 -.. KMITÁNÍ PODÉLNÉ... - 5 -... Volné neluené iání...- 6 -... Volné luené iání...- -..3. Kiání při součsné půsoení onsnní síly...- 6 -..4. Kiání ynucené udící silou hronicého průěhu...- -..5. Kiání uzené roující hoou...- 36 -..6. Síl přenášená do záldu...- 4 -..7. Kineicé uzení...- 43 -..8. Kiání yuzené periodicou silou oecného průěhu...- 46 -..9. Kiání yuzené sooou zěnou udící síly...- 5 -... Odez echnicé sousy n ipulsní sílu...- 55 -... Odez echnicé sousy n oecný průěh udící síly...- 57 -.. KMITÁNÍ ROTAČNÍ... - 58 -.3. KMITÁNÍ OHYBOVÉ... - 68 -.4. TUHOST HYDRAULICKÉHO SYSTÉMU... - 7 -.5. KMITÁNÍ KROUŽIVÉ... - 75 -. KMITÁNÍ LINEÁRNÍCH SOUSTAV S VÍCE STUPNI VOLNOSTI...- 79 -.. ÚVOD... - 79 -.. PODÉLNÉ KMITÁNÍ SOUSTAVY SE DVĚMA STUPNI VOLNOSTI... - 8 -... Pohyoé ronice...- 8 -... Volné neluené iání...- 83 -..3. Orogonli lsních rů...- 9 -..4. Hlní souřdnice...- 93 -..5. Vynucené neluené iání - udící síl hronicého průěhu...- 4 -..6. Kineicé uzení...- 9 -..7. Buzení odsřediou silou...- -..8. Vynucené iání luené sousy...- -.3. KROUTIVÉ (TORZNÍ) KMITÁNÍ SE DVĚMA STUPNI VOLNOSTI... - 7 -.4. KMITÁNÍ SYSTÉMU S N STUPNI VOLNOSTI... - 9 -.4.. Vlsní (olné) neluené iání...- -.4.. Modální rnsforce...- 7 -.4.3. Ryleighů ocien...- 3 -.4.4. Vlsní (olné) iání sousy luené proporcionálně...- 33 -.4.5. Kiání neluené, ynucené udící silou hronicého průěhu...- 35 - ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání.4.6. Kiání luené, ynucené udící silou hronicého průěhu...- 36 -.4.7. Kiání, ynucené udící silou oecného průěhu...- 39 -.5. OHYBOVÉ KMITÁNÍ S VÍCE STUPNI VOLNOSTI... - 43-3. NELINEÁRNÍ KMITÁNÍ S JEDNÍM STUPNĚM VOLNOSTI...- 46-3.. ÚVOD... - 46-3.. YZIKÁLNÍ PŘÍČINY NELINEARIT A JEJICH MATEMATICKÉ MODELOVÁNÍ... - 46-3.3. PŘESNÉ ŘEŠENÍ POHYBOVÉ ROVNICE VOLNÉHO KMITÁNÍ... - 56-3.3.. Konzeriní sous...- 56-3.3.. Neonzeriní sous...- 6-3.4. PŘIBLIŽNÉ ANALYTICKÉ METODY ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍHO KMITÁNÍ... - 63-3.4.. Meod příé linerizce...- 63-3.4.. Meod eilenní linerizce...- 7-3.5. VLASTNOSTI NELINEÁRNÍCH SOUSTAV... - 74 - LITERATURA...- 79 - ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - - Předlu Učení e Technicé iání je určen sudenů lářsého sudi ooru Aplioná echni, Srojní fuly Vysoé šoly áňsé Technicé uniersiy Osrě. Předě sejného názu nzuje n předě Dyni I. Náplní ohoo předěu je rozšíření poznů o iání echnicých sous. Osh učeního eu zhrnuje iání lineárních sous s jední íce supni olnosi záldní pozny z eorie nelineárního iání sous s jední supně olnosi. I dyž se jedná pouze o neprný zloe oho,co ylo o oo ooru pulioáno, uoři ěří, že učení e poůže sudenů zís pozny pořené pro dlší úspěšné sudiu, prohlouí jejich záje o plionou echniu ldný zh e sudonéu ooru. Osh rozsh učeního eu yl podřízen předěu Technicé iání, erý se podle učeního plánu yučuje rozshu. ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - - Přehled použiého znčení honos uhos součiniel luení l dél, τ čs, loušť, y, z souřdnice rychlos, pre odální ice zrychlení síl M R direční síl luící síl rná síl oen síly rece, ω ruhoá freence, úhloá rychlos f freence T period τ čsoá onsn δ onsn dozníání λ lsní číslo, Ryleighů ocien C pliud, inegrční onsn A, B inegrční onsny D deerinn φ fázoý posu, úhloá souřdnice ε úhloé zrychlení η ξ počáeční ýchyl počáeční rychlos činiel nldění poěrný úlu ϑ logriicý dereen ζ činiel dynicého zesílení n oáčy z inuu e ecenrici I hooý oen serčnosi, ipuls síly J plošný oen serčnosi p hynos hoy, l p, q, r reno E odul pružnosi hu G odul pružnosi e syu, íhoá síl K odul ojeoé slčielnosi pliny S ploch V oje M ice ho B ice luení K ice uhosi q eor fyziálních souřdnic u eor odálních souřdnic f eor udících sil V odální ice lsní r Λ sperální ice α oeficien onsručního luení příčinoý činiel β oeficien eriáloého luení A ice poddjnosi ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 3 - Řecá eced Α α lf Ν ν ný Β β e Ξ ξ sí Γ γ g Ο ο oiron δ del Π π pí Ε ε epsilon Ρ ρ ró Ζ ζ (d)zé Σ σ sig Η η é Τ τ u Θ ϑ hé Υ υ ypsilon Ι ι ió Φ φ fí K κ pp Χ χ chí Λ λ ld Ψ ψ psí Μ µ í ω oeg ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 4 - Úod Prolei iání yl sále je popředí záju ědců echniů n celé sěě. Pro srojírensí á hlně ýzn echnicé iání. Důležios nlýzy iání při onsruci srojních zřízení rose se součsnýi poždy n zyšoání ýonnosi rychlosi srojů snižoání jejich honosi. Zýšené iání srojů onsrucí, spojené s hlučnosí, y půsoilo nepřízniě n jejich žionos i n žioní prosředí. Uěle yuzené iy š ůžee yuží při onsruci irčních sí, doprníů, zhuňočů podoných zřízení. Mechnicé iání je ožno požo z sosný ědní oor s eli široý oshe ědoosí. Nejčsěji se rozděluje podle jeho chreru, zniu, průěhu ypu fyziálních chrerisi echnicé sousy. Podle chreru řešené sousy yáříe echnicé odely se sousředěnýi prery odely se spojiě rozloženýi prery. Podle zniu dělíe iání n olné, uzené souzené. Podle eliosi disiponé energie dělíe iání n neluené luené. Podle druhu, choání eicého odelu fyziálních chrerisi rozeznááe iání lineární nelineární. Podle pohy jeů proíhjících e srojích onsrucích rozeznááe iání deerinisicé náhodné. Uedené dělení lze dále zpřesňo. Z ýše uedeného rozshu eorie iání se předládný učení e zýá pouze iání deerinisicý sous se sousředěnýi prery. Prní piol je ěnoán lineárníu iání sous s jední supně olnosi, druhá lineárníu iání s íce supni olnosi řeí nelineárníu iání sous s jední supně olnosi. ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 5 -. Kiání lineárních sous s º olnosi Čs e sudiu : 7 hodin Cíl: Po prosudoání ohoo odsce udee uě Pops záoniosi lineárního iání s jední supně olnosi. Defino záldní eličiny iání zhy ezi nii. Vyřeši sředně složié úlohy iání s jední supně olnosi. Výld V éo piole sručně zopujee pozny o iání zísné předěu Dyni I, eré následně rozšíříe. Budee se zý pouze sousi se sousředěnýi prery. U oých sous je honos sousředěn do ijících doonle uhých ěles, nosieli pružných luících lsnosí jsou nehoné pružiny luiče. Jejich iání je popsáno oyčejnýi diferenciálníi ronicei. Poud se jedná o iání ole sicé ronoážné polohy s lýi ýchyli, lze prní přilížení zned nelineární elsicé luící síly pohyoé ronice jsou p lineární diferenciální ronice druhého řádu s onsnníi oeficieny... Kiání podélné Čs e sudiu : 4 hodiny Cíl: Po prosudoání ohoo odsce udee uě Pops specifi podélného iání s jední supně olnosi. Defino záldní eličiny podélného iání zhy ezi nii. Vyřeši sředně složié úlohy podélného iání s jední supně olnosi. Výld ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 6 - U echnicého odelu podélného iání oná ěleso příočrý posuný pohy. Jeho poloh je určen jedinou souřdnicí, jedná se edy o pohy s jední supně olnosi.... Volné neluené iání Mechnicý odel nelueného olného iání je n or... Je složen z uhého ěles honosi, eré se pohyuje po odoroné, doonle hldé podložce ez odporu prosředí. Těleso je uchyceno ráu prosřednicí nehoné pružiny o uhosi. (Tuhos pružiny je poěr síly deforce. U lineární pružiny je onsnní.) l olná dél pružiny nedeforoná pružin ronoážná poloh & && Or.. - Model echnicé ijící sousy neluené. Zde - honos [g], - uhos pružiny [N/], l - olná dél pružiny, dél nezížené pružiny [], - souřdnice, určující polohu ěles, roněž p prodloužení pružiny []. Pozná : Npříld uhos inué spiráloé pružiny je : 4 G d 8 n D de G - odul pružnosi e syu [P] - lsnos eriálu, d - průěr dráu, z něhož je pružin sinu [], D - sřední průěr spirály pružiny [], n - poče záiů pružiny [-]. 3 ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 7 - Při posunuí ěles zniá pružině síl, lineárně záislá n její deforci, z. direční síl : Pohyoá ronice je : neoli po úprě (.) i i & (.) de & (.3) (.4) je lsní ruhoá freence [s - ] (neo éž úhloá) nelueného iání, dále p : f (.5) π je lsní freence [Hz s - ] (poče iů z seundu) je period [s] nelueného iání (do jednoho iu). T π (.6) f Řešení pohyoé ronice, oyčejné lineární diferenciální ronice druhého řádu s onsnníi oeficieny, je : de C - pliud (iální ýchyl) [], φ - fázoý posu [rd], jsou inegrční onsny řešení. ( ) C ( φ ) sin (.7) Dále p rychlos je : ( φ ) C ( φ ) & C cos cos (.8) de C C je pliud rychlosi, zrychlení je : ( φ ) C ( φ ) & C sin sin (.9) de C C je pliud zrychlení. ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 8 - Pozná : Sndno si oěříe splnění pohyoé ronice (.) : C sin && ( φ ) C sin( φ ) Inegrční onsny C φ určíe z počáečních podíne :... (počáeční ýchyl), (počáeční rychlos). C sin C ( φ ) cos( φ ) edy : C (.) φ rcn (.) Pozná : unce rcn á inerlu, 36 (neo -8, 8 ) ždy ořeny, posunué ůči soě o 8. Npříld rcn,5 6,6 le éž rcn,5 6,6. Běžná lulč ždy rcí en ořen, erý leží inerlu -9,9. Řešiel š sá usí záži erý ořen je spráný. Oecně plí : φ rcn A B II drn III drn C φ B A I drn IV drn B < B > A > φ 9, 8 (II. drn) φ, 9 (I. drn) A < φ -8, -9 (III. drn) φ -9, (IV. drn) ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 9 - Čsoý průěh souřdnice () (.7) je n or.. : T π ( ) C sin( φ ) φ C Or.. - Čsoý průěh souřdnice. Z orázu je prný fyziální ýzn periody T (čs ezi dě po soě následujícíi iy), pliudy C (iální ýchyl) fázoého posuu φ (fázoý posu ydělený ruhoou freencí předsuje posunuí sinusoy po čsoé ose leo). Pozná : Řešení e ru (.7) lze ronocenně nhrdi lerniní re : ( φ ) A cos( ) B ( ) C sin sin de : A C sin φ B C cos φ jsou inegrční onsny. Je-li dále rychlos : ( ) B ( ) & A sin cos p z počáečních podíne :..., určíe inegrční onsny : edy : A cos B sin A B A A sin B cos B onečně : A B B C A φ rcn A B rcn ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - - Vyloučení čsu z ronic (.7) (.8) zísáe elipicou záislos ezi ýchylou rychlosí iání, z. zorzení e fázoé roině : C (.) C C C Or..3 - Záislos ýchyly rychlosi - fázoá roin. Znázornění roujícíi eory oplení roině (or..4). I C C C π / π / φ C C Re Or..4 - Zorzení roujícíi eory oplení roině. Vynesee oplení eor dély C, roující úhloou rychlosí, sírjící s reálnou osou úhel ( φ ). Koplení číslo lze yjádři zhe : ~ i φ C C cos φ i sin φ C de i je iginární jedno. ( ) [ ( ) ( )] e Hronicý průěh (.7) lze yjádři jo iginární složu opleního čísl : ~ i I C I C cos φ i sin φ I C e edy : ( φ) { [ ]} ( ) { } ( ) ( ) ( ) C sin ( φ ) { } Prní druhá derice opleního eoru podle čsu jsou eory, pooočené oplení roině o 9. ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - -... Volné luené iání Z řešení nelueného iání yplynulo, že eno pohy se periodicy opuje neonečně dlouho s onsnní pliudou. Ve suečnosi se pliud iání zenšuje, ž pohy znine. Aycho se éo suečnosi přilížili, zádíe do echnicého odelu luení odpore úěrný rychlosi, z. isózní luení. Teno druh luení odelujee hydrulicý luiče prlelně připojený pružině, or..5. & && Or..5 - Model echnicé ijící sousy luené. Zde - honos [g], - uhos pružiny [N/], - součiniel luení [N s - ], - souřdnice, určující polohu ěles, roněž p prodloužení pružiny []. Při posunuí ěles zniá, roě již ýše zíněné direční síly pružině (iz.), ješě z. luící síl, lineárně záislá n rychlosi pohyu : & (.3) Pohyoá ronice p je : neoli : de & & (.4) & δ & (.5) je lsní ruhoá freence [s - ] (neo éž úhloá) nelueného iání, iz (.4), je onsn dozníání [s - ] onečně δ (.6) ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - - je lsní ruhoá freence [s - ] lueného iání, δ je lsní freence [Hz s - ] (poče iů z seundu) je period [s] lueného iání (do jednoho iu). (.7) f (.8) π π T (.9) f Je-li předpoládný r řešení pohyoé ronice (.4 neo.5) : p chrerisicá ronice je : její ořeny jsou : λ C e (.) λ δ λ (.) λ, δ ± δ δ ± i δ (.) Zde reálná slož ořenů předsuje luení, iginární p freenci iání. Pro podriicé luení, dy δ <, je řešení pohyoé ronice (.4 neo.5) : δ ( ) C e ( φ ) sin (.3) Poud δ > luíe o ndriicé luení. Průěh p je čisě eponenciální, ůec nedojde rozinuí iého pohyu. Čsoý průěh ýchyly při podriicé luení je n or..6. C T () (T) C e δ T T 3 T 4 T 5 T 6 T 7 T δ ( ) C e sin( φ ) Or..6 - Čsoý průěh ýchyly. ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 3 - Inegrční onsny C φ určíe z počáečních podíne :...,. C φ ( δ) Pozná : I zde ůžee použí lerniní r řešení (.3) : C e & e δ δ sin (.4) rcn (.5) δ δ ( φ ) e [ A cos( ) B sin( ) ] [( B δ A) cos( ) ( A δ B) sin( ) ] p z počáečních podíne :..., určíe inegrční onsny : edy : onečně : e e ( A cos B sin) ( A B ) A [( B δ A) cos ( A δ B) sin ] B δ A A ( δ ) B C A δ A δ B φ rcn A B rcn δ Poěr ýchyle jisé čsoé ožiu () o periodu později (T) je onsnní : ( ) ( T ) C C e δ δ δ e sin[ φ ] e ( T ) δ( T ) sin[ ( T) φ ] e e Přirozený logrius ohoo poěru je z. logriicý dereen [-] : δ e δ ( T) δt e (.6) ( ) π δ π ξ ϑ ln δ T (.7) ( T) δ ξ de δ ξ (.8) je z. poěrný úlu [-]. Inerzní yjádření (.7) je : ϑ ξ (.9) ϑ 4 π Pozná : Pro δ<< (lé luení) ϑ <<4 π plí přiližně ϑ π ξ. ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 4 - Rychlos je : de : zrychlení je : de : C ( φ φ ) δ & C e cos (.3) C φ rcn ( φ φ ) δ & && C e sin (.3) δ C C φ φ Znázornění roujícíi eory je n or..7. Prní druhá derice opleního eoru jsou oplení roině pooočeny o (9 φ ). I C C φ C π / φ φ π / φ Re C C Or..7 - Zorzení roujícíi eory oplení roině. Znázornění lsních hodno ořenů (.) chrerisicé ronice (.) je n or..8 : λ I δ φ Re λ Or..8 - Kořeny chrerisicé ronice. ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 5 - Důsledy luení n iý pohy lze shrnou do následujících odů : ) Apliud iání se s čse eponenciálně snižuje (iz or..6). ) Reliní poles ýchyly z jednu periodu je celé čsoé průěhu onsnní (iz ronice.6), iání zcel znine eoreicy ž čse. c) reence iání se zhlede neluené sousě snižuje, iz ronice (.7), period se prodlužuje. d) Koplení eory rychlosi zrychlení iání se pooáčejí o úhly φ φ φ zhlede neluené sousě, iz ronice (.3) (.3). S ohlede n od ) zniá pricá oáz. Z j dlouho lze iání požo z uluené? Miální ýchyly (loální i) průěhu dle (.3) lesjí eponenciálně (or..9) : [] _ ( ) δ C e (.3) C ( ) C e δ 37 % C [s] τ čsoá onsn δ Or..9 - Eponenciální poles iálních ýchyle. Prní čsoá derice funce (.3) je : což čse je : de : δ δ ( ) ( C e ) C δ e _ ( ) ( ) (.33) C _ ( ) C δ e C δ (.34) τ τ δ (.35) je z. čsoá onsn [s]. Jesliže počáu ( ) sesrojíe ečnu funce (.3), p o ečn yíná n čsoé ose úse dély τ. ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 6 - Hodno čse τ je : _ δ δ δτ ( τ) C e C e C e, 37 C V čse τ hodno iální ýchyly lesá n 37% půodní hodnoy. Podoně : τ _ δ δ δτ ( τ) C e C e C e, 37 C 37% C τ 3 τ 4 τ 5 τ δ δτ δ ( τ) C e C e C e 4, C δ 3 δ3τ δ 3 ( 3τ) C e C e C e, 5 C δ 4 δ4τ δ 4 ( 4τ) C e C e C e, C δ 5 δ5τ δ 5 ( 5τ) C e C e C e, 7 C 4% C 5% C % C,7% C Chcee-li edy dos pricy použielnou odpoěď n oázu dy se iání uluí, usíe nejpre odpoědě n oázu j elá zyoá hodno ýchyly je již znedelná. Npř. při enších poždcích n přesnos je 5% zyoá hodno znedelná, p ůžee říci, že iání se pricy uluí čse 3 τ. Při yšších nárocích n přesnos ůžee poždo poles iální ýchyly pod % půodní hodnoy, p ůžee říci, že iání se pricy uluí čse 5 τ, pod...3. Kiání při součsné půsoení onsnní síly Užuje ěleso o honosi, ázné ráu pružnou zou o uhosi luící zou o součinieli luení, n něž půsoí onsnní nější síl (nejčsěji se jedná o íhoou sílu, o š není podínou). Pohyoá ronice je : & & (.36) (Dodeje že poloh odpoídá olné délce pružiny, edy su nedeforoné pružiny.) ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 7 - l olná dél pružiny nedeforoná pružin ons & && ons Or.. - Model echnicé ijící sousy s onsnní nější silou. Řešení pohyoé ronice (.36) ude superpozicí z. hoogenního priulárního řešení : ( ) ho pr Hoogenní řešení, iz (.3), čsoý průěh n or..6 : ho C e δ sin ( φ ) je řešení hoogenní pohyoé ronice (.4) s nuloou prou srnou. Priulární řešení odráží suečnos že prá srn pohyoé ronice (.36) není nuloá. Lze edy předpolád že priulární řešení ude í sejný chrer jo prá srn pohyoé ronice. Bude-li n pré srně pohyoé ronice onsn, ude i priulární řešení onsn : pr ons Prní druhá derice priulárního řešení jsou nuloé : & && pr pr Po doszení do pohyoé ronice (.36) dosááe : pr ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 8 - priulární řešení edy je : pr Tuo hodnou oyle nzýáe sicou deforcí, neoť předsuje onsnní prodloužení pružiny způsoené onsnní silou. Úplné řešení pohyoé ronice (.36) edy je : de δ ( ) s C e ( φ ) sin (.37) s (.38) je z. sicá deforce. (Připoeňe ješě jednou že poloh odpoídá olné délce pružiny, edy su nedeforoné pružiny.) Čsoý průěh řešení je n or... Sous se n počáu roziá (inegrční onsny hoogenního řešení C φ ypočee z počáečních podíne iz p....), iání se š posupně uluí ýchyl se liině líží hodnoě sicé deforce. [] δ ( ) s C e sin( φ ) s [s] Or.. - Čsoý průěh ýchyly. Teno posup (superpozice hoogenního priulárního řešení) á ýrzně eicý chrer. Ke sejnéu záěru š dospějee i n záldě fyziální úhy. ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 9 - Posuňe počáe souřdného syséu (poloh, z. ronoážná poloh) do polohy dné sicou deforcí : l s (.39) l cel l s () l olná dél pružiny nedeforoná pružin l s ronoážná poloh & && ons Or.. - Model echnicé ijící sousy s onsnní nější silou, posunuý počáe souřdného syséu. Pohyoá ronice ude : i i de je luící síl, iz éž (.3) l cel je direční síl pružiny, iz éž (.). Celoé prodloužení pružiny p ůžee yjádři jo souče sicé deforce posunuí při iání : Pohyoá ronice p ude : l l (.4) cel cel s ( ) ( l ) & & l & s ( ) Po roznásoení záory přeedení členů s n leou srnu ude pohyoá ronice : & & l s Uážíe-li dále (.39), je zřejé, že prá srn je nuloá pohyoá ronice ude shodná s (.4) : & & ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - - I její řešení edy ude shodné, iz (.3), grf iz or..6 : δ ( ) C e sin ( φ ) (Zdůrzněe zde ješě jednou, že oo přípdě poloh, z. ronoážná poloh, odpoídá sicé deforci pružiny lie síly.) Výše uedené lze shrnou do ří poznáe :. Kiání při půsoení onsnní síly (jeho freenci, pliudu fázoý posu) řešíe jo y o síl nepůsoil ( pohyoé ronici již síl nefiguruje).. Ronoážná poloh, poloh, oolo níž nsáá syericé iání, není dán olnou délou pružiny, le sicou deforcí (.39). 3. Celoé zížení pružiny je dáno souče sicé (onsnní) složy ( s l s - z. sicé předpěí) dynicé (proěnné) složy ( dyn () () C e -δ sin( φ )...4. Kiání ynucené udící silou hronicého průěhu Mechnicý odel iání ynuceného hronicy proěnnou udící silou je n or..3. ( ) sin( ω ) () & && Or..3 - Model echnicé ijící sousy uzené hronicy proěnnou udící silou. T f π ω Hronicý čsoý průěh udící síly je : de - pliud udící síly [N], ω - ruhoá freence udící síly [s - ]. ( ) ( ω ) sin (.4) Pozná : Oecnější r hronicé funce je s fázoý posue : () sin(ω φ ). V oo eu š fázoý posu neude užoán proože o není nezyné. ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - - Sozřejě dále p : ω f π je freence udící síly [Hz s - ] (poče zěn udící síly z ldné n zápornou zpě z seundu) T je period udící síly [s] (do jedné zěny). f π ω Pohyoá ronice je : neo : & & (.4) ( ) sin( ω ) & δ & sin( ω ) (.43) Pohyoá ronice je oyčejná diferenciální ronice II. řádu s onsnníi oeficieny, nehoogenní. Její řešení hledáe e ru superpozice hoogenního priulárního řešení : (.44) ( ) ho pr Hoogenní řešení, iz (.3), čsoý průěh iz or..6.4, ho C e δ sin ( φ ) je řešení pohyoé ronice s nuloou prou srnou (.4) - lsní iání. (Určení prerů - j lsní ruhoé freence onsny dozníání δ, inegrčních onsn C φ iz piol...) π T ho C e δ sin ( φ ) Or..4 - Hoogenní řešení. ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - - Priulární řešení, eré předsuje usálené ynucené iání (odez sousy n udící sílu), á r shodný s prou srnou pohyoé ronice (.4), edy hronicý průěh s ruhoou freencí udící síly : ( ω φ) pr sin (.45) de - pliud odezy [], ω - ruhoá freence odezy (shodná s ruhoou freencí udící síly) [s - ], φ - fázoý posu (fázoé zpoždění) [rd]. Čsoý průěh priulárního řešení je n or..5. T π ω sin( ω φ) pr Or..5 - Priulární řešení. Celoé řešení (čsoý průěh n or..6) souldu s (.44) edy je : δ ( ) C e ( φ ) sin( ω φ) sin (.46) δ ( ) C e sin( φ ) sin( ω φ) δ ho C e sin( φ ) sin( ω φ) pr přechodoý děj usálený s Or..6 - Celoé řešení. Z grfu n or..6 je zřejé, že čsoý průěh lze rozděli do dou úseů : Přechodoý děj je superpozicí oou slože - hoogenního i priulárního řešení. Jde o oplionou řiu, superpozici dou hronicých průěhů o různých freencích. Přechodoý děj ončí uluení hoogenní složy (lsní luené iání, iz řešení záěru pioly..). Usálený s (usálené ynucené iání) následuje po uluení lsního iání. Je chrerizoán již jen priulární řešení. Jde o hronicé iání s freencí udící síly, nzýáe je usálený ynucený iání. Trá do neonečn, resp. poud půsoí udící síl. ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 3 - V dlší ýldu se zěříe n usálené iání, edy n priulární řešení. Priulární řešení (.45) čeně jeho dericí : & && pr pr ω ω cos ( ω φ) ( ω φ) sin usí přirozeně splňo pohyoou ronici (.4), edy : [ ω sin ( ω φ) ] [ ω cos( ω φ) ] [ sin( ω φ) ] sin( ω ) Použijee-li součoé zorce : sin cos ( α β) sin α cosβ cos α sinβ ( α β) cos α cosβ sin α sinβ p po roznásoení záore ynuí členů sin(ω ) cos(ω ) dosááe : ( ω cos φ ω sin φ cos φ) sin( ω ) ( ω sin φ ω cos φ sin φ) cos( ω ) sin( ω ) Z poronání sinoých osinoých členů n oou srnách ronice yplýá : neoli : ω ω cos φ sin φ ω sin φ ω cos φ cos φ sin φ ( ω ) cos φ ω sin φ ( ω ) sin φ ω cos φ Z druhé ronice přío yplýá fázoý posu φ : n φ ω ω neoli, po ydělení čiele i jenoele po použií (.4) (.6), : δ ω n φ (.47) ω ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 4 - Z prní ronice, použijee-li : sin φ n φ n φ yjádříe pliudu ynuceného iání : cos φ n φ (.48) ( ω ) ( δ ω) Zedee-li dále ezrozěrné oeficieny činiel nldění : již ýše definoný poěrný úlu (.8) : ξ ω η (.49) δ ůžee ýrzy pro pliudu fázoý posu upri : (.5) s ( η ) ( ξ η) ( η ) ( ξ η) ξ η n φ (.5) η V (.5) je z. sicá deforce : s (.5) edy deforce pružiny o uhosi lie onsnní síly eliosi. Pozná : Apliud odezy neyžduje žádný dlší oenář j z hledis nuericého ýpoču dle zhů (.48) neo (.5), z hledis fyziálního ýznu (iální ýchyl). ázoý posu ypočee ze zhů (.47) neo (.5). V uedených ýrzech je čiel ( δ ω neo ξ η) ždy ldný, jenoel ( -ω neo -η ) ůže ý ldný neo záporný. To znená že fázoý posu ude inerlu,π, iz éž oenář funci rcn piole... Je-li ω <, η <, je fázoý posu φ, π /, shodně s lulčou. Je-li ω >, η >, je fázoý posu φ π /, π, lulč š ráí hodnou inerlu φ - π /,. Řešiel sá usí ýsledu přičís π. ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 5 - yziální ýzn fázoého posuu je čsoé zpoždění. Miu ýchyly nsáá ždy o něco později než iu udící síly. Too čsoé zpoždění je :, φ (.53) ω φ ω ( ) sin( ω ) ( ) sin( ω φ) Or..7 - Zpoždění odezy ůči udící síle. Pozná : Pro neluené iání plí δ resp. ξ, přesněji δ resp. ξ. P pliud odezy je : resp. ω (.54) η fázoý posu je : φ rcn Je-li ω <, η <, je fázoý posu φ, je-li ω >, η >, je fázoý posu φ 8 π rd. Inerprece fázoého posuu φ je riiální. Výchyl nýá sého i práě ožiu dy i síl je iální. Inerprece fázoého posuu φ 8 π rd je éně riiální. Sous iá proifázi. Výchyl nýá sého i práě ožiu dy i síl je iální, oše n opčnou srnu. V ožiu, dy síl je iální leo, ýchyl je iální pro nop. Sejné inerprece dosáhnee udee-li priori užo fázoý posu φ pro pliudu použijee zh (.54) ez soluní hodnoy : resp. ω η Je-li ω <, η <, je pliud ldná, edy iání e sejné fázi (iální síl i iální ýchyl n sejnou srnu). Je-li ω >, η >, je pliud záporná, edy iání proifázi (iální ýchyl n opčnou srnu než iální síl). ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 6 - Řešení ooru opleních čísel. Koplení r udící síly je : ~ e iω (.55) de - pliud udící síly [N], ω - ruhoá freence udící síly [s - ], i - iginární jedno. Nechť je udící síl dán iginární složou opleního eoru : { [ ]} sin( ω ) iω ( ) { e } I cos( ω ) i sin( ω ) I (.56) Řešení pohyoé ronice (.4) neo (.43) oplení ru je : de : ~ iω ~ e (.57) je oplení pliud. iφ ~ e (.58) Po doszení do pohyoé ronice (.43) ude : ~ (.59) ω i δ ω dále po ynuí e jenoeli po doszení (.4) ude : neo : ~ (.6) ω i δ ω ~ s (.6) η i ξ η de : je sicá ýchyl, iz (.5), s ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 7 - η ω je činiel nldění, iz (.49) ξ δ je poěrný úlu, iz (.8). Dále : de : ~ ~ iω iω ~ ~ e e H ( ) η i ξ η η ~ H ( η) η i ξ η (.6) (.63) je oplení přenosoá funce : ~ e iω je oplení r udící síly, iz (.55). Koplení pliud p dle (.6) je : η i ξ η ( ) ( ) ( ) ( ) ~ s s (.64) η i ξ η η ξ η η ξ η její reálná iginární slož jsou : Re ( ~ ) ( ~ ) s η ( η ) ( ξ η) ξ η I (.65) s ( η ) ( ξ η) Znázornění oplení roině je uedeno n or..8. I I( ~ ) Re( ~ ) ~ φ ~ Re Or..8 - Koplení pliud oplení roině. ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 8 - Apliud, iz éž (.48) neo (.5), p je : ( Re( ~ )) ( I ( ~ )) ~ s (.66) K fázoý posu, iz éž (.47) neo (.5), je : ( ~ ) ξ rcn ( ) η ( η ) ( ξ η) Re η φ rcn I ~ (.67) Dynicé zesílení (neo přenosoá funce neo for zesílení) : I ( ~ ) s ζ s ( η ) ( ξ η) ~ H ( ) I( ~ ) Re ( ~ ) Re( ~ ) s s η s (.68) φ φ ~ s η η ~ s I ( ~ ) s -.5 - -.5.5.5 η - - η φ ξ,5 ~ ξ, ( ~ ) Or..9 - reenční chrerisi oplení přenosoé funce. Apliudo - fázoá chrerisi (Nyquisů digr). s η Re s η η - činiel nldění ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 9 - Je-li řešení oplení ooru dle (.57) : ( ω φ) iφ iω i ~ e e e (.69) p čsoý průěh ýchyly je reprezenoán iginární složou opleního eoru : shodně s.45. ( ) ( ~ ) sin( ω φ) I (.7) Grficá znázornění odozených záislosí se nzýjí freenční chrerisiy. Nejčsěji použíné freenční chrerisiy jsou zresleny n or..9 ž.. Re ( ~ ) s ξ,3 ξ, η iginární slož η - činiel nldění η 3 3 reálná slož I ( ~ ) s ξ, ξ - poěrný úlu ξ,3 Or.. - reenční chrerisi - reálná iginární slož. pliudoá chrerisi fázoá chrerisi dynicé zesílení ζ ξ - poěrný úlu φ φ π 5 ξ,5 φ π/ ξ,5 fázoý posu ξ, ξ, η - činiel nldění 3 3 η Or.. - Apliudoá fázoá freenční chrerisi. η Pro neluenou sousu (ξ ) ude z ronice (.68) dynicé zesílení : ζ (.7) s η ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 3 - z ronice (.67) fázoý posu : φ φ π 8 pro η < η > (.7) P pro η (ω ) ude pliud nrůs nde šechny eze ( ) fázoý posu ude φ π/ 9º. Teno je nzýáe rezonnce. Pro ěšinu srojních zřízení je o je nežádoucí, e ýjiečných přípdech (resonnční řídič) se ho yužíá pro dosžení iální efeiiy činnosi zřízení. U luené sousy doshuje pliud resonnci onečné, š eréně ysoé hodnoy. Řešení usáleného ynuceného iání ůžee nlyzo jo zh ezi příčini jejich následy : příčin následe udící síl odez sousy ( ) sin ( ω ) ( ) sin ( ω φ) prery udící síly : prery odezy :, ω, φ (freenci nepožujee z prer odezy, neoť je shodná s freencí udící síly) Anlyzujee edy záislos pliudy odezy, (.48) neo (.5), její fázoého posuu φ, (.47) neo (.5), n pliudě udící síly její freenci, resp. ruhoé freenci ω, resp. činieli nldění η. Záislos n pliudě udící síly je jednoduchá ž riiální. Apliud odezy je lineárně (přío úěrně) záislá, fázoý posu φ není ůec záislý. Záislosi pliudy fázoého posuu n freenci udící síly, z. pliudoá fázoá chrerisi, jsou podsně zjíější. ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 3 - Apliudoá chrerisi Viz or.., dná ronicí (.5) neo (.66) : s ( η ) ( ξ η) Význné pozny : ) Pro η (ω ) je s. Nuloá hodno freence udící síly odpoídá onsnní udící síle. P je přirozené, že ýchyl je ron sicé ýchylce. ) Pro η (ω ) nsáá resonnce. Pro neluené iání (ξ ) pliud nrůsá nde šechny eze. Pro luené iání (ξ > ) pliud doshuje onečných, š eli ysoých hodno. ξ ξ - poěrný úlu 5 s 4 s pliud ) ξ, resonnce 3 s ξ, η - činiel nldění s s ) 3) η res ω ω ω Or.. - Apliudoá chrerisi. η ω 3) Pro η >> (ω >> ) je pliud eli lá ( << s ), sypoicy se líží nule. li li s η η ( ) ( ) η ξ η Pozná : Při rozoru průěhu pliudoé chrerisiy si uědoíe, že při proěnné udící freenci ω, resp. proěnné činieli nldění η, zůsáá pliud udící síly neěnná ons. Připoenee si o následující piole o uzení roující hoou, de ude siuce odlišná. ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 3 - Resonnce je eli důležiý je. Proo se jí udee zý podroněji. Tluení se projeí předeší snížení pliudy. Druhý, éně zřeelný efee luení je posunuí z. resonnčního nldění hodnoá enší než. Pro iu pliudoé chrerisiy plí : d dη d s ( η ) ( ξ η) dη Vzhlede ou, že proěnná η se nchází pouze pod odocninou, sčí hled iniu ýrzu pod odocninou : neoli : d [( η ) ( ξ η) ] dη ( η ) ( η) 4 ξ 3 4 η 4 ( ξ ) η η η ξ Resonnční činiel nldění (iální pliud) edy je : Resonnční nldění je edy poněud enší než. η res ξ (.73) Hodno pliudy resonnci (iální pliudy) je : η s s s ( η res) ( η ) ( ξ η ) ( ( ξ ) ( ξ ξ ) 4 ξ 4 ξ 4 4 s 4 ξ 4 ξ res ( ξ ) 8 ξ 4 res ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 33 - Resonnční pliud edy je : _ s (.74) ξ ξ Pozná : Resonnce nás zjíá spíš jo jisý (yť úzý) inerl nldění, než pouze suečné iu pliudoé chrerisiy. Z ohoo pohledu ýrzy (.73) (.74) nejsou zlášě důležié. Resonnci p specifiujee o : Resonnce nsáá dyž udící freence je lízá lsní freenci (ω ), činiel nldění je lízý jedné (η ). Resonnce se projeuje ysoou pliudou o i při poěrně nízé hodnoě pliudy udící síly. ázoá chrerisi Viz or.., dná (.47), resp. (.5). φ φ π φ π/ ξ, ξ, η - činiel nldění 3 ázoá chrerisi. η Pro neluené iání (δ, resp. ξ ) se průěh z hodnoy φ ění resonnci (ω, resp. η ) soe n hodnou φ π. Pro luené iání je průěh hldý z hodnoy φ (pro ω, resp. η ) po hodnou φ π (pro ω >>, resp. η >> ). Při průchodu resonncí je hodno fázoého posuu φ π /. (Tohoo fu se yužíá pro idenifici resonnce ěření fázoého posuu.) ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 34 - Průěh ýchyly resonnci Proedee nyní úplné řešení (.46) čeně inegrčních onsn. Tr : nhrdíe re : prní derice p je : & δ ( ) C e sin ( φ ) sin( ω φ) δ ( ) e [ A ( ) B sin( ) ] sin( ω φ) cos (.75) δ ( ) ( ) e [ ( B A δ) cos( ) ( B δ A ) sin( ) ] ω cos( ω φ) Při počáečních podínách :..., plí : A sin ( φ) B A δ ω cos ( φ) Vzhlede ou, že sin(-φ) -sin(φ) cos(-φ) cos(φ), ododíe inegrční onsny : A B sin δ ( φ) ( δ sinφ ω cos φ) (.76) Dále pro neluenou sousu (δ ), pro nuloé počáeční podíny (, ) resonnci (φ π/ 9º) : A B Čsoý průěh souřdnice p dle (.75) je : je-li dále sin(ω -π/) -cos(ω ), p : Uážíe-li dále (.54), p : ( ) cos ( ) sin( ω π) ( ) ( cos ( ) cos( ω ) ) ω ( ) s ( cos ( ) cos( ω ) ) ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 35 - Je-li resonnci ω, p řešení je dáno liiou : onečně : ω ( ) li s ( cos( ) cos( ω ) ) K ω ( ) s ( ) sin (.77) Výchyl při resonnci rose s čse lineárně do neonečn (iz grf n or..3). Or..3 - Přechodoý děj, neluená resonnce. Pro álo luenou sousu užujee ξ << : Resonnční nldění : ω Hodno resonnční pliudy, iz (.74), pro ξ << je přiližně : s ξ ξ s ξ Inegrční onsny, iz (.76) jsou : A B s ξ δ s onečně čsoý průěh souřdnice dle (.75) je : ξ δ s ( ) s e cos ( ) sin( ) cos( ω ) ξ ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 36 - neoli : iz grf n or..4. s δ δ ( ) [ ξ e ( ) ( e ) cos( ) ] ξ sin (.78) Or..4 - Přechodoý děj, luená resonnce. Výchyl při rezonnci rose eponenciálně líží se sypoicy usálené hodnoě pliudy : s ξ Pozná : Pro lé luení (ξ << ) lze oálu průěhu yjádři přiližně jo : ol _ s δ ( ) ( e ) ξ O o, z j dlouho dojde usálení, ypoídá nlýz funce e -δ zején p čsoá onsn τ / δ, iz záěr pioly.....5. Kiání uzené roující hoou Mechnicý odel sousy uzené roující hoou je n or..5. Kroě řeene o celoé honosi, pružiny o uhosi luícího členu o součinieli luení je chrerizoán roující neyáženou hoou r, roující oáči n, s úhloou rychlosí ω. Neýže je p ješě chrerizoán ecenriciou e, edy zdálenosí ěžišě neýžu od osy roce. ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 37 - ν ω od r ω e r, ω, e od_ od sin(ω ) & && Or..5 - Model echnicé ijící sousy, uzené roující hoou. Zde - honos [g] (honos celého ijícího ěles, čeně roující čási), - uhos pružiny [N/], - součiniel luení [N s - ], - souřdnice, určující polohu ěles, roněž p prodloužení pružiny [], r - honos roujícího neýžu [g] (honos pouze roující neyážené hoy), n - oáčy neýžu [o/in], ω π n/3 - úhloá rychlos neýžu [rd/s], e - ecenrici neýžu [] (zdálenos ěžišě neýžu od osy roce). Rocí neyážené hoy r zniá odsřediá síl od : od ω e (.79) r Tu lze rozloži n složy e sěru iého pohyu ( od ) olo e sěru iého pohyu ( od y ). Slož olo e sěru iého pohyu se proíne do recí uložení ěles n iý pohy neude í li. Nop slož e sěru iého pohyu ude n pré srně pohyoé ronice. Je-li úhel nočení neýžu ν (pro ronoěrnou roci onsnníi oáči) : ν ω p slož odsředié síly e sěru iého pohyu je : ( ω ) od _ od sin ν od sin (.8) ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 38 - Pohyoá ronice p je : neo ( ω ) & & od sin (.8) od & δ & sin( ω ) (.8) de je lsní ruhoá freence nelueného iání (.4), δ je onsn dozníání (.6). Pohyoá ronice (.8) resp. (.8) je shodná s pohyoou ronicí hronicy uzeného iání (.4) resp. (.43). Odsřediá síl od (.79) je pozici pliudy udící síly, úhloá rychlos roce neýžu ω je pozici ruhoé freence udící síly. Roněž řešení pohyoé ronice je shodné, iz (.44) následné, zején p pro usálený s priulární řešení (.45) : ( ω φ) pr sin jehož pliud (.48) resp. (.5) fázoý posu (.47) resp. (.5) jsou : od δ ω φ rcn ω ( ) ω ( δ ω) ( η ) ( ξ η) ξ η rcn η Pro jednorázoé řešení pro dné oáčy ysčíe s ío yjádření. Zýáe-li se š záislosí pliudy n oáčách n, resp. n úhloé rychlosi neýžu ω, iz pliudoá chrerisi (or..), usíe zí úhu že elios odsředié síly (.79) je n oáčách záislá (iz éž pozná pod or..). Apliudu usáleného ynuceného iání p usíe yjádři jo : od resp. od r e (.83) ( ) ( ) ω δ ω ( ω ) ( δ ω) η ( η ) ( ξ η) r e (.84) ω ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 39 - Přenosoá funce p je : ζ (.85) r e η ( η ) ( ξ η) Apliudoá chrerisi, záislos pliudy n úhloé rychlosi ω, resp. n činieli nldění η, p á podou dle následujícího orázu.6 : r e ξ ξ, ξ,35 ξ - poěrný úlu r e η res 3 4 η - činiel nldění ω ω ω 3 Or..6 - Apliudoá chrerisi. η ω Ve sronání s pliudoou chrerisiou dle or.. jsou n prní pohled prné d rozdíly : ) Pro nuloé oáčy (ω, η ) je pliud nuloá, neoť i odsřediá síl je nuloá. ) Pro eli ysoé oáčy (ω >>, η >> ) se pliud liině líží hodnoě : r η r _( η ) li e e ( ) ( ) (.86) η η ξ η Opě se ojeuje eli ýznný je - resonnce, j yl specifioán předchozí piole. Tedy : resonnce nsáá dyž udící ruhoá freence (úhloá rychlos neýžu) ω je číselně lízá lsní ruhoé freenci, projeuje se eli ysoou pliudou. Oyle éo souislosi ýá zye defino z. riicé oáčy - oáčy neýžu resonnci. ω n res r 3 ω π res o in (.87) ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 4 - Méně ýznný rozdíl e sronání s pliudoou chrerisiou dle or.. spočíá resonnční nldění, eré se při zrůsjící luení posouá pro (η res > ). Pro resonnční nldění lze ododi : odud : d dη r d e ( η ) ( ξ η) dη η η res (.88) ξ..6. Síl přenášená do záldu Znlos sil, přenášených z ijící sousy do záldu, je nuná pro jeho dienzoání. K jejich určení použijee echnicý odel z or..7. Výsledná uhos pružného uložení je součiniel luení. Síl do záldu se přenáší pružinou luiče. R ( ) sin( ω ) záld & && Or..7 - Model echnicé ijící sousy uzené hronicy proěnnou udící silou. Pozná : Je ře si uědoi, že nější síl () sin(ω ) půsoí přío n ěleso, le ne n záld. Síl se do záldu přenáší prosřednicí pružiny luiče, n záld edy přío půsoí direční síl pružiny luící síl luiče. Direční síl luící síl jsou : & ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 4 - Je-li (.45) priulární řešení pohyoé ronice (.4) resp. (.43) : P rece záldu je : R ( ) sin( ω φ) & ( ) ω cos( ω φ) ( ) sin ( ω φ) ω cos( ω φ) Teno r lze onečně upri n : de pliud rece je : R ( ) R ( ω φ φr ) sin (.89) R ( ) ( ω) ( ω) Uážíe-li dále (.6), (.8), (.49) (.4) : δ ξ p pliudu rece yjádříe jo : δ ω η R ( ξ η ) ( ξ η) Je-li onečně pliud priulárního řešení (.5) : p pliud rece je : R ( η ) ( ξ η) ( ξ η) ( η ) ( ξ η) (.9) Konečně fázoý posu rece je : ω n φr K ξ η (.9) Pozná : ázoý posu φ R je posunuí ůči priulárníu řešení (iu rece je o φ R /ω dříe než iu iání). ázoé posunuí ůči udící síle je φ-φ R (iu rece je o (φ-φ R )/ω později než iu udící síly). ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 4 - Činiel zesílení rece je : ( ξ η) R ζ (.9) ( η ) ( ξ η) Záislos pliudy rece n nldění je n or..8. R R 3 R ξ ξ, ξ,4 ξ - poěrný úlu R η - činiel nldění 3 4 η res ω ω ω 3 Or..8 - Chrerisi rece. η ω Průěh chrerisiy á podoné lsnosi jo pliudoá chrerisi. ) Pro η, resp. ω (onsnní síl) se do záldu přenáší udící síl nezěněná (R). ) Resonnce. Je-li udící freence lízá lsní freenci p rece záldu ýrzně přeyšuje udící sílu. Resonnční nldění je : 8 ξ ηres (.93) ξ 3) Pro η >>, resp. ω >>, hodno rece lesá eli lý hodnoá R <<. ( ) ξ η R _( η ) li η ( ) ( ) η ξ η Pozná : Neýznnou zjíosí je že pro η je R nezáisle n luení. Pro činiel nldění η >, 4 je síl do záldu enší než pliud udící síly. Toho yužíáe pro zenšení síly přenášené do záldu z. iní pružný uládání srojů. Sroje zřízení uládáe n pružiny, y ýsledný činiel nldění η 3 5. ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 43 -..7. Kineicé uzení V éo piole ude proráno iání, eré je způsoeno pohye ráu echnicé sousy, z. ineicé uzení. Mechnicý odel je n or..9. Je ořen ělese, eré je pružinou luiče ázáno ráu. Rá se pohyuje definoný způsoe, jeho pohy je dán čsoě proěnnou ýchylou z (). záld z z & z & && Or..9 - Model ineicy uzené echnicé ijící sousy. Zde - honos [g], - uhos pružiny [N/], - součiniel luení [N s - ], - souřdnice, určující polohu ěles [], z - souřdnice, určující polohu záldu []. Pohyoá ronice je : i Direční síl luící síl p jsou : l rel ( z) ( ) ( & z& ) z (.94) Zde je ře si uědoi, že direční síl není priárně dán posunuí ěles, le deforcí pružiny l -z. Záld dohání ěleso, deforce pružiny je dán rozdíle oou pohyů. Podoně e ýrzu pro luící sílu rel - z je reliní rychlos jednoho once luiče ůči druhéu, rozdíl rychlosi ěles ráu. ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 44 - Záory e ýrzech (.94) roznásoíe, členy přeedee n leou srnu pohyoé ronice, zíco členy z z necháe n pré srně pohyoé ronice. T p á r : de : && & z& z f f z ( ) ( ) ( ) z z& z ( ) (.95) Pozná : unce f () n pré srně yjdřuje pohy záldu, neá fyziální chrer síly (oše její jedno je [N]). Vyřešíe přípd, dy pohy ráu je hronicý : z z z sin z& z ( ω ) ω cos ( ω ) (.96) Zde z - pliud pohyu záldu [], ω - ruhoá freence pohyu záldu [s - ], ω f - freence pohyu záldu [Hz]. π Too řešení odpoídá npř. siuci, dy pohy ráu je dán pohye ulisoého echnisu (iz or..3). Zde poloěr liy r z je pliud pohyu záldu, úhloá rychlos roce liy ω je součsně ruhoou freencí pohyu záldu. φ ω záld r z ω z r sin(ω ) z & z & && Or..3 - Model ineicy uzené echnicé ijící sousy. ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 45 - Pohyoá ronice p ude : & & z ω cos ( ω ) z sin( ω ) Použijee-li susiuce : φ z ( z ω) ( z ) z ( ω) z rcn z ω ω rcn (.97) Uážíe-li dále (.6), (.8), (.49) (.4) : δ ξ δ ω η p (.97) lze upri n : ( ξ η) z (.98) P pohyoá ronice : resp. : ( ω φ ) & & sin (.99) & δ & sin( ω φz ) (.) z ude forálně shodná s pohyoou ronicí (.4) resp. (.43) (s ýjiou fázoého posuu φ z ). Pozná : Zde je ře si opě uědoi, že člen n pré srně neá fyziální chrer síly, le yjdřuje pohy záldu. Sozřejě i řešení pohyoé ronice (priulární řešení pro usálený s) je shodné s (.45), (.48), (.5), (.47) (.5) : sin (.) ( ) ( ω φz φ) (.) ( ω ) ( δ ω) ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 46 - ( η ) ( ξ η) ( ξ η) z (.3) ω ( η ) ( ξ η) δ ω ξ η n φ (.4) η Konečně dynicý činiel (činiel zesílení) je shodný s (.9) piole o přenosu síly do záldu : ( ξ η) ζ (.5) z ( η ) ( ξ η) Apliudoá chrerisi á sejný průěh jo je n or..8. Možnos sníži pliudu iání ěles hodný pružný uložení yužíáe u psiního pružného uložení pro izolci od iání oolí. Opiální nldění je opě η 3 5...8. Kiání yuzené periodicou silou oecného průěhu Při řešení pricých proléů iání je čso udící síl periodicou funcí čsu. Její průěh se po určié periodě T opuje, iz or..3. Tuo lsnos lze eicy yjádři jo : pro i,,... ( ) ( T ) ( it) T T () Or..3 - Oecný periodicý průěh udící síly. ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 47 - Jsou-li splněny Dirichleoy podíny lze oý průěh yjádři ourieroou řdou jo souče hronicých průěhů o záldní freenci f násoných freencích i f (de i,,... je neonečná řd celých čísel) : de i [ ] ( ) _ i cos ( i ω ) _ i sin( i ω ) _ (.6) π ω (.7) T je záldní ruhoá freence udící síly, dále oeficieny ouriero rozoje jsou : i _ i T T T T T T ( ) d ( ) cos( i ω ) ( ) sin( i ω ) d d (.8) Příld. ourierů rozoj piloiého průěhu Npř. pro piloiý průěh dle or..3, pro erý plí : ( ) T T T ( ) Or..3 - Piloiý průěh udící síly. ůžee ododi : T T T _ d d T T T T T T ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 48 - dále (eodou per pres) : _ i T T T T cos T T T sin i ω T sin i ω ( i ω ) d cos( i ω ) ( i ω ) ( i ω T ) ( i ω) ( i ω) cos cos ( i ω ) T i ω d ( i ω T ) sin( i ω ) ( i ω) cos ( i ω ) Uážíe-li, že sin(), cos(), dále (.7) : ůžee yjádři : π ω T _ i ( ) ( ) ( ) ( ) T sin i π cos i π T i ω i ω i ω Dále sin( i π) sin(36º) sin( 36º) sin(3 36º)..., cos( i π) cos(36º) cos( 36º) cos(3 36º)..., p : T _ i ( i ) ( i ) ω ω Dále : _ i T T T T sin T T T i ω cos T cos i ω ( i ω ) d sin( i ω ) ( i ω ) ( i ω T ) ( i ω) ( i ω) sin ( i ω ) sin T i ω ( i ω T ) cos( i ω ) d eodou per pres ( i ω) sin ( i ω ) Dále (iz ýše) : T _ i cos( i π) sin T i ω ( i ω) T T π i π i T ( i π) ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 49 - Piloiý průěh dle or..3 edy lze yjádři ourieroou řdou : ( ) i ( i ω ) sin( ω ) sin( ω ) sin( 3 ω ) sin i π π π 3 π K Společnou oecnou lsnosí ouriero rozoje lioolné funce je, že e ýrzech pro oeficieny i i je prer i,,... e jenoeli. Koeficieny pro zrůsjící i jí enší hodnou. V pri se proo ždy užuje onečný poče členů rozoje pro i,,... n. N or..33 je sronání poždoného piloiého průěhu s ourieroý rozoje pro různé hodnoy n. Pro dlší řešení upríe ronici (.6) n : de : ( ) [ _ i ( i ω φ _ i )] i _ sin (.9) φ _ i _ i _ i rcn _ i _ i _ i (.) Pohyoá ronice ude í r : resp. : [ sin( i ω φ )] i i & & (.) & δ & (.) _ i [ sin( i ω φ )] _ _ i i _ i S yužií záon superpozice ude řešení : ( ) ho pr ho pr n _ (.3) i pr _ i ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 5 - n ( ) sin π ( ω ) ½ T T 3 T 4 T n ( ) sin π ( ω ) sin( ω ) π ½ T T 3 T 4 T n 5 ( ) sin π ( ω ) sin( ω ) sin( 5 ω ) π K 5 π ½ T T 3 T 4 T ( ) sin π ( ω ) sin( ω ) sin( ω ) π K π n ½ T T 3 T 4 T Or..33 - Piloiý průěh udící síly jeho ourierů rozoj - sronání. ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 5 - V dlší se zěříe n priulární řešení (usálené ynucené iání). Slož priulárního řešení pr, odpoídjící onsnní složce udící síly, je řešení iání při půsoící onsnní síle, iz piol..3 : pr (.4) Slož priulárního řešení pr i, odpoídjící hronicy proěnné udící síle i i sin(i ω φ i ), je popsán piole..4 o odezě n hronicy proěnnou udící sílu, pouze je doplněn fázoý posu φ i zején íso záldní ruhoé freence ω užujee její násoy i ω. de : φ _ i i _ i δ i ω rcn ( i ω φ φ ) pr _ i _ i sin _ i i (.5) ( ( i ω) ) ( δ i ω) ( i η) ξ i η rcn ( i ω) ( i η) _ i ( ) ( ξ i η) (.6) de dále : je činiel nldění pro záldní freenci, η ξ ω δ je poěrný úlu. Priulární řešení pohyoé ronice (.) resp. (.) edy je : n ( ) ( ( pr _ i i ω φ _ i φi ) _ sin (.7) i Z ronice (.6) plyne, že jednolié hronicé složy udící síly jsou echnicou sousou různě zesiloány podle eliosi i jejího pořdí i. Dále je prno, že pro ždou hronicou složu dochází rezonnci při jiné udící freenci. Jednolié hronicé ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 5 - složy udou rezonnci, ude-li splněn podín i η res, j. i ω res. To se při proěnné ruhoé freenci ω projeí řdou rezonncí : ω res _ i i j je nznčeno z. Celloě digru, or..34. i ω 3 ω ω ω ω res _ ω res _ 3 Or..34 - Cellů digr. ω res _ 3 ω Jeliož s rosoucí i pliudy hronicých slože zpridl rychle lesjí (s ýjiou resonnce), je ožno se při ýpoču oezi n něoli prních hronicých slože periodicého uzení...9. Kiání yuzené sooou zěnou udící síly Dynicé lsnosi ijící sousy je ožno posuzo n záldě její odezy n sooou zěnu udící síly, or..35 (nější síl z nuloé hodnoy soe nude nenuloou hodnou u si ndále podrží jo onsnní). To odez se nzýá přechodoá chrerisi. Or..35 - Sooá zěn udící síly. ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 53 - Pohyoá ronice je : & & (.8) resp. : Zedee susiuci : de souldu s (.38) & δ & (.9) z z& & && z && s je z. sicá deforce. Pohyoá ronice p ude í r : && z z& s ( z ) s && z z& z && z z& z (.) onečně : & z z& z (.) Pohyoá ronice je shodná s (.4), její řešení je shodné s (.3) : při susiuci (.) : & z δ ( ) C e sin ( φ ) δ ( ) s C e sin( φ ) δ ( ) s e [ A cos( ) B sin( ) ] δ ( ) e [ ( B A δ) cos( ) ( A B δ) sin( ) ] (.) Inegrční onsny A B, resp. C φ, určíe z počáečních podíne, odpoídjících lidoéu počáečníu su :... (), (). s A B A δ A B s s δ ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 54 - Řešení pohyoé ronice (.8) resp. (.9) při nuloých počáečních podínách (lidoý počáeční s) edy je : ( ) ( ) ( ) δ δ s e sin cos (.3) To funce se nzýá přechodoá funce (přechodoá chrerisi). Její grf je n or..36. π T s s 3 4 5 6 7 8 9 3 4 Or..36 - Přechodoá chrerisi - odez n sooou zěnu udící síly. Průěh se po počáeční roziání uluí usálí se n hodnoě s. N počáu, než se iání uluí, ůže š průěh ráodoě dosáhnou hodnoy lížící se s. Znedáe-li (.3) luení, ude í funce r : ( ) s [ ( ) ] cos (.4) grficé znázornění je n or..37. Průěh periodicy doshuje hodnoy s. s π T s 3 4 5 6 7 8 9 3 4 Or..37 - Přechodoá chrerisi pro neluené iání. Dynicé lsnosi posuzujee podle dynicého součiniele κ s Pro neluenou sousu (δ ) je κ. ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 55 -... Odez echnicé sousy n ipulsní sílu V echnicé pri se seááe s uzení náhle přiloženou silou znčné eliosi, erá půsoí po znedelně ráou dou, z. ipulsní uzení. Pro jeho eicý popis yužijee Dircou funci, or..38. Do půsoení siloého ipulsu eliosi je. Or..38 - Ipulsní síl. Pro <..., pro..., pro >.... To síl yoláá ipuls síly : Je-li elios síly číselně ron : p o síl podáá jednooý ipuls : Podle ěy o zěně hynosi plí : I d I (.5) p I ( ) ( ) Je-li rychlos n počáu ipulsu nuloá ( () ), p rychlos n onci ipulsu je : I I (.6) ( ) ( ) Výchyl n onci ipulsu (je-li ýchyl n počáu ipulsu nuloá () ) je : ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 56 - ( ) d Proože š do rání ipulsu je znedelně lá,, je i dráh znedelně lá ( ). V čse > ( ) pro podriicé luení je iání popsáno pohyoou ronicí (.4) resp. (.5) její řešení (.3) : δ > C e sin ( ) ( ) [ ( ) φ ] S n onci ipulsu ( ( ), ( ) I / ) předsuje počáeční podíny následného olného iání. Inegrční onsny dle (.4) (.5) jsou : C ( ) ( δ) I ( δ) ( ) ( ) ( ) ( ) I ( ) φ rcn rcn rcn I δ δ Řešení dle (.3) edy je : ( ) I ( ) [ ( )] δ > e sin (.7) de připoeňe jednooý ipuls I N s. Výrz : h ( ) ( ) [ ( )] δ e sin (.8) se nzýá ipulsní (Dirco) funce. To funce á yužií i eperienální echnice pro snoení opleních přenosoých funcí, eré jsou ourieroý orze ipulsní funce. ~ H ω h e d ( iω) ( ) (.9) ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 57 -... Odez echnicé sousy n oecný průěh udící síly K odození odezy sousy n oecný průěh udící síly ůžee roněž použí ipulsní funci. Oecný průěh síly, or..39, si předsíe složený z eleenárních ipulzů (τ) dτ, or..38. (τ) τ dτ Or..39 - Oecný průěh udící síly. Proože plí záon superpozice, ůžee odezy n yo ipulzy sčí podle ronice (.7) (při I ), resp. (.8) održíe : δ( τ) ( ) ( τ) e sin [ ( τ) ] dτ (.3) neo éž, s ohlede n (.8) : h τ ( ) ( τ) ( ) dτ Odozený inegrál (.3) se nzýá Duhelů inegrál neo éž onoluční inegrál. Pozná : V Duheloě inegrálu (.3) i τ znená čs. Při řešení soného inegrálu je τ proěnná, podle eré inegrujee, je onsnní prer. Po yřešení inegrálu doszení ezí p n pohlížíe jo n proěnnou. Použií ronice (.3) pro řešení odezy á u ýhodu, že uožňuje ýpoče i přípdě, dy je síl zdná grficy, neo elárně, přípdně priiiní funci inegrálu nelze yjádři. Pro řešení oých přípdů ůžee použí nuericou inegrci ýpoče proés n počíči. ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr
Technicé iání - 58 -.. Kiání roční Čs e sudiu :,5 hodiny Cíl : Po prosudoání ohoo odsce udee uě Pops záoniosi ročního pohyu, zején iého ročního pohyu. Defino záldní eličiny iého ročního pohyu zhy ezi nii. Vyřeši sředně složié úlohy ročního iání. Výld S iý pohye se ůžee se i souislosi s roční pohye. Mechnicý odel n or..4 je ořen ělese o oenu serčnosi I, podepřené pružinou o uhosi n reni p. ω, ε I φ y p sinφ p φ p Or..4 - Mechnicý odel ročního nelueného iání. Zde I - hooý oen serčnosi (osoý) [g ], - uhos pružiny [N/], p - reno uchycení pružiny [], φ - úhloá souřdnice, určující polohu ěles (úhel nočení) [rd]. Dále ω φ & je úhloá rychlos [rd/s] ε & φ je úhloé zrychlení [rd/s ]. ul srojní, VŠB - Technicá unierzi Osr