4. KMITÁNÍ VOLNÉ. Rozlišujeme: 1. nepoddajné vazby - nedovolují pohyb 2. pružně poddajné vazby - dovolují pohyb

Transkript

1 4. MITÁNÍ VOLNÉ 4. Lineární kiání (haronický osciláor ve fyzice) Veli časný pohye honého odu je kiavý pohy. iání ude lineární, jesliže síla, kerá při výchylce x vrací honý od do rovnovážné polohy, je úěrná výchylce x kde konsana úěrnosi - pérová konsana, proože uvažujee honý od, kerý je držen v rovnovážné poloze, např. pružinai, což jsou pružně poddajné podpory Rozlišujee:. nepoddajné vazy - nedovolují pohy. pružně poddajné vazy - dovolují pohy koule (jako od) yč veknuí Skuečný kiavý pohy nahrazujee vhodný zjednodušený odele, např.: a) yč dokonale uhá - sousava neá supeň volnosi ) yč poddajná, nehoná - sousava á v rovině supeň volnosi, v prosoru supně volnosi (výchylka vodorovná v rovině a vodorovná

2 kolo k rovině) 4. iání volné neluené Nasane při vychýlení honého odu z jeho rovnovážného savu a ponechání v pohyu ez dalšího uzení vnějšíi silai. iání sousavy s supně volnosi - honý od podepřený pružinou. Neřešíe naáhání pružiny. Řešíe průěh výchylky: Vychýlíe-li od do polohy ve sěru osy z, půsoí proi: a servačná síla odpor pružiny - pérová konsana N- Podínka rovnováhy:

3 Zavedee veličinu: vlasní (úhlová) kruhová frekvence a dosanee hoogenní lineární diferenciální rovnici. řádu s konsanníi koeficieny: Řešení hledáe ve varu e a vede na charakerisickou rovnici a pro kořeny dosanee řešení neo i, i i Ce Ce v ooru koplexních čísel C C cos v ooru reálných čísel C, C jsou inegrační konsany, keré se určí z počáečních podínek. Volíe-li inegrační konsany ve varu: C Acos C A

4 přejde řešení na var: Acos A cos Acos cos A kde: A - apliuda (nejvěší výchylka), - fázový posun Ze znáé výchylky ůžee urči rychlos pohyu a zrychlení: v A cos a A unkce popisující řešení rovnice jsou periodické, poo definujee: T - perioda (doa kiu) doa, kerá je pořená k proěhnuí dráhy jednou dokola f - frekvence (kioče) Hz=s- udává, kolikrá za sekundu se celý pohy opakuje Plaí T f Pro řešení hledáe inegrační konsany: A - apliuda, - fázový posun v oecné řešení: A v A cos a A

5 Počáeční podínky cos A v v A přičež, v jsou konkréní hodnoy pro =. Upravíe:. arcg an cos v v A A v cos cos v A A v A v A

6 () A (apliuda) A T (perioda) Graf závislosi výchylky () na čase

7 Mohou nasa případy, že pružiny jsou řazeny do sousavy a jejich účinek ůžee nahradi ekvivalenní pérovou konsanou: a) paralelně Síly v pružinách i = i n i i e n i i e n i n i i i e ) sériově e e n e n i i e n i i e n i i e n n

8 4.3 iání volné luené v Při výchylce půsoí na honý od: a ) síla od pera ) servačná síla a 3) odpor prosředí úěrný rychlosi v Odpor prosředí je reprezenován vazký článke. Síla vyjadřující vliv ohoo článku půsoí proi pohyu a její velikos je úěrná rychlosi. onsanu úěrnosi označujee jako konsanu (lineárního) viskózního luení (např. luiče u au). Sesavení podínek rovnováhy podle D'Aleerova principu a v Zavedee veličiny: - vlasní kruhová frekvence pro kiání volné neluené s

9 - konsana charakerizující odpor prosředí - kruhová frekvence úluu s Poo úpravou pohyové rovnice dosanee lineární hoogenní diferenciální rovnici II. řádu s konsanníi koeficieny. Řešení hledáe ve varu e. Charakerisická rovnice á var a její kořeny, Analýza řešení. kriický a nadkriický úlu - jedná se o silné luení, je reálné, pohy není periodický, rovnovážnou polohou ůže projí od nejvýše jednou. Proo nezajíavé!. podkriický úlu V oo případě á charakerisická rovnice řešení v ooru koplexních čísel i, i,

10 zavedee Oecné řešení v ooru koplexních čísel i i i i C e Ce e C e Ce Reálné řešení je poo Ae kde A, jsou inegrační konsany. Rychlos honého odu vyjádříe d v A e e cos d Inegrační konsany A, určíe z počáečních podínek: Pro čas =. A Pro čas = v A cos. Dělení získáe:

11 v A cos A cos Z oho plyne: v cos v cos v g z oho: g v Poo: A Plaí-li, že usíe použí. podínku pro v v A cos

12 Graf závislosi výchylky na čase a význa inegračních konsan A, gv() Ae () A φ -A Ae T (perioda) T Apliuda se zenšuje, doa kiu zůsává sejná T Ze vzahu plyne, že a proo se doa kiu při luené kiání prodlužuje oproi neluenéu

13 T nelu T ioče (frekvence) f T lu onsany luení neo jsou svázány vzahe, nelze je přío zěři, ale ůžee zěři po soě jdoucí axiální výchylky, zn. výchylky s časový odsupe T (doa kiu). Věa 4.3. Přirozený logarius poěru po soě jdoucích ax. výchylek je konsanní. Nazývá se logariický dekreen úluu ln T T Jsou-li znáy výchylky, ezi niiž proěhne n kiů, plaí vzorec: ln n n

14 Důkaz: T e Ae Ae T Ae Ae T T ln ln Zkráíe výraze Ae a dosadíe T : T T T e e e ln ln ln T e e T T ln ln (součin dvou konsan) Vzorec pro výpoče T dosadíe T pak

15 z oho I kruhová frekvence úluu, konsana luení 4 r a v Př Břeeno o honosi = 4 kg je zavěšeno na laně podle or. ladka á honos = 4 kg. Honos lana se zanedává, ale udee uvažova proažení lana na pravé sraně kladky vlive osové síly. Síla kn prodlouží lano o 4 c. Určee rovnici pohyu při počáeční výchylce () = c a počáeční rychlosi v() =. Při další kiu je výchylka =,6 c. Dále určee dou kiu a kioče.

16 Při výchylce se kladka pooočí o úhel a lano se proáhne o. r a Zrychlení řeene a je ve vzahu k úhlovéu zrychlení kladky přiližně. r 3 4 -,5 N 4 V laně ude ěhe kiání síla. Podle d'aleerova principu oenová výinka ke sředu kladky. a I kr vr Dosazení dv d a d a d d r r d I r (hoový oen servačnosi k ose kladky) dosanee rovnici ve varu: r r kr r r

17 ráíe r: k resp. k Po dosazení zadaných hodno resp. 59,5 4 Srovnání s rovnicí volného lueného kiání: - Vlasní kruhová frekvence 59,5 7,7 s onsanu luení určíe poocí logariického dekreenu :, ln ln,34,6 7,7 -,74s 4 4,34 Doa kiu - 7,7,74 7,75s T 7,75 -,84 s

18 Inegrační konsany 7,75 / g 8, ,5345 v,74,,, A, / 8758, f,7 s T,85 Rovnici pohyu při volné luené kiání dosanee dosazení:,74,e 7,75,5345 rad

19 Př Nárazy věru na sožár elevizního vysílače se opakují po 3 inuách. Doa kiu je 6 sekund, úlu je určen logariický dekreene =,4. Určee jak velká je apliuda (výchylka) při příchodu nového nárazu věru vzhlede k počáeční výchylce. Mezi nárazy věru uplyne s N 3 kiů ezi nárazy 6 N ln N ln e N N N apliuda (výchylka) N e Poo,43, N e e, 3 N N

20 5. MITÁNÍ VYNUCENÉ 5.. iání vynucené neluené a Budící síla kde je kruhová frekvence haronicky proěnné síly. Příklade ohou ý rázy od vozidla, věru, účinky nevycenrované roující čási sroje apod. Podínka rovnováhy á var a lze upravi Řešení nehoogenní diferenciální rovnice. řádu získáe, když k oecnéu řešení rovnice (4..3) přidáe parikulární inegrál

21 C C cos oecné řešení parikulární řešení Poznáka: Je-li jedná se o případ rezonance, zn., že výchylka rose nad všechny eze; nepřípusné! Řešení hoogenní rovnice: C C cos oecný var. Parikulární řešení rovnice (5..) p p po dosazení Zkráíe

22 p Výraz dále upravíe: Označíe-li: saickou výchylku s a dynaický součiniel vynuceného usáleného kiání kde, poo apliuda vynuceného kiání s Výsledný var pro výchylku při vynucené usálené kiání je

23 A Je-li j. frekvence udící síly je rovna vlasní frekvenci sousavy, neoť f f, dochází k jevu rezonance. Rovnici výchylky ůžee vyjádři ve varu A a pro počáeční podínky a v pak ve varu. Pro není výchylka definována. Hledáe proo liiu podle l Hospialova pravidla

24 Průěh výchylky při rezonanci je znázorněn na orázku pro ezrozěrné veličiny. Za každou periodu vzrose apliuda o s v. s s s cos cos cos li li li 3 5 s 4 f

25 Rezonance iání vynucené, keré je způsoeno haronickou proěnnou silou á pro řešení nehoogenní rovnice oecný inegrál: A W, kde: W Při podroné rozoru se ukáže, že člen se v prakických případech rzy uluí (řešení volného kiání). Proo pro analýzu vynuceného kiání je rozhodující. člen - kerý je vyuzen vnější silou, nepřesává účinke úluu, rvá ak dlouho, pokud půsoí

26 udící síla. Takový sav se nazývá kiání usálené. rekvence ohoo pohyu je sejná jako u vnější síly. Apliuda usáleného kiání záleží: a) na velikosi udící síly ) hlavně na poěru frekvence udící síly a vlasní frekvence sousavy Výraz W není definován pro, j. apliuda usáleného kiání jde k. Too je případ rezonance. Vzah f nazýváe naladění či poěrnou frekvencí. f s Závislos ezi naladění a apliudou je rezonanční křivka.

27 Např. při: 3 je apliuda 8 při je 4 3 s Rezonanční křivka (Plaí pro vynucené neluené kiání s. supně volnosi). Při rezonanci nenasává ve skuečnosi výchylka nekonečně velká, nýrž účinke prakického úluu (ve výpoču zanedán) pouze výchylka zvěšená. Při kiání konsrukcí se usíe rezonanci vyhnou, aycho zaránili porušení konsrukce velkýi výchylkai.

28 5. iání vynucené luené Honý od je rozkiáván pulsující silou, např. rázy vozidla, nevycenrování roující čási sroje. Účinky nevycenrovaného rooru (lze urči přesněji) a Těžišě rooru se při oáčení pohyuje po kružnici o poloěru e, kerý nazvee excenriciou rooru. Odsředivá síla je: e - úhlová rychlos rooru se definuje ovykle poocí oáček n (j. je zadán kioče a frekvence f ), poče oáček rooru za časovou jednoku n[o s - ] f n - honos rooru v Složka odsředivé síly do sěru výchylky pera je, čas se ěří od okažiku, kdy je ěžišě rooru kolo ke sěru výchylky pera. D'Aleerův princip:

29 vlasní kruhová frekvence kiání volného nelueného charakerizuje luení Řešení rovnice pro výchylku dosanee jako oecné řešení rovnice hoogenní doplněné parikulární inegrále. p Levá srana rovnice se shoduje s řešení volného lueného kiání, proo její oecné řešení je: Ae Pravá srana rovnice je periodická funkce se ový průěhe a proo lze vzí parikulární inegrál ve varu: A p neo p A cos cos Derivací

30 p A cos cos cos cos p A Dosadíe do rovnice: A cos A A cos A A cos A cos Rovnice ůže ý splněna pro liovolné je ehdy plaí-li rovnos koeficienů u funkcí a cos, edy: A cos A cos cos. rovnice je pro A splněna pro cos z oho g cos Porovnání čiaelů a jenovaelů zloku usí ý:

31 B B cos onsana B se určí z podínky: cos B po zpěné dosazení: cos Dosadíe A A Oecné řešení nehoogenní rovnice je:. čás A Ae ve keré jsou : A, inegrační konsany, keré se určí z počáečních podínek.

32 neo 4 (pro podkriický úlu) Analýza vzahu pro ().čás se s rosoucí čase veli rychle líží nule, neoť vliv luení je v exponenu exponenciální funkce e. Po její vyizení ude í výchylka honého odu podle.čási usový průěh s konsanní axiální výchylkou A dle vzahu se sejnou úhlovou rychlosí (frekvencí) jako udící síla, ale s fázový posune. Poo Věa: Poěr axiální dynaické výchylky ke saické výchylce (výchylka odu za klidu) je roven poěru axiální dynaické síly ke saické síle v peru (síla v klidu) a nazývá

33 se dynaický součiniel d d s s Důkaz V rovnovážné poloze ax A s ax.dynaická výchylka Saická výchylka je způsoena sálý nepohylivý zaížení např. íhou s s Pro určení dynaického součiniele ěříe saické a dynaické výchylky. Nora povoluje počía se zaížení saický násoený dynaický součiniele, kerý se uvádí pro jednolivé ypy konsrukcí. Dynaický součiniel se ění dle úhlové rychlosi udící síly a jeho axiální hodnoa je při "kriické úhlové rychlosi". Vezee-li nezávisle na ude A axiální pro iniální, hledáe edy exré ohoo výrazu.

34 Podínka exréu: a) Vzah je splněn pro, což odpovídá A a s s d ) kri kde kri je kriická úhlová rychlos udící síly, pro kerou jsou výchylky a í síly axiální. riický kioče udící síly: f dosadíe kri do A 4 ax A Dosazeno

35 ax A Odvozený vzah plaí za předpokladu, že nezávisí na, např. pulsující síla od vozidla na osě, od věru ap. Při haronické síle vzniklé odsředivou silou nevyváženého rooru závisí na úhlové rychlosi rooru a poo exréní apliuda A je sejná, ale pro kriické oáčky: f