II. Vlny. 2. Harmonické vlny ve 3dm 2.1. Rovinná vlna 2.2. Kulová vlna 2.3. Vlnová rovnice

Transkript

1 II. Vlny. Harmonicé lny dm.. Záladní lasnosi harmonicé lny.. Princip superpozice.3. Inererence ln.. Grupoá rychlos.5. Vlnoá ronice.6. Energie a o energie lny.7. Maemaicá poznáma.8. Tlumená harmonicá lna.9. Podélné lny.. Vlny disperzním prosředí. Harmonicé lny e 3dm.. Roinná lna.. Kuloá lna.3. Vlnoá ronice 3. Obecná lna 3.. Přílady složiějších ln 3.. Periodicá unce 3.3. Neperiodicé unce 3.. Vlnoé lubo čase a prosoru

2 II. Vlny Vlnami rozumíme šíření změny yziální eličiny čase a prosoru. Na rozdíl od miů, eré do jisé míry můžeme poažoa za speciální případ ln, je lna zpraidla neloalizoaná. V éo souislosi je možné připomenou, že za záladní yziální objey můžeme poažoa čásice a lny. Ty se liší zpraidla práě předsaou, že čásice je silně loalizoaná a naopa lna zcela deloalizoána. Ve suečnosi mezi nimi eisuje elmi ěsný zah a doonce anoé yzice předsaa jejich zájemné eialence. U ln je ždy podsané co se lní, může o bý např. inenzia elericého pole, husoa prosředí, poloha čásice ad. Tar ln může bý elmi různý, ale zpraidla se snažíme lnoé jey popsa harmonicou lnou, případně sumou harmonicých ln. V apiole I. Kmiy jsme případě sousa o íce supních olnosi již zaedli pojem lny, respeie sojaé lny. Sudoali jsme ša předeším ohraničený sysém. Kmiy aoého sysému lze popsa jao superpozici sojaých ln. Tar a lasnosi aoých ln jsou předeším určeny orajoými podmínami a disperzními zahy. Záladní lasnosí sojaých ln je, že šechny elemeny sousay miají se sejnou ází a jejich energie je loalizoána uniř ohoo sysému. V případě ln nebo přesněji případě pohybujících se ln, použíá se ermín posupná lna, olíme zpraidla neohraničený sysém. Pro aoé lny je ypicé, že jednolié elemeny sousay mají různé áze. Lze uáza, že příslušné disperzní zahy zůsáají sejné pro oba ypy ln. Posupná lna přenáší energii a impulz prosoru, e erém se šíří.. Harmonicé lny dm.. Záladní lasnosi harmonicé lny Harmonicou lnou rozumíme lnu, erou lze popsa pomocí uncí ypu sin a cos. Její záladní maemaicý popis dm má ar (, ) cos( ) (..) Tar elmi připomíná unci při popisu miů.

3 =.5 = /3 =s - =m - = = T Obr.... Harmonicá lna, prosoroá a časoá záislos. Příslušná yziální eličina (např. mechanicá ýchyla) je uncí dou proměnných a (iz. obr....), je ampliuda, je časoá reence (úhloá reence) s časoou periodou T T (..) a je prosoroá reence ( úhloý lnoče) s prosoroou periodou (lnoá déla) (..3) je posu áze, ýraz ( ) se nazýá áze lny. 3

4 Obr... Posu harmonicé lny prosoru a čase. Chceme-li urči rychlos posuu aoé lny je nuné sledoa jeden bod lnění (např. maimum) a pro en plaí ons (..) Pa d d (..5) Rychlos ohoo bodu, označujeme ji jao ázoou rychlos, je d (..6) d Vlna se pohybuje ouo rychlosí e směru osy, pro ázi ons (..7) bude rychlos záporná a lnění se šíří na opačnou sranu. V apiole o miech jsme zjisili, že obecně zah mezi a (disperzní zah) může bý složiá unce. Poud plaí zah (..6 ) jedná se o nedisperzní lny, poud je záislos složiější, mluíme o disperzních lnách. (Příladem jsou sysémy s íce supni olnosi sudoané apiole I. Kmiy nebo prosředí, dy inde lomu záisí na lnoé délce, n ( ), proože n=c/, je ( ) respeie ()). Podobně jao u miů, může bý lnění podélné (ýchyla je směru šíření lny) nebo příčné (ýchyla je olmo na směr šíření).

5 Obr...3. Zobrazení harmonicé lny časoprosoru (osy horních obrázů jsou sejné, spodní obrázy jsou řezy poloině supnice)... Princip superpozice Podobně jao případě miů předpoládáme planos principu superpozice, erý dooluje sčíání jednoliých ln. Plaí (, ) (, ) (, ) (..) Jeho planos je dána eperimenální zušenosí a neplaí ždy samozřejmě. V prosoru a čase, de se ysyují dě nebo íce ln, dojde e zniu noé lny, jao souču jednoliých čásí. Velou ýhodou, ja uidíme později, je možnos yjádři i elmi složié ormy ln pomocí Fourieroy analýzy, jao souče harmonicých ln o různých ampliudách a ázích..3. Inererence ln Princip superpozice dooluje sudoa sečíání inererenci dou a íce ln e elmi různých siuacích. Teno jednoduchý posup má celou řadu yniajících apliací. Podrobně probereme yo jey ausice a opice. Pro dě lny obecně plaí (, ) (, ) (, ) cos( ) cos( ) (.3.) Pro jednoduchos se omezíme na disusi dou speciálních, ale důležiých případu.. Dě lny se sejnými ampliudami, reencemi, lnoými délami, lišící se pouze ázoým posuem. (, ) (, ) (, ) cos( ) cos( ) (.3.) Pa plaí (, ) (, ) (, ) cos( ) cos( ) (.3.3) 5

6 Označíme (.3.) Pa ýslede silně záisí na omo rozdílů ází iz. obr..3.. Pro n n je ampliuda maimální onsruiní inererence (.3.5) je ampliuda nuloá desruiní inererence. (.3.6) de n je celé číslo. Podobně budeme posupoa i e složiějších případech.. Dě sejné lny lišící se pouze směrem posupu. Pa analogicy (.3.) (, ) (, ) (, ) cos( ) cos( ) (.3.7) A po úpraě (, ) (, ) (, ) cos( ) cos( ) (.3.8) Dosááme lnu, erá se nepohybuje, edy z. sojaou lnu (obr..3..), erou jsme podrobně sudoali apiole o miech souislosi se srunou. = , = , Obr..3.. Desruiní a onsruiní inererence. 6

7 Obr..3.. Sojaé lnění prosoru pro různé časoé oamžiy... Grupoá rychlos Samoná harmonicá lna nenese žádnou inormaci, proože se sále sejně opauje. K přenosu inormace je nuná její modulace (ampliudy, áze, reence ). Velmi složié ormy ln můžeme dosa inererencí různých harmonicých ln. Pro jednoduchos zolme dě lny se sejnými ampliudami ypu (.3.) (, ) (, ) (, ) cos( ) cos( ) (..) Po běžné úpraě Kde (, ) (, ) (, ) cos( ) cos( ) mod mod s s s (..) (..3) mod mod s s s Můžeme uo lnu přepsa do aru (, ) (, ) cos( ) (..) mod s s s Kde pro moduloanou ampliudu plaí (, ) cos( ) mod mod mod (..5) Zřejmě ao ampliuda přenáší možnou inormaci. Hledáme rychlos ohoo přenosu, pa analogicy hledání ázoé rychlosi (.) položíme Pa po dierenciaci ( mod ) ons mod (..6) d d (..7) mod mod Pa příslušná rychlos, nazeme ji grupoá, g d mod d g d d mod (..8) Pro dě lny ysačíme s rozdílem reencí a lnočů, obecném případě spojié disperzní záislosi plaí 7

8 Připomeňme, že pro ázoou rychlos (..6) plaí d g (..9) (..) A edy pro jednoduché disperzní zahy ( / ons ) plaí g (..) Obecně je souislos mezi ω a nebo g a určena příslušným disperzním zahem (iz I.Kmiy). Pro obecnou souislos je možné psá d d d( ) d (..) g d d d V případě opicých lasnosí maeriálů použíáme jejich charaerizaci inde lomu c n (..3) Využijeme zah (..3), dále =ωn/c, dosadíme do (..), pa a odud Podobným způsobem ododíme c d d c dn (..) g g n d d n n d c dn (..5) g dn n d n d c dn (..6) g dn n d n d Ze zahů (..5) a (..6) je zřejmé, že podle znaména dn/dλ (disperze maeriálu) může bý grupoá rychlos ěší nebo menší než ázoá. Ve sperální oblasi de je absorbce malá je dn/dλ < (z. normální disperze) a naopa pro elou absorpci může bý dn/dλ > (z. anomální disperze). Vhodnou ombinací opicých lasnosí lze dosáhnou značného zpomalení sěla ( g <<c) až do úplného zasaení na elmi ráou dobu. Je možné pozoroa i opačný případ, dy g >c..5. Vlnoá ronice Vlnoou ronici rozumíme dierenciální ronici jejímž řešením je lna. V případě sruny jsme ododili ar lnoé ronice (3..), erá dáá řešení pro obecný pohyb sruny, např. pro šíření jednoduchého pulzu na sruně iz obr

9 = = = = Obr..5.. Pohyb pulzu na sruně (e směru šipy). Předpoládáme, že ar pulzu se nemění ani čase ani prosoru, pouze se mění jeho poloha s rychlosí. Taoé obecné řešení pro posupnou lnu, respeie pulz, má dm ar (, ) ( ) (.5.) de znaméno určuje směr pohybu pulzu. V případě planosi (..), j. =ω/ má řešení ar (, ) ( ) (.5.) Pro harmonicé lny (..) má řešení ar (, ) cos( ) (.5.3) V obecném případě (.5.) budeme uo unci derioa podle času a souřadnice a označíme Z Poronáním dosaneme ronici planou pro posupné lny Z Z (.5.) Nědy se použíá náze ronice posupné lny. Posup opaujeme pro druhou deriaci, pa Podobně dosaneme (.5.5) (.5.6) (.5.7) 9

10 Tím spíše má ao ronice sejný ar pro (.5.) nebo (.5.3). Podobně jao případě sruny uo ronici budeme nazýa lnoou, případně bezdisperzní lnoou ronicí..6. Husoa energie a ýon S pohybem sruny, respeie s pohybem pulzu na sruně je spojen přenos energie. Pro husou (na jednou dély) ineicé energie E plaí Síla napínající jednou dély sruny je podle I. (3..) E (.6.) F T (.6.) Pa husoa (na jednou dély) poenciální energie E p E Fd T d T p (.6.3) de příslušný inegrál řešíme subsiucí d d d a husoa celoé energie w (, ) E E p T (.6.) de jsme použili T /. Vzhledem ronosi (.5.5) je zřejmé, že liboolném bodě sruny daném čase jsou hodnoy husoy ineicé a poenciální energie sejné. Podle I (3..) působí aždém bodě na srunu síla F(, ) T T Z (.6.5) de jsme yužili (.5.5), Veličina Z=T / se nazýá impedance. Pa ýon, přenášený srunou, se bude rona T P (, ) T T (.6.6) de jsme opě yužili zah (.5.5). Zcela analogicé ýsledy dosaneme pro podélné miy. Jen jao dříe nahradíme eličinu T ýrazem Ka. Využiím (.5.5) e zahu (.6.) můžeme pro ýon předáaný e směru pohybu lny dosa P (, ) w (, ) (.6.7) Znaméno + znamená, že přenášený ýon pro lnu šířící se zlea dopraa je ladný a naopa pro lnu opačném směru (-) je záporný. V onréním případě posupné lny, pulzu na obr..5., je průběh ýonu na obr..6.. T

11 rel.j. rel.j..5 (,) P(,) Obr..6.. Posup pulzu a přenášeného ýonu (hodnoy jsou relainích jednoách). Pro případ harmonicé lny Je ýon podle (.6.6) iz obr P(, ) cos( ) (.6.8) T sin ( ) (.6.9) (,) P(,) Obr..6.. Posup harmonicé lny a přenášeného ýonu (hodnoy jsou relainích jednoách). Pro sojaé lnění plaí A pro ýon P(, ) P (, ) P (, ) cos( ) cos( ) (.6.) T sin ( Celoý přenesený ýon se sládá ze dou sejných, eré směřují, sejně jao posupné lny, proi sobě a edy se nazájem ruší..7. Maemaicá poznáma Nědy je ýhodné použí poněud jiný ar zápisu harmonicých uncí.. Vyjádření pomocí ompleních čísel Vyjdeme ze známého aru ompleního čísla ) T sin ( ) (.6. )

12 z a ib z (cos( ) i sin( )) z e i de z a b g( ) b / a (.7.) Pa harmonicou unci (..) je možné psá e aru i( ) (, ) cos( ) Re e (.7.) Běžně počíáme s ýrazem (, ) e i( ) (.7.3) Což má řadu praicých ýhod. V záěru ýpoču přejdeme ždy reálné čási ýsledu..fázory Pro názorné sečíání ln se použíají nědy z. ázoroé diagramy. Fázorem lny e aru (..) se rozumí eor o eliosi ampliudy (pro =ons (např. =) ) sírající s osou souřadné sousay úhel ( ). Veor edy rouje s úhloou rychlosí a jeho průmě do osy je oamžiá ýchyla, iz. obr..6.. Pa lny ypu (.3.) jsou zobrazeny eory, eré rale sírají úhel. Výsledná lna je eoroý souče obou slože. Analogicy můžeme posupoa při sečíání ln prosoru, dy zolíme =ons. ω ω ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ Obr..7.. Fázor harmonicé lny a jejich sečíání..8. Tlumená harmonicá lna V reálném prosředí ždy dochází e zráě energie liem např. ření a ýsledem je lna u eré lesá ampliuda. Analogicy pohyboé ronici nelumené lny I(3..) můžeme napsa pohyboou ronici, de rané síle přidáme sílu, erá způsobuje zráy. Sejně jao u lumeného osciláoru předpoládáme, že je úměrná rychlosi a oeicien úlumu označíme Γ. Pa ýsledná pohyboá ronice, erou můžeme poažoa za lnoou, má ar (.8.) Předpoládáme řešení e aru (.7.3), ale budeme předpoláda, že e omplení číslo e aru i (.8.) Tedy po dosazení do (.7.3) dosaneme i( ) i( ) (, ) e e (.8.3) e

13 Volba znaména e ýrazu pro je dána požadaem, aby ampliuda se zdálenosí lesala (opa je nerealisicý). Jedná se edy o harmonicou lnu s eponenciálně lesající ampliudou, iz obr = = = = = = Obr.8.. Vlna (.7.3) s hodnoami (ψ =, ω=s -, =m -, =.m - ) čase =,, a pro souřadnici =,,. Je hodné obráze srona s nelumenou harmonicou lnou (..). Dosadíme-li (.7.3) do (.8.) dosaneme i (.8.) poronáním reálných a imaginárních čásí (.8.5) odud je možné zísa zahy mezi, a ω, Γ. Pro elmi slabý úlum (Γ<<ω) upraíme (.8.) ( i / ) (.8.6) po odmocnění ( i / ) ( i ) (.8.7) poronáním zísáme / / (.8.8) Tomuo případu dobře odpoídá obr..8.. Jedná se praicy o půodní harmonicou lnu s nezměněnou reencí, naíc slabě lumenou. Praicy aáž lna je časoprosoru znázorněna na obr..8.. Pro elmi silný úlum (Γ>>ω), podobně jao pro lumený osciláor, se zrácí lnoý charaer unce ψ a ýchyla rychle lesá nuloé hodnoě. 3

14 Obr..8.. Zobrazení lumené lny časoprosoru (osy horních obrázů jsou sejné, spodní obrázy jsou řezy pro = a =, pro šechny obrázy =.5m, =.m, ω=s - ). Ve speciálním případě, dy = se jedná o lnu, erá zrácí periodiciu prosoru, pouze ampliuda lesá eponenciálně, ale zachoáá se periodicia čase. To je z. eanescenní lna, iz obr..8.3.

15 .5 = = = = Obr.8.3. Eanescenní lna (.7.3) s hodnoami (ψ =, ω=s -, =m -, =.m - ) čase pro souřadnici =,,..9. Podélné lny Dosud jsme ycházeli z předsay příčných ln a o předeším příčných ln na sruně. Analogicy podélným miům je možné sudoa podélné lny, dy směr šíření lny a ampliudy jsou ronoběžné. +Δ S +ψ +ψ+δ+δψ F F+ΔF 5

16 Obr..9.. Čás sruny lidu a případě podélné deormace. Předpoládáme srunu e ormě eného dráu. Uažujeme elemen sruny o délce Δ, erý se při deormaci posune o ψ a deormuje o Δψ (Δψ<<Δ), průřez S předpoládáme neměnný. Podle Hoooa záona, pro malé deormace daném bodě, plaí F S E de E je Youngů modul pružnosi a Δψ/Δ relainí deormace elemenu. Zrychlení elemenu způsobí síla ΔF. Pa pa podle. Newonoa záona a pro hmonos elemenu Δm=SΔρ Po úpraě dosaneme lnoou ronici de pro rychlos podélných ln S F SE E (.9.) (.9.) SE (.9.3) E (.9.) E (.9.5) Číselné odhady dáají dobrou shodu se suečnosí. Např. pro ocel je ρ =8g m -3, E=. N m - odud je asi 5m s -. Příčné lny mají praicy ždy hodnoy nižší. Podobně lze ododi lnoou ronici a rychlos šíření ln pro ausicé lny iz čás III... Vlny disperzním prosředí Reálné prosředí, zejména pené láy případně apaliny, přinášejí při sudiu šíření ln řadu ompliací. To je dáno složiým zahem mezi deormací a napěím e ormě enzoru. Dosud jsme předpoládali esměs planos Hoooa záona, edy jednoduchý salární lineární zah. Roněž jsme dosali jednoduchý lineární zah mezi prosoroou reencí a časoou reencí ω. To je z. nedisperzní choání ln. Důležiým důsledem je, že šechny harmonicé lny se šíří sejnou rychlosí a edy i složiější lny, jao např. pulzy nemění sůj ar. V případě sruny je deailní ýpoče poměrně složiý, spoojíme se s odhadem, že jedna z ýznamných slože rané síly souisí s řiosí deormoané sruny a nuí ji zaujmou půodní ar. Křios je úměrná / a příslušná složa pa pohyboá, respeie lnoá ronice bude mí ar F (..) (..) de α je příslušná maeriáloá onsana. Předpoládáme řešení e aru harmonicé lny (, ) cos( ) (..3) Po dosazení zísáme disperzní zah / (..) 6

17 Pro ázoou rychlos / (..5) erá záisí na prosoroé reenci, respeie lnoé délce, nelineárně. Jedním z důsledů je deormace lnoého pulzu při pohybu na sruně. Ve slabě disperzním prosředí předpoládáme α <<, roněž zolíme směr šíření (edy znaméno +), pa V omo případě pro ázoou rychlos dosaneme a pro grupoou rychlos 3 c (..6) c (..7) 3c g (..8) Na rozdíl od bezdisperzního prosředí jsou obě rychlos různé a dojde posupnému rozplýání pulzu. Obecně α, respeie c, může nabýa různé znaméno a ím se mění i zájemná elios obou rychlosí. V případě > g se nědy hooří o normální disperzi a opačném případě < g o anomální disperzi. Tyo pojmy jsou spojeny spíše s opiou. V případě ooých srun je α ladné a edy i < g. Důsledem je posu harmonicých reencí yšším reencím proi bezdisperznímu případu. Pro disperzní zah 3 c (..9) n n n a pro srunu uchycenou peně bodech = a =L plaí sejné orajoé podmíny jao dříe ( n =nπ/l), pa n 3 c n n (..) 3 L Sruna již neydáá harmonicé reence, j. násobe záladní, ale poněud reence yšší, iz obr.... Poznamenejme, že současně ampliuda yšších harmonicých se poměrně rychle zmenšuje a edy rozdíly barě ónů nemusí bý příliš maranní. L 7

18 =+c 3 = /L /L 3 /L /L 5 /L Obr.... Záislos časoé reence ω na prosoroé reenci pro nedisperzní srunu a pro disperzní srunu s yznačenými harmonicými a posunuými harmonicými reencemi. V čási I.Kmiy jsme řešili choání sruny I.3.. a I.3.., jedno a doučásicoého řeězce I.3.., případně duiny I... z hledisa miů nebo sojaého lnění. Použili jsme praicy ždy orajoé podmíny e ormě peně uchyceného prosředí na začáu a onci. Přímým důsledem byla ýběroá praidla pro prosoroou reenci ( např. n L=nπ) a přes disperzní zah roněž disréní hodnoy pro časoé reence ω n. Z hledisa šíření ln aoém prosředí je možné posupoa podobně, jen neuplaníme orajoé podmíny. Dosaneme sejné disperzní zahy, enorá plané pro liboolné.. Harmonicé lny e 3dm.. Roinná lna Roinnou lnou budeme rozumě harmonicou lnu jejíž sa je sejný na roině. 8

19 z r y Obr... Roinná lna. Budeme ji psá e aru i( r ) i( y y zz ) r, ) e e (..) ( Kde r(,y,z) je polohoý eor, (, y, z ) je lnoý eor e směru šíření lny, plaí / (..) y Z obr... je zřejmé, že daném čase pro aždý eor r na příslušné roině plaí ( r ) ons (..3)..Kuloá lna Touo lnou rozumíme harmonicou lnu, erá má sejný sa lnění na uloé ploše. Taoá lna má ar z r ) (, y, z, ) e i ( (..) Ampliuda ubýá nepřímo úměrně od sředu šíření lny, eoroé yjádření a r je zbyečné, proože e šech směrech na ouli je sa sejný a eory jsou ronoběžné. Pro ázi na ouli plaí ( r ) K ons (..) Po umocnění a úpraě dosaneme r ( K ) r ( ) (y y ) (z z ) (..3) Což je ronice oule se sředem (,y,z ). Tyo dě lny, roinná a uloá, jsou nejjednodušší lny 3dm a e ěšině případů s nimi ysačíme..3. Vlnoá ronice Uedeme jen jednoduché zobecnění dm lnoé ronice (.5.) e aru Kde, y, z, ) (. y z (.3.) 9

20 3. Obecná lna 3.. Přílady složiějších ln Příladem harmonicé lny je (..), ampliuda je onsana, obě proměnné a jsou ineralu (, ). Přílad neharmonicé periodicé lny je na obr.3..., de ampliuda se mění e ormě piloých miů. Omezíme-li harmonicou lnu čase nebo prosoru, iz. roněž obr.3... dosaneme roněž neharmonicou lnu. Taoých příladů je bezpoče. Velou ýhodou pro zacházení s ěmio lnami je možnos pomocí Fourieroy analýzy je poažoa za neonečné součy harmonicých ln. Pa díy principu superpozice zůsáají předchozí záěry a posupy plané i pro yo ypy obecnějších ln. Z praicého hledisa, ale i zhledem užií Fourieroy analýzy, je hodné mimo graicé yjádření ýchyly na čase a souřadnici, roněž uažoa sperální složení lny, respeie záislos ampliudy ψ na reenci. Na obr.3... je schemaicy znázorněna monochromaicá lna (ampliuda záisí pouze na jedné reenci), disréní sperum (záislos na disréních hodnoách reence, např. sruna), sperální čára (spojiá záislos ampliudy na reenci úzém ineralu, např. sperální čára ýboje plynu), spojié sperum (spojiá záislos na reencích široém ineralu hodno, např. záření absoluně černého ělesa). () () () Obr Přílady harmonicé unce, neharmonicé (piloé miy), neharmonicé omezené prosoru.

21 Obr Sperální složení: monochromaicá lna, disréní čároé sperum (sruna), spojié sperum (Gaussoa řia- sperální čára), spojié sperum (záření absoluně černého ělesa ). 3.. Periodicá unce V případě periodicých uncí ypu (s) (s b) (3..) de s, je proměnná, b perioda a za předpoladu, že unce je adraicy inegroaelná, j. že inegrál (s) ds (3..) eisuje, pa uo unci je možné yjádři e aru Fourieroy řady de je reence a m je celé číslo a m je omplení ampliuda (s) a e i m s (3..3) m b (3..) b i m s a (s)e ds (3..5) m b Pro lny je běžné označení sledujeme-li časoou záislos: s b T / T (3..6) V případě prosoroé záislosi: s b / (3..7) Jao přílad ueďme zmíněné piloé miy prosoroých souřadnicích, iz obr.3... Zolme b, pa = a aždém ineralu plaí y=, pa i m () a e a cos( m ) ia sin( m ) m m m (3..8) Kde Pa i i m m a e d ( ) (3..9) m m

22 sin( ) sin( ) sin( 3 ) ( ) (3..) 3 Na obr.3... je parné ja s rosoucím m, je půodní ar lépe ysižen. () m= m= m= m= m= Obr Posupná náhrada piloého miu členy Fourieroy řady (3..) Neperiodicé unce V omo případě pro unci (s), erá je opě adraicy inegroaelná, plaí Fourieroa ransormace e aru (s) F(u )e i u s du Kde pro ampliudu, erá je spojiou uncí proměnné u plaí (3.3.) F(u ) (s)e i u s ds (3.3.) Kde pro lny je běžnější označení případě časoé záislosi: s u (3.3.3) A pro prosoroou záislos s u (3.3.) Uedeme jednoduché, ale časé přílady (zolíme prosoroou záislos):.praoúhlý puls Ve shodě s obr zolíme unci e aru praoúhlého pulsu s ampliudou A, šířou h symericy položeného olem počáu. Pa h h ( ) A pro (, ) a ( ) pro osaní. (3.3.)

23 Pa F( ) ( ) A h / e i d F( )e Ah i d h sin c( ) (3.3.5) (3.3.6) h / Kde yužíáme označení sinc()=sin()/. Funce a příslušné F jsou na obr.3.3.., důležiá je souislos šíře obou řie. Šířa unce F je nepřímo úměrná h, edy šířce unce, iz roněž obr ( sinc()= pro =π a edy = π/h). ().8.6. h= F() /h /h /h /h= Obr Fourieroa ransormace praoúhlého pulzu. () () F() F() Obr Sronání ýsledu Fourieroy ransormace pro různě široé pulzy. 3

24 . Diracoa unce. To je předcházející unce pro h, edy neonečně úzý puls. Pa plaí (zolíme Ah ) lim F lim sin c(h / ) h h (3.3.7) A edy unce F nezáisí na, je o onsana. 3. Gaussoa unce Zolíme obylý ar Gaussoy unce Pa F( ) () ep( ep( / / ) )ep( i )d (3.3.8) (3.3.9) Po ýpoču dosaneme F() ep( / ) (3.3.) Obě unce jsou na obr , opě je řeba si šimnou, že šířa unce je dána a šířa F je určena. () F() = - = () =. F()..5 - = Obr Fourieroa ransormace pulzu e aru Gaussoy řiy. 3.. Vlnoé lubo čase a prosoru Velmi časý a realisicý případ je lnoé lubo, eré je současně omezeno čase i prosoru. Vlnoou unci musíme brá jao unci dou proměnných. Předpoládáme, iz obr.3..., harmonicou lnu omezenou na časoý ineral a prosoroý ineral L

25 ( L, de je rychlos šíření luba). Pro jednoduchos jsme zolili harmonicou lnu s onsanní ampliudou, ale jsou možné složiější případy. Plaí (, ) A ep( i( )) A pro ( /, / ) ( L /, L / ) (3..) Pro osaní a je A=. Pa pro Fouerierou, respeie Laplaceou, ransormaci obecně plaí Po dosazení Nebo F( (, ), ) ( ( L / ) ) / d d df ( d, ) ep( (, ) ep( F(, ) ( ) d d ep( i( )) ep( L / L / / / i( i( )) )) i( )) (3..) (3..3) (3..) F(, ) ( ) d ep( i( ) ) d ep( i( ))) (3..5) L / / Výslede dosaneme e aru ( )L ( ) F(, ) L sin c sin c (3..6) To je Fourierů (Laplaceů) obraz zoleného pulzu, respeie o je unce dou proměnných dáající předpis pro ampliudy spera harmonicých ln, erými lze pulz nahradi. Graicé zobrazení je na obr.3..., jsou o podsaě unce sinc() sředoané bodech a. Opě plaí nepřímá úměrnos mezi šířami řie. Podsaný příspěe příspěu unce F je z ineralu reencí (3..7) a z ineralu lnočů Pro délu lnoého luba L plaí (3..8) L L (3..9) Což je sejný ýraz jao pro oherenční délu, erou zaedeme později. Zobrazení éhož lnoého luba časoprosoru je na obr

26 ().5 () (m) L=6m =s (s) F() (m - ) F( ) 3 =6m - =9 s (s - ) Obr Fourierů (Laplaceů) obraz lnoého luba prosoru a čase. 6

27 Obr Zobrazení lnoého luba čase a prosoru(iz obr. 3..) e 3dm. 7