O s 0 =d s Obr. 2. 1

Transkript

1 3 KINEMATIKA BODU Kinemik jko čás mechniky je nuk o pohybu ěles bez ohledu n síly, keré pohyb způsobily Těles nebudou mí nšich úhách hmonos budou popsán jen sými geomerickými lsnosmi Ty budou během pohybu neměnné j u ěles nebudeme užo deformce Kinemik přímočrého pohybu U přímočrých pohybů použíáme rozkld pohybu do os krézského sysému Kldný směr jedné z os zoožníme s jednou z os, zdálenos od počáku nzeme odlehlosí s() Zákldní úlohou kinemice bodu je zjišění záislosi polohy bodu n čse (zákon pohybu) j nlezení funkce s=s() d ds Je-li =(), pk řešíme inegrcí definičních zhů =, = d d Specielně je-li =kons, pk plí = +,s = s + + d d( ) Je-li =f(), pk ycházíme z ronice = = Pro dráhu zsení l z použijeme ds ds zh l z d f ( ) ds = Př Těleso koná přímočrý pohyb s konsnním zrychlením o elikosi =,6m s - V čse = se nchází e zdálenosi d=,5m od počáku souřdné osy, po určié době bod projde počákem V čse =4s je jeho rychlos = Určee: ) funkční záislos rychlosi n čse; b) čs průchodu počákem P ; c) funkční záislos odlehlosi n čse; d) průměrnou rychlos sřední dráhoou rychlos pro čsoý inerl = -, kde =s Řešení: Jko kldný směr souřdné osy s zolíme zle dopr Vzhledem k omu, že neznáme orienci počáeční polohy (zd je npro nebo nleo od počáku souřdnic), neznáme směr počáeční rychlosi směr zrychlení, předpokládáme, že šechny yo ekory jsou kldně orienoné ůči zolenému směru souřdné osy (zmiňoná nejiso yznčen čárkoně) r o O s =d s Obr Pohyb je s konsnním zrychlením, proo pro yjádření záislosi ekoru rychlosi n čse použijeme zh = +, kerý reprezenujeme pomocí složkoé ronice ( +) = +, 6 () Po doszení = pro =4s dosááme =-,4 m/s N zčáku pohybu je znménko rychlosi zrychlení opčné, j pohyb je ronoměrně zpožděný Záislos rychlosi n čse =()=-,4 +,6 3

2 4 Vekoroou ronici ( +) r = r + + reprezenujeme pomocí složkoé ronice s = s, 4 +, 6 (b) Položíme-li hodnou odlehlosi s= dosááme kdrickou ronici pro čs průchodu p bodu počákem, 3 P, 4P + s = (c) Kořeny éo ronice ( ), ±, 44, 3s P = (d),, 3 Pro hodnou s =,5 m jsou ob kořeny komplexní j pokud by počáeční poloh bodu byl npro od počáku pk by bod jej nemohl dosáhnou Proo možná počáeční hodno odlehlosi je s = -,5 m Pro s = -,5 m dosááme jeden kořen kldný j čs průchodu počákem P =9,7 s Záporný kořen P =-,7 s odpoídá čsu průchodu počákem kerý předcházel poloze s Záislos odlehlosi n čse (zákon pohybu) je edy dán zhem s=s()=-,5-,4 +,3 (e) Pro =s dosááme hodnou odlehlosi s =, m Hodno sřední rychlosi čsoém s s, +, 5 inerlu = - je sř = = =, 6 m/s Pro určení hodnoy sřední dráhoé rychlosi musíme nejpre zjisi odlehlos s při keré se bod zsil Doszením =4 s do ronice (e) dosááme s =-,98 m Celkoá prošlá dráh do čsu =s edy je l =,98-,5+,=,56 m sřední hodno l + l elikosi rychlosi sř =,56 m/s Příkld Loď ple přímočře rychlosí ) Určee záislos rychlosi odlehlosi lodě n čse, když náhle moory ypneme loď se zčne důsledku odporu prosředí zso se zrychlením = k, kde k je kldná konsn b) Určee, n jké dráze l z se loď zsí, jesliže náhle zpneme moory zd loď se zčne důsledku odporu prosředí zpěném chodu moorů zso se zrychlením = -k -k Řešení: ) Plí 4

3 5 Dosdíme inegrujeme d = d () d k = d (b) d = d k k = + (c) Odkud = (d) + k Záislos odlehlosi n čse určíme ze zhu = ds d : s ds = ds = d = ds + k d + k + k s = ln( + k ) (e) k b) Pro ýpoče dráhy zsení l z použijeme zh (8) j ds= d (f) l z d ds = (g) k k Zedeme subsiuci y = pro kerou plí y =, dy = d = d : dy l z ln( k k y) ln k ln( k k y ) ln y y + + = = + = + = k k y k k k k k y Pro dráhu do zsení edy dosááme zh l z k + k ln = k k k 5

4 6 Kinemik křiočrého pohybu U křiočrých pohybů použíáme pro popis kinemických eličin sysém přirozených souřdnic, kde ekory báze jsou jednokoý ekor ečný k dráze n něho kolmý jednokoý ekor n Vekor n míří ždy do sředu oskulční kružnice (oskulční kružnice dném mísě proximuje dráhu kruhoým obloukem), ekory báze přiom ychází ždy z okmžié polohy bodu A Odlehlos je přirozených souřdnicích definoán jko oblouk křiky s= s() odečíný od peného počáku O ležícím n dráze O n S() A Vekor rychlosi je ečný k dráze plí ds =, = = x + y d Vekor zrychlení rozkládáme do ečného normáloého směru ɺ ɺ (9) sɺ = + n n = ɺɺ s + n, (39) R kde R je poloměr oskulční kružnice Průmě zrychlení do směru ečného k dráze se nzýá ečné zrychlení = ɺ = ɺɺ s Průmě zrychlení do normály se nzýá normáloé zrychlení Modul ekoru zrychlení je roen n sɺ = = R R (4) (4b) = + = ɺɺ x + ɺɺ y (4) n Kinemik kruhoého pohybu Pohybuje-li se bod po kružnici, poom souřdnice ρ =kons=r, což je poloměr kružnice - obr Poloh bodu je úplně určen úhlem φ Derice úhlu podle čsu se nzýá úhloá rychlos ω =ɺ ϕ, druhá derice úhlu podle čsu úhloé zrychlení α = ɺ ω = ɺɺ ϕ Použiím zhů pro rychlos zrychlení přirozených souřdnicích pk dosááme zhy 6

5 7 = rɺ ϕ = rω (4) n =r, =r ω α (43) V přípdě, že úhloé zrychlení α=kons, pk pro záislosi ϕ=ϕ() ω=ω() plí obdobné φ Obr zhy jko pro pohyb přímočrý s konsnním zrychlením j plí ω = ω + α (44) ϕ ϕ ω α = + + (45) V přípdě, že pohyb kruhoý je ronoměrný j ω=kons, pk definujeme dobu oběhu T podle zhu π ω = (47) T Pozn Pro nlezení zhů ϕ=ϕ(), ω=ω(), α=α(), α=g(ϕ) použíáme inegrce podle definičních zhů ω= d ϕ d d ω, α= α = d d dϕ Př 3 Vyšeřee pohyb bodu, jehož polohoý ekor záisí n čse podle ronice r = i Acosω + j Asinω, kde A = 6m, ω = 4 π s Určee ekor rychlosi jeho elikos jko funkci čsu Určee jednokoý ekor rychlosi e jko funkci čsu Určee ekor zrychlení jeho elikos funkci čsu Určee ečné normáloé zrychlení funkci čsu Vypočíeje poloměr křiosi dráhy hmoného bodu funkci čsu Řešení: d r d Rychlos hmoného bodu je podle zhu = = ( i Acosω + j Asin ω) d d ω ( ) 7

6 8 Tedy = Aω ( sinω + cosω) i j, kde A = 6 m, ω = π s 4 Velikos ekoru rychlosi určíme podle zhu ( ) ( ) = x + y = Aω sinω + Aω cos ω = Aω Po doszení = 3π ms Jednokoý ekor rychlosi e = = Aω ( i sinω + j cosω) Aω Odud e = i sinω + j cosω Zrychlení je podle zhu (5) d = = d A ω ( i sinω + jcosω ) d d = Aα i cosω + jsinω = ω r Tedy ( ) Velikos zrychlení je dán zhem x y ( cos ) ( sin ) Po doszení = 3π ms 8 = + = Aω α + Aω ω = Aω Velikos ečného zrychlení ypočíáme ze zhu ( Aω ) kruhoý) Vzhledem k omu, že =, yplýá ze zhu Tedy =, n = = 3π ms 8 Poloměr křiosi R ypočeme ze zhu n d d = = = (ronoměrný pohyb d d + =, že n = n R = Po doszení dosááme R = 6m Hrmonický pohyb Z hledisk echnické prxe je ýznmný přípd pohybů, kdy je působící síl úměrná ýchylce rcí pohybující se bod neusále do počáeční polohy (npř ěleso n pružině, kydlo pod) Tkoý pohyb se nzýá hrmonický A jeho ronice je dán zhem x ii + Ω x = (49) Je o diferenciální ronice druhého řádu bez pré srny, její řešení x=x() je možné hled n bázi hrmonických funkcí, npř e ru Diferenciální ronici (49) šk yhouje i řešení e ru Aplikcí pridl pro sinus souču dou úhlů dosneme zh x = Acos Ω + B sin Ω (5) x = C sin( Ω + ϕ) (5b) x = C sinϕ cos Ω + C cosϕ sin Ω (5c) Ze sronání (5) (5c) dosááme 8

7 9 Pk A = C sin ϕ; B = C cosϕ (5) C = A + B se nzýá mpliud, (5) A ϕ = rcg se nzýá počáeční fáze, (53) B Ω je lsní úhloá frekence (54) Rychlos při hrmonickém pohybu je zrychlení π xɺ = CΩcos( Ω + ϕ ) = CΩsin Ω + ϕ + (55) ( ϕ ) sin ( ϕ π ) ɺɺ x = CΩ sin Ω + = CΩ Ω + + (56) Konsny A, B nebo C ϕ jsou inegrční konsny, keré záisí n počáečních podmínkách x = x, xɺ () = dosááme Npř pro počáeční podmínky ( ) Řešením ěcho ronic dosááme pro konsny A, B zhy x = Acos Ω + Bsin Ω () = AΩsin Ω + B ΩcosΩ (b), A x B = = (c) Ω Pro uedené počáeční podmínky má řešení hrmonického pohybu r x = x cosω + sin Ω Ω (d) 9

8 Z hledisk ru dráhy je pohyb bodu je přímočrý

9