Určitý integrál

Transkript

1 030 Určiý inegrál Předpokld: V několik minulých hodinách jsme se učili inegro - hledli jsme primiiní funkce Kráké shrnuí: F x dokážeme posupem, kerý nzýáme derioání, njí zcel přesně Pro hezké funkce ( ) funkci f ( x ), keré říkáme derice funkce F ( x ) (píšeme f ( x) = F ( x) ) Funkce f ( x ) : říká, jk rchle se lioolném odě mění hodno půodní funkce F ( x ), určuje hodnou směrnice ečn grfu lioolném odě, umožňuje zákldní fzikální siuci, kd je jedn eličin přímo úměrná změně jiné ds ds eličin ( = ) počí eličinu, kerá udáá změnu = d d Pro hezké funkce f ( x ) dokážeme posupem, kerý nzýáme inegroání, njí zcel přesně funkci F ( x ), keré říkáme primiiní funkce k funkci f ( x ) (píšeme F ( x) = f ( x) dx ) Funkce f ( x ) : umožňuje zákldní fzikální siuci, kd je jedn eličin přímo úměrná změně jiné ds eličin ( = ) počí eličinu, kerá je určen změnou druhé s d d = Zím jsme neprorli žádné memické plikce primiiní funkce Z fzikální plikce je F x, keré je dné zřejmé, že inegroání nám zchcuje "přiýání hodno" funkce ( ) hodnomi funkce f ( x ) Jk jsme získli zorce pro dráhu ronoměrně zrchleného pohu prním ročníku, kdž jsme o inegroání derioání neměli ni pouchu? = Rchlos u se měnil (ronoměrně zěšol) nemohli jsme použí zorec s =

2 = Rozdělili jsme si poh n jednolié čási, e kerých jsme předpokládli ronoměrný poh rchlosí i (pk je možné pro kždou koou čás použí zorec si = i ) Celkoou dráhu pk předsol souče jednoliých schodů = Čím enčí l schůdk, ím menší l ch, kerou jsme při ýpoču dráh udělli = Kdchom dokázli počí s nekonečně enkými schůdk, získli chom dráhu zcel přesně jko plochu pod grfem rchlosi s = S = = = = = Sejný ýsledek jsme získli inegroáním zorce = : s = d = s = d = + C = počáeční dráh) (pro nuloou hodnou počáeční rchlosí Zdá se, že: inegroání umožňuje sčí nekonečně mnoho nekonečně mlých kousků (podoně derioání umožňolo urči podíl dou nekonečně mlých kousků), inegroání má něco společného s počíáním ploch (keré si "rozdělíme" n nekonečně mnoho nekonečně mlých kousků) Vzorec pro dráhu ronoměrně zrchleného pohu jsme dokázli urči jenom díku omu, že ploch, kerá ho reprezenol, měl r rojúhelníku (pro kerý máme zorec), s ýpočem mnoh jiných ploch jsme si neěděli rd Pokud inegroání s ýpočem ploch oprdu souisí, mohli chom o prolém řeši, proože inegro dokážeme dleko íc funkcí než jen lineární =

3 Prosudujeme siuci pečliěji Inegroání proádíme s funkcemi lioolnou plochu rozdělíme k, jednolié čási lo možné požo z ploch ohrničené čásí grfu funkce =f(x) Čás ploch nní můžeme ním jko plochu pod grfem funkce = f ( x), přesněji jko roinný úr omezený: = f x pro ;, grfem funkce ( ) přímkou x =, přímkou x =, přímkou = 0 (os x) Zkoumný úr je určen od, funkcí f oznčíme ho ed U (,, pk S ( U) Funkce f může ý lioolná spojiá nezáporná Číslo S ( U) můžeme hruě odhdnou pomocí následujícího orázku =f(x) =, jeho osh Plí: Číslo ( U) S je určiě ěší než osh zeleného odélníku, jehož ýšk se roná m (nejmenší hodno funkce = f ( x) inerlu ; ) S ( U) m( ) Číslo S ( U) je určiě menší než osh čereného odélníku, jehož ýšk se roná M (nejěší hodno funkce = f ( x) inerlu ; ) S ( U) M ( ) Celkoě ed plí: m( ) S ( U) M ( ) Př : Proč neronos nezpisujeme jko m( ) S ( U) M ( ) funkce, kůli keré musíme použí zápis m( ) S ( U) M ( ) < <? Njdi příkld Náš posup se snžíme proádě co nejoecněji, u lioolné konsnní funkce odélník splnul s šrfoným úrem plilo m( ) S ( U) M ( ) = C o = = 3

4 Proože plochu pod grfem konsnní funkce umíme spočí i ez inegrálů, měli chom se snži, posup plil i pro ní mohli jsme již známé ýsledk použí pro konrolu Při odozoání zorce pro dráhu ronoměrně zrchleného pohu jsme si předsoli, jk je ploch složen z mlých elmi enkých nudliček prozkoumáme, co se děje s oshem pod křikou, kdž k němu jednu koou nudličku přidáme =f(x) x Zolíme x ; ím rozdělíme úr U (,, ploch zelené čási U (, x, můžeme požo z funkci proměnné x znči ho S ( x ) = n dě čási, zjímá nás, jk se mění = Osh úru záisí n om, jké x zolíme, proo jej Př : Jk se udou měni hodno funkce S ( x ), kdž se x ude z nkreslené poloh přiližo k odu? Urči hodnou S ( ) S ( ) Pokud udeme hodnou x přiližo k odu, ude se ploch zeleného úru zmenšo udou se zmenšo hodno funkce S ( x ) =f(x) x Plí: S ( ) = 0 (pokud od x splne s odem, zelený úr má nuloý osh) S ( ) S ( U) U = (,, jejich osh se udou ron) = (pokud od x splne s odem, zelený úr splne s úrem Jk souisí změn hodno funkce S ( x ) s hodnomi funkce f ( x )? 4

5 =f(x) x Posunuím zěšením x o x se osh úru zěší o čereně znčenou čás S x = S x + S x ( ) ( ) ( ) Př 3: Funkce f ( x ) je spojiá inerlu ; nejěší hodno f ( x ) i nejmenší hodno ( ) předchozím orázku? Odhdni pomocí hodno f ( x ) ( ) osh S ( x) x x + x proo omo inerlu nýá f x čemu se ronjí x x f x čereně znčený f(x ) f(x ) =f(x) x x x x V nšem přípdě plí: x = x (funkce inerlu x; x + x nejěší hodnou odě x), x = x + x (funkce inerlu x; x + x nejmenší hodnou odě x + x ) Osh S ( x) je určiě: menší neo roen oshu modrého odélníku f ( x ) x, ěší neo roen oshu filoého odélníku f ( x ) x Plí ed: f ( x ) S ( x) f ( x ) x f x S x f x x upro Zčneme neronos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S ( x) ( ) ( ) f x S x f x / : x f x f x 5

6 Ch určení S ( x) se ude zmenšo s ím, jk se ude zenčo čerená čás úru, ed s ím jk, se x ude líži k nule Jk se při zmenšoání x zchoá neronos S ( x) f ( x ) f ( x )? Njednou plí: 0 + ( x je nšem přípdě ěší než nul), x x f x f x, x, proože funkce je spojiá ké ( ) ( ) x, proože funkce je spojiá ké f ( x ) f ( x) ( ) S x S x Získááme neronos: f ( x) lim f ( x) lim = f ( x) x 0+ x 0+ Sejně chom posupoli přípdě, že x lo záporné získli chom zh S ( x) lim = f ( x) x 0 S ( x) Spojíme oě limi dohromd: lim = f ( x) x 0 ds ( x) Přejedeme k diferenciálnímu zápisu: = f ( x) hodno funkce f ( x ) udájí změnu dx S x můžeme njí inegroáním funkce S ( x ) (pdlo o k od počáku) funkci ( ) S ( x) = f ( x) dx = F ( x) + C Př 4: Hodnou funkce S ( x ) ed osh úru U (, x, S ( x) = f ( x) dx = F ( x) + C ( ) = můžeme urči zhem C znčí neznámou inegrční konsnu, kerou hledáním primiiní funkce nemůžeme urči Bez jejího určení šk osh mohl ný lioolné hodno (což je zjeně nesmslné) Hledej způso, jk urči konkréní elikos inegrční konsn C Pro funkci S ( x ) jsme snoili dě podmínk: S ( ) = 0, S ( ) S ( U ) = Vužijme podmínku S ( ) = 0 : S ( x) = F ( x) + C S ( ) = F ( ) + C = 0 F ( ) + C = 0 C = F ( ) Pro hodno funkce S ( x ) plí: S ( x) = f ( x) dx = F ( x) F ( ) Pro osh celého úru U = (,, : S ( ) = F ( ) F ( ) 6

7 Při určení oshu úru U (,, spojiou funkcí f ( x ) posupujeme e dou krocích =f(x) = ohrničeného lioolnou n inerlu ; S(U) Určíme primiiní funkci F ( x ) k funkci f ( x ) Určíme rozdíl hodno primiiní funkce F ( ) F ( ) S ( U) Rozdíl F ( ) F ( ) náze i znčení = hrje memice i plikcích elmi důležiou roli, proo má sůj Nechť F je primiiní funkce k funkci f inerlu I Rozdíl F ( ) F ( ) funkčních hodno funkce F lioolných odech, ohoo inerlu se nzýá určiý inegrál funkce f mezích od do znčí se f ( x ) dx Terminologie: x - inegrční proměnná, - dolní mez inegrálu, - horní mez inegrálu, f - inegrnd Při ýpočech se ěžně zpisuje jko součás posupu i nlezená primiiní funkce: f ( x ) dx = F ( x ) = F ( ) F ( ) Dodek: Určiý inegrál zedený ímo způsoem se nzýá Newonů určiý inegrál Kromě éo klsické definice se od 9 soleí použíá modernější součoá definice určiého inegrálu Mšlenku součoé definice jsme použili n počáku hodin u příkldu s odozoáním zorce pro dráhu ronoměrně zrchleného pohu: rozdělíme inerl n jednolié nudličk dokážeme, že při zjemňoání dělení, horní i dolní odhd posupně směřují k jedné hodnoě, kerou prohlásíme z určiý inegrál Př 5: Urči osh úru, kerý čuje grf funkce = x, pro x od do 3 Plochu určíme ýpočem určiého inegrálu: 3 x dx Osh ploch pod čásí prol od do 3 je x 3 6 = = = 9 =

8 Př 6: Primiiních funkcí F k funkci f exisuje nekonečně mnoho šechn mjí r F ( x) + C Dokž, že hodno určiého inegrálu f ( x ) dx nezáisí n om, kerou z primiiních funkcí F ( x) + C pro ýpoče zolíme Plí: ( ) = ( ) = ( ) ( ) f x dx F x F F G x = F x + C Zkusíme zoli jinou z primiiních funkcí, pro kerou plí ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x dx G x G G F C F C F C F C ( ) F ( ) = F = = = + + = + = Získli jsme sejnou hodnou při ýpoču určiého inegrálu n olě primiiní funkce nezáleží Nše úh se ýkl uzřených inerlů Proo chom měli ješě ués znění ě, kerá určuje exisenci primiiní funkce uzřeném inerlu Ke kždé funkci spojié uzřeném inerlu ; exisuje omo inerlu primiiní funkce Shrnuí: Osh ploch pod křikou grfu funkce určíme pomocí rozdílu hodno primiiní funkce - určiým inegrálem 8