Spo jité náhodné veli in. Základní pojm a e²ené p íklad Hustota pravd podobnosti U spojité náhodné veli in se pravd podobnost, ºe náhodná veli ina X padne do ur itého intervalu (a, b), po ítá jako P (X (a, b)) = b a f(x) dx, kde funkce f je tzv. hustota pravd podobnosti náhodné veli in X. P íklad. Hustota pravd podobnosti náhodné veli in X má tvar: pro x, x pro < x, pro x >. Vpo t te pravd podobnosti P (,5 X,8), P (X <,), P (X >,7), P (X =,5), P (X < 3). Dále najd te hodnotu a, pro kterou b platilo P (X < a) =,8. e²ení: První t i pravd podobnosti vpo ítáme jako integrál z hustot f p es p íslu²ný interval. Integrál z nulové funkce bchom mohli rovnou vnechávat, ale zde, v na²em prvním p íkladu, je vpí²eme.,8,8 ( P (,5 X,8) = f(x) dx = x ) [ x dx =,5,5 ],8 x =,5 (,8 = ) (,5,8 ),5 =,345, P (X <,) = P (X >,7) =,,7 f(x) dx = f(x) dx =,7 dx +, ( x ) dx + ( x ) [ x dx = ], x =,, [ x dx = x ],7 =,45. Pokud jde o P (X =,5), zde m ºeme rovnou íct, ºe výsledek je nula, ale mohli bchom pouºít i integrál: P (X =,5) =,5,5 f(x) dx =.
Fakulta elektrotechnik a komunika ních technologií VUT v Brn Poslední pravd podobnost, P (X < 3), m ºeme téº ur it bez jakéhokoli po ítání. Výsledek musí být, protoºe náhodná veli ina X men²í neº 3 ur it je. Pomocí integrálu bchom k výsledku do²li takto: 3 ( P (X < 3) = f(x) dx = dx + x ) 3 dx + dx = [ x = ] x =. Nakonec ur íme konstantu a, pro kterou je P (X < a) =,8 hledáme vlastn,8-kvantil náhodné veli in X. Je z ejmé, ºe a (, ). Musí platit a ( P (X < a) = x ) dx =,8. Odtud dostáváme [ x ] a x =,8 a ( a ) =,8 a a,6 =. e²ením této kvadratické rovnice s neznámou a dostáváme a, = ± + 4,6 = ± 7,4. Protoºe ko en 7,4 nenáleºí do intervalu (, ), z stává nám jediná moºnost, a to a = + 7,4. =,86. P íklad. Teplota ve skleníku je náhodná veli ina X s lichob ºníkovým rozd lením pravd podobnosti, graf její hustot je na obrázku.. a) Ur ete hodnotu h vzna enou v obrázku. b) Vpo t te pravd podobnost, ºe teplota p ekro í 3,5 C. c) Pod jakou mez se teplota dostane jen s pravd podobností,5? h = f(x) 7 8 9 3 3 3 33 x Obrázek.: K p íkladu.: Hustota zadané náhodné veli in X
3 e²ení: a) Pro ur ení zatím neznámé hodnot h (vý²k lichob ºníka) vuºijeme faktu, ºe P (X (, )) = f(x) dx =. To znamená, ºe obsah celého lichob ºníka musí být roven. Pro výpo et obsahu lichob ºníka platí vztah S = h (a + c), kde h je vý²ka a a, c jsou délk základen. V na²em p ípad je a = 6, c = 4, S má být rovno jedné, a ted = h (6 + 4) h = = 5 =,. b) Máme za úkol vpo ítat P (X > 3,5). Tato pravd podobnost je dána integrálem f(x) dx neboli obsahem oblasti vzna ené na obrázku.. 3,5 h = f(x) 7 3,5 33 x Obrázek.: K p íkladu., ást b) M ºeme postupovat dv ma zp sob: bu vpo teme p ímo obsah oblasti, nebo najdeme funk ní p edpis pro hustotu, a tu pak zintegrujeme. P edvedeme ob moºnosti. Nejprve pomocí p ímého výpo tu obsahu: Oblast se skládá z obdélníka a trojúhelníka. Vý²ka je v obou p ípadech h =,, ²í ka obdélníka je,5 a základna trojúhelníka má délku. Celkem ted P (X > 3,5) =,5, +, =,. (Tento výsledek jsme mohli ur it i od oka, bez znalosti hodnot h. Sta í si uv domit, ºe vbarvená ást tvo í jednu p tinu celkové ploch a ºe obsah celého lichob ºníka je.) Nní v e²íme stejný problém pomocí integrálu z hustot: Nejprve musíme najít funk ní p edpis pro hustotu. Z obrázku vidíme, ºe graf hustot se skládá z n kolika ástí. Vn intervalu 7, 33 je, na intervalu 8, 3 je hustota konstantní,,. Na intervalu 7, 8) je grafem hustot ást p ímk se sm rnicí k =, (p ipome me, ºe sm rnice p ímk je tangens úhlu, který p ímka svírá s kladným sm rem os x, a ºe tangens se vpo ítá jako pom r protilehlé a p ilehlé odv sn pravoúhlého trojúhelníka). To znamená, ºe funk ní p edpis na tomto intervalu bude ve tvaru =,x + q. P ímka prochází bodem [7, ], a proto =, 7 + q q =, 7 =,(x 7). Podobným zp sobem bchom zjistili, ºe pro interval (3, 33 je,(x 33).
4 Fakulta elektrotechnik a komunika ních technologií VUT v Brn Celkem ted máme pro x < 7,,(x 7) pro 7 x < 8,, pro 8 x 3,,(x 33) pro 3 < x 33, pro x > 33 Poºadovanou pravd podobnost te vpo teme p íslu²ným integrálem: P (X > 3,5) = 3 3,5, dx, 33 3 (x 33) dx =, [x] 3 3,5, [ (x 33) ] 33 3 =,. c) Pot ebujeme najít mezní hodnotu teplot, ozna me ji T, pro kterou b platilo P (X < T ) =,5. To znamená, ºe hledáme T, pro které b obsah oblasti vzna ené na obrázku.3 bl roven,5. h = f(x) Obrázek.3: K p íkladu., ást c) 7 T 33 x Je evidentní, ºe T bude n kde mezi 7 a 8 (protoºe P (X < 8) =,, coº uº je víc neº,5). Pro výpo et T pouºijeme hustotu náhodné veli in X, ale kdo chce, m ºe zkusit najít T pouze pomocí obsahu vzna eného trojúhelníka. T [ ] (x 7) T P (X < T ) =,(x 7) dx =, =,(T 7) 7,(T 7) =,5 (T 7) =,5 T 7 = ±,5 Protoºe T je ur it v t²í neº 7, p ichází v úvahu pouze +,5. Mezní hodnota, pod kterou teplota klesne jen s pravd podobností,5, je proto T = 7 +,5. = 7,7. Distribu ní funkce a její vztah s hustotou Univerzální denice distribu ní funkce náhodné veli in X je P (X < x). U spojité náhodné veli in se hodnot distribu ní funkce po ítají jako x P (X (, x)) = f(t) dt. Hustota f se proto z distribu ní funkce F spo ítá jako F (x). V bodech, kde F (x) není denována, m ºeme f(x) zvolit libovoln. 7
5 P íklad.3 Hustota pravd podobnosti náhodné veli in X má tvar: pro x, sin x pro < x π, pro x > π. a) Vpo t te P (X < ), P (X < π 4 ), P (X < π ) a P (X < ). 3 b) Ur ete p edpis pro distribu ní funkci náhodné veli in X. e²ení: Hledání distribu ní funkce student m asto p sobí problém. Proto zde budeme postupovat pomalu a opatrn. V²em, kdo b distribu ní funkci um li najít hned, bez zbte ného zdrºování, se omlouváme. a) Budeme postupovat obdobn jako v p íkladu.. Zdá se, ºe tato ást p íkladu nep iná²í nic nového, je v²ak mín na jako p íprava na ást b). V rámci této p íprav te jako integra ní prom nnou místo x pouºijeme t: P (X < ) = f(t) dt = P (X < π π/4 4 ) = f(t) dt = P (X < π π/3 3 ) = f(t) dt = P (X < ) = f(t) dt = dt = π/4 π/3 π/ sin t dt = [ cos t] π/4 = ( ). =,93 sin t dt = [ cos t] π/3 = ( ) =,5 sin t dt + π/ dt = [ cos t] π/ = ( ) = b) Distribu ní funkce je denována jako P (X < x). To znamená, ºe v ásti a) uº jsme vpo ítali hodnot F ( ), F (π/4), F (π/3) a F (). Zde máme najít obecný p edpis pro F (x). Platí f(t) dt. To uº zde sice blo uvedeno ve vzorcích v ráme ku, p i pohledu na e²ení ásti a) ale moºná bude jasn j²í, co se tímto vzorcem mslí. Téº uº je asi jasné, ºe distribu ní funkce bude vpadat jinak, je-li x (neboli horní mez integrálu) men²í neº, je-li v intervalu, π/ a je-li v t²í neº π/. Proto výpo et rozd líme na t i ásti: Pro x < : f(t) dt = dt =. Pro x, π/ (reprezentant tohoto p ípadu bl výpo t pro x = π/4 a x = π/3) : f(t) dt = dt + sin t dt = [ cos t] x = cos x + = cos x.
6 Fakulta elektrotechnik a komunika ních technologií VUT v Brn Pro x > π/: f(t) dt = dt + π/ sin t dt + Celkem jsme dostali p edpis pro distribu ní funkci pro x <, cos x pro x π/, pro x > π/. π/ dt =. Kdbchom nní do této funkce dosadili za x nap. π/4, dostali bchom stejnou hodnotu jako v ásti a). M ºete si téº v²imnout, ºe funkce F je spojitá, její jednotlivé ásti na sebe navazují. Upozorn ní na astou chbu: V prost ední fázi výpo tu studenti ob as napí²ou: Pro x, π/ je π/ sin x dx = To v²ak není správn. Práv uvedený integrál udává pravd podobnost, ºe náhodná veli ina X pat í do intervalu, π/. To ale v bec není to, co chceme spo ítat. P i výpo tu F (x) po ítáme pravd podobnost, ºe náhodná veli ina X je men²í neº x, a v tomto p ípad víme, ºe tohle x horní mez integrálu je z intervalu, π/, jako tomu blo nap íklad pro x = π/3. Jiná astá chba: N kterým student m se vzorec f(t) dt patrn nelíbí a pouºít jej necht jí. Místo toho si eknou: Kdº hustotu f dostanu jako F, tak je F integrál z hustot a hotovo! A napí²ou: f(x) dx = sin x dx = cos x. To je ²patn, coº ukáºeme na jednoduchém p íkladu. Vpo t me pomocí takto získané distribu ní funkce P (X < π/3): P (X < π/3) = F (π/3) = cos(π/3) =,5 Pravd podobnost nám v²la záporn!! (Pokud n koho tento fakt nezarazil, nech se vrátí k první kapitole o pravd podobnosti.) Oprava této chb jiný zp sob nalezení F (x): Práv popsaný zp sob (nalezení distribu ní funkce F pomocí neur itého integrálu z hustot f) se ve skute nosti pouºít dá, musíme být ale opatrní. P ed chvílí jsme totiº zapomn li na integra ní konstantu, ono +c na záv r. Máme f(x) dx = sin x dx = cos x + c. Konstantu c nní ur íme tak, ab hodnot funkce F vcházel správn. Nap íklad víme, ºe F (π/) musí být (protoºe P (X < π/) = ). Odtud F (π/) = cos(π/) + c = + c = c =.
7 Distribu ní funkce pro x, π/ je proto cos x +. Stejn dob e jsme mohli pro ur ení c vuºít faktu, ºe F () musí být (pro tento konkrétní p íklad; obecn to být pravda nemusí). Op t bchom dostali, ºe c =. Nní p edvedeme je²t jeden p íklad na hledání distribu ní funkce. Hustota tentokrát bude rozd lena na více ástí. P íklad.4 Najd te distribu ní funkci náhodné veli in X z p íkladu. (p íklad se skleníkem). e²ení: Uº jsme zjistili, ºe hustota zkoumané náhodné veli in X je pro x < 7,,(x 7) pro 7 x < 8,, pro 8 x 3,,(x 33) pro 3 < x 33, pro x > 33 Budeme hledat distribu ní funkci pro jednotlivé interval: Pro x < 7 je z ejm. Pro x 7, 8) : [ (t 7),(t 7) dt =, 7 ] x 7 =,(x 7). (Poznamenejme, ºe primitivní funkce se samoz ejm mohla vjád it i jako,( t 7t). Dosazení mezí b pak vedlo k o²kliv j²ímu tvaru výsledku, do kterého b se pracn ji dosazoval konkrétní hodnot x.) Pro x 8, 3 : 8 [ ] (t 7) 8,(t 7) dt +, dt =, +, [t] x 8 7 8 7 =, +,(x 8). Pro x 3, 33 : 8 7,(t 7) dt + ] 8 [ (t 7) =, [ (t 33), 7 ] x 3 8, dt + 3 [ (t 33) +, [t] 3 8, 3 (,)(t 33) dt = ] x 3 =, +, 4 =,9,((x 33) ) =,(x 33).
8 Fakulta elektrotechnik a komunika ních technologií VUT v Brn Pro x > 33 m ºeme íci rovnou, ºe bude. Kdo b v²ak cht l vid t výpo et rozepsaný, má p íleºitost: 8 7,(t 7) dt + ] 8 3 8, dt + 33 [ [ (t 7) (t 33) =, +, [t] 3 8, 7 =, +, 4,( ) =. Celkem jsme dostali pro distribu ní funkci p edpis pro x < 7,,(x 7) pro 7 x < 8,, +,(x 8) pro 8 x 3,,(x 33) pro 3 < x 33, pro x > 33. Graf distribu ní funkce vidíme na obrázku.4 3 (,)(t 33) dt + ] 33 3 = 33 dt = = F (x) 7 8 9 3 3 3 33 x Obrázek.4: Distribu ní funkce náhodné veli in z p íkladu.4 P íklad.5 Náhodná veli ina X má distribu ní funkci + π arctg x a) Vpo t te následující pravd podobnosti: P (X < ), P (X >,5), P (,5 X <,5) a P (,5 X ). b) Najd te hodnotu x, kterou náhodná veli ina X p ekro í (sm rem nahoru) jen s pravd podobností,.
9 c) Najd te interval soum rný podle po átku, do kterého náhodná veli ina X padne s pravd podobností,9. d) Ur ete hustotu pravd podobnosti náhodné veli in X. e²ení: a) Je²t jednou p ipome me, ºe P (X < x). Proto P (X < ) = F () = + π arctg = + π π. =,75. 4 Pro výpo et P (X >,5) pouºijeme pravd podobnost jevu opa ného. Opa ný jev k jevu X >,5 je X,5. Dále vuºijeme faktu, ºe P (X = x) je u spojité náhodné veli in X vºd nulová. Celkem máme P (X >,5) = P (X,5) = (P (X <,5) + P (X =,5)) = ( = (F (,5) + ) = + ).= arctg,5,87. π Má-li být,5 X <,5, znamená to, ºe X musí být men²í neº,5, a p itom nesmí být men²í neº,5. Proto P (,5 X <,5) = P (X <,5) P (X <,5) = F (,5) F (,5) = = + π arctg,5 ( + π arctg,5 ).=,65. Protoºe práv p edvedená úvaha n kterým student m iní potíºe, vsv tlíme v²e je²t pomocí obrázku.5. Na tomto obrázku je znázorn na hustota náhodné veli in X (funk ní p edpis pro ni zatím neznáme, ale to te nijak nevadí). Jak víme, pravd podobnost, ºe,5 X <,5, je rovna obsahu ploch pod grafem hustot na intervalu,5;,5). Dále, hodnota distribu ní funkce v bod,5, tj. pravd podobnost, ºe X <,5, je rovna obsahu ploch pod grafem hustot na intervalu (;,5). V na²em obrázku je tato plocha vzna ena svislým ²rafováním. Podobn, hodnota distribu ní funkce v bod,5 je rovna obsahu ploch, která je v obrázku.5 ²ed vbarvena. Nás zajímá obsah ploch, která je ²edá, ale nikoli ²rafovaná. Op t se dostáváme k tomu, ºe od sebe musíme ode íst F (,5) a F (,5). = f(x),5,5 x Obrázek.5: K p íkladu.5 hustota náhodné veli in X Je²t zbývá vpo ítat P (,5 X ). Protoºe pravd podobnosti, ºe b se X rovnalo n jaké jedné konkrétní hodnot, jsou nulové, m ºeme tento p íklad e²it stejn jako ten p edchozí: P (,5 X ) = F () F (,5) = + π arctg ( + π arctg (,5) ).=,398.
Fakulta elektrotechnik a komunika ních technologií VUT v Brn b) Hledáme x, pro které b platilo P (X > x) =,. Uº jsme ukázali, ºe u spojité náhodné veli in je P (X > x) = P (X < x) = F (x). Proto musíme najít x, pro které bude,. Dosazením do funkce F dostáváme: Ted ( + π arctg x x = tg (,49π). = 3,8. ) =, arctg x = π (, c) Hledáme interval, ozna me jej ( a, a), pro který b platilo P ( a < X < a) =,9. P i výpo tu vuºijeme faktu, ºe funkce arctg je lichá. P ( a < X < a) = F (a) F ( a) = + π arctg a ( + π arctg ( a) ) =,9π arctg a =,9 a = tg π = π (arctg a arctg ( a)) = π arctg a. = 6,3 Hledaný interval je ted ( 6,3; 6,3). d) Platí, ºe F (x), a ted v na²em p ípad ( + ) π arctg x = π + x. Kdo b cht l, m ºe te ásti p íkladu a), b), c) v e²it pomocí hustot. V p edchozím p íkladu jsme ukázali výpo t pravd podobnosti r zných tp nerovností. V²e shrneme do ráme ku: Výpo t r zných pravd podobností pomocí distribu ní funkce Pro jakoukoli náhodnou veli inu platí P (X < x) = F (x) P (X x) = F (x) P (a X < b) = F (b) F (a). Protoºe pro spojité náhodné veli in je P (X = x) =, m ºeme pro spojité náhodné veli in v²ude nahradit ostré nerovnosti neostrými a naopak. St ední hodnota, rozptl a sm rodatná odchlka St ední hodnota spojité náhodné veli in X se vpo ítá jako EX = x f(x) dx, rozptl jako DX = a sm rodatná odchlka je DX. x f(x) dx (EX) )
P íklad.6 Hustota pravd podobnosti náhodné veli in X má tvar: pro x, sin x pro < x π, pro x > π. a) Vpo t te st ední hodnotu, rozptl a sm rodatnou odchlku náhodné veli in X. b) Vpo t te pravd podobnost, ºe náhodná veli ina X p ekro í (sm rem nahoru) svou st ední hodnotu více neº o π/4. c) Vpo t te pravd podobnost, ºe se náhodná veli ina X bude od své st ední hodnot li²it nanejvý² o dvojnásobek sm rodatné odchlk. e²ení: a) St ední hodnota: EX = x f(x) dx = π x sin x dx u = x u = v = sin x v = cos x = π ) ([ x cos x] π + cos x dx = (π + [sin x]π ) = π. Tento výsledek jsme mohli i uhodnout, protoºe graf hustot je soum rný podle p ímk x = π/, takºe se dá ekat, ºe pr m rn bude náhodná veli ina X nabývat hodnot π/. Rozptl: DX = x f(x) dx (EX) = π ( π ) x sin x dx. Nejprve zvlá² vpo teme integrál z x sin x, a pak se vrátíme k výpo tu DX: π x sin x dx = u = x u = x v = sin x v = cos x = [ x cos x ] π π + x cos x dx = = u = x u = π ) v = cos x v = sin x = π + ([x sin x] π sin x dx = π 4 Rozptl je pak DX = ( π 4 ) ( π ) π = 4 =.,467. Sm rodatná odchlka: DX = π 4. =,684. Upozorn ní na astou chbu: P i výpo tu rozptlu asto lov k správn zapí²e za- átek výpo tu: DX = x f(x) dx (EX), ale pak se soust edí na výpo et integrálu a na ode tení (EX) zapomene. Nevíme, jak této chb zabránit. Snad jen doporu íme
Fakulta elektrotechnik a komunika ních technologií VUT v Brn tená i, a si poctiv po ítá p íklad. Jestliºe se této chb párkrát dopustí, dokud je to nane isto, p i písemce se mu to snad uº nestane. b) Budeme po ítat pravd podobnost, ºe X bude v t²í neº EX + π/4: π P (X > EX + π) = P (X > 3π) = sin x dx = [ cos 4 4 x]π 3π/4 = 3π/4 ( ( = )) =. =,46. 4 c) Vpo teme pravd podobnost, ºe X bude v intervalu EX DX, EX + DX : P (EX DX X EX + DX) = P ( π π P (,636 X,56) =,56. P íklad pro samostatnou práci P íklad.7 Náhodná veli ina X má hustotu { +3x jinak. pro x,,,636 4 X π + sin x dx. =,84. π 4 ). = Vpo t te pravd podobnosti: a) P (X (/, 3/4)); b) P (X <,3); c) P (X > 4/5); d) P (X < ); e) P (X > 3). Výsledek: a) 35/8. =,73; b),635; c) 43/5. =,344; d) ; e) P íklad.8 Náhodná veli ina X má distribu ní funkci pro x 3, x pro 3 < x 6, 3 pro x > 6. Vpo t te pravd podobnosti: a) P (X < 4); b) P (X > 5,5); c) P (3,5 < X < 5); d) P (X > ); e) P (X > 7). Výsledek: a) /3; b) /6; c) /; d) ; e) P íklad.9 Hustota pravd podobnosti náhodné veli in X má tvar: pro x, x pro < x, pro x >. Najd te distribu ní funkci náhodné veli in X a pak pomocí ní vpo ítejte ttéº pravd podobnosti, jaké se po ítal v p íkladu. (v²imn te si, ºe jde o náhodnou veli inu se stejnou hustotou).
3 Výsledek: pro x ; (x x)/ pro < x ; pro x >. Pravd podobnosti viz p íklad.. P íklad. Je dána funkce { a x pro x,, jinak. a) Ur ete konstantu a tak, ab funkce f(x) bla hustotou pravd podobnosti n jaké náhodné veli in. b) Ur ete st ední hodnotu a rozptl p íslu²né náhodné veli in. Výsledek: a) a = 4/3 (najde se na základ podmínk DX = 7/4. P íklad. Náhodná veli ina X má distribu ní funkci pro x, (x ) pro < x 6, 4 pro x > 6. a)ur ete hustotu pravd podobnosti náhodné veli in X. b)znázorn te grack hustotu a distribu ní funkci. c)ur ete st ední hodnotu, rozptl a sm rodatnou odchlku. f(x) dx = ); b)ex = 5/, Výsledek: a) /4 pro < x < 6; jinak; b) viz obrázek.6; c) EX = 4, DX = 4/3, DX = 3/3. =,55 = F (x) /4 = f(x) 6 x 6 x Obrázek.6: K p íkladu. distribu ní funkce a hustota náhodné veli in X P íklad. Náhodná veli ina X má distribu ní funkci pro x, x pro < x, pro x >. a) Ur ete hodnotu a, kterou X p ekro í sm rem dol jen s pravd podobností,5. b) Ur ete hodnotu b, kterou X p ekro í sm rem nahoru jen s pravd podobností,. c) Ur ete st ední hodnotu a rozptl náhodné veli in X.
4 Fakulta elektrotechnik a komunika ních technologií VUT v Brn Výsledek: a) a =,5; b) b = 3 /. =,949; c) EX = /3, DX = /8 P íklad.3 Náhodná veli ina X má distribu ní funkci pro x, sin x pro < x π 4, pro x > π. 4 a)ur ete hustotu pravd podobnosti náhodné veli in X. b)znázorn te grack hustotu a distribu ní funkci. c)ur ete st ední hodnotu a rozptl. Výsledek: a) cos x pro < x < π/4, jinak; b) viz obrázek.6; c) EX = / + π/4, DX = 3/4 + π/4 = f(x) = F (x) π/4 x π/4 x Obrázek.7: K p íkladu.3 distribu ní funkce a hustota náhodné veli in X P íklad.4 Je dána funkce { a x jinak. pro x, e, a) Ur ete konstantu a tak, ab funkce f(x) bla hustotou pravd podobnosti. b) Ur ete p edpis pro distribu ní funkci p íslu²né náhodné veli in. c) Ur ete st ední hodnotu a rozptl. Výsledek: a) a = ; b) pro x <, ln x pro < x < e, pro x > e; c) EX = e, DX = e / + e 3/ =.,4
5 P íklad.5 Hustota pravd podobnosti náhodné prom nné X má tvar { c cos x pro π < x π, jinak. a) Ur ete konstantu c. b) Ur ete p edpis pro distribu ní funkci F (x). c) Najd te interval soum rný kolem nul, ve kterém náhodná veli ina X bude leºet s pravd podobností,95 Výsledek: a) c = /; b) pro x < π/, ( + sin x)/ pro π/ x < π/, pro x π/; c) ( arcsin(9/), arcsin(9/)). = (,53;,53) P íklad.6 Hustota pravd podobnosti náhodné prom nné X má tvar { 6x( x) pro < x, jinak. a) Ov te, ºe funkce f opravdu m ºe být hustotou n jaké náhodné veli in. b) Ur ete p edpis pro distribu ní funkci F (x). c) Ur ete st ední hodnotu a rozptl. d) Ur ete pravd podobnost, ºe se náhodná veli ina od své st ední hodnot li²í více neº o /3. Výsledek: a) ano, f je nezáporná funkce a f(x) dx = ; b) pro x <, x 3 + 3x pro x <, pro x ; c) EX = /, DX = /; d) 4/7 =.,48 P íklad.7 Hustota pravd podobnosti náhodné prom nné X má tvar { a(3x 4) pro < x, jinak. a) Ur ete konstantu a a pak na rtn te graf funkce f. b) Ur ete p edpis pro její distribu ní funkci F (x). c) Ur ete P ( < X < ). d) Ur ete st ední hodnotu a rozptl. Výsledek: P íklad nemá e²ení. Z podmínk f(x) dx = b v²lo a =, jenºe funkce f nabývá na ásti intervalu, záporných hodnot, coº se u hustot nesmí stát. ƒásti b), c), d) proto nemá význam po ítat. P íklad.8 Chba ur itého m ení je náhodná veli ina X s trojúhelníkovým rozd lením pravd podobnosti. Graf její hustot je na obrázku.8. a) Ur ete hodnotu h. b) Najd te funk ní p edpis pro hustotu f. c) Najd te funk ní p edpis pro distribu ní funkci F. d) Vpo t te pravd podobnost, ºe chba bude v intervalu (, ). e) Najd te interval soum rný kolem nul, v n mº bude chba s pravd podobností,99.
6 Fakulta elektrotechnik a komunika ních technologií VUT v Brn h = f(x) 3 3 x Obrázek.8: K p íkladu.8 hustota náhodné veli in X Výsledek: a) h = /3; b) (x + 3)/9 pro 3 < x <, (x 3)/9 pro x < 3, jinak; c) pro x < 3, (x + 3) /8 pro 3 x <, (x 3) /8 pro x < 3, pro x 3; d) 5/9; e) (,7;,7) P íklad.9 Náhodná prom nná X má distribu ní funkci: pro x, ln x pro < x a, pro x > a. a) Ur ete konstantu a. b)ur ete hustotu pravd podobnosti náhodní prom nné. c)znázorn te grack hustotu a distribu ní funkci. d)ur ete st ední hodnotu a rozptl. P íklad. Náhodná prom nná X má distribu ní funkci: pro x, + arcsin x pro < x, π pro x >. a)ur ete hustotu pravd podobnosti náhodní prom nné. b)znázorn te grack hustotu a distribu ní funkci. c)pravd podobnost toho, ºe náhodná prom nná nabýva hodnot z intervalu (, ). P íklad. Náhodná prom nná X má distribu ní funkci: pro x, a + b sin x pro < x π, pro x > π. a) Ur ete konstant a, b. b)ur ete hustotu pravd podobnosti náhodní prom nné. c)znázorn te grack hustotu a distribu ní funkci. d)ur ete P (X >, ). e)ur ete st ední hodnotu a rozptl.
7 P íklad. Náhodná prom nná X má distribu ní funkci: { a + b.e x pro x >, pro x, a) Ur ete konstant a, b. b)ur ete hustotu pravd podobnosti náhodní prom nné. c)znázorn te grack hustotu a distribu ní funkci. d)ur ete P ( < X < 3). e)ur ete st ední hodnotu a rozptl. P íklad.3 Náhodná prom nná X má distribu ní funkci: { a + b +x pro x >, pro x, a) Ur ete konstant a, b. b)ur ete hustotu pravd podobnosti náhodní prom nné. P íklad.4 Náhodná prom nná X má distribu ní funkci: a) Ur ete konstant a, b. a + b arctan x a b)ur ete hustotu pravd podobnosti náhodní prom nné. c)ur ete st ední hodnotu a rozptl. P íklad.5 Hustota pravd podobnosti náhodné prom nné X má tvar: pro x, a(x ) pro < x, a(x ) pro < x 3, pro x > 3. a) Ur ete konstantu a. b) Ur ete p edpis pro její distribu ní funkci F (x). c) Ur ete P ( < X < 3 ). d)ur ete st ední hodnotu a rozptl. P íklad.6 Hustota pravd podobnosti náhodné prom nné X má tvar: pro x, a(x + ) pro < x, a( x) pro < x, pro x >.
8 Fakulta elektrotechnik a komunika ních technologií VUT v Brn a) Ur ete konstantu a. b) Ur ete p edpis pro její distribu ní funkci F (x). c) Ur ete P ( < X < ). d)ur ete st ední hodnotu a rozptl. P íklad.7 Hustota pravd podobnosti náhodné prom nné X má tvar: pro x, ax pro < x, a pro < x, a(3 x) pro < x 3, pro x > 3. a) Ur ete konstantu a. b) Ur ete p edpis pro její distribu ní funkci F (x). c) Ur ete P ( < X < ). d)ur ete st ední hodnotu a rozptl. P íklad.8 Hustota pravd podobnosti náhodné prom nné X má tvar: pro x, ax pro < x, pro < x e, x pro x > e. a) Ur ete konstantu a. b) Ur ete p edpis pro její distribu ní funkci F (x). c)ur ete st ední hodnotu a rozptl. P íklad.9 Hustota pravd podobnosti náhodné prom nné X má tvar: a + x. a) Ur ete konstantu a. b) Ur ete p edpis pro její distribu ní funkci F (x). c) Ur ete P ( < X < ). d)ur ete st ední hodnotu a rozptl. P íklad.3 Hustota pravd podobnosti náhodné prom nné X má tvar: 4a e x + e x. a) Ur ete konstantu a. b) Ur ete p edpis pro její distribu ní funkci F (x).