1 Spo jité náhodné veli iny

Podobné dokumenty
Integrování jako opak derivování

Skalární sou in. Úvod. Denice skalárního sou inu

Vektor náhodných veli in - práce s více prom nnými

2. Ur íme sudost/lichost funkce a pr se íky s osami. 6. Na záv r na rtneme graf vy²et ované funkce. 8x. x 2 +4

T i hlavní v ty pravd podobnosti

Limity funkcí v nevlastních bodech. Obsah

Text m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková

e²ení systém lineárních rovnic pomocí s ítací, dosazovací a srovnávací metody

VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. (f(x) g(x)) dx.

Vektory. Vektorové veli iny

P íklad 1 (Náhodná veli ina)

Derivování sloºené funkce

Text m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková

Rovnice a nerovnice. Posloupnosti.

Pr b h funkce I. Obsah. Maxima a minima funkce

Binární operace. Úvod. Pomocný text

Státní maturita 2010 Maturitní generálka 2010 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAGZD10C0T01 e²ené p íklady

na za átku se denuje náhodná veli ina

1. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) x cotg x 1. c) lim. g) lim e x 1. cos(x) =

1. (18 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i 400 nezávislých hodech mincí. a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost

Post ehy a materiály k výuce celku Funkce

Matematická analýza KMA/MA2I 3. p edná²ka Primitivní funkce

Statistika pro geografy. Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY

Cvi ení 7. Docházka a testík - 15 min. Distfun 10 min. Úloha 1

Po etní geometrie. Výpo et délky p epony: c 2 = a 2 + b 2 Výpo et délky odv sny: a 2 = c 2 b 2, b 2 = c 2 a 2

Jevy, nezávislost, Bayesova v ta

Domácí úkol 2. Obecné pokyny. Dbejte na formáln správný zápis výpo tu! Pro vy íslení výsledku pro binomické rozd lení pouºijte nap. Maple nebo Matlab.

Vzorové e²ení 4. série

Reálná ísla a posloupnosti Jan Malý

P íklady k prvnímu testu - Pravd podobnost

I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY

odvodit vzorec pro integraci per partes integrovat sou in dvou funkcí pouºitím metody per partes Obsah 2. Odvození vzorce pro integraci per partes

TROJFÁZOVÝ OBVOD SE SPOT EBI EM ZAPOJENÝM DO HV ZDY A DO TROJÚHELNÍKU

( x ) 2 ( ) Další úlohy s kvadratickými funkcemi. Předpoklady: 2501, 2502

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.

Kuželosečky a kvadriky ve škole i kolem

Státní maturita 2011 Maturitní testy a zadání jaro 2011 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZD11C0T02 e²ené p íklady

Státní maturita 2010 Maturitní generálka 2010 Matematika: didaktický test - vy²²í úrove obtíºnosti MAGVD10C0T01 e²ené p íklady

e²ení 5. série Binární kódy autor: Vlá a

Vnit ní síly ve 2D - p íklad 2

Jméno: P íjmení: Datum: 17. ledna 2018 Nechci zápo et p i hodnocení niº²ím neº (nezávazné): vadí mi vystavení mého hodnocení na internetu.

ízení Tvorba kritéria 2. prosince 2014

Práce s daty. 2. února Do tohoto adresá e stáhn te ze stránek soubory data.dat a Nacti_data.sci.

1 Data. 2 Výsledky m ení velikostí. Statistika velikostí výtrus. Roman Ma ák

Základní praktikum laserové techniky

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

10 je 0,1; nebo taky, že 256

3 D leºitá rozd lení náhodné veli iny

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A

4. V p íprav odvo te vzorce (14) a (17) ze zadání [1].

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 varianta A

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.

Ergodické Markovské et zce

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

Úlohy domácího kola kategorie C

Ur itý integrál. Úvod. Denice ur itého integrálu

Pravd podobnost a statistika - cvi ení. Simona Domesová místnost: RA310 (budova CPIT) web:

Vzorová písemka č. 1 (rok 2015/2016) - řešení

Modelování v elektrotechnice

4. Připoutejte se, začínáme!

P ÍPRAVY NA HODINU MATEMATIKA

Zadání. Založení projektu

ST2 - Cvi ení 1 STATISTICKÁ INDUKCE

Návrh realizace transformátoru Thane C. Heinse

Příloha č. 7. ročník 9. 1h 1x za 14 dní. dotace. nepovinný. povinnost

Relace. Základní pojmy.

11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice

1. LINEÁRNÍ APLIKACE OPERAČNÍCH ZESILOVAČŮ

SBÍRKA PŘÍKLADŮ PRO OPAKOVÁNÍ NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY 2

TROJÚHELNÍK. JAN MALÝ UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. sin α = b a.

7 Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v C. Numerické e²ení rovnic

Příklad 1.3: Mocnina matice

1.7. Mechanické kmitání

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Reálná čísla

Fyzikální praktikum 3

Line rn oper tory v euklidovsk ch prostorech V t to sti pou ijeme obecn v sledky o line rn ch oper torech ve vektorov ch prostorech nad komplexn mi sl

Unfolding - uºivatelský manuál

5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 1 / 32

Poměry a úměrnosti I

ZATÍŽENÍ SNĚHEM A VĚTREM

P íklady k prvnímu testu - Scilab

ST2 - Cvi ení 1 STATISTICKÁ INDUKCE

e²ení 1. série Úvodní gulá² autor: Kolektiv org

Vyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash Vibrio

1.3 Druhy a metody měření

ZÁKLADNÍ ŠKOLA a MATE SKÁ ŠKOLA STRUP ICE, okres Chomutov

Obsah. Pouºité zna ení 1

5. cvičení 4ST201_řešení

Jak na KOTLÍKOVÉ DOTACE? JEDNODUCHÝ RÁDCE PRO ZÁKAZNÍKY

Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice I

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A

Elasticita a její aplikace

Diamantová suma - řešení příkladů 1.kola

Metodika kontroly naplněnosti pracovních míst

Návrh induktoru a vysokofrekven ního transformátoru

Testy pro více veli in

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14

POKYNY. k vyplnění přiznání k dani z příjmů fyzických osob za zdaňovací období (kalendářní rok) 2012

matematika vás má it naupravidl

Transkript:

Spo jité náhodné veli in. Základní pojm a e²ené p íklad Hustota pravd podobnosti U spojité náhodné veli in se pravd podobnost, ºe náhodná veli ina X padne do ur itého intervalu (a, b), po ítá jako P (X (a, b)) = b a f(x) dx, kde funkce f je tzv. hustota pravd podobnosti náhodné veli in X. P íklad. Hustota pravd podobnosti náhodné veli in X má tvar: pro x, x pro < x, pro x >. Vpo t te pravd podobnosti P (,5 X,8), P (X <,), P (X >,7), P (X =,5), P (X < 3). Dále najd te hodnotu a, pro kterou b platilo P (X < a) =,8. e²ení: První t i pravd podobnosti vpo ítáme jako integrál z hustot f p es p íslu²ný interval. Integrál z nulové funkce bchom mohli rovnou vnechávat, ale zde, v na²em prvním p íkladu, je vpí²eme.,8,8 ( P (,5 X,8) = f(x) dx = x ) [ x dx =,5,5 ],8 x =,5 (,8 = ) (,5,8 ),5 =,345, P (X <,) = P (X >,7) =,,7 f(x) dx = f(x) dx =,7 dx +, ( x ) dx + ( x ) [ x dx = ], x =,, [ x dx = x ],7 =,45. Pokud jde o P (X =,5), zde m ºeme rovnou íct, ºe výsledek je nula, ale mohli bchom pouºít i integrál: P (X =,5) =,5,5 f(x) dx =.

Fakulta elektrotechnik a komunika ních technologií VUT v Brn Poslední pravd podobnost, P (X < 3), m ºeme téº ur it bez jakéhokoli po ítání. Výsledek musí být, protoºe náhodná veli ina X men²í neº 3 ur it je. Pomocí integrálu bchom k výsledku do²li takto: 3 ( P (X < 3) = f(x) dx = dx + x ) 3 dx + dx = [ x = ] x =. Nakonec ur íme konstantu a, pro kterou je P (X < a) =,8 hledáme vlastn,8-kvantil náhodné veli in X. Je z ejmé, ºe a (, ). Musí platit a ( P (X < a) = x ) dx =,8. Odtud dostáváme [ x ] a x =,8 a ( a ) =,8 a a,6 =. e²ením této kvadratické rovnice s neznámou a dostáváme a, = ± + 4,6 = ± 7,4. Protoºe ko en 7,4 nenáleºí do intervalu (, ), z stává nám jediná moºnost, a to a = + 7,4. =,86. P íklad. Teplota ve skleníku je náhodná veli ina X s lichob ºníkovým rozd lením pravd podobnosti, graf její hustot je na obrázku.. a) Ur ete hodnotu h vzna enou v obrázku. b) Vpo t te pravd podobnost, ºe teplota p ekro í 3,5 C. c) Pod jakou mez se teplota dostane jen s pravd podobností,5? h = f(x) 7 8 9 3 3 3 33 x Obrázek.: K p íkladu.: Hustota zadané náhodné veli in X

3 e²ení: a) Pro ur ení zatím neznámé hodnot h (vý²k lichob ºníka) vuºijeme faktu, ºe P (X (, )) = f(x) dx =. To znamená, ºe obsah celého lichob ºníka musí být roven. Pro výpo et obsahu lichob ºníka platí vztah S = h (a + c), kde h je vý²ka a a, c jsou délk základen. V na²em p ípad je a = 6, c = 4, S má být rovno jedné, a ted = h (6 + 4) h = = 5 =,. b) Máme za úkol vpo ítat P (X > 3,5). Tato pravd podobnost je dána integrálem f(x) dx neboli obsahem oblasti vzna ené na obrázku.. 3,5 h = f(x) 7 3,5 33 x Obrázek.: K p íkladu., ást b) M ºeme postupovat dv ma zp sob: bu vpo teme p ímo obsah oblasti, nebo najdeme funk ní p edpis pro hustotu, a tu pak zintegrujeme. P edvedeme ob moºnosti. Nejprve pomocí p ímého výpo tu obsahu: Oblast se skládá z obdélníka a trojúhelníka. Vý²ka je v obou p ípadech h =,, ²í ka obdélníka je,5 a základna trojúhelníka má délku. Celkem ted P (X > 3,5) =,5, +, =,. (Tento výsledek jsme mohli ur it i od oka, bez znalosti hodnot h. Sta í si uv domit, ºe vbarvená ást tvo í jednu p tinu celkové ploch a ºe obsah celého lichob ºníka je.) Nní v e²íme stejný problém pomocí integrálu z hustot: Nejprve musíme najít funk ní p edpis pro hustotu. Z obrázku vidíme, ºe graf hustot se skládá z n kolika ástí. Vn intervalu 7, 33 je, na intervalu 8, 3 je hustota konstantní,,. Na intervalu 7, 8) je grafem hustot ást p ímk se sm rnicí k =, (p ipome me, ºe sm rnice p ímk je tangens úhlu, který p ímka svírá s kladným sm rem os x, a ºe tangens se vpo ítá jako pom r protilehlé a p ilehlé odv sn pravoúhlého trojúhelníka). To znamená, ºe funk ní p edpis na tomto intervalu bude ve tvaru =,x + q. P ímka prochází bodem [7, ], a proto =, 7 + q q =, 7 =,(x 7). Podobným zp sobem bchom zjistili, ºe pro interval (3, 33 je,(x 33).

4 Fakulta elektrotechnik a komunika ních technologií VUT v Brn Celkem ted máme pro x < 7,,(x 7) pro 7 x < 8,, pro 8 x 3,,(x 33) pro 3 < x 33, pro x > 33 Poºadovanou pravd podobnost te vpo teme p íslu²ným integrálem: P (X > 3,5) = 3 3,5, dx, 33 3 (x 33) dx =, [x] 3 3,5, [ (x 33) ] 33 3 =,. c) Pot ebujeme najít mezní hodnotu teplot, ozna me ji T, pro kterou b platilo P (X < T ) =,5. To znamená, ºe hledáme T, pro které b obsah oblasti vzna ené na obrázku.3 bl roven,5. h = f(x) Obrázek.3: K p íkladu., ást c) 7 T 33 x Je evidentní, ºe T bude n kde mezi 7 a 8 (protoºe P (X < 8) =,, coº uº je víc neº,5). Pro výpo et T pouºijeme hustotu náhodné veli in X, ale kdo chce, m ºe zkusit najít T pouze pomocí obsahu vzna eného trojúhelníka. T [ ] (x 7) T P (X < T ) =,(x 7) dx =, =,(T 7) 7,(T 7) =,5 (T 7) =,5 T 7 = ±,5 Protoºe T je ur it v t²í neº 7, p ichází v úvahu pouze +,5. Mezní hodnota, pod kterou teplota klesne jen s pravd podobností,5, je proto T = 7 +,5. = 7,7. Distribu ní funkce a její vztah s hustotou Univerzální denice distribu ní funkce náhodné veli in X je P (X < x). U spojité náhodné veli in se hodnot distribu ní funkce po ítají jako x P (X (, x)) = f(t) dt. Hustota f se proto z distribu ní funkce F spo ítá jako F (x). V bodech, kde F (x) není denována, m ºeme f(x) zvolit libovoln. 7

5 P íklad.3 Hustota pravd podobnosti náhodné veli in X má tvar: pro x, sin x pro < x π, pro x > π. a) Vpo t te P (X < ), P (X < π 4 ), P (X < π ) a P (X < ). 3 b) Ur ete p edpis pro distribu ní funkci náhodné veli in X. e²ení: Hledání distribu ní funkce student m asto p sobí problém. Proto zde budeme postupovat pomalu a opatrn. V²em, kdo b distribu ní funkci um li najít hned, bez zbte ného zdrºování, se omlouváme. a) Budeme postupovat obdobn jako v p íkladu.. Zdá se, ºe tato ást p íkladu nep iná²í nic nového, je v²ak mín na jako p íprava na ást b). V rámci této p íprav te jako integra ní prom nnou místo x pouºijeme t: P (X < ) = f(t) dt = P (X < π π/4 4 ) = f(t) dt = P (X < π π/3 3 ) = f(t) dt = P (X < ) = f(t) dt = dt = π/4 π/3 π/ sin t dt = [ cos t] π/4 = ( ). =,93 sin t dt = [ cos t] π/3 = ( ) =,5 sin t dt + π/ dt = [ cos t] π/ = ( ) = b) Distribu ní funkce je denována jako P (X < x). To znamená, ºe v ásti a) uº jsme vpo ítali hodnot F ( ), F (π/4), F (π/3) a F (). Zde máme najít obecný p edpis pro F (x). Platí f(t) dt. To uº zde sice blo uvedeno ve vzorcích v ráme ku, p i pohledu na e²ení ásti a) ale moºná bude jasn j²í, co se tímto vzorcem mslí. Téº uº je asi jasné, ºe distribu ní funkce bude vpadat jinak, je-li x (neboli horní mez integrálu) men²í neº, je-li v intervalu, π/ a je-li v t²í neº π/. Proto výpo et rozd líme na t i ásti: Pro x < : f(t) dt = dt =. Pro x, π/ (reprezentant tohoto p ípadu bl výpo t pro x = π/4 a x = π/3) : f(t) dt = dt + sin t dt = [ cos t] x = cos x + = cos x.

6 Fakulta elektrotechnik a komunika ních technologií VUT v Brn Pro x > π/: f(t) dt = dt + π/ sin t dt + Celkem jsme dostali p edpis pro distribu ní funkci pro x <, cos x pro x π/, pro x > π/. π/ dt =. Kdbchom nní do této funkce dosadili za x nap. π/4, dostali bchom stejnou hodnotu jako v ásti a). M ºete si téº v²imnout, ºe funkce F je spojitá, její jednotlivé ásti na sebe navazují. Upozorn ní na astou chbu: V prost ední fázi výpo tu studenti ob as napí²ou: Pro x, π/ je π/ sin x dx = To v²ak není správn. Práv uvedený integrál udává pravd podobnost, ºe náhodná veli ina X pat í do intervalu, π/. To ale v bec není to, co chceme spo ítat. P i výpo tu F (x) po ítáme pravd podobnost, ºe náhodná veli ina X je men²í neº x, a v tomto p ípad víme, ºe tohle x horní mez integrálu je z intervalu, π/, jako tomu blo nap íklad pro x = π/3. Jiná astá chba: N kterým student m se vzorec f(t) dt patrn nelíbí a pouºít jej necht jí. Místo toho si eknou: Kdº hustotu f dostanu jako F, tak je F integrál z hustot a hotovo! A napí²ou: f(x) dx = sin x dx = cos x. To je ²patn, coº ukáºeme na jednoduchém p íkladu. Vpo t me pomocí takto získané distribu ní funkce P (X < π/3): P (X < π/3) = F (π/3) = cos(π/3) =,5 Pravd podobnost nám v²la záporn!! (Pokud n koho tento fakt nezarazil, nech se vrátí k první kapitole o pravd podobnosti.) Oprava této chb jiný zp sob nalezení F (x): Práv popsaný zp sob (nalezení distribu ní funkce F pomocí neur itého integrálu z hustot f) se ve skute nosti pouºít dá, musíme být ale opatrní. P ed chvílí jsme totiº zapomn li na integra ní konstantu, ono +c na záv r. Máme f(x) dx = sin x dx = cos x + c. Konstantu c nní ur íme tak, ab hodnot funkce F vcházel správn. Nap íklad víme, ºe F (π/) musí být (protoºe P (X < π/) = ). Odtud F (π/) = cos(π/) + c = + c = c =.

7 Distribu ní funkce pro x, π/ je proto cos x +. Stejn dob e jsme mohli pro ur ení c vuºít faktu, ºe F () musí být (pro tento konkrétní p íklad; obecn to být pravda nemusí). Op t bchom dostali, ºe c =. Nní p edvedeme je²t jeden p íklad na hledání distribu ní funkce. Hustota tentokrát bude rozd lena na více ástí. P íklad.4 Najd te distribu ní funkci náhodné veli in X z p íkladu. (p íklad se skleníkem). e²ení: Uº jsme zjistili, ºe hustota zkoumané náhodné veli in X je pro x < 7,,(x 7) pro 7 x < 8,, pro 8 x 3,,(x 33) pro 3 < x 33, pro x > 33 Budeme hledat distribu ní funkci pro jednotlivé interval: Pro x < 7 je z ejm. Pro x 7, 8) : [ (t 7),(t 7) dt =, 7 ] x 7 =,(x 7). (Poznamenejme, ºe primitivní funkce se samoz ejm mohla vjád it i jako,( t 7t). Dosazení mezí b pak vedlo k o²kliv j²ímu tvaru výsledku, do kterého b se pracn ji dosazoval konkrétní hodnot x.) Pro x 8, 3 : 8 [ ] (t 7) 8,(t 7) dt +, dt =, +, [t] x 8 7 8 7 =, +,(x 8). Pro x 3, 33 : 8 7,(t 7) dt + ] 8 [ (t 7) =, [ (t 33), 7 ] x 3 8, dt + 3 [ (t 33) +, [t] 3 8, 3 (,)(t 33) dt = ] x 3 =, +, 4 =,9,((x 33) ) =,(x 33).

8 Fakulta elektrotechnik a komunika ních technologií VUT v Brn Pro x > 33 m ºeme íci rovnou, ºe bude. Kdo b v²ak cht l vid t výpo et rozepsaný, má p íleºitost: 8 7,(t 7) dt + ] 8 3 8, dt + 33 [ [ (t 7) (t 33) =, +, [t] 3 8, 7 =, +, 4,( ) =. Celkem jsme dostali pro distribu ní funkci p edpis pro x < 7,,(x 7) pro 7 x < 8,, +,(x 8) pro 8 x 3,,(x 33) pro 3 < x 33, pro x > 33. Graf distribu ní funkce vidíme na obrázku.4 3 (,)(t 33) dt + ] 33 3 = 33 dt = = F (x) 7 8 9 3 3 3 33 x Obrázek.4: Distribu ní funkce náhodné veli in z p íkladu.4 P íklad.5 Náhodná veli ina X má distribu ní funkci + π arctg x a) Vpo t te následující pravd podobnosti: P (X < ), P (X >,5), P (,5 X <,5) a P (,5 X ). b) Najd te hodnotu x, kterou náhodná veli ina X p ekro í (sm rem nahoru) jen s pravd podobností,.

9 c) Najd te interval soum rný podle po átku, do kterého náhodná veli ina X padne s pravd podobností,9. d) Ur ete hustotu pravd podobnosti náhodné veli in X. e²ení: a) Je²t jednou p ipome me, ºe P (X < x). Proto P (X < ) = F () = + π arctg = + π π. =,75. 4 Pro výpo et P (X >,5) pouºijeme pravd podobnost jevu opa ného. Opa ný jev k jevu X >,5 je X,5. Dále vuºijeme faktu, ºe P (X = x) je u spojité náhodné veli in X vºd nulová. Celkem máme P (X >,5) = P (X,5) = (P (X <,5) + P (X =,5)) = ( = (F (,5) + ) = + ).= arctg,5,87. π Má-li být,5 X <,5, znamená to, ºe X musí být men²í neº,5, a p itom nesmí být men²í neº,5. Proto P (,5 X <,5) = P (X <,5) P (X <,5) = F (,5) F (,5) = = + π arctg,5 ( + π arctg,5 ).=,65. Protoºe práv p edvedená úvaha n kterým student m iní potíºe, vsv tlíme v²e je²t pomocí obrázku.5. Na tomto obrázku je znázorn na hustota náhodné veli in X (funk ní p edpis pro ni zatím neznáme, ale to te nijak nevadí). Jak víme, pravd podobnost, ºe,5 X <,5, je rovna obsahu ploch pod grafem hustot na intervalu,5;,5). Dále, hodnota distribu ní funkce v bod,5, tj. pravd podobnost, ºe X <,5, je rovna obsahu ploch pod grafem hustot na intervalu (;,5). V na²em obrázku je tato plocha vzna ena svislým ²rafováním. Podobn, hodnota distribu ní funkce v bod,5 je rovna obsahu ploch, která je v obrázku.5 ²ed vbarvena. Nás zajímá obsah ploch, která je ²edá, ale nikoli ²rafovaná. Op t se dostáváme k tomu, ºe od sebe musíme ode íst F (,5) a F (,5). = f(x),5,5 x Obrázek.5: K p íkladu.5 hustota náhodné veli in X Je²t zbývá vpo ítat P (,5 X ). Protoºe pravd podobnosti, ºe b se X rovnalo n jaké jedné konkrétní hodnot, jsou nulové, m ºeme tento p íklad e²it stejn jako ten p edchozí: P (,5 X ) = F () F (,5) = + π arctg ( + π arctg (,5) ).=,398.

Fakulta elektrotechnik a komunika ních technologií VUT v Brn b) Hledáme x, pro které b platilo P (X > x) =,. Uº jsme ukázali, ºe u spojité náhodné veli in je P (X > x) = P (X < x) = F (x). Proto musíme najít x, pro které bude,. Dosazením do funkce F dostáváme: Ted ( + π arctg x x = tg (,49π). = 3,8. ) =, arctg x = π (, c) Hledáme interval, ozna me jej ( a, a), pro který b platilo P ( a < X < a) =,9. P i výpo tu vuºijeme faktu, ºe funkce arctg je lichá. P ( a < X < a) = F (a) F ( a) = + π arctg a ( + π arctg ( a) ) =,9π arctg a =,9 a = tg π = π (arctg a arctg ( a)) = π arctg a. = 6,3 Hledaný interval je ted ( 6,3; 6,3). d) Platí, ºe F (x), a ted v na²em p ípad ( + ) π arctg x = π + x. Kdo b cht l, m ºe te ásti p íkladu a), b), c) v e²it pomocí hustot. V p edchozím p íkladu jsme ukázali výpo t pravd podobnosti r zných tp nerovností. V²e shrneme do ráme ku: Výpo t r zných pravd podobností pomocí distribu ní funkce Pro jakoukoli náhodnou veli inu platí P (X < x) = F (x) P (X x) = F (x) P (a X < b) = F (b) F (a). Protoºe pro spojité náhodné veli in je P (X = x) =, m ºeme pro spojité náhodné veli in v²ude nahradit ostré nerovnosti neostrými a naopak. St ední hodnota, rozptl a sm rodatná odchlka St ední hodnota spojité náhodné veli in X se vpo ítá jako EX = x f(x) dx, rozptl jako DX = a sm rodatná odchlka je DX. x f(x) dx (EX) )

P íklad.6 Hustota pravd podobnosti náhodné veli in X má tvar: pro x, sin x pro < x π, pro x > π. a) Vpo t te st ední hodnotu, rozptl a sm rodatnou odchlku náhodné veli in X. b) Vpo t te pravd podobnost, ºe náhodná veli ina X p ekro í (sm rem nahoru) svou st ední hodnotu více neº o π/4. c) Vpo t te pravd podobnost, ºe se náhodná veli ina X bude od své st ední hodnot li²it nanejvý² o dvojnásobek sm rodatné odchlk. e²ení: a) St ední hodnota: EX = x f(x) dx = π x sin x dx u = x u = v = sin x v = cos x = π ) ([ x cos x] π + cos x dx = (π + [sin x]π ) = π. Tento výsledek jsme mohli i uhodnout, protoºe graf hustot je soum rný podle p ímk x = π/, takºe se dá ekat, ºe pr m rn bude náhodná veli ina X nabývat hodnot π/. Rozptl: DX = x f(x) dx (EX) = π ( π ) x sin x dx. Nejprve zvlá² vpo teme integrál z x sin x, a pak se vrátíme k výpo tu DX: π x sin x dx = u = x u = x v = sin x v = cos x = [ x cos x ] π π + x cos x dx = = u = x u = π ) v = cos x v = sin x = π + ([x sin x] π sin x dx = π 4 Rozptl je pak DX = ( π 4 ) ( π ) π = 4 =.,467. Sm rodatná odchlka: DX = π 4. =,684. Upozorn ní na astou chbu: P i výpo tu rozptlu asto lov k správn zapí²e za- átek výpo tu: DX = x f(x) dx (EX), ale pak se soust edí na výpo et integrálu a na ode tení (EX) zapomene. Nevíme, jak této chb zabránit. Snad jen doporu íme

Fakulta elektrotechnik a komunika ních technologií VUT v Brn tená i, a si poctiv po ítá p íklad. Jestliºe se této chb párkrát dopustí, dokud je to nane isto, p i písemce se mu to snad uº nestane. b) Budeme po ítat pravd podobnost, ºe X bude v t²í neº EX + π/4: π P (X > EX + π) = P (X > 3π) = sin x dx = [ cos 4 4 x]π 3π/4 = 3π/4 ( ( = )) =. =,46. 4 c) Vpo teme pravd podobnost, ºe X bude v intervalu EX DX, EX + DX : P (EX DX X EX + DX) = P ( π π P (,636 X,56) =,56. P íklad pro samostatnou práci P íklad.7 Náhodná veli ina X má hustotu { +3x jinak. pro x,,,636 4 X π + sin x dx. =,84. π 4 ). = Vpo t te pravd podobnosti: a) P (X (/, 3/4)); b) P (X <,3); c) P (X > 4/5); d) P (X < ); e) P (X > 3). Výsledek: a) 35/8. =,73; b),635; c) 43/5. =,344; d) ; e) P íklad.8 Náhodná veli ina X má distribu ní funkci pro x 3, x pro 3 < x 6, 3 pro x > 6. Vpo t te pravd podobnosti: a) P (X < 4); b) P (X > 5,5); c) P (3,5 < X < 5); d) P (X > ); e) P (X > 7). Výsledek: a) /3; b) /6; c) /; d) ; e) P íklad.9 Hustota pravd podobnosti náhodné veli in X má tvar: pro x, x pro < x, pro x >. Najd te distribu ní funkci náhodné veli in X a pak pomocí ní vpo ítejte ttéº pravd podobnosti, jaké se po ítal v p íkladu. (v²imn te si, ºe jde o náhodnou veli inu se stejnou hustotou).

3 Výsledek: pro x ; (x x)/ pro < x ; pro x >. Pravd podobnosti viz p íklad.. P íklad. Je dána funkce { a x pro x,, jinak. a) Ur ete konstantu a tak, ab funkce f(x) bla hustotou pravd podobnosti n jaké náhodné veli in. b) Ur ete st ední hodnotu a rozptl p íslu²né náhodné veli in. Výsledek: a) a = 4/3 (najde se na základ podmínk DX = 7/4. P íklad. Náhodná veli ina X má distribu ní funkci pro x, (x ) pro < x 6, 4 pro x > 6. a)ur ete hustotu pravd podobnosti náhodné veli in X. b)znázorn te grack hustotu a distribu ní funkci. c)ur ete st ední hodnotu, rozptl a sm rodatnou odchlku. f(x) dx = ); b)ex = 5/, Výsledek: a) /4 pro < x < 6; jinak; b) viz obrázek.6; c) EX = 4, DX = 4/3, DX = 3/3. =,55 = F (x) /4 = f(x) 6 x 6 x Obrázek.6: K p íkladu. distribu ní funkce a hustota náhodné veli in X P íklad. Náhodná veli ina X má distribu ní funkci pro x, x pro < x, pro x >. a) Ur ete hodnotu a, kterou X p ekro í sm rem dol jen s pravd podobností,5. b) Ur ete hodnotu b, kterou X p ekro í sm rem nahoru jen s pravd podobností,. c) Ur ete st ední hodnotu a rozptl náhodné veli in X.

4 Fakulta elektrotechnik a komunika ních technologií VUT v Brn Výsledek: a) a =,5; b) b = 3 /. =,949; c) EX = /3, DX = /8 P íklad.3 Náhodná veli ina X má distribu ní funkci pro x, sin x pro < x π 4, pro x > π. 4 a)ur ete hustotu pravd podobnosti náhodné veli in X. b)znázorn te grack hustotu a distribu ní funkci. c)ur ete st ední hodnotu a rozptl. Výsledek: a) cos x pro < x < π/4, jinak; b) viz obrázek.6; c) EX = / + π/4, DX = 3/4 + π/4 = f(x) = F (x) π/4 x π/4 x Obrázek.7: K p íkladu.3 distribu ní funkce a hustota náhodné veli in X P íklad.4 Je dána funkce { a x jinak. pro x, e, a) Ur ete konstantu a tak, ab funkce f(x) bla hustotou pravd podobnosti. b) Ur ete p edpis pro distribu ní funkci p íslu²né náhodné veli in. c) Ur ete st ední hodnotu a rozptl. Výsledek: a) a = ; b) pro x <, ln x pro < x < e, pro x > e; c) EX = e, DX = e / + e 3/ =.,4

5 P íklad.5 Hustota pravd podobnosti náhodné prom nné X má tvar { c cos x pro π < x π, jinak. a) Ur ete konstantu c. b) Ur ete p edpis pro distribu ní funkci F (x). c) Najd te interval soum rný kolem nul, ve kterém náhodná veli ina X bude leºet s pravd podobností,95 Výsledek: a) c = /; b) pro x < π/, ( + sin x)/ pro π/ x < π/, pro x π/; c) ( arcsin(9/), arcsin(9/)). = (,53;,53) P íklad.6 Hustota pravd podobnosti náhodné prom nné X má tvar { 6x( x) pro < x, jinak. a) Ov te, ºe funkce f opravdu m ºe být hustotou n jaké náhodné veli in. b) Ur ete p edpis pro distribu ní funkci F (x). c) Ur ete st ední hodnotu a rozptl. d) Ur ete pravd podobnost, ºe se náhodná veli ina od své st ední hodnot li²í více neº o /3. Výsledek: a) ano, f je nezáporná funkce a f(x) dx = ; b) pro x <, x 3 + 3x pro x <, pro x ; c) EX = /, DX = /; d) 4/7 =.,48 P íklad.7 Hustota pravd podobnosti náhodné prom nné X má tvar { a(3x 4) pro < x, jinak. a) Ur ete konstantu a a pak na rtn te graf funkce f. b) Ur ete p edpis pro její distribu ní funkci F (x). c) Ur ete P ( < X < ). d) Ur ete st ední hodnotu a rozptl. Výsledek: P íklad nemá e²ení. Z podmínk f(x) dx = b v²lo a =, jenºe funkce f nabývá na ásti intervalu, záporných hodnot, coº se u hustot nesmí stát. ƒásti b), c), d) proto nemá význam po ítat. P íklad.8 Chba ur itého m ení je náhodná veli ina X s trojúhelníkovým rozd lením pravd podobnosti. Graf její hustot je na obrázku.8. a) Ur ete hodnotu h. b) Najd te funk ní p edpis pro hustotu f. c) Najd te funk ní p edpis pro distribu ní funkci F. d) Vpo t te pravd podobnost, ºe chba bude v intervalu (, ). e) Najd te interval soum rný kolem nul, v n mº bude chba s pravd podobností,99.

6 Fakulta elektrotechnik a komunika ních technologií VUT v Brn h = f(x) 3 3 x Obrázek.8: K p íkladu.8 hustota náhodné veli in X Výsledek: a) h = /3; b) (x + 3)/9 pro 3 < x <, (x 3)/9 pro x < 3, jinak; c) pro x < 3, (x + 3) /8 pro 3 x <, (x 3) /8 pro x < 3, pro x 3; d) 5/9; e) (,7;,7) P íklad.9 Náhodná prom nná X má distribu ní funkci: pro x, ln x pro < x a, pro x > a. a) Ur ete konstantu a. b)ur ete hustotu pravd podobnosti náhodní prom nné. c)znázorn te grack hustotu a distribu ní funkci. d)ur ete st ední hodnotu a rozptl. P íklad. Náhodná prom nná X má distribu ní funkci: pro x, + arcsin x pro < x, π pro x >. a)ur ete hustotu pravd podobnosti náhodní prom nné. b)znázorn te grack hustotu a distribu ní funkci. c)pravd podobnost toho, ºe náhodná prom nná nabýva hodnot z intervalu (, ). P íklad. Náhodná prom nná X má distribu ní funkci: pro x, a + b sin x pro < x π, pro x > π. a) Ur ete konstant a, b. b)ur ete hustotu pravd podobnosti náhodní prom nné. c)znázorn te grack hustotu a distribu ní funkci. d)ur ete P (X >, ). e)ur ete st ední hodnotu a rozptl.

7 P íklad. Náhodná prom nná X má distribu ní funkci: { a + b.e x pro x >, pro x, a) Ur ete konstant a, b. b)ur ete hustotu pravd podobnosti náhodní prom nné. c)znázorn te grack hustotu a distribu ní funkci. d)ur ete P ( < X < 3). e)ur ete st ední hodnotu a rozptl. P íklad.3 Náhodná prom nná X má distribu ní funkci: { a + b +x pro x >, pro x, a) Ur ete konstant a, b. b)ur ete hustotu pravd podobnosti náhodní prom nné. P íklad.4 Náhodná prom nná X má distribu ní funkci: a) Ur ete konstant a, b. a + b arctan x a b)ur ete hustotu pravd podobnosti náhodní prom nné. c)ur ete st ední hodnotu a rozptl. P íklad.5 Hustota pravd podobnosti náhodné prom nné X má tvar: pro x, a(x ) pro < x, a(x ) pro < x 3, pro x > 3. a) Ur ete konstantu a. b) Ur ete p edpis pro její distribu ní funkci F (x). c) Ur ete P ( < X < 3 ). d)ur ete st ední hodnotu a rozptl. P íklad.6 Hustota pravd podobnosti náhodné prom nné X má tvar: pro x, a(x + ) pro < x, a( x) pro < x, pro x >.

8 Fakulta elektrotechnik a komunika ních technologií VUT v Brn a) Ur ete konstantu a. b) Ur ete p edpis pro její distribu ní funkci F (x). c) Ur ete P ( < X < ). d)ur ete st ední hodnotu a rozptl. P íklad.7 Hustota pravd podobnosti náhodné prom nné X má tvar: pro x, ax pro < x, a pro < x, a(3 x) pro < x 3, pro x > 3. a) Ur ete konstantu a. b) Ur ete p edpis pro její distribu ní funkci F (x). c) Ur ete P ( < X < ). d)ur ete st ední hodnotu a rozptl. P íklad.8 Hustota pravd podobnosti náhodné prom nné X má tvar: pro x, ax pro < x, pro < x e, x pro x > e. a) Ur ete konstantu a. b) Ur ete p edpis pro její distribu ní funkci F (x). c)ur ete st ední hodnotu a rozptl. P íklad.9 Hustota pravd podobnosti náhodné prom nné X má tvar: a + x. a) Ur ete konstantu a. b) Ur ete p edpis pro její distribu ní funkci F (x). c) Ur ete P ( < X < ). d)ur ete st ední hodnotu a rozptl. P íklad.3 Hustota pravd podobnosti náhodné prom nné X má tvar: 4a e x + e x. a) Ur ete konstantu a. b) Ur ete p edpis pro její distribu ní funkci F (x).