BRUNO DE FINETTI (1906 1985) A FILOSOFIE PRAVDĚPODOBOSTI 31. mezinárodní konference Historie matematiky Velké Meziříčí, 21. srpna 2010 Magdalena Hykšová
BRUNO DE FINETTI (1906 1985) * 13. 6. 1906 v Innsbrucku 1912 1923 základní škola a gymnázium v Trentu 1923 1927 polytechnika univerzita (3. roč., MF) v Miláně Dr.: afinní geometrie Probability and My Life, 1982: první setkání s pravd. za studií článek biologa Carlo Foà o Mendelových zákonech poslal C.F. rukopis svého článku zaujat, ukázal Corradu Gini, prezidentu ISTAT publikace v čas. Metron, nabízí místo po absolutoriu 1927 Instituto Centrale di Statistica (ISTAT) v Římě 1930 habiliace pro mat. analýzu na univerzitě v Římě soukromý docent
1931 1946 pojišťovna Generali v Terstu (otcovo rodiště) Terst, Padova: univerzitní před. MA, FPM, PP 1946 1954 prof. na univerzitě v Terstu (FM a statistika) 1950 cesta do USA, čtvrt roku na hostující prof. na univerzitě v Chicagu (pozvání a spolupráce: L. Jimmie Savage) pozornost anglicky mluvící vědecké komunity 1954 1976 prof. na univerzitě v Římě (EF, 1961 PřF profesor teorie pravděpodobnosti) * 20. 7. 1985 v Římě
DÍLO BRUNA DE FINETTI teorie pravděpodobnosti statistika matematická analýza ekonomie teorie rozhodování radikální politické názory (v mládí stoupencem fašismu vítal nacionalistický charakter hnutí a kolektivistické sklony, později vítá možnost rozvodů a interrupce, pacifista), kritika liberální myšlenky, že sledování osobních zisků vede k rovnováze; jak docílit sociální spravedlnosti?
FILOSOFIE PRAVDĚPODOBNOSTI Problemi Determinati e Indeterminati nel Calcolo della Probabilità, 1930 Sul significato soggettivo della probabilità, 1931 [angl.: On the Subjective Meaning of Probability, 1992] Probabilismo. Saggio critico sulla teoria della probabilità e sul valore della scienza, 1931 [angl.: Probabilism..., 1989] Funzione caratteristica di un fenomeno aleatorio. In: Atti del Congr. Internaz. dei Matematici Bologna, 1932, (1928) La prévision: ses lois logiques, ses sources subjectives, 1937 Probability, Induction and Statistics, 1972 (Mura A, ed.): Philosophical Lectures on Probability, 2008 [Filosofia della probabilità, 1995]
KRITIKA RŮZNÝCH PŘÍSTUPŮ K PSTI Klasická definice: pravděpodobnost určitého jevu = podíl počtu příznivých a všech možných, stejně pravděpodobných případů jedná se o definici kruhem, která je založená na pojmu stejně pravděpodobný nebo stejně možný, jehož nezávislá definice není nikde dána
Četnostní definice: pravděpodobnost = limita relativní četnosti výskytu daného jevu v opakovaných pokusech splňujících určité podmínky Myšlenka nekonečné posloupnosti pokusů je nesmyslná: vynecháme-li v posloupnosti libovolný konečný počet členů, její limita se nezmění. My jsme však opakováním pokusu schopni zjistit právě jen tyto zbytečné členy, protože náš život i celý vesmír trvá jen konečně dlouho. Často nás zajímá pravděpodobnost nějakého konkrétního neopakovatelného jevu de Finetti využívá četností k vyhodnocování pstí, ale zdůrazňuje, že je třeba rozlišovat mezi definicí a vyhodnocováním
Kolmogorovova axiomatická definice (1933):
Jak přeložit do jazyka teorie množin například větu: Kolega, jehož očekávám, pravděpodobně přijde. Máme hovořit o množině všech možných světů a rozlišovat světy, v nichž kolega dorazí, od těch, ve kterých nedorazí? = zbytečná komplikace U pravděpodobnosti nemohou být axiomy zvoleny zcela libovolně, jen aby vznikla hezká teorie musí odpovídat praktickému významu pojmu psti s odkazem na (alespoň myšlenkové) experimenty týkající se chování jedinců za nejistoty podmínky koherence nutné a postačující k tomu, aby jedince ochránily před jistou ztrátou
Jediné východisko (dle B.F.): Subjektivní interpretace pravděpodobnosti: pravděpodobnost = míra osobního přesvědčení
SUBJEKTIVNÍ INTERPRETACE VÁCLAV ŠIMERKA (1818 1887), 1882 Frank Plumpton Ramsey (1903 1930), 1926 (publ. 1931) Bruno de Finetti (1906 1985), 1930, 1937 Leonard Jimmie Savage (1917 1971), 1954 pravděpodobnost = stupeň osobního přesvědčení nebo víry ve výskyt určitého jevu či události Reálný přístup pracuje s reálnými pojmy, subjektivním přijímáním či odmítáním hypotéz... každodenní pravděpodobnostní uvažování
Stanovení pravděpodobnosti P(E) přiřazené jevu E: Spravedlivá sázka: vyšetřovaná osoba = bookmaker; má stanovit kurz sázky p: kolik musí sázející zaplatit, aby v případě, že nastane E, dostal 1 Kč (aby dostal S, musí zaplatit ps) Musí přijmout jakoukoli sázku S, kladnou i zápornou E nenastane zisk sázejícího: E nastane zisk sázejícího: Celkem lze psát: Pro n jevů:
1931: požadavek koherence: nesmí se stát, že by byl zisk Z vždy kladný, bez ohledu na to, jaký jev nastane (sázející by měl jistou výhru) Důsledky: nejvýhodnější je stanovit p upřímně koherence základní axiomy TP
1. Pro každý jev E je P(E) jediné reálné číslo, 0 P(E) 1 p < 0 S > 0: Z = ( E p)s > 0 p > 1 S < 0: Z = ( E p)s > 0 Pro jeden jev dvě různé hodnoty p < p např.: p = 0,4, p = 0,6 dvě sázky, např.: S = 100 Kč, S = 100 Kč Z(E) = (100 40) + ( 100 + 60) = 20 Kč Z(ÿE) = 40 + 60 = 20 Kč
1. Pro každý jev E je P(E) jediné reálné číslo, 0 P(E) 1 p < 0 S > 0: Z = ( E p)s > 0 p > 1 S < 0: Z = ( E p)s > 0 Pro jeden jev dvě různé hodnoty p < p dvě sázky: ( E p)s, ( E p )S Z(E) = (1 p)s + (1 p )S = ps p S + S + S Z(ÿE) = ps p S S > 0, S = S < 0 Z(E) = (p p )S > 0, Z(ÿE) = (p p )S > 0
2. Pro jistý jev E je P(E) = 1, pro nemožný jev je P(E) = 0 Jistý jev: Z = ( E p)s = (1 p)s p < 1 pro lib. S > 0 je Z > 0 Nemožný jev: Z = ps p > 0 pro lib. S < 0 je Z > 0
3. Pro libovolné neslučitelné jevy E 1, E 2 platí: P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) Označme P(E 1 ) = p, P(E 2 ) = q, P(E 1 E 2 ) = r uvažujme tři sázky s celkovým ziskem Z = ( E 1 p)s + ( E 2 q)s + ( ÿ(e 1 E 2 ) (1 r))s Z(E 1 ÿe 2 ) = (1 p q (1 r))s = (r p q)s Z(ÿE 1 E 2 ) = ( p + 1 q (1 r))s = (r p q)s Z(ÿE 1 ÿe 2 ) = ( p q + 1 (1 r))s = (r p q)s p + q < r volbou S > 0 si sázející zajistí kladný zisk p + q > r volbou S < 0 si sázející zajistí kladný zisk
3. Konečná aditivita: E 1, E 2,..., E n neslučitelné, vždy nastane jeden z nich P(E 1 ) + P(E 2 ) +... + P(E n ) = 1 Kurzy: P(E 1 ) = p 1, P(E 2 ) = p 2,..., P(E n ) = p n Sázky: S 1, S 2,..., S n Z(E i ) = p 1 S 1 p 2 S 2... p n S n + S i pro S 1 = S 2 =... = S n = S: Z(E i ) = ( p 1 p 2... p n + 1)S p 1 + p 2 +... + p n < 1 pro S > 0 je vždy Z > 0 p 1 + p 2 +... + p n > 1 pro S < 0 je vždy Z > 0
Věta (Ramsey de Finetti): Množina sázkových kurzů je koherentní, právě když splňuje axiomy teorie pravděpodobnosti.
Kolmogorov x de Finetti rozdíly: Jevy: podmnožiny množiny Ω x tvrzení Podmíněná pravděpodobnost Kolmogorov: zvláštní definice (P(H) = 0 později) ( ) kritika: definice PP výrazem ( ) lze ji interpretovat a aplikovat jako PP v intuitivním smyslu definice PP dle zažitého významu ( )
Kolmogorov x de Finetti rozdíly: Jevy: podmnožiny množiny Ω x tvrzení Podmíněná pravděpodobnost Kolmogorov: zvláštní definice (P(H) = 0 později) ( ) kritika: definice PP výrazem ( ) lze ji interpretovat a aplikovat jako PP v intuitivním smyslu definice PP dle zažitého významu ( ) de Finetti: P(E H) kurz spravedlivé sázky na E s tím, že když H nenastane, sázka se ruší ( ) = nutná podmínka konzistence; klidně P(H) = 0
Kolmogorov x de Finetti rozdíly: Spočetná x konečná aditivita Konečná aditivita: E 1, E 2,..., E n neslučitelné, vždy nastane jeden z nich P(E 1 ) + P(E 2 ) +... + P(E n ) = 1 Můžeme rozšířit na spočetný počet jevů? Axiom VI (Kolmogorov: 2. kap., ostatní 1. kap.) de Finetti: jen konečná aditivita, pro spočetnou není uspokojivé zdůvodnění Gillies, 2000: spočetnou aditivitu lze bez problémů zavést; jediný předpoklad: vždy se mohou předávat jen konečné částky
SPRAVEDLIVÁ SÁZKA PENALIZACE dotyčné osoby se zeptáme, jakou pravděpodobnost p přisuzuje jevu E, přičemž ji upozorníme, že jí budou uděleny určité trestné body závisející na uvedené odpovědi a na tom, zda jev E nastane či nikoli Nejjednodušší: Brierovo skóre (1950)... ( E p) 2 (hodnocení úspěšnosti předpovědi počasí)
Výhody: mohou být využita pro zlepšení pravděpodobnostních ohodnocení umožňují měřit nejistotu umožňují potrestání za špatné jednání umožňují srovnání úspěšnosti vyjadřují míra úspěšnosti pro ty, kteří kritizují subjektivní přístup kvůli absenci ověřitelnosti
SPRAVEDLIVÁ SÁZKA PENALIZACE dotázaná osoba je nucena udat hodnotu psti p, kterou si skutečně myslí: Střední hodnota penalizace v případě, že daná osoba udá pravděpodobnost q: p(1 q) 2 + (1 p)q 2
Moment setrvačnosti soustavy vzhledem ke Q: p(1 q) 2 + (1 p)q 2 Minimalizace očekávané penalizace nalezení bodu, vzhledem k němuž je moment setrvačnosti soustavy minimální Steinerova věta jedná se právě o těžiště; jinde je moment setrvačnosti větší o (p q) 2
SPRAVEDLIVÁ SÁZKA PENALIZACE 1960/61, 1961/62: SÁZKAŘSKÝ EXPERIMENT 30 lidí (B.F., studenti, asistenti) každý týden pravděpodobnosti 1, 2, X pro každý z 9 zápasů italské fotbalové ligy Skóre: 1... (1 p 1 ) 2 + p 2 2 + p X 2 2... p 1 2 + (1 p 2 ) 2 + p y 2 X... p 1 2 + p 2 2 + (1 p X )p z 2
Pravděpodobnost neexistuje (1970, 1980) pocit, že subjektivismus = libovolnost, anarchie preference četnostní interpretace nebo logické interpretace (výraz logická slibuje objektivitu) de Finetti není proti objektivitě, jen nechce tvrdit, že názor na pravděpodobnost je jednoznačně určený a odůvodněný; pravděpodobnost neodpovídá proklamovanému racionálnímu přesvědčení, ale skutečnému osobnímu přesvědčení nějaké osoby
Pravděpodobnost je definována jako míra přesvědčení určitého jedince na základě veškerých jeho znalostí, zkušeností, informací týkajících se daného jevu, jehož výsledek je nejistý Vyhodnocování pravděpodobnosti bere v úvahu všechnu dostupnou evidenci včetně četností, symetrií atd., ale byla by chyba tyto prvky byť důležité pro odhad pravděpodobnosti brát za základ definice psti Každé ohodnocení pravděpodobnosti nutně závisí na dvou složkách: objektivní: známé údaje, fakta subjektivní: názor týkající se neznámých skutečností, údajů aj. na základě známé evidence Objektivní prvky = podklad pro ohodnocení, ne jediný
Ohodnocování pravděpodobností je složitý proces, ve kterém hrají roli různé subjektivní a objektivní prvky shromažďování a vyhodnocování informací vyžaduje pečlivost a zkušenosti je třeba zvážit, které informace jsou relevantní a které ne ekonomické úvahy, které se mohou lišit podle souvislostí míra kompetence vyhodnocovatele optimistický x pesimistický postoj do jaké míry se nechá ovlivnit nejnovějšími údaji...