- /67 - OSNOVA PŘEDMĚU "MECHANIKA KONSUKCÍ" 337-53/ obo: APLIKOVANÁ MECHANIKA. SILOVÁ MEODA.. KONSUKCE SAICKY UČIÉ... PŘEVOŘENÍ NOSNÍKOVÉHO A PUOVÉHO PVKU... PÁCE VNIŘNÍCH SIL..3. PÁCE VNĚJŠÍCH SIL..4. VIUÁLNÍ PÁCE VNĚJŠÍCH A VNIŘNÍCH SIL, BEIHO A MAWELLOVA VĚA..5. VÝPOČE PŘEMÍSĚNÍ NA ZÁKLADĚ PINCIPU VIUÁLNÍCH PACÍ..5.. nosníy a ovnné ámy..5.. ovnné říhaové onsuce.. KONSUKCE SAICKY NEUČIÉ... OVINNÉ ÁMY... JEDNODUŠE SAICKY NEUČIÉ PŘÍHADOVÉ KONSUKCE... sacá neučos vnější... sacá neučos vnřní. VÁZANÉ KOUCENÍ ENKOSĚNNÝCH PŮŘEZŮ.. VZNIK.. DEFINICE VÝSEČOVÝCH CHAAKEISIK symecé ůřezy.3. ZÁKLADNÍ DIFEENCIÁLNÍ OVNICE.4. MAEMAICKÁ ANALOGIE.5. VÝSLEDNÁ NAPĚÍ.6. DEFINICE VÝSEČOVÝCH CHAAKEISIK nesymecé ůřezy 3. ZÁA SABILIY VAU 3.. ELASICKÁ ZÁA SABILIY VAU (maeálově lneání, geomecy lneazovaná) 3.. ELASICKÁ ZÁA SABILIY VAU (maeálově lneání, geomecy lně nelneání) 3.3. NELINEÁNÍ ZÁA SABILIY VAU 4. NOMY PO OCELOVÉ KONSUKCE 4.. ZÁSADY NAVHOVÁNÍ ČSN EN 99 4.. ZAÍŽENÍ ČSN EN 99
- /67 -. SILOVÁ MEODA. SAICKY UČIÉ KONSUKCE.. PŘEVOŘENÍ NOSNÍKU A PUU s u N () s u () γ v s (3) h/ s s + u M uuuu Mechana onsucí Sána (4)
- 3/67 - h s u (5).. PÁCE VNIŘNÍCH SIL (6) (7) (8) (9) ()..3 PÁCE VNĚJŠÍCH SIL (3) (4) Mechana onsucí Sána
míso míso - 4/67 -..4 VIUÁLNÍ PÁCE VNĚJŠÍCH A VNIŘNÍCH SIL F δ δ F δ δ F F δ δ δ δ Obáze. Pnc vuálních ací Vyjářeme ác vnějších sl u vého říau zaížení, y ořaí sl je aové, že nejříve ůsobí na nosní zelená síla F z nuly na onečnou honou a na zefomovanou onsuc a čevená síla F, oě z nuly až na onečnou honou. Výslená áce obou sl je A.. (5) Poobně sanovíme ác o uhý řía zůsobu zaěžování a o o oačné ořaí ůsobení sl, než v vém říaě. Páce vnějších sl bue A.. (6) Členy nazýváme vuální áce vnějších sl F es. F Musí la, že A = A, oom o úavě laí ovnos vuálních ací Mechana onsucí Sána 3
- 5/67 -. (7) Se zanebáním vlvu eloy bue mí vuální áce vnřních sl oovíající vuální ác násleující va. (8) Inegály v ovnc (8) vyjařují vuální ác vnřních sl N, Q a M vyvolaných zaížením F na vu, zefomovaném jž o vnřních sl N, Q a M. ovnce (8) je eoecým zálaem meoy jenoových sl. ao ovnce ož laí o sunu sl F nař. ovozní zaížení onsuce. Jeslže za F zvolíme jenoovou sílu, a levá sana ovnce (8) nám umožňuje vyočía osunuí v mísě zaveení fvní jenoové síly F =. Jeslže ořebujeme vyočía v lbovolném mísě onsuce úhel naočení zaveeme v omo mísě jenoový momen M =...5 BEIHO A MAWELLOVA VĚA O VZÁJEMNOSI PACÍ A POSUVŮ Poívejme se na ovnc (7) oobněj. Planos vzahu ozšíříme o sunu (slovou sousavu) F a F. což vyjařuje Beho věa: Vuální áce vnějších sl suny F ř řemísěních vyvolaných sunou sl F se ovná vuální ác vnějších sl suny F ř řemísěních vyvolaných sunou sl F. Uveená věa laí o vnřní slové účny. Maxwellova věa jao zvlášní řía Beho věy je ovozen z řeolau lanos o F = a F =. Poom laí = (9) Sučně se éo věě říá věa o vzájemnos osuvů. Mechana onsucí Sána 4
- 6/67 -..6 VÝPOČE PŘEMÍSĚNÍ NA ZÁKLADĚ PINCIPU VIUÁLNÍCH PACÍ V lneání eo užnos (malá osunuí oměné efomace, lanos Hooeova záona, moul užnos sejný o la ah, zachování ovnnos a olmos ůřezů uů o řevoření a.) se á vyjář řemísění v lbovolném mísě násleující ovncí Význam členů ovnce je eno: () jenoové fvní zaížení v mísě, e hleáme osunuí (zaveeme jenoovou sílu) nebo naočení (zaveeme jenoový momen) vnřní slové účny vyvolané jenoovým fvním zaížením vnřní slové účny vyvolané zálaním zaížením ozíl eloy honího a soního vlána u nosníu ovnoměné ohřáí sřence uu, u nosníu =,5(h + s) h eloa honího a s eloa soního vlána výša ůřezu známé řemísění ooy ve směu eace eace vyvolaná jenoovým zaížením Inegály v ovnc () se v ax neočíají, ale o jejch vyjáření se oužívají abulové honoy negálů. Příslušné abuly byly řevzay z leauy []. Použí abule bue zřejmé z násleujícího řílau. Mechana onsucí Sána 5
- 7/67 - Příla.: U zaaného osého nosníu sanove ůhyb uosře. V vém říaě a) uvažuje ouze vlv ohybového momenu, v uhém říaě b), uvaže navíc vlv osouvající síly na efomac. Přía a) A q B A F = B EJ κ/ga l l A M q.l /8 B A M.l/4 B ůběh M o zálaního zaížení ůběh o jenoové síly Obáze. Inegál ůběhů ohybových momenů z obázu. se neočíá analycy, nýbž jenoušej a ychlej omocí negačních abule. () Inegál můžeme vyčísl A nař. ole řáu q.l uhého /8 slouce.l/4 B vzoců A řevzaé abuly. Poože ůběhy ohybových momenů jsou symecé, sačí vyba vzoec o negac M momenových loch olovny nosníu. Vzoec o olovnu nosníu je. uo honou musíme násob věma o celý nosní. Po osazení hono našeho řílau osáváme Poznáma: Půběhy ohybových nosníů vyeslujeme na sanu ažených vláen. () Přía b) Po zahnuí vlvu osouvajících sl na efomac nosníu, musíme vyesl ůběhy ja o zálaního zaížení Q, a o zaížení o jenoové síly, vz násleující obáze.3. Mechana onsucí Sána 6
- 8/67 - q.l/ A Q B A / Q B -q.l/ -/ Obáze.3 ůběh Q o zálaního zaížení ůběh o jenoové síly Z abuly oužjeme oě negac o olovnu nosníu z řáu slouce nebo řáu 7 a slouce. A / Q Po osazení hono z obázu.3 osáváme: (3) U šíhlých nosníů obvyle laí a vlv osouvajících sl můžeme zaneba. Po mohuné a áé ůřezy nosníů vša nemůžeme efomac o osouvající síly zaneba. Sávný osu bue vyočía ocenuální vlv vzhleem celovému osunuí. Př sanovení řemísění uových onsucí se ovnce () výazně zjenouší. Puy řenášejí jen osové síly a jejch honoy o élce uu jsou onsanní a o samozřejmě ja o zálaního zaížení, a o jenoové síly. Inegály ze součnu vou onsan a nahaíme sumací o jenolvých uech onsuce. e, (5) jenoové fvní zaížení v mísě, e hleáme osunuí (zaveeme sílu) nebo naočení (zaveeme jenoový momen) jenoovou nn -ý u uové onsuce oče uů uové onsuce osová síla v -ém uu vyvolaná jenoovým fvním zaížením osová síla v -ém uu vyvolaná zálaním zaížením Mechana onsucí Sána 7
- 9/67 - ovnoměné ohřáí sřence uu, u nosníu =,5( h + s ) h eloa honího a s eloa soního vlána j s j-é olesnuí vazby (ooy) celový oče olesnuých vazeb (oo) známé řemísění j-é ooy ve směu eace j j-á eace vyvolaná jenoovým zaížením ůřezová locha -ého uu Ve vzoc (5) řeolááme u všech uů sejné ohřáí sřenc uů, sejný součnel élové ozažnos a sejný moul užnos E. Polesnuí ooy oovíá zv. efomačnímu zaížení onsuce a ůsley jsou v ax velm neříjemné. ao suace se vysyuje jao účne ůlní čnnos nebo zeměřesení j. náhlé olesnuí vazeb onsuce na evný ám (zála). Příla.: U jenouché onzoly sesavené ze vou uů vyočíeje ůhyb o slou F. l F EA N N l l F N N EA o Obáze.4 Jeslže chceme vyočía svslý ůhyb o slou F omocí slové meoy, musíme v oméž mísě zavés fvní jenoovou sílu. Pomocí ovnoamenných složových ojúhelníů z obázu.4 vyočíáme velos osových sl o zálaního zaížení F (čevený složový ojúhelní) a aé o jenoové (fvní) síly (zelený složový ojúhelní). o F N F. g45 F N.F o (6) cos45 Mechana onsucí Sána 8
- /67 - oobně o N. g45 N o (7) cos 45 Dosazením vyočíaných hono osových sl o vzoce (5) osaneme: (8) Výoče osunuí uzlů u uových onsucí se v osaě euuje na va výočy osových sl uových onsucí. Jenou o zaížení zálaní a o uhé o zaížení jenoovou slou v mísě a směu hleaného osunuí uzlu. Jne než v uzlech (syčnících) osunuí nevyočíáme. Mechana onsucí Sána 9
- /67 -. SAICKY NEUČIÉ KONSUKCE.. SAICKY NEUČIÉ ÁMOVÉ KONSUKCE U sacy neučých onsucí nemáme osae sacých ovnc ovnováhy o výoče eací. Poo sacý sysém ovnovážných ovnc olníme o známé efomační ovnce. V našem říaě o obvyle buou oajové omíny. Přeolaem je lanos meoy sueozce zaížení. Posu řešení můžeme shnou o násleujících oů:. Sacy neučý sysém se uvolní a vyvoří se sacy učý sysém, eý bue označen nexem a zavee se n sacy neučých velčn ve smyslu uvolněných vazeb, s označením,, až n. Ze n je oče sacé neučos úlohy. Sacy neučé velčny mohou bý síly ale momeny. Posu u x sacy neučého ámu je na obázu.5.. Zjsí se ůběh vnřních sacých účnů na uvolněném, sacy učém sysému 3. Posuně se zjsí ůběhy vnřních sacých účnů o sacy neučých jenoových velčn j. =, =, až n =. Půběhy se označí osuně nexy, až n. 4. Sesaví se sysém omínových ovnc, eé vyjařují suečnos, že v mísě ůsobení neznámých eací =, =, až n = jsou osunuí es. naočení nulová δ + δ +... δ... + nδn + δ = δ + δ +... δ... + nδ n + δ = ovnce (9) až δ n + δ n +... δ n... + nδ nn + δ n = 5. o jaouolv neznámou složu eací nebo vnřních sl laí nc sueozce K = K + K + K +... K... + n n, (3) K e symbol K označuje onéní složu eace, honou jaéolv vnřní síly v učém mísě a. K je hleaná honoa vyočíaná o zálaní zaížení, K je hleaná honoa vyočíaná o =, K je hleaná honoa vyočíaná o =, a. Mechana onsucí Sána
- /67 - Příla.3 U ámu ole obázu.5 vyočíeje eace a sanove výslený ůběh ohybových momenů. q q L Β L/ = + = + = Α L Zálaní Zaížení o zaížení = Obáze.5 Uvolnění x sacy neučého ámu, zaveení jenoových sl Zaížení o = Mechana onsucí Sána
- 3/67 - q AY =q.l A = = AY = = M A = q.l / M A =.L/ M A =.L - -q.l + - Ν Ν Ν q.l - - Q Q Q q.l /.L/ q.l /.L/.L/.L.L/ Μ Μ Μ.L Obáze.6 Řešení řílau.3 Úloha je vaá sacy neučá, oo bueme řeš násleující sousavu ovnc o výoče neznámých slože eací a. Mechana onsucí Sána
- 4/67 - δ + δ δ + = δ + δ + δ (3) = Poněvaž δ = δ, musíme sanov 5 říčnových součnelů, osa o sysému ovnc (3) a vyočía vě ovnce o vou neznámých. Vyčíslení negálů ve výazech o říčnové součnele bue oveeno na řenášce. Sejně a zjšění výsleného ůběhu ohybového momenu... SAICKY NEUČIÉ PŘÍHADOVÉ KONSUKCE jenouše sacy neučé Jenouše sacy neučé onsuce znamená, že je o onsuce jenou sacy neučé. Ze sacy neznámou velčnu (eac nebo vnřní sílu) můžeme vyjář ve fomě vzoce. ozlšujeme sacou neučos vnější a vnřní. Vnější sacá neučos je efnována sejně jao u ámových onsucí, ey oče neznámých slože eací je věší, než oče ovnc sacé ovnováhy ulaněný o onsuc jao cele. Vnřní sacá neučos nevyhovuje ovnc u = 3, (3) e řeolááme onsuc sacy učou z hlesa vnějších vazeb. u je oče uzlů (syčníů uové onsuce) je oče uů.... SAICKÁ NEUČIOS VNĚJŠÍ Ovození vzoce o výoče sacy neučé eace bue oveeno o násleující obáze.7. V honím obázu je zaání úlohy. Výslee bue sueonován z výsleů onsuce uvolněné a zaížené zálaním zaížením (slová sousava F až F n ), výsleem buou osové síly N až N.,e je oče uů onsuce. Duhou sunou výsleů buou osové síly o zaížení onsuce jenoovou slou =, označme yo síly symboly. Výslený ůhyb onsuce v mísě uvolněné vazby B se vyjáří ze zálaní ovnce slové meoy a musí bý oven nule: N N δ B = l + N. α.. l = (33) EA V ovnc (33) vša máme novu honou N, což je honoa výslené osové síly v -ém uu. ao se učí u sacy neučé úlohy z ovnce (3) ve vau: Mechana onsucí Sána 3
- 5/67 - N N + = N (34) Dosaďme ovnc (34) o ovnce (33), o úavách osaneme vzoec o výoče neznámé eace ve vau. = N N N λ λ N. α.. l N λ (35) F F A C B F F n = F A C F n + A C = Obáze.7 Posu řešení jenouše sacy neučá onsuce z hlesa vnějších vazeb Mechana onsucí Sána 4
- 6/67 - V ovnc (35) byla zaveena nová onsana o ažý ve a o oelení onsuce, se zjenouší ovnce (35) na va λ = l EA. Bez vlvu = N N N λ λ (36)... SAICKÁ NEUČIOS VNIŘNÍ Příla aového yu onsuce je uveen na obázu.8. Na obázu je schemacy uveen osu řešení. A F a Fn C = A F Fn C + A a = a = C B B B Obáze.8 Jenouše sacy neučá onsuce - vnřní sacá neučos Poobně jao v řecházející subaole... se řešení ováí ve vou ocích:. Puová onsuce se uvolní (u "a") a na ao uvolněnou onsuc ůsobí ůvoní zaěžovací slová sousava (v obázu.8 eezenována sunou sl F až F n ). Výsleem řešení je suna osových sl N o až N o-, e je celový oče uů onsuce.. Na uvolněnou sousavu se zaveou jenoové síly a = ve směu uvolněného uu. až N Výsleem buou osové síly N. Po výoče sacy neučé síly a, ovoíme vzoec omocí násleujícího osuu: osunuí ve směu uu a bue áno vzahem slové meoy δ = N N λ = N ( N N ) λ (37) a o + efomace uu δ a se učí z Hooova záona l a a a δ a = (38) EAa Po osazení a úavě vou výše uveených ovnc osáváme výslený vzah o výoče neznámé osové síly Mechana onsucí Sána 5
Mechana onsucí Sána 6 + = a a o a EA N N N l λ λ (39) S vlvem ovnoměného ohřáí onsuce se výaz (39) ozšíří o eno vlv + + + = a a a o a EA N N N N l l l λ α α λ..... (4) - 7/67 -
- 8/67 - abuly o negac slové meoy [] abula Mechana onsucí Sána 7
- 9/67 - abuly o negac slové meoy [] oačování Mechana onsucí Sána 8
- /67 - abuly o negac slové meoy [] oačování Mechana onsucí Sána 9
- /67 - Vyšeřee olohu sřeu smyu u nesymecého ůřezu nosníu. Zonoluje omocí ogamu ANSYS v čás SECIONS. ozíly omenuje. Z = B = = 8 Y 3= V = B = Obáze Defnce ůřezu Vzoce, eé efnují souřance sřeu smyu mají násleující va []....., řčemž očáe souřaného sysému zaveeme v ěžš ůřezu. Jeslže ůřez má ovnu symee, ěžšní osy jsou a hlavním cenálním osam sevačnos ůřezu. Devační momen je oven nule D yz = a vzoce o výoče souřanc sřeu smyu se výazně zjenouší na va a, e Y, Z souřance sřeu smyu [m] Y P, Z P souřance omocného ólu P na sřenc ůřezu, ze eého začínáme vynáše omocnou výsečovou lochu ω P [m].. omocný sacý výsečový momen [m 5 ]..... omocný sacý výsečový momen [m 5 ] evační momen sevačnos [m 4 ] osový momen sevačnos [m 4 ]
- /67 -. osový momen sevačnos [m 4 ] Pvním oem výoču je učení souřanc ěžšě ůřezové lochy. Pomocný souřaný sysém Y, Z oložme o ůsečíu neuální osy sojny oflu a soní říuby. = 96 mm H = mm Y Z Z Y = 96 mm Obáze Poloha ěžšě Po výoču vycházejí yo souřance ěžšě ao: Y =,45 mm Z =,5789 mm. V alším ou vyřešíme osové J y a J z a evační momen sevačnos D yz. Po eno účel vyeslíme ůběhy souřanc y a z o sřenc ůřezu, ja je zobazeno na obázu ole. - -Y H-Z Y Z a Y H y -Y z H-Z Z -Z -Y -Z.. -Y Obáze 3 Půběhy souřanc na neuální ose ůřezu........
- 3/67 - o osazení J y =,97346E7 mm 4. Momen sevačnos J y, lze sanov aé omocí negace loch obazce z = f(olohy na neuální ose) z obázu 3. Vycházíme z ůběhu souřance z na avé čás obázu.. - Z. - Z l..s H-Z -Z.. H-Z..s -Z.3.s a H-Z. H-Z..s H Z..l 3 H Z..a 3 Z..Z Z. 3. l,. ozíl vůč exanímu výsleu je ouze,5%. Poobně vyočíáme momen sevačnos J z = 6,4657E6 mm 4 a D yz = -,646E7 mm 4. Nyní sanovíme nejvhonější omocný ól P, o vyřešení omocné výsečové lochy ω P, vz násleující obáze 4. H.l ω P.. P + Obáze 4 ůběh omocné výsečové lochy ω P....,......, Po osazení o vých vzoců o Y, Z a řeočení vzálenos vzhleem ěžš: Y = -,374 mm (o sovnání s ANSYSem -,7 mm, ochyla %) Z = -,59 mm. (o sovnání s ANSYSem -,69 mm, ochyla,%). ozíly vou sen mlmeu ř zaaných ozměech oflu ovažujeme za nženýsy řjaelné. Ochyla je zůsobena neřesnosí efnce loch v ozích oflu ř výočech omocí negace loch a v alším bue zanebána. Poloha sřeu smyu je znázoněna na obázu 5. Dalším oem je sanovení suečného ůběh výsečové lochy ω. Zálaem je volba omocného nulového bou P na neuální ose, ze eého sanovíme omocný ůběh ω P. V říaě symecých ůřezů je eno bo án ůsečíem ovny symee a neuální osy. Suečný zv. nulový bo výsečové lochy leží u oflu bez symee v neznámém mísě a musí se uč oaečně. Pa eve se může sanov suečný ůběh výsečové lochy ω. Volba omocného nulového bou P a vyvoření ůběh ω P je zřejmá z obázu 5. Plaí ovnce 3
- 4/67 -, e ω o je onsana a ω je hleaný suečný ůběh výsečové lochy. V osaě ůběh ω je osunuý ůběh ω P a o o onsanu ω o. ao onsana se učí omocí omocného ůběhu ω P z násleující ovnce:, e.. l -b.y o b=h-z o P + K sře smyu -b.y o +b.l ω P Z o + -b.y o Y o Z o.y o Z l o.y o Z o(y o+l) Obáze 5 Poloha sřeu smyu K a ůběh omocné výsečové lochy ω P Výoče S ωpo : -b. Yo.. b(l-yo) l..s b -b.yo..s Z o Zo.Yo..s l Zo.Yo Zo(Yo+ ) 3..s =,654E7 mm 4. Honoa ω o =,7935E3mm. Půběh ω (eý je na obázu 5 vavo) učíme z ůběhu ω Po (eý je na obázu 5 vlevo) oečením onsany -ω o. -34-34 -97-97 +7 ω P + K sře smyu +797 K sře smyu+ ω +6 +6 +957-678 -678 +674 Obáze 5 Půběhy výsečových loch s číselným honoam Přecho o ůběhu omocné výsečové chaaesy ω Po výslené výsečové loše ω, je baevně znázoněn na Obázu 6. 4
- 5/67 - ω o ω Po ω o ω ω o Obáze 6 Přecho o omocné výsečové lochy ω Po výslené výsečové loše ω (osunuí celého ůběhu o honou ω o ) Nyní jž můžeme vyočía výslený výsečový momen sevačnos J ω, omuo slouží násleující Obáze 7. l l -97-97 +797 K sře smyu + ω -678-678 l 3 l 4 +674 Obáze 7 Výslený ůběh výsečové lochy ω Jω = + ( 3.797 3 678)... 3. 3 +.( 3 + (674 ) 3 97 )... 3. 4 + ( 97 (.97 678) 678( 97.678)). H. 6 = 4,897 E mm Všechny ůležé honoy výoču je možné sovna s onolním výsleem z ogamu ANSYS - APDL, e omocí nosníového ůřezu Z vyvoříme násleující onolní ůřez zv. SECION, Obáze 8. 6 5
- 6/67 - = Ceno = SheaCene 6 6.5 5 49.5-6 -96-48 -.4E-3 48 96 SECION ID DAA SUMMAY Secon Name = V_CH_a Aea = 38 Iyy =.97E+8 Iyz = -.6E+8 Izz =.647E+7 Wang Consan =.49E+ oson Consan = 98 Ceno Y =.45 Ceno Z =.58 Shea Cene Y =.4 Shea Cene Z = 97.9555 Shea Co. YY =.44746 Shea Co. YZ = -.38593 Shea Co. ZZ Obáze 8 Vyeslení zaaného oflu Z v ogamu ANSYS APDL (common secon Z)
Pe Hoyl : MKP jao násoj řešení oblemay záy sably vau - 7/67 - MKP JAKO NÁSOJ ŘEŠENÍ POBLEMAIKY ZÁY SABILIY VAU. KLASICKÁ (LINEÁNÍ) ZÁA SABILIY VAU. ÚVOD Přeoláejme va říay zaížení osého nosníu sejně velým slam le obázů a a b. V F V F Ob.: a PŮHYB.Y V Ob.: b PŮHYB.Y V Ze sovnání ůhybu obou říaů ombnovaně zaíženého nosníu nuvně řeolááme, že ůhyb Y V > Y V. o, že výslená uhos nosníu v říaě b je věší než v říaě a oážeme ovozením zv. mace geomecé uhos [ G ] nebo lée z výsžnějšího anglcého "nal-sess sffness max" mace uhos vyvolaná očáečním řeěím. I yž uhý název je osaně výsžnější, v ax se o svoj élu nevžl a oužívá se obvyle vý název. Výslená uhos vu bue ey ána vzahem [ ] + [ G ]]. V říaě a můžeme říc, že účne síly F, eá zůsobuje laové namáhání, snžuje výslenou ohybovou uhos nosníu. U obázu b je omu ávě naoa (analoge s laěním yaové suny a jejím vlasním fevencem). Mace [ G ] je závslá na veou zaížení { F }. Kažé zvýšení zaížení můžeme osa součnem onsany λ a očáečního veou { F o }j. {F} = λ. { F o }. Vyočíáme-l [ G ] o { F o } můžeme aé její onéní velos uč ovncí λ. [ G ]. Jeslže běžně známým osuy vyvoříme z jenolvých mac uhos vů [] mac uhos celého sysému [K] a íméž zůsobem vyvoříme [K G ] můžeme sá uavenou zálaní sacou ovnc meoy onečných vů (MKP) ve vau [ K ] λ [ K G ]]{ } = λ{ } +, () F o e veo zobecnělých efomačních aameů sysému {} se učí z ovnce [ o { } = [ K ] + λ [ K G ]] λ{ F } Př olasu onsuce musí bý zřejmě [ ] [ K ]]. () e K λ =. (3) + G Z oslení ovnce vyočíáme cý součnel λ a ále veo cých sl - -
Pe Hoyl : MKP jao násoj řešení oblemay záy sably vau - 8/67 - { F } λ{ } =. (4) K F o ovnce (3) je vhoná vyčíslení eemnanu ouze o mace nízých řáů a o acé úlohy se neoužívá. Výchozí ovncí o sanovení ja cého součnele λ, a vau na mez sably {} je násleující ovnce, řomínající macovou ovnc o výoče vlasních fevencí a vaů nelumeného sysému [ K ] + [ K ]]{ } = { } λ. (5) G Uveená ovnce se řeší běžně známým meoam numecé maemay, jao je nař. meoa eace oosou (aé meoa smulánních eací) aj. Je nuno ze oznamena, že va veou {} uává ouze elavní omě výchyle na mez sably, oobně jao veo vau mání. Z acého hlesa se zá, že vyšší honoy cých součnelů λ a veoů cých sl {F K } = λ. { F o } není ůležé hlea, oněvaž ř věší honoě veou sl než {F K }, zala jž onsuce svůj sablní va. Jsou-l vša honoy nař. λ a λ elavně blízo sebe (nař. se lší o %), mohou očáeční mefece onsuce bý naloněny uhému vau a e záě sably oje ávě o uhý va. Přesně vzao vša v omo říaě je jž o jný sysém, než ja byl ůvoně efnován. Ale uo oolnos musíme mí na mysl a očía vyšší honoy cých součnelů a jm oovíajících vaů {}.. OBECNÁ FOMULACE MKP VE SAICE V úvou s řomeňme obecnou macovou fomulac MKP ve sace: aoxmační ovnce u = x a = N {} [ ] {} [ ]{} (6) [x] mace říslušných vaů aoxmačních olynomů {a} onsany aoxmačního olynomu [N] funce vau {} veo zobecnělých efomačních aameů vu ovnce onnuy efomací (Cauchyho es. Geenovy ovnce) ε = δ u = B (7) {} [ ]{} [ ]{} {ε} veo slože oměných efomací [δ] zv. oeáoová mace, naznačující oveení evací veou {u} [B] omocná mace onsuční (fyzální) ovnce ε = C σ (8) {} [ ]{} [C] mace maeálových onsan {σ} veo slože naěí - -
Pe Hoyl : MKP jao násoj řešení oblemay záy sably vau - 9/67 - oencální enege vnřních sl (efomace) Π Π = {}{ ε σ} V = {} ( [ B] [ C][ B] V) {} = {}[ ]{} (9) V [] mace uhos vu oencál vnějšího zaížení Π z Π z = {}{} u z V = -{} ( [ N] { z} V) = -{ } { f} () V {z} složy zaížení ve směech veou {u} {f} veo evvalenního uzlového zaížení vu V zálaní sacá ovnce MKP ř ulanění omíny nulovos vaace funconálu celové enege aumulované v efomované onsuc j. Π δ Π = δ {} [ ]{} {} {} = = f, () z čehož vylývá o vyvoření mac uhos [K] a veou zaížení {F} celé řešené oblas (úlohy) násleující va zálaní sacé ovnce MKP [ ]{ } { F} K =. ().3 ODVOZENÍ MAICE [ G ] PO YČOVÝ (AŽENÝ- LAČENÝ) PVEK U aženého-lačeného vu se nám něeé vzahy velm zjenouší. Posačuje vol o aoxmac ole osunuí lneání olynom ve vau u = b + b ξ, e ξ je bezozměná oměnná ξ = x/l ( L je éla vu ). ovnce (6) bue mí va u = { ξ ξ} = { N} { }, (3) ze eého je vě, že funce vau (obecně mace [N] ) se ze mění na veo {N}. 4 v u 3 Ob. Jeslže vša ve shoě s obázem řřaíme yčovému vu (o onsanní honoě uhos v ahu AE ) v ažém uzlu va efomační aamey, uavíme ovnc (3) o naše účely na - 3 -
Pe Hoyl : MKP jao násoj řešení oblemay záy sably vau - 4 - {} [ ] {} N u v u = = = 4 3 ξ ξ ξ ξ. (4) Z Geenových ovnc omably vybeeme vzah o oměnou efomac ε x ve vau + = x v x u x ε, (5) naěí osého ahu σ x a x Eε x σ =. (6) E. Youngův moul užnos Po osazení obou osleních ovnc o výazu o oencální eneg efomace Π (9) obžíme x x v x v x u x u AE x x v x u AE L L + + = + = Π 4 4 (7) ( A je ůřezová locha yče ) a z ůvou lneazace oblému zanebáme člen se čvou mocnnou. Po oveení říslušných acálních evací u/x a v/x z ovnce (4) a jejch osazení o (7) osaneme o negac násleující členy: {} {} {} {} {}[ ]{} {}[ ]{} G L N L AE + = + = Π (8) Mace [ ] je obře známá mace uhos yčového vu a [ G ] hleaná mace geomecé uhos, závslá na honoě osové síly N. Řešení sably říhaových onsucí sesavených z yčových vů je značně seulavní zachováváme-l římos yčových vů. V ax nasane éměř vžy jao vní záa sably vau "ohybovým" vybočením (jenom v říaě nosné yče č uby uhového ůřezu, na nž bue navlečena lusosěnná uba nesojená se syčníem onsuce vyshne uo absaní řesavu). Půhlenos výše uveeného ovození a hlavně jenouchá alace na řílaech oavňuje uváě uo aolu oěleně. - 3/67 -
Pe Hoyl : MKP jao násoj řešení oblemay záy sably vau - 3/67 - Příla: Zvolme s jenouchý říla uové onsuce sesavené ze vou uů le obázu 3. F o L, AE *L, AE Ob. 3: Jenouchý říla sesavený ze vou yčových vů Čísla a označují čísla vů, a a globální efomační aamey a L élu vu. Oba va vy mají sejnou uhos v ahu-lau, anou výazem AE. Sanovme omocí mac [ ] a [ G ] z ovnce (8) nejříve výslené mace [K] a [K G ]. Pa omocí eemnanu (3) honou cé síly ve směu F o. AE F e + = λ (9) L + L [K] [K G ] Z ovnce (9) vychází o neznámé λ : λ = + AE F,6 AE F () Nař. o honoy ocelového uby ůřezu Ø x,5 mm cá síla eoecá má honou F K = 8,39 MN. Po enýž moel vyvořený v osřeí MKP aé ouze ze vou vů (ogamem ANSYS), vychází o yéž honoy F K-MKP = 8,4 MN (vz ob. 4). - 5 -
Pe Hoyl : MKP jao násoj řešení oblemay záy sably vau - 3/67 - Ob.4: výslee řešení ogamem ANSYS 4 v Pou v ovnc (7) uvážíme člen, osaneme alší geomecou mac uhos 4 x yčového vu avša nelneání vzhleem efomačním aameům. Konéní va [ GN ] uává násleující ovnce AE [ ] ( ) = GN 3 4. () L Z vau ovnce () je zřejmé, že uvážením mace [ GN ] ooušíme "lneání" eo záy sably vau a má ey smysl vyvoř lně nelneání výočový moel s maeálovým a suuálním nelneaam, a ja o om bue hovořeno v závěečné aole. ovnce, eá bue řešena z hlesa nelneání sably bue mí va: [ K ] [ K ] + [ K ]]{ } { F} +. () G GN = - 6 -
Pe Hoyl : MKP jao násoj řešení oblemay záy sably vau - 7 -.4 ODVOZENÍ MAICE [ Go ] PO PVEK OVINNÉHO ÁMU (AH-LAK + OHYB) Posuujme ř ovození mace [ Go ] ve shoě s řecházejícím osavcem.3. Výchozím obázem bue obáze 5. Ob.5. Defomovaný ve ovnného ámu ovnce analogcá e (4) bue obsahova func vau o ah ohyb, e ohyb je aoxmován olynomem řeího suně. { } [ ] { } L L w u N w 6 5 4 3 = = + + + = = ) ( 3 ) ( 3 3 3 3 3 ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ξ ζ ζ ξ (3) Poměnou efomac ε x olníme o člen osující závslos oměné efomace u ohybu v závslos na vzálenos z vlána o neuální osy ůřezu, ey + = x w z x w x u x ε (4) Po osazení o výazu o oencální eneg vnřních sl osáváme Z,w 4 5,u 3 6-33/67 -
Pe Hoyl : MKP jao násoj řešení oblemay záy sably vau - 8 - { } [ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ]{ } Go o L L L L L A L A x w EA x x w x u EA x x w EJ x x u EA Ax x w x u x w x w z x w x u x w z x w x u E Ax x w z x w x u E 4. 4. 4 4 + + = + + + = + + + = = + = Π (5) mace uhos mace uhos geomecá mace uhos yčového vu ohýbaného vu ohýbaného vu Mace [ ] a [ o ] sojíme v jenu ja je zřejmé z násleující ovnce (6) a [ Go ] má násleující va: [ ] = 5 3 5 6 5 6 3 5 5 6 5 6 L L L L L L L L N G o. (7)
Pe Hoyl : MKP jao násoj řešení oblemay záy sably vau - 35/67 - Pou nezanebáme řešnuý ve v ovnc (5), zísáme oě nelneání geomecou mac uhos [ GNo ] a ao je vaacou funcí efomačních aameů. Př zaveení éo mace o výoču laí vše, co bylo řečeno v aole.3. Příla: Výbě jenouchého emonsačního řílau je volen a, aby bylo možné výslee vyočíané cé síly zonolova exaním výočem. Zvolme oo jenouchý nosní jenosanně venuý, namáhaný laem le obázu 6. Euleova cá síla je F KE = π EJ/(4L ),4674 EJ/L. Poveeme nejjenoušší možnou sezac a o jením vem, se věma ohybovým efomačním aamey a (ob.6). F o E, J L Ob. 6: Příla záy sably uu v ohybu Úavou ovnc (6) a (7) o uveený říla osaneme ovnc (3) ve vau EJ 6EJ 6 L 3 e L L 5 = 6 4 λ, (8) EJ EJ L L L L L 5 e jsme za sílu N ze vzoce (7) osal N = -F o = -. Řešení ovnce vee na vaacou ovnc, ze eé nás zajímá menší ořen j. λ < λ a osaneme λ =,486 EJ/L. Ochyla o exaního řešení je cca,8 %. Výslee je řevavě obý s ohleem na velm hubou sezac. - 9 -
Pe Hoyl : MKP jao násoj řešení oblemay záy sably vau - 36/67 -.5 PAKICKÉ PŘÍKLADY Z hlesa oveených acých výočů buou uveeny v éo aole va řílay výočů cých sl (lée "cých veoů sl"): a) sabla vau oblouových ocelových výzuží ozemních saveb b) sabla vau lášě oílového sla. a a) v omínách ůlních ěl může řeevším ojí e záě sably vau všue am, e není řeesaným zůsobem oveena zálaa íla. Konsuce může snano vyboč o osou vně acovního ůřezu choby. Ob. 7a: Záa sably ůlní výzuže ř soluůsobení zálay λ = 3 Ob. 7b: Záa sably ůlní výzuže bez soluůsobení zálay λ = 9,5 - -
Pe Hoyl : MKP jao násoj řešení oblemay záy sably vau - 37/67 - a b) o olnění osuu haváe oílového sla, bylo nuné sanov cý součnel λ omlení ocelové nosné onsuce sla. va vybočení onsuce je na obázu 8b a je chaaezován naočením lášě sla vzhleem e svslé geomecé ose válcové čás. K omuo zajímavému vau řsívá nesymee soní čás lášě. Honoy cých sl jsou vša o 3 % věší, než výočové zaížení(λ =,3), což je v ax neeálné. Ob. 8a: Výočový moel oílového sla - -
Pe Hoyl : MKP jao násoj řešení oblemay záy sably vau - 38/67 - Ob. 8b: Záa sably vau oílového sla - -
Pe Hoyl : MKP jao násoj řešení oblemay záy sably vau - 39/67 -. NELINEÁNÍ ZÁA SABILIY VAU. POSUP VÝPOČU V zásaě ozeznáváme ř uhy nelnea: geomecé (velé oměné efomace, velá osunuí,.) maeálové ( cee, elaxace, hyeelasca, blneání nebo mullneání maeálové moely, ) suuální (vzn a zán vazeb, onay, ). Jeslže bueme nyní hlea veo cých sl o nelneání sysém, je zřejmé že nelze ouží ovnc (3) a (4) z aoly.. Zálaní sacá ovnce ve smyslu ovnce () bue mí shoný va ouze fomálně, oněvaž mace uhos [K] bue nyní funcí veou osunuí {}, ey [ ]{ } { F} K =. (9) ({ }) Sousava ovnc (9) je nelneání, o její řešení se užívá řaa meo, zálaem věšny je Newon-ahsonova meoa. ao vychází ze zálaní suečnos, že řešení onečného savu vychází z ozělení onečné honoy veou zaížení {F} na n ooů. Jeen o řešení je osán násleující macovou ovncí: a n [ K ]{ } = { F } { F } = { } (3) n, n n, Z n, Jenolvé členy ovnce (3) mají násleující význam: n n-ý o řešení -á eace uvnř n-ého ou [K n,] zv. ečná mace uhos, ve eé za {} osaíme { } { } říůse veou efomačních aameů v -é eac {F a n} onečná honoa veou zaížení v n-ém ou {F n n,} honoa veou zaížení v n-ém ou a -é eac {Z n, } zbyová (nevyovnaná) honoa zaížení v n-ém ou ř -é eac. Výslená honoa osunuí se vyočíá jao osuný souče všech říůsů { } j.: { } = { } + { } +. (3) Konvegence řešení je slněna, yž laí: { Z n, } < ε Z. Z ef a/nebo { } < ε. ef, e (3) a (33) {Z n, }, { } jsou nomy oovíajících veoů ε Z, ε jsou čísla << - 3 -
Pe Hoyl : MKP jao násoj řešení oblemay záy sably vau - 4/67 - Z ef, ef jsou efeenční honoy veou zaížení a efomačních aameů. Používané nomy jsou:. maxmální (j-ý ) ve veou {Z n, } = max Z j (34). L noma {Z n, } = Z j (35) 3. L noma {Z n, } = ( Z j ) /. (36) Aevání členy ovnce (3) jsou zobazeny o sueň volnos v obázu 9. Zn,+ Zn,+ + + Ob.9: Schema jenoho ou Newon-ahsonovy meoy ( jeen sueň volnos) Kcý veo zaížení se nyní zísá až v oamžu, y "velm malý" říůse zaěžujícího veou {F a n}zůsobí "exémní" náůs hono veou zobecnělých osunuí { }. Řešení neonveguje, ba naoa veguje a oslení honoa zaěžujícího veou, o eý ješě úloha onvegovala, ovažujeme za honou cého veou {F K }. Nejlée eno oamž oumenuje ůběh vybaného efomačního aameu onéní nelneání úlohy až o oamžu záy sably na obázu. Ob.: Půběh osunuí vybaných efomačních aameů ř nelneáním řešení - 4 -
Pe Hoyl : MKP jao násoj řešení oblemay záy sably vau - 4/67 -. PAKICKÉ PŘÍKLADY a) sabla vau oblouových ocelových výzuží ozemních saveb Ob.: Konsuční va ocelové oblouové ůlní výzuže Ob.: va efomované výzuže o říůsy zaěžujícího veou (zvěšeno x) - 5 -
Pe Hoyl : MKP jao násoj řešení oblemay záy sably vau - 4/67 - Ob.3: Půběh osunuí vou efomačních aameů (boy onau uvnř svěného soje) b) sabla vau výzuže o sříaného beonu. = 74 mm 9 o 34 48 545 74 o = 494 mm 545 39 Ob.4: va výzuže o sříaného beonu yu ASA - 6 -
Pe Hoyl : MKP jao násoj řešení oblemay záy sably vau - 43/67 - Ob. 5: va nelneání záy sably vau (zvěšeno x ) Ob. 6: Honoy umulované lascé efomace (zvěšeno 3x ) - 7 -
Pe Hoyl : MKP jao násoj řešení oblemay záy sably vau - 44/67-3. ZÁVĚ Klascý výoče sably vau uveený v vé aole měl by bý jen vním suněm výoču s násleujícím zřesněným výočem nelneáním. Přeso výsley lascého výoču nám velm obře slouží jao ola o výočy nelneání a o ze vou hlese: honoy veou cých sl jsou honí mezí o výoče nelneání va lneáního olasu na mez sably slouží o úavě jao vsuní vaová mefece o nelneání výoče. - 8 -
Geomecy lně nelneání záa sably - 45/67 - PLNĚ GEOMEICKY NELINEÁNÍ ZÁA SABILIY VAU (PŘÍPAD ZÁVISLOSI MAICE UHOSI NA POSUNUÍ) 3. ÚVOD 3. Konzevavní sysém Konzevavním sysémem ozumíme sysém vořený užným ělesy s eálním vazbam (zn. vazby bez asvních ooů). Dále se řeoláá zaížení onzevavní oloha veou síly se v ůsleu efomací nemění (obáze 3.). Neonzevavním yem zaížení je a nazýváno aové zaížení, jehož nosela mění v ůběhu zaěžování vlvem efomování ělesa svůj smě (vz Obáze 3.) Obáze 3. Konzevavní zaížení Obáze 3. Neonzevavní zaížení 3. ovnovážná ajeoe Zálaním chaaescým ysem chování efomovaného sysému vlvem zaížení je závslos mez ímo zaížením a osunuím. ao závslos, vyjářená gafcy, se nazývá ovnovážná ajeoe (ále jen obáze 3.3). Obáze 3.3 ovnovážná ajeoe V něeých acích je oužíván název Equlbum Pah. V acích Csfela je ao závslos nazývána Loa/Deflecon elaonshs, ey uo závslos nazýval Maeal Nonlnea esonse. Počáeční bo (zn. bo, e je zaížení osunuí ovno ) se nazývá efeenční osavení. O éo olohy je měřeno ja zaížení, a osunuí. je a vořena jenolvým ovnovážným boy. Lneání suua je suua vořená aovým maemacým moelem, eý je chaaezován lneání (obáze 3.4).
Geomecy lně nelneání záa sably - 46/67 - Obáze 3.4 o lneání sysém Lze ey onsaova, že v říaě ohoo sysému: Lbovolnému zaížení sysému lze nají oovíající osunuí bez omezení. Na nejsou cé boy Oezvu na ůzné yy zaížení lze zísa sueozcí Po olehčení se sysém váí o efeenční olohy. Lneání sysém oo musí oovía násleujícím ožaavům: Lneání elasca o jaouolv efomac Možnos neonečně velého osunuí Možnos neonečně velého zaížení yo ožaavy jsou vša fyzálně neeálné a vzájemně se vylučující. Chování nelneáních sysémů je omlovanější, ale fyzálně eálné. jsou oo ůzné. Pozonos bue ále věnována ouze ěmo sysémům. Čás ocházející efeenčním osavením se nazývá čásí zálaní, čás za zv. cým boem je nazývána čásí uhonou (seunání) obáze 3.5. Obáze 3.5 a její čás ečnou uhosí je a nazýván omě mez říůsem zaížení a říůsem osunuí, řevácená honoa ečné uhos je a nazývána oajnos. Znaméno éo ečné uhos má význam o vyjáření sablní č nesablní olohy sysému (bue blíže vysvěleno v alším exu). Velm časo je míso užíván ojem zv. zobecněná oezva, e na osu y je vynášen onolní aame zaížení λ a na osu x a veo osunuí. Dagam závslos λ je časo záceně nazýván oezva. V leauře je onolní aame λ nazýván éž zaěžující fao nebo zaěžující amlua.
Geomecy lně nelneání záa sably - 47/67-3.3 Kcé boy Na exsují zálaní uhy cých boů, a o: Lmní boy Bfuační boy Exsence ěcho boů je úzce svázána s oblemaou sably séních sysémů. Sablu sysémů lze efnova mnoha ůzným zůsoby na zálaě ůzných éí. Sacé éum je známo jao Euleova meoa nebo meoa enegecá. Sabla sysému se honoí na zálaě sovnání oencální enege sysému v jné oloze s honoou oencální enege sysému v oloze ovnovážné. Dynamcé éum honocení sably vychází z honocení ynamcé výchyly ze sacy ovnovážné olohy. Kéum sably lze a shnou o násleujících boů. Konzevavní sysém je sablní yž: ečná mace uhos sysému Poencální enege sysému W je mnmální. 3.3. Lmní bo K je v ovnovážné oloze ozvně efnní. Lmní bo je efnován v mísě, e vní evace řvy má honou nula. Defomovaný va řesočí z jené olohy o olohy uhé, avša zaížení zůsává onsanní. Dynamcým efeem a je náhlý osun es. řeso (obáze 3.6). Obáze 3.6 o sysém s řesoem K zv. řesou zě naoa může ojí, yž na exsuje bo se svslou ečnou (obáze 3.7). V aném oamžu oje náhlému olesu zaěžující síly, avša osunuí zůsává onsanní. 3
Geomecy lně nelneání záa sably - 48/67-3.3. Bfuační bo Obáze 3.7 o sysém s řesoem zě Na obázu 3.8 je va o sysém se věma sun volnos. Lmní boy jsou boy L a L. Bfuační bo je označen jao bo B. Obáze 3.8 o sysém se sun volnos Obáze 3.9 y Obáze 3. y ve 3D na obázu 3.9 je chaaescá o chování sousavy v blízos lmního bou L, eý je vša fyzálně neosaželný. na obázu 3. osuje chování sousavy v osoovém zobazení. Křva oovíá ovnoměně zaěžovanému oblouu onsuce a a jsou osunuí. Klasface bfuačních boů: Izolovaný bfuační bo o ohoo bou má sysém vě. Honoa eemnanu mace uhos e K je ovna a záoveň honos K je ovna. Násobný bfuační bo o ohoo bou má sysém více ja vě. Honoa e K je ovna a honos mace uhos K je a více. 4
Geomecy lně nelneání záa sably - 49/67-4. Nelneání mace uhos o uový ve Poencální enege efomace U lze vyjář na zálaě Geen-Lagangeových ovnc ve vau U G E G V. (4.) V Přeoláá se y analýz chaaezovaný velým osunuím, ale malým oměným efomacem. Na zálaě leauy lze za acou mez malých oměných efomací ovažova honou, 4. Dalším řeolaem jsou velm omalé říůsy zaížení. Důvoem je možnos zanebání sevačných účnů a úlohy je oo možno řeš jao sacé. Po fomulac osunuí se oužívá úlná (oální) Lagangeova fomulace vzažená očáeční onfguac. Na zálaě uveených řeolaů je možné vyjář efomační enege vnřních sl vu ve vau U u, (4.a) e žáný člen řecházející negace není zanebán an lneazován, což ováí celá řaa auoů (Cesfel, Bahe aj.). Mace u byla nazvána enegecá mace uhos, oněvaž je ouželná ouze o vyjáření enege efomace. Sláá se ze čyř submac, z nchž ouze jena je onsanní, vě jsou lneáně závslé na osunuí a oslení je závslá na vaáu osunuí. Duhý y mace v nelneání oblas vznne evací enege efomace ole veou efomačních aameů {}: U u u b. (4.b) Název mace je sečná mace a byl řevza z leauy. ao mace je o oveené evac oě závslá na osunuí až o uhého suně. Výše uveenou evací enege efomace je efnován veo vnřních (uzlových) sl vu b. Zálaní ovnce ovnováhy o eační řešení nelneáních oblémů je ovnce z b f. (4.c) Sávného řešení je osaženo, yž veo zbyových sl z. Z oho vylývá, že sanovení veou b haje líčovou ol. Celovou řau mac nelneáního řísuu olňuje mace ečné uhos řeolau, že f f, zísaná evací ovnce (4.b) ole veou. Za, (což je velm časý řía), laí b. (4.) Je nuno ze řomenou, že v lneazované eo záy sably jsou všechny mace uhos shoné. 5
Geomecy lně nelneání záa sably - 5/67-4. Ovození Geenovy oměné efomace ε G o ovnný yčový ve v globálních souřancích Př ovozování funce vau N se vychází z obázu 4.. Veo {} označuje olohu lbovolného bou na vu ve výchozí onfguac, nař. ze bo C a má složy {} = { C, Y C }. Veo {x} označuje olohu éhož bou na vu v osunué onfguac, ze bo C, eý má složy {x} = {x C, y C }. Příůse veou souřanc obecného bou v efeenčním souřaném sysému, efnujme omocí bezozměné souřance ξ = /L, oom L. (4.) Poobně říůse x veou souřanc obecného bou v oamžé oloze, efnujme násleující ovncí x, (4.) e je veo osunuí v globálních souřancích (obáze 4.) Obáze 4. Posunuí uového vu z efeenční onfguace C o oamžé onfguace C vyjářené omocí globálních efomačních aameů {} Velos říůsu veou x se učí osazením o ovnce (4.) 6
Geomecy lně nelneání záa sably 7 x. (4.3) Velos říůsu veou se oobně učí ovncí. (4.4) Velos říůsu se vyočíá na zálaě vzahu L, (4.5) e L je očáeční éla vu a bezozměný aame je v ozmezí,, obáze 4.. Defomace, vyjářená na zálaě Geen Lagangeových ovnc má násleující va L L L L x G 4 4 (4.6) V ovnc (4.7) je veo {} vyjářen na zálaě souřanc boů P,Q z obázu 4.. (4.7) N je známá funce vau o lneání aoxmační olynom. 4.. Ovození ří nelneáních mac uhos v globálních souřancích 4.. Mace uhos o sanovení enege efomace vu u v globálních souřancích. Mace uhos u o sanovení enege efomace vu je nazývána časo enegecá mace uhos. Na zálaě znalos funce vau N lze vyjář veo osunuí ao. N (4.8). Devací ovnc (4.7) a (4.8) se zísají násleující závslos: - 5/67 -
Geomecy lně nelneání záa sably 8 H. (4.9) H. (4.) ovnc (4.6) lze ále uav osazením výazů z ovnc (4.9) a (4.)., 4 4 4 4 D L L D L D L H H L H H L D G, (4.). e H H D (4.) a D D 4. (4.3) Na zálaě výše ovozených ovnc je vzah o učení oencální enege efomace možno ále uavova. (4.4) Mace uhos u se vyoče sečením jenolvých mac z ovnce (4.4) D u D u D u D u u 4 3. (4.5) Po osazení o ovnc (4.4) a (4.5) a jejch úavě se zísá ovnce o výoče enegecé mace uhos - 5/67 -
Geomecy lně nelneání záa sably - 53/67 - u EA 4L 3 3 3 3 3 4 4 Y Y 3 3 4 4 Y 4 Y 4 Y Y 3 3 3 3 4 4 Y Y 3 3 4 4 Y Y 4 4 Y Y e 3 = 3, 4 = 4, =, Y = Y Y (4.6) 4.. Sečná mace uhos a veou vnřních sl b v globálních souřancích. Posu o učení sečné mace uhos je án evací vzahu (4.4), ey b b b b b x y x y U u u. (4.7) Sečná mace uhos v globálních souřancích je symecá. Jenolvé vy mace jsou o řehlenos uveeny samosaně v abulce 4.., 4,, 4,,3 E A,,,3,4 (4.8) 3 8L 3, 3, 3,3 3,4 4,3,4 4,4,,,3,4,,,3,4 4 4 3 4,, 4 4,, Y 4Y 4 Y 3 4 3 Y 3 4 3 4 3 3 3 8 8Y abula 4. Výs vů mace 3, 3, 3,3 3,4 4, 4, 4,3 4,4,,,,,,,, Vynásobením mace b veoem se ey zísá veo vnřních sl b vu. EA 4L 3 3 3 4 4 Y Y 4 4 4 4 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 Y Y Y Y 3 3 3 3 9
Geomecy lně nelneání záa sably - 54/67 - (4.9) 4..3 ečná mace uhos v globálních souřancích ečná mace uhos v globálních souřancích je oě symecá. Jenolvé vy mace jsou o řehlenos uveeny samosaně v abulce. 4.. Vznne ealzací ovnce (4.):, 4,, 4,,3 4,3,4 E A,,,3,4 (4.) 3 L 3, 3, 3,3 3,4 4,4,,,3,4,,,3,4 4, 3 4,, 4,, 3 Y 3 3 3 6 4 4 Y Y 6 3 3 Y 3, 3, 3,3 3,4 4, 4, 4,3 4,4,,,,,,,, abula 4. Výs vů mace 4..4 Sanovení najaos Najaos, ovozená z Geen Lagangeových ovnc, je uhým Pola-Kchhofovým enzoem najaos. Jená složa naěí, eá se objeví v honoě vnřní enege najaos je axální naěí σ, eé je áno onsuční ovncí a oovíá Geen-Lagangeově oměné efomac vzahem o E, (4.) e o je nomálové naěí v efeenční onfguac a E je moul užnos v ahu. Nomálová síla N, vyočená na zálaě ohoo naěí, má honou N A o. (4.) Poznamenejme, že oo není avvá axální síla v oamžé onfguac C, ao je ána ovncí N A, (4.3) e su C C je suečné nebo Cauchyho naěí v C a A je oamžý ůřez.
Geomecy lně nelneání záa sably - 55/67-4.3 Numecé osuy učující olohu cých boů Ja jž bylo řečeno, vhoná éa o nelneání chování sysémů jsou ovozována z řvy. V říaě jejího monoónně osoucího chaaeu (obáze 3.3) sablní oblém včeně vznu cých boů nenasává. Vysyuje-l se vša na více ovnovážných savů o jeno zaížení (obáze 3.6 a 3.7), znamená o, že exsují jž cé boy (obáze 3.). Algomus ozlšení bfuačních a lmních boů je násleující: Zálaním éem honocení cého savu onzevavních sousav je nulová honoa uhé evace oencální enege sysému. Po ažý bo musí bý slněna omína W exsence mnma oencální enege sysému. Po vyvoření veou vnřních sl sysému B, vyvořeného z jenolvých vů se zísá ovnce W Z K F (4.4) W W Po sablní oblas musí la, o oblas nesablní. Kcé W boy jsou a jenoznačně učeny honoou uhé evace W, zn.. Ja vylývá z ovnce (4.), je uhá evace oencální enege ovna ečné mac uhos K. Za řeolau, že veo vnějších zaěžujících sl F není funcí veou osunuí laí ovnce W ( K ) K (4.5). Poo ey o sablní oblas bue e K a o nesablní oblas bue e K. Poloha cých boů bue jenoznačně učena honoou e K (zv. éum eemnanu). 4.3. Kéum eemnanu Ineeace éa eemnanu lyne z násleujících úvah. Na exsují va ovnovážné boy (G) a (N) se sejnou úovní zaížení F obáze 4.. Za řeolau lanos ovnc oužívaných v Newon-ahsonově meoě, lze zísa ovnce K K G N G N B B G N F F (4.6) a (4.7). yo ovnce a veou na ovnc K, (4.8) N N což je homogenní sysém ovnc. Po nevální řešení laí násleující ovnce e K (4.9).
Geomecy lně nelneání záa sably - 56/67 - Obáze 4. s boy G a N Výoče ovnce (4.9) je evvalenní řešení zv. oblému vlasních čísel K E n, (4.3) j j e j je j-é vlasní číslo a n j oovíající vlasní veo. Sysém ovnc (4.3) ř lanos ovnce (4.9) má řešení o. E je jenoová agonální mace. Oovíající vlasní veo n je vhoné nomova z ůvou numecé sably le vzahu (4.3). n n. (4.3) Sablní chování vyšeřovaného sysému může bý učeno zjšěním ůběhu honoy eemnanu mace K. Po vální úlohy s něola sun volnos neje o oblém. V říaě ozsáhlých (eálných) sousav je osažení nulové honoy eemnanu možno řeš násleujícím zůsoby: a) ozložením mace K ozlaem LDL j. smle value ecomoson K L D L (4.3) b) Sleováním změn znaméne členů agonální mace D, oože laí e K nof D (4.33) Př změně znaména agonálního vu mace D ochází honoa eemnanu. S ohleem na výše uveené laí vaany uveené v násleující abulce 4.3. Všechny D K osvně efnní Sablní ovnováha Mnmálně jeen D K ozvně semefnní Infeenní oloha Mnmálně jeen D K negavně efnní Nesablní ovnováha abula 4.3 Možné vaany ovnovážné olohy v závslos na honoě D
Geomecy lně nelneání záa sably - 57/67 - Př řešení acých úloh ose časo honoa eemnanu na možnos zobazení max. čísel v očíač. V omo říaě lze honoy eemnanu naha jeho logamem ao. Poslením ůležým numecým éem o ozlšení lmního a bfuačního bou na je honoa onolního aameu. Pole Wggese laí (4.34) Jeslže vlasní veo n mace K je znám, neřesavuje zjšění ůběhu onolního aameu cých boů (ále jen aameu) oblém. U bfuačních boů se můžeme sea s alší zajímavosí, onola změny znaména eemnanu nemusí bý slněna, řeso v bfuačním boě je eemnan oven nule a bo ey exsuje (honoa eemnanu shoa onveguje nule a oě ůběh souá o laných hono. V omo říaě je učující změna znaména vlasních čísel mace ečné uhos, v aovém yu cého bou mění znaméno ávě vě vlasní čísla najenou! 4.3. Fomulace ozšířeného sysému ovnc Zálaní macovou ovncí řešící oblemau nelneáních sablních oblémů obecně je ovnce (4.4), eou je možno záceně zasa Z. (4.35), Po výoče sablních boů, založených na olnění (4.35) z (4.3) se užívá název ozšířený sysém ovnc a eno má násleující va Z,, n Z ˆ K n. (4.36),, n, Doaečně zaveená funce l n má va l n l n n n. (4.37) ozšířený sysém má n of neznámých, jeslže číslo n of uává celový oče suňů volnos sysému. 3
Geomecy lně nelneání záa sably - 58/67-5. Vzoový říla V řílaě bue řešena jenouchá ovnná uová onsuce le obázu 5.. Úloha byla řevzaa o Fely. Zaané aamey úlohy: S = m, Y =3 m, E. A = N. Obáze 5. Puová onsuce, říla číslo 5 Příla byl vybán oo, že lze ř oměně malé mefec v zaížení vyvola v bfuačním boě uhonou, což je velm obře ané v osoovém obázu 5.6. Na obázu 5. a 5.4 je va o osunuí 4 o ůsobící slou. Nezvylou je oměně nízá oloha bfuačního bou BB. o vylývá z oměu S a Y. V úseu mez očáem zaěžování a boem BB je honoa 3 nulová. Suace se výazně změní o osažení BB, y významně vzose honoa 3 (avá čás obázu 5.5). Naoa, 4 monoónně lesá o své nesablní (čáovaná čáa mez boy BB a BB v obázu 5.4). Důaz o om, že je suečně o bfuační bo lze naléz v oovíajících nulových honoách ja eemnanu mace K, a aameu. Nejleší řesavu o vša ává osoové vyjáření v obázu 5.6. Ze je vě, že v ůsleu mefece zaížení (malá síla ve směu 3) oje oálení bfuačních boů ř oaovaném návau. o vysvěluje suečnos, že v obázu 5.5 neleží bfuační boy BB a BB na ose Y. Sovnáme-l honoy vyočíaných cých sl s leáním úaj, zjšťujeme, že ochyla u sl v lmních boech je menší, než o / oo. U bfuačních boů, u nchž jejch oloha je více ovlvněna mefecí síly, je ochyla věší a sce,35%. Za % honoy byly bány leání úaje velos F LIM = ±,38634 N a F BIF = ±,6733 N. I ze výsley ovzují sávnos ovozených vzahů a vyvořených vlasních ogamových oceu. 4
F4 Geomecy lně nelneání záa sably - 59/67 -.4 LB Zavslos sly -F4 na osunu -Q4-y 74 7.3 76 7. BB 78 68 4 8 884 6 8 86. -. -. 88 9 4 9 6 94 8 96 66 98 64 4 6 4 8 6 3 6 6 8 3 34 36 4 38 6 6 4 8 4 4446 48 4 BB 58 5 -.3 56 54 5 -.4-3 4 5 6 7 Q4 Obáze 5. Půběh zaěžující síly F4 na osunuí 4, se zobazením velos ovnovážných sl LB Obáze 5.3 Polohy suuy v jenolvých boech ovnovážné ajeoe honího uzlu 5
Geomecy lně nelneání záa sably - 6/67 - Obáze 5.4 Půběh zaěžující síly F5, e K a aameu na osunuí 4 Obáze 5.5 Půběh zaěžující síly F5, e K a aameu na osunuí 3 6
Q4 Geomecy lně nelneání záa sably - 6/67 - Obáze 5.6 Posoový gaf závslos síly F4 na osunuí 3 a 4 Daha senho bou, Fela(F3=F4/) 8 5 85-9 75 5-95 7 65-3 5 5 6 3-4 55 35-5 5 4 5 5 45-6 -3 - - 3 Q3 Obáze 5.7 ajeoe honího uzlu s vyznačením velos a smyslu ovnovážné síly 7
- 6/67 - MEODA DÉLKY OBLOUKU PO ŘEŠENÍ NELINEÁNÍCH ÚLOH SYSÉMŮ DISKEIZOVANÝCH MKP (AC-LENGH MEHOD) Meoa ély oblouu je aé známá jao sova meoa. Užím éo meoy je možné vyřeš říay zv. ovnovážných ajeoí, v nchž se vysyují cé boy. Nejčasěj je o říay oscého chování sysémů. Zálaní macová ovnce nelneáních sysémů je ána ovncí (.) anebo, (.) e jenolvé členy ovnc jsou: veo vnřních sl v uzlech sezovaného sysému veo nevyvážených nebo aé zbyových slových účnů oamžá honoa veou zaížení aame zaížení osující nemenální zaěžování. ozvňme func v ayloovu řau. Bueme řom řeoláa znalos hono v -é eac a hleáme řešení v eac +., (.) Poznamenejme, že je známá ečná mace uhos, a označení znamená říůse v ou +. Dosaďme ovnc (.) o ovnce (.), čímž osaneme násleující sysém lneáních ovnc o neznámé říůsy a. (.3) Hleáme. (.4) Pavou sanu ovnce (.4) uavíme o vau, e (.5), oom (.6)
- 63/67 -, (.7) z oslení ovnce vyočíáme neznámý veo oobně o veo ovoíme ovnc. (.8) Nyní ořebujeme oaečnou omínu o učení říůsu zaěžovacího veou V leauře lze naléz celou řau ooučení. Efevní oceuou je osazení lmy ély oblouu s vyjářenou jao Dosaíme nyní o oslení ovnce (.5) a osáváme. (.9) Numecé exemeny uazují, že vhonou honou ély oblouu s osaneme ř uží veou z vé eace jao (.), e (.) Pomocí éo honoy s obžíme o neznámé vaacou ovnc (.) e (.3), (.4) (.5) Kořeny ovnce (.) jsou (.6) V říaě magnáních ořenů, bue výoče oaován se sníženou honoou zaěžujícího faou. V éo suac se za osaí a. (.7)
- 64/67 - Jeslže ořeny jsou eálné, nová honoa veou se vyočíá o ažý ořen ovnce:. (.8) a (.9) Aceovaelné honoy jsou založeny na éu, oačova v řešení ve směu, učeném v řecházející eac. Abychom o osoul, očíáme součn vou veoů:. (.) a (.) Jeslže a jsou záoné, a vybeeme a vybeeme a vybeeme, eé je blíž výazu (.) Po sanovení aameu vyočíáme onečné výsley éo eace:, (.3), (.4) (.5) Obecně vzao, nové řešení neslňuje sysém ovnc exaně a vznne zbye. (.6) Jeslže zbye je malý, můžeme v řešení oačova. Jna osu oaujeme. Po slnění onvegence můžeme zavés ovnc [Bha] e.., (.7)
- 65/67 - Násleující obázy uazují ealzac meoy ély oblouu o úlohy s jením suněm volnos
- 66/67 -
- 67/67 - Součnel neovnoměného ozělení smyového naěí o ůřezu u ohybu = (o uvážení vlvu osouvající síly na efomac) Plné ůřezy Obélní Půřezy z ených sěn uba uhová =, = Kuh =,8 uba čyřhanná =,4 Slná uba z Pofl I (b=h) b a 7 + α = 6 b / a α = + b / a h b y EF: z y =3,5 =,45 z Elsa b Úhelní (b=h) y a b z 4a + 6b = (3a + b ) h z y EF: =,79 z y z y Půluh =,35 =,6 h z b y Pofl U (b=h) EF: = 4,6 z =,6 y