I. MECHANIKA 3. Energie a silové pole I

Transkript

1 I. MECHNIK. Energe a slové ole I

2 Obsah Imuls síly. Zákon zachování hybnos. Práce. Výkon. Knecká energe. Pole konzervavních sl. Práce o uzavřené křvce. Poencální energe, rovnováha (sablní, vraká, ndferenní) Zákon zachování mechancké energe. Inenza ole, oencál, graden. Ekvoencální lochy, sločáry. Nekonzervavní síly, dsace energe. Newonův gravační zákon. Inenza a oencál gravačního ole. Zemské gravační ole. Gravační a íhové zrychlení Energe ř ohybu v cenrálním ol. Momen sl v cenrálním ol. Kelerovy zákony.

3 Zákony zachování Izolovaná sousava ěles není vysavena slovému ůsobení z vnějšku Volný hmoný bod - secální říad zolované sousavy ěles Defnce nercální vzažné sousavy nezbyná je hladkos rosoru a času yo arbuy rosoru a času mají za následek zachování někerých charakersk ohybu (zákony zachování) v rámc zolovaných sousav ěles Keré zákony zachování o jsou? absoluní rosor homogenní (sejnorodý) ZZ hybnos zoroní (sejný ve všech směrech) ZZ momenu hybnos absoluní čas homogenní ZZ energe

4 Imuls síly (ro konsanní sílu) d Sledujme časový účnek síly:. NZ F Fd d d Co o znamená? Předokládejme ůsobení konsanní síly F o dobu. Na očáku mv a na konc mv. v v Konsanní síla znamená rovnoměrně zrychlený ohyb a. v v Z.NZ musí la F m, což lze řesa do varu F mv mv nebol F. N N Pro oslounos časových nervalů F fn n 4

5 Určý negrál y f ( ) Mějme funkc f () defnovanou na nervalu a, b. Rozdělme nerval na n úseků mez body a 0 n n b. Každý úsek rerezenuje jedna z funkčních hodno f ), kde,. ( n Uvořme zv. negrální souče S f ( )( ). Lmu souču S ro n nazveme určým (Remannovým) negrálem funkce f () v nervalu a, b. Označíme f ( ) d. Z defnce vdíme, že určý negrál ředsavuje lochu od negrovanou křvkou v nervalu a, b. b a a n b f () 5

6 Určý negrál y Defnce obsahuje os výoču negrálu ro funkce se složým růběhem (nesojé). Je základem algormů ro srojový výoče. Posu lze alkova na eermenální závslos. Jak se očíá určý negrál běžné funkce? Pomůže Newonova-Lebnzova formule: Mám funkc f () sojou na nervalu a, b a F () je její rmvní funkce, ak laí b a f ( ) d ) b F( F( b) F( a) a sojé funkce dává sejné výsledky jako Remannův. Příklad: b d [ ] a b a b a a b. Too je zv. Newonův negrál, kerý ro 6

7 Imuls síly Uvažujme časově roměnnou sílu F F() ůsobící na hmoný bod v časovém nervalu,. nalogcky (k souču řes konečné časové nervaly) laí ( ) F( ) d d. Inegrál Plaí h.b. J J F( ) d ( se nazývá muls síly F., j. změna hybnos h.b. se rovná mulsu síly ůsobící na Důležé ro sanovení účnku síly, když není řesně znám její časový růběh. ) 7

8 Sřední (růměrná) síla 8 Sřední síla F ůsobící v nervalu, zavedena ak, aby jí vyvolaný muls byl roven mulsu skuečně ůsobící síly ) ( d F F ) ( d F F Teno zůsob se oužívá ro výoče (časové) sřední hodnoy lbovolné velčny : ) ( d

9 Imuls momenu síly Uvažujme časově roměnný momen síly M M () vzhledem k bodu O ůsobící na hmoný bod v časovém nervalu,. nalogcky laí Inegrál L M ( ) d M ( ) d d d r Fd b ( r d d db b b db d d r d d b ( se nazývá muls momenu síly M. ) ) dr d r d d d v mv 0 Plaí L b b b, j. změna momenu hybnos h.b. se rovná mulsu momenu síly ůsobící na h.b. vzhledem ke sejnému bodu O. 9

10 Zákon zachování hybnos Uvažujme dva hmoné body, keré vzájemně neragují..nz F B F B (ěleso ůsobí na B slou B F ; ěleso B ůsobí na slou F B) Doba nerakce je dána solečným časovým nervalem,. FB( ) d ( ) ( ) FB( ) d B( ) B( ) B B B 0 ) ( ) ( ) ( ) B ( B zákon zachování hybnos v uzavřené sousavě 0

11 Zákon zachování momenu hybnos Uvažujme dva hmoné body, keré vzájemně neragují..nz F B F B (ěleso ůsobí na B slou B F ; ěleso B ůsobí na slou F B) Doba nerakce je dána solečným časovým nervalem,. nalogcky z orovnání momenů síly vůč lbovolnému bodu b b( ) b( ) M B( ) d r FBd n r sn FB d nd FB d d bb bb ( ) bb ( ) M B( ) d rb FBd n r B sn FB d nd FB d d F B B r B zákon zachování momenu hybnos v uzavřené sousavě b b 0 B r F B r d B sn r sn O

12 Zákony zachování ZZH, ZZMH Zákony je možno zobecn na lbovolný oče hmoných bodů v zolované sousavě. Eermenálně bylo rokázáno, že směr mlkace je oačný: uvedené ZZ laí mmo rámec klascké mechanky okud laí ředoklady ro ouží klascké mechanky (j. okud šíření nerakce mez ělesy můžeme ovažova za nekonečně rychlé), je důsledkem ěcho ZZ aké.nz

13 Práce (ro konsanní sílu) sledujme dráhový účnek síly: Co o znamená? F s F s Předokládáme ůsobení konsanní síly F o římé dráze délky s, jejíž směr je určen jednokovým vekorem. Vekor F svírá s vekorem úhel. Součn F s cos se označuje jako ráce W F s cos. Označíme-l vekor s jako vekor osunuí s s, lze zasa W F s. Pro oslounos úseků dráhy N F s N W W

14 Práce obecná formulace Uvažujme časově roměnnou sílu F F(r) ůsobící na hmoný bod o orenované křvce L mez body M a M. Elemenární ráce dw F dr, kde dr ds. M dr F L M Křvkový negrál W L( M L( M ) F( r) dr ) r r dr vyjadřuje vykonanou rác. O 4

15 Práce vlasnos Elemenární rác lze zároveň zasa dw F dr cos F ds cos ( F cos) ds F Prác koná ouze ečná složka F cos F M r dr r dr F F L M Znaménková konvence W 0... síla urychluje ohyb ( cos 0 ) W 0... síla zomaluje ohyb ( cos 0 ) O W 0... ečná složka síly nulová, j. ůsobící síla kolmá k vekoru osunuí ( cos 0 ) Vlasnos negrálu W závsí na očáečním a koncovém bodu a varu dráhy nezávsí na rychlos nebo době rvání L( M ) L( M ) znaménko se mění se směrem rocházení W F dr F dr W L( M ) L( M ) 5

16 Okamžý výkon Časovou dervac ráce W nazýváme okamžý výkon. Označujeme dw P. d Plaí d dw W dw dw d Pd. d d Znaménko výkonu je sejné jako znaménko vykonávané ráce. 6

17 Počíání s křvkovým negrálem Rovnce křvky L aramerzována r r(q). Hodnoy arameru q a q odovídají bodům L ( M) a L ( M ). Proveďme v negrálu subsuc r r(q). Pak F( r) F( r( q)) F( q ). Dferencál dr vyjádříme omocí dervace W L( M L( M ) F( r) dr ) q q dr ( q) F( q) dq dq q q F dr dr dq a dosaneme dq d dq dq q q F d dq dq q q F d dq, dq M O r dr r dr F L M což je souče běžných Remannových negrálů. Suace bude názornější, okud je aramerem čas L( M ) dr ( ) W F( r) dr F( ) d F ( ) v( ) d d L( M ) Porovnáním s defncí okamžého výkonu dw W P d je zřejmé, že P F v d 7

18 Točvý momen a výkon mooru moory se charakerzují výkonem a očvým (někdy éž kroucím) momenem očvý momen je z fyzkálního hledska momen síly uvažujme kolo oloměru r řojené na výsuní hřídel mooru hřídel se oočí f -krá za sekundu na obvodu kola ůsobí síla F o dobu momen síly vůč ose oáčení M Fr za uo dobu kolo vykoná f oáček síla ůsobí o dráze s r f vykonaná ráce W W výkon mooru P M F r f f Fr M 8

19 Knecká energe Výoče ráce vykonané slovým ůsobením o zadané dráze d dv dr dw F dr F m dr d v d d d d dv dw m v d d m d ( v v) d d dv dv v v d d Defnujme kneckou energ vzahem Plaí edy W L( M ) L( M ) dw L( M ) L( M ) d mv md( v v) d Ek L( M ) M dek [ Ek ] M L( M ) v mv m. Pak laí k E k ( M ) E k ( M dw de. ) mv mv E k Přírůsek knecké energe je roven rác vykonané vnějším slam na h.b. ř řechodu z výchozího do koncového bodu o konkréní zadané dráze. 9

20 Knecká energe K.E. ředsavuje míru schonos ěles kona rác změna K.E. rovna rác vnějších sl závsí na volbě sousavy souřadnc znaménková konvence: okud vnější síly konají kladnou rác, K.E. rose ř brzdění ůsobí vnější síla ro ohybu síla koná záornou rác (kladnou rác koná ěleso a ř om se snžuje jeho K.E.) ř urychlování síla omáhá ohybu koná kladnou rác a zvyšuje K.E. mění-l rychlos jen směr ř sejné velkos, K.E. se zachovává (síla ůsobí kolmo ke směru rychlos) říkladem je ohyb o kružnc změna K.E. umožňuje zjs rác sl bez znalos jejch dealního růběhu Hsorcká oznámka Podobně jako Descares a hlavně Newon okládal za míru ohybu hybnos, ovažoval Newonův současník Lebnz za míru ohybu kneckou energ (res. velčnu mv, kerou nazýval vs vva nebol žvá síla ). 0

21 Slové ole vekorové ole určuje sílu ůsobící v každém bodě gravační ole, elmg. ole Časově nezávslé ole esovací bod se ohybuje mez body M a M hodnoa ráce W vykonané slam ole ř ohybu h.b. mez body M a M závsí jen na dráze L ř růchodu o sejné dráze oačným směrem je ráce W W Konzervavní slové ole ole, kde ro lbovolnou uzavřenou křvku L laí F dr 0, se nazývá konzervavní nebo éž oencálové suerozcí dílčích konzervavních olí vznkne oě konzervavní ole L

22 Konzervavní slové ole Ekvvalenní vrzení: Pole je konzervavní rávě ehdy, když ráce vykonaná olem ř ohybu h.b. z olohy M do M nezávsí na varu dráhy mez oběma body. Uzavřená dráha L +L : F dr F dr F dr L L L L 0 F dr L L F dr L M Uzavřená dráha L +L : F dr F dr F dr L L L L 0 F dr L L F dr L Z orovnání lyne nezávslos na dráze: F dr F dr L L M L Ekvvalenní vrzení: Pole F je konzervavní rávě ehdy, když v celé vyšeřované oblas laí ro F 0 (důsledek Sokesovy věy).

23 Vekorový dferencální oeráor nabla Přomeňme: d nejobvyklejším (dferencálním) oeráorem je dervace d dervac funkce více roměnných se říká arcální a namíso d se užívá symbol užjeme sčíací konvenc, okud se ve výrazu vyskyuje sejný nde rávě dvakrá Oeráor nabla defnován symbolcky Je o vekor. e

24 Graden 4 Nabla se alkuje na skalární funkc f ako f e f e f e f e f. Teno oeráor se aké nazývá graden f f grad. Po složkách,, grad f f f f. Názorný význam: Čím říkřejší změna hodnoy funkce v závslos na určé souřadnc, ím věší hodnoa říslušné složky gradenu. Směr gradenu určuje směr nejvěšího vzrůsu funkce.

25 Názorný význam gradenu Dferencál funkce f,, ) lze v okolí zvoleného bodu r,, ) ( ( f f f f zasa ve varu df d d d nebol df d, což lze zasa vekorově df dr grad f ( r) Plocha konsanní hodnoy ( vrsevnce ) funkce f je v okolí bodu r dána odmínkou df dr grad f ( r) 0, edy graden je kolmý k loše konsanní hodnoy dr grad f 5

26 Roace 6 Oeráor nabla je možno alkova na vekorovou funkc. j k jk j j j j e e e e e e e e Teno oeráor se aké nazývá roace ro, říadně se značí curl. Po složkách,, ro. Plaí 0,, grad ro f f f f f f f

27 Názorný význam roace v Zkoumejme vekor rychlos roudění ekuny. Velčna y určuje růs y-ové v složky rychlos odél -ové osy, obdobně určuje růs -ové složky rychlos y odél y-ové osy. Předokládejme v y k a ky (ekuna rouje), ak vy v říslušná složka vekoru roace bude rovna k. Naoak okud y v y ka v ky( hvězdcový ohyb), složka vekoru roace bude nulová. v 7

28 Dvergence 8 Jný zůsob alkace na vekorovou funkc j j j j j j e e e e. Teno oeráor se aké nazývá dvergence dv. Po složkách dv. Názorný význam oeráoru dvergence: Vyskyuje se ve výrazech osujících nenzu vyékání ekuny, náboje aod. (la. dvergens = rozbíhající se).

29 Názorný význam dvergence Zkoumáme vekor rychlos roudění ekuny. Jak ro roační roudění ak ro hvězdcové roudění v vy 0 0 dv v 0. y Naoak zřídlové roudění nenulovou dvergenc v y k a ky v v y k a v ky vyjde v k a v y ky vede na v vy k k dv v k y. Podobně roudění v dvergenc v k k a v 0 vede na nenulovou v y y y 0 dv v k. 9

30 Poencální energe V konzervavním slovém ol závsí ráce jen na oloze očáečního bodu M r a oloze koncového bodu M r možno zavés velčnu E (r) závslou na oloze oencální (olohovou) energ vyhovující vzahu W E r ) E ( r ) E ( Rozdíl oencální energe dvou bodů v konzervavním ol je s oačným znaménkem roven rác vykonané olem na h.b. V konzervavním ol lze oencální energ E (r) zavés r jednoznačně vzahem E ( r) F( r) dr E 0 r (konsana E 0 je hodnoa oencální energe v bodě r 0 ) 0 E ( r ) r E E ( r ) r r 0 E 0 0

31 Zákon zachování mechancké energe Práce vykonaná konzervavním slovým olem na hmoném bodu ř řechodu mez dvěma oloham je rovna změně knecké energe W E E E k k změně oencální energe se záorným znaménkem W E E ) E ( k Porovnáním získáme zákon zachování mechancké energe (ZZME) E říadně E k E k E Ek E kons. Pohybuje-l se hmoný bod slam konzervavního ole, souče jeho knecké a oencální energe (celková mechancká energe) je konsanní, j. E E kons. k

32 Nekonzervavní ole Pro ole nekonzervavních sl laí obecně F dr 0. To znamená, že na začáku a na konc uzavřené dráhy se hodnoa K.E. lší. Nelaí ZZME. Pro ole dsavních sl laí F dr 0, o znamená, že v celkové blanc síla ůsobí ro ohybu. Příkladem jsou řecí síly. L Dochází k dsac (rozylu) energe k řeměně mechancké energe na jnou formu energe, nejčasěj elo. L

33 Změny energe v nekonzervavním ol Předokládejme, že vedle konzervavních sl F ůsobí aké síly nekonzervavní * F a síly vnější F e. r Práce konzervavních sl W F dr. * * Práce nekonzervavních sl W F dr. e Práce vnějších sl W F dr. Celková ráce sl bude rovna změně K.E. r r r r r e W W * W e E k Práce konzervavních sl se rovná změně P.E. W E Celková změna mechancké energe je rovna souču ráce vnějších sl a * e ráce vykonané nekonzervavním slam E E E W W. k

34 Poencální energe rovnováha rovnováha sablní de d d 0 d E 0 rovnováha vraká de d d 0 d E 0 rovnováha ndferenní de d d 0 d E 0 4

35 Slové ůsobení na aomární úrovn oencální energe slového ůsobení mez čáscem síly věšnou konzervavní různé mocnny vzájemné vzdálenos ůsobení jednolvých sl se skládá (rnc suerozce) díky lnearě negrálu res. dervace se sčíají oencální energe říslušející jednolvým konzervavním slovým olím nerakce věšího oču objeků oencální energe celé sousavy (konfgurační energe) = ráce všech nerakčních sl E j E 5

36 Graden oencální energe r Hledáme ke vzahu F( r ) E ( r ) vyjádřenému rovncí E ( r) F( r) dr vzah nverzní ( r ) F( r ). E PE o složkách E F d Fd Fd E0 F d E E 0 r Dferencál lbovolné funkce E,, ) můžeme (ř slnění ředokladu ( sojos a esence jednolvých arcálních dervací) zasa ve varu E E E E de d d d d. Pro negrál dosaneme vzah 0 E E E E [,, ] de d d d E0 [,, ] Porovnáním získáme hledané F E ovšmněe s souvslosí: ro grad 0; F grad E E F grad E nebol d E 0 res. ; ole je konzervavní ro F 0. F E 6

37 Inenza ole. Poencál. Inenza ole síla ůsobící na h.b.jednokové hmonos I F m Poencál oencální energe h.b. o jednokové hmonos F E Plaí: I edy m m I nebol I E m Pos ole omocí oencálu je výhodný, roože jde o skalární velčnu. V oblas, kde je konsanní oencál, je nenza ole a edy síla nulová. 7

38 Ekvoencální lochy. Sločáry. Graden určuje směr nejvěšího růsu oencální energe, směřuje ro vekoru slového ole ( F grad E ). Ekvoencální lochy jsou kolmé k vekoru gradenu, roože ekvoencální locha je v okolí bodu r dána odmínkou de dr grad E ( r) 0. Sločáry mají směr normály k ekvoencálním lochám, jejch směr v daném bodě je shodný se grad E ( r ) směrem gradenu. grad E ( r ) Husoou sločar se časo znázorňuje velkos nenzy ole. 8