Dynamika hmotného bodu

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Dynamika hmotného bodu"

Miroslava Bártová
před 7 lety
Počet zobrazení:

1 Pe Šidlof TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakula mechaoniky, infomaiky a mezioboových sudií Teno maeiál vznikl v ámci pojeku ESF CZ..07/..00/07.047, keý je spolufinancován Evopským sociálním fondem a sáním ozpočem ČR

2 Úvod opakování () saika DYNAMIKA kinemaika Dynamika hmoného bodu Dynamika uhého ělesa Dynamika elasických ěles Teoie kmiání Adanz/Bombadie (Nowegian BM73) Před Galileem, Newonem: k udžení pohybu je nuná síla Newon: F dp d ( mv) = = m = kons.... F = m a d d

3 Úvod - opakování () F = F(), F = F(x), F = F(v) Saika algebaické ovnice F i = 0 ovnice ovnováhy Dynamika difeenciální ovnice (uhá ělesa ODR, elasická ělesa - PDR) F i = m& x pohybové ovnice Pacujeme s vekoy vhodný souřadný sysém Tanslační pohyb kaézské souřadnice Roační pohyb polání souřadnice

4 Úvod - opakování (3) D Alembeův pincip: Fikivní sevačná síla F sev = m a míso pohybových ovnic řeším ovnice ovnováhy jako ve saice Roační pohyb: M dl d = ( L = p.. momen hybnosi) Řešení úloh dynamiky:. Z Newonových zákonů. Ze zákona zachování enegie 3. Ze zákona zachování hybnosi Lagangeův fomalismus Hamilonovy ovnice

5 Příklad řešení z Newonových zákonů (D) Lano o délce L = 0 m a hmonosi m = 0 kg je volně položeno přes okaj podložky ak, že přečnívají 4 mey. V čase = 0 se dá lano vlasní íhou do pohybu (ření a jiné pasivní odpoy zanedbáváme). Za jak dlouho doazí k okaji zadní konec lana? Řešení:. Z Newonových ovnic F = m.a sesavíme pohybovou ovnici.. && g y y = 0 L. Řešení obyčejné difeenciální ovnice s konsanními koeficieny.. y = C 3. Z ovnice y( ) = L vypočíáme čas = 3.4 s ( ) g L e + C e g L

6 Příklad ečné a nomálové souřadnice () Na sřeše obsevaoře, keá má sféický va o poloměu = 0 m, leží koska ledu. Malým závanem věu se dá led z nulové ychlosi do pohybu. Zjisěe, ve keém mísě led odléne od povchu sřechy a bude pokačova volným pádem. Řešení:. Uvolnění pohybové ovnice v ečných a nomálových souřadnicích mg sinϕ = ma N mg cosϕ = ma. Využií známých vzahů po ečné a odsředivé zychlení při kuhovém pohybu a = ϕ&& 3. Sesavení a řešení pohybové ovnice a n n = ϕ& = ω ϕ& & g sin ϕ = 0

7 Příklad ečné a nomálové souřadnice (). Analyické řešení In[6]:= g =.; =.; m =.; In[7]:= esenia = DSolveB: g Sin@fi@DD fi''@d, fi@0d Degee, fi'@0d 0>, fi, F Solve:: ifun: Invese funcions ae being used by Solve, so some soluions may no be found; use Reduce fo complee soluion infomaion. à DSolve::bvfail: Fo some banches of he geneal soluion, unable o solve he condiions. à DSolve::bvfail: Fo some banches of he geneal soluion, unable o solve he condiions. à Ou[7]= 8< g Nelineání difeenciální ovnice ϕ& & sinϕ = 0 nelze řeši analyicky

8 Příklad ečné a nomálové souřadnice (3). Numeické řešení In[6]:= g = 9.8; = 5.; m =.; ü výpoče fi[] In[7]:= esenin = NDSolveB: g Sin@fi@DD fi''@d, fi@0d Degee, fi'@0d 0>, fi, 8, 0, 4<F@@DD Ou[7]= 8fi InepolaingFuncion@880., 4.<<, <>D< In[8]:= PloBEvaluaeB fi@d Degee 0 00 ê. eseninf, 8, 0, 4<, Fame Tue, FameLabel 8"@sD", Ou[8]= fi@degd

9 Příklad ečné a nomálové souřadnice (4) ü výpoče nomálové eakce n[] In[9]:= In[0]:= n@_d = m Ig Cos@fi@DD Hfi'@DL M ê. esenin; Plo@n@D, 8, 0, 4<, Fame Tue, FameLabel 8"@sD", Ou[0]= ü Čas a míso, kde se led oddělí od sřechy In[]:= = ê. FindRoo@n@D 0, 8, 3<D Ou[]= 3.74 In[]:= fi@d ê. esenin Degee Ou[]=

10 Zákon zachování enegie (ZZE) m v m v F s s = ( ) ds s 443 W.. páce vnějších sil - změna (kineické) enegie sysému je ovna páci vykonané působícími silami na odpovídající dáze Pozo: skalání součin páci konají jen síly ve směu pohybu ODVOZENÍ ZZE (D) dv F = m a = m d dv F( x) dx = m dx = d m v dv ZZE = posoový inegál Newonových pohybových ovnic síla F nekoná páci

11 Poenciální enegie, konzevaivní síly Konzevaivní síla F = U U.. poenciální enegie x du du = dx dx D: F... F( x) dx = dx = U( x ) U( x ) x x x.. páce konzevaivních sil nezávisí na dáze, pouze na počáečním a konečném savu T + U = W, n W n.. páce nekonzevaivních sil ( T + U ) ( T + U ) = W { n celková enegie na konci děje celková enegie na začáku děje páce vnějších nekonzevaivních sil (případně záponě vzaá disipovaná enegie)

12 Příklady konzevaivních sil v mechanice. Tíhová síla a poenciální enegie íhového pole U = mg h F = du dh = mg. Poenciální enegie lineání pužiny z definice lineání pužiny F = k x, k.. uhos [N/m] x W = F s = 0 ( ) ds = k x Upuž

13 Páce řecích sil s = 3 ( x) dx F s WT FT = 0 kons. T Pozn.: řecí síly nejsou konzevaivní (páce závisí na dáze)

14 Příklad 3 řešení úloh dynamiky ze ZZE Po uvolnění pužiny slačené o délku l 0 je ěleso vysřeleno vzhůu po nakloněné ovině. Součiniel smykového ření mezi ělesem a podložkou je f. Jaká bude ychlos ělesa v ve vzdálenosi L? Řešení: A. uvolnění, sesavení pohybových ovnic, řešení ODE. Možné, ale velmi pacné. B. ze zákona zachování enegie: Sav : U = k l0 + 0, T = 0 Sav : Páce řecích sil: U = ( α), T m = 0 + mgl sin v = WT FT ds = mg cos ( α) f L Enegeická bilance: ( + U ) = ( T + U ) W T kl0 = mgl sinα = ( ) + mv mgl f cos( α) v...

15 Zákon zachování hybnosi m v ( ) m v( ) = F( ) d 443 Impuls sil Změna hybnosi sysému mezi časy a je ovna impulsu působících sil v omo časovém inevalu ODVOZENÍ (D) dv F = m a = m d ( ) d = F m dv d d = mv m v zákon zachování hybnosi = časový inegál Newonových pohybových ovnic

Podobné dokumenty

Dynamika hmotného bodu. Petr Šidlof

Dynamika hmotného bodu. Petr Šidlof Per Šidlof Úvod opakování () saika DYNAMIKA kinemaika Dynamika hmoného bodu Dynamika uhého ělesa Dynamika elasických ěles Teorie kmiání Aranz/Bombardier (Norwegian BM73) Před Galileem, Newonem: k udržení