Příklady 1. Klasická pravděpodobnost 1. Házíme dvakrát kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že padne alespoň jedna šestka? 2. Základy teorie pravděpodobnosti vznikly v korespondenci mezi dvěma slavnými francouzskými matematiky B. Pascalem a P. de Fermatem v roce 1654. Zabývali se mimo jiné problémem, se kterým přišel šlechtic Chevalier de Méré (velký milovník hazardních her). Ze zkušenosti věděl, že je výhodné sázet na to, že při 4 hodech šestistěnnou kostkou padne šestka. Usuzoval, že při 24 hodech dvěmi kostkami bude opět výhodné vsadit na to, že padnou na obou kostkách šestky. Ukázalo se však, že tomu tak není. Spočtěte pravděpodobnost, že při 4 hodech padne aspoň jednou šestka a pravděpodobnost, že při 24 hodech dvěmi kostkami padnou aspoň jednou dvě šestky. 3. Jaká je pravděpodobnost nejvyšší výhry ve hře Šťastných deset? Je třeba uhodnout 10 čísel, přičemž se táhne 20 čísel z osmdesáti. 4. Ve skříni máme pět párů ponožek (černé, hnědé, bílé, modré a červené). Ponožky jsou pomíchané. Ráno náhodně vytáhneme dvě ponožky. Jaká je pravděpodobnost, že a) je mezi nimi černá ponožka, b) jedna je bílá a druhá je modrá, c) jedna je červená a druhá není hnědá, d) obě mají stejnou barvu? 5. Úloha o vadných fotoaparátech: v továrně bylo v sadě 20 aparátů objeveno, že 3 musí být znovu seřízeny. Nedopatřením však došlo k tomu, že tyto 3 přístroje byly vráceny do série a ta se teď musí prohlédnout znovu. a) Jaká je pravděpodobnost, že budeme muset prohlédnout více než 17 přístrojů? b) Jaká je pravděpodobnost, že budeme muset prohlédnout právě 17 přístrojů? c) Jaký je nejpravděpodobnější počet přístrojů, které budeme muset prohlédnout? 2. Nezávislost, podmíněná pravděpodobnost 1. A,B jsou neslučitelné jevy. P (A) 0, P (B) 0. Jsou tyto jevy nezávislé? 2. První skupina studentů vyřeší úlohu s pravděpodobností 2/5 a druhá s pravděpodobností 1/3. Každá skupina se snaží úlohu nezávisle vyřešit. S jakou pravděpodobností bude úloha vyřešena? 3. V osudí je a bílých koulí a b černých koulí. Vytáhneme jednu kouli, zaznamenáme její barvu a zase ji do osudí vrátíme. Po promíchání opět vytáhneme jednu kouli. Nechť náhodný jev A znamená, že první vytažená koule je bílá a jev B, že druhá vytažená koule je bílá. Jsou jevy A a B nezávislé? Jak je tomu v případě, kdy první vytaženou kouli do osudí nevracíme? 4. Házíme dvěma hracími kostkami. Jev A znamená, že na první kostce padlo liché číslo, jev B znamená, že na druhé kostce padlo sudé číslo, jev C znamená, že součet obou čísel je lichý. Jsou náhodné jevy A, B, C nezávislé? Jsou náhodné jevy A, B, C po dvou nezávislé? 5. Určitý člověk navštívil během dne 4 obchody. V každém obchodě s pravděpodobností 1/4 zapomněl deštník. Domů přišel bez deštníku. Jaká je pravděpodobnost, že ho zapomněl ve čtvrtém obchodě? 6. Házíme dvěma šestistěnnými kostkami. Jaká je podmíněná pravděpodobnost toho, že na jedné kostce padne šestka za podmínky, že celkový součet je 8? 7. První dítě z dvojčat je chlapec. Jaká je pravděpodobnost toho, že i druhé dítě je chlapec, jestliže je u dvojčat pravděpodobnost narození dvou chlapců rovna p, dvou děvčat rovna q a u dvojčat obojího pohlaví je pravděpodobnost dřívějšího narození stejná pro obě pohlaví? 3. Bayesův vzorec, geometrická pravděpodobnost 1
1. V osudí je 8 koulí (5 bílých a 3 černé). Vytáhneme postupně dvě koule (nevracíme je zpět do osudí). Určete pravděpodobnost, že právě jedna z dvou vytažených koulí je bílá (zkuste přitom využít vzorce pro úplnou pravděpodobnost). 2. Cestovatel přijede do města, kde je 30% lhářů, 15% náladových a 55% normálních lidí. Lháři lžou s pravděpodobností 0,9. Normální lidi mluví s pravděpodobností 0,75 pravdu. Náladoví lidé v polovině případů lžou a v polovině říkají pravdu. Cestovatel potkal jednoho z obyvatel města a zeptal se ho, jestli je normální. Jaká je pravděpodobnost, že mu cizinec odpoví, že je normální? 3. Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Náhodně vybraná osoba má dlouhé vlasy. Jaká je pravděpodobnost, že je to dívka? 4. V dílně pracuje 10 dělníků, kteří za směnu vyrobí stejný počet výrobků. Skupina A pěti dělníků vyrobí 96% standardních, skupina B tří dělníků 90% a skupina C dvou dělníků jen 85% standardních výrobků. Všechny výrobky jsou uložené ve skladu. Náhodně jsme vybrali jeden výrobek a zjistili, že je standardní. Jaká je pravděpodobnost, že ho vyrobila skupina A pěti dělníků? 5. Dvě osoby A a B si smluvili schůzku na daném místě v neurčitém čase mezi 12:00 a 13:00. Každý z nich je ochoten čekat na druhého maximálně 10 minut. Předpokládáme, že přijdou nezávisle na sobě a okamžiky příchodu jsou stejně možné kdykoliv během uvedené hodiny. Určete pravděpodobnost, že se opravdu sejdou. 6. Na úsečce délky l jsou náhodně umístěny 2 body. S jakou pravděpodobností lze z takto vzniklých tří úseček sestrojit trojúhelník? 7. (Maxwellův-Boltzmannův model) Mějme k koulí očíslovaných 1, 2,..., k a n přihrádek. Každou kouli náhodně vhodíme do jedné z přihrádek. Jaká je pravděpodobnost, že v první přihrádce je právě m koulí? 4. Náhodná veličina 1. Předpokládejme, že X má diskrétní rozdělení takové, že platí P (X = k) = ck 2 pro k = 1, 2, 3 a P (X = k) = 0 jinak. Spočtěte a) hodnotu c, b) P (X 2), c) P (X {1, 3}). 2. Nechť X má binomické rozdělení s parametry n = 4 a p = 2/3. Označme Y = (X 2) 2 Určete rozdělení Y (tj. jakých hodnot a s jakou pravděpodobností veličina Y nabývá) a nakreslete její distribuční funkci. 3. (Poissonova věta) Nechť náhodná veličina X n má binomické rozdělení s parametry (n; p n ), nechť p n (0, 1) tak, že lim n np n = λ, kde λ (0, ). Ukažte, že lim P (X n = k) = e n λ λk, pro k = 0, 1,.... k! 4. V urně je 8 bílých a 6 černých koulí. Vytáhneme 5 koulí (bez vracení). Určete rozdělení počtu vytažených bílých koulí. 5. Náhodná veličina X má exponenciální rozdělení s parametrem λ. Určete rozdělení náhodné veličiny Y = [X], kde [x] značí celou část čísla x. 6. Náhodná veličina X má distribuční funkci 0 pro x 0, F (x) = cx 2 pro 0 x < 1, 1 pro 1 x. Jaké hodnoty může nabývat konstanta c? 2
7. Rozhodněte, které z následujících funkcí jsou hustotami: a) cx pro x (0, 1), b) cx pro x ( 1, 2), c) cx sin x pro x ( π 2, π 2 ), d) ce x pro x (0, ), e) ce x pro x (0, ), c d) 1+x. 2 Mimo vymezený interval je nabízená funkce vždy rovna nule a c je vhodná konstanta. Pokud daná funkce je hustotou, tuto konstantu určete. 8. Dokažte, že exponenciální rozdělení je rozdělení bez paměti. To znamená, že pro náhodnou veličinu X, která má exponenciální rozdělení s parametrem λ, platí P (X x + y X x) = P (X y), x, y > 0. 5. Střední hodnota, rozptyl 1. Nechť X má rovnoměrné rozdělení na intervalu ( 1, 1). Určete distribuční funkci náhodné veličiny Y = X 2 a spočtěte P ( 1 4 Y < 3 4 ), E Y a var Y. 2. Z urny obsahující 2 bílé koule a 2 černé koule vybíráme za sebou s vracením 2 koule. Definujeme náhodné veličiny X 1, X 2 následovně: { 1 jestliže první tažená koule je bílá, X 1 = 0 jestliže první tažená koule je černá, { 1 jestliže druhá tažená koule je bílá, X 2 = 0 jestliže druhá tažená koule je černá. Určete distribuční funkci vektoru (X 1, X 2 ) a zjistěte, zda jsou náhodné veličiny X 1 a X 2 nezávislé. 3. Náhodná veličina nabývá hodnot k = 1, 2,..., n s pravděpodobností, která je úměrná k. Určete střední hodnotu takové náhodné veličiny. Návod: Využijte vztahu n k=1 k2 = 1 6n(n + 1)(2n + 1). 4. Nechť X má normované normální rozdělení N(0, 1). Spočtěte E e X2 /4. 5. Náhodná veličina X má hustotu f(x) = 1 2 sin x, 0 < x < π. Spočtěte její distribuční funkci a střední hodnotu. 6. Náhodná veličina X má hustotu f(x) = 3x 2, 0 < x < 1. Určete E 1 X a var 1 X. 6. Náhodný vektor 1. Házíme třikrát mincí. Označme X počet líců v prvních dvou hodech a Y počet rubů v posledních dvou hodech. Určete sdružené rozdělení vektoru (X, Y ). Jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé? 2. Hodíme šestistěnnou kostkou a označíme X počet ok na kostce vydělený dvěma a zaokrouhlený nahoru. Potom hodíme X-krát mincí a počet orlů označme Y. Najděte sdružené rozdělení vektoru (X, Y ) a odtud marginální rozdělení veličiny Y. 3. Náhodný vektor (X, Y ) má hustotu f(x, y) = { cxye (x2 +y 2 ) 0 jinak. pro x 0, y 0 Určete c tak, aby f byla hustota. Spočtěte hustotu X a hustotu Y. Jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé? Spočtěte E (X 2 + Y 2 ). 3
4. Dvojice součástek má dobu života popsánu sdruženou hustotou 1 f X,Y (x, y) = 2 e x y/2 pro x > 0, y > 0 0 jinak. a) Jaká je pravděpodobnost toho, že druhá součástka přežije první? b) Jaká je pravděpodobnost toho, že první součástka alespoň dvakrát přežije druhou součástku? 5. Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení a) na intervalu (0, 2), b) na intervalu ( 1, 1). Označme Y = X 2. V obou případech spočtěte kovarianci veličin X a Y. 8. Asymptotické vlastnosti 1. Házíme stokrát šestistěnnou kostkou. Určete přibližnou hodnotu pravděpodobnosti, že výsledný součet leží v intervalu (320, 380). 2. Nechť ν n značí poměrnou četnost líců v n hodech mincí (mince je symetrická a hody provádíme nezávisle). Zjistěte kolik musíme provést hodů, aby pravděpodobnost jevu ν n 1 2 0, 05 byla nejméně 0, 95, a) řešte pomocí Čebyševovy nerovnosti, b) řešte pomocí centrální limitní věty. 3. Mějme náhodný pokus, který skončí s pravděpodobností p = 0, 3 úspěchem a s pravděpodobností q = 0, 7 neúspěchem. Označme ν n poměrnou četnost úspěchů v n pokusech (tj. počet úspěšných pokusů vydělený počtem všech pokusů). Pomocí aproximace normálním rozdělením určete kolik musíme provést pokusů, aby pravděpodobnost, že ν n se neliší od p o víc než 0, 01, byla alespoň 0, 9. 4. Pojišťovna pojišťuje 1 000 lidí stejného věku. Pravděpodobnost úmrtí během roku je pro každého z nich 0, 01. Každý pojištěnec zaplatí 150 korun. V případě úmrtí vyplatí rodině 10 000 korun. Jaká je pravděpodobnost, že pojišťovna utrpí ztrátu? Použijte centrální limitní větu! 9. Náhodný výběr 1. Bylo sečteno 300 čísel zaokrouhlených na 1 desetinné místo. Pomocí centrální limitní věty určete, jak velká je pravděpodobnost, že absolutní hodnota chyby součtu vzniklého zaokrouhlením není větší než 1. 2. Jaká je pravděpodobnost, že při 10000 hodech symetrickou mincí padne rub více než 4900 krát? Použijte centrální limitní větu. 3. Nechť X 1,..., X n jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny s normovaným normálním rozdělením N(0, 1). Náhodná veličina Z n = n i=1 X2 i má χ2 -rozdělení o n stupních volnosti. Spočtěte střední hodnotu a rozptyl Z n. Návod: Pro výpočet rozptylu využijte toho, že EX1 4 = 3. 4. Nechť X 1,..., X n jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny s rovnoměrným rozdělením na (0, 1). Označme U = max 1 i n X i, V = min 1 i n X i. Stanovte distribuční funkce a hustoty náhodných veličin U a V. Určete EU, varu, EV, varv. 10. Testování hypotéz I. 1. Nechť X 1,..., X n jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny se střední hodnotou 2 a směrodatnou odchylkou 2, 5. Jaká je pravděpodobnost, že jejich součet nepřesáhne 1900, pokud n = 900? 4
2. Během 16 červencových dnů byly naměřeny následující teploty: 22 26 28 24 27 20 29 32 28 21 25 27 26 28 30 22 Testujte hypotézu, že průměrná teplota v červenci je 25 C. Volte hladinu testu α = 0, 05. 3. Dle výrobce má mít auto na 100 km průměrnou spotřebu 9 l. U 20 náhodně vybraných aut byla zjištěna následující spotřeba: 8, 8 8, 9 9, 0 8, 7 9, 3 9, 0 8, 7 8, 8 9, 4 8, 6 8, 9 9, 2 9, 4 8, 9 9, 1 8, 8 9, 4 9, 3 9, 1 8, 9 Potvrzují naměřené hodnoty tvrzení výrobce? Volte hladinu testu α = 0, 05. 4. U několika leváků byla měřena síla stisku levé a pravé ruky. Levá 140 90 125 130 95 121 85 97 131 110 Pravá 138 87 110 132 96 120 86 90 129 100 Potvrzují data domněnku, že levá ruka je silnější? 11. Testování hypotéz II. 1. Má se rozhodnout, zda se u osobního automobilu určité značky při správném seřízení geometrie vozu sjíždějí obě přední pneumatiky stejně rychle. Bylo proto vybráno 6 nových vozů a po určité době bylo zjištěno, o kolik milimetrů se sjely jejich pravé a levé přední pneumatiky. Číslo automobilu 1 2 3 4 5 6 Pravá pneumatika 1, 8 1, 0 2, 2 0, 9 1, 5 1, 6 Levá pneumatika 1, 5 1, 1 2, 0 1, 1 1, 4 1, 4 Lze na základě získaných dat zamítnout hypotézu, že se obě přední pneumatiky sjíždějí stejně rychle? 2. Ve třídě byly zjištěny následující výšky žáků: Chlapci 130 140 136 141 139 133 149 151 139 136 138 142 127 139 147 Dívky 135 141 143 132 146 146 151 141 141 131 142 141 Testujte, zda chlapci a dívky jsou v průměru stejně vysocí. Volte α = 0, 05. 3. Sleduje se účinek dvou protikorozních látek. První byla použita ve 20 případech, druhá ve 25 případech. Po stanovené době byl zjištěn stupeň poškození s těmito výsledky: X 1 = 82, 4, s 2 1 = 12, X2 = 80, s 2 2 = 10. Volte hladinu α = 0, 05. Jaký by byl závěr na hladině α = 0, 01? Doplňte předpoklady! 4. Bylo zjišťováno IQ u 11 chlapců a 10 dívek. Aritmetický průměr a výběrový rozptyl byl následující: průměr rozptyl Chlapci 104, 55 150, 1 Dívky 114, 3 112, 7 Umožňují nám data prohlásit, že chlapci i dívky mají v průměru stejné IQ? Jaká by byla situace v případě, že kdybychom chtěli ověřit, zda dívky mají v průměru větší IQ? Volte hladinu α = 0, 05. 12. Intervalové odhady 5
1. Předpokládáme, že výška chlapců ve věku 9, 5 až 10 let má normální rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámou střední hodnotou µ a známým rozptylem σ 2 = 39, 112. Změřili jsme výšku n = 15 chlapců a vypočítali výběrový průměr X = 139, 13. Určete 99%-ní interval spolehlivosti pro neznámý parametr µ. 2. Mějme náhodný výběr X 1,..., X 12 z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámou střední hodnotou µ a neznámým rozptylem σ 2. Vypočítali jsme výběrový průměr a výběrový rozptyl X = 14, 306, s 2 = 0, 327. Najděte 95%-ní interval spolehlivosti pro střední hodnotu µ. 3. Opět mějme náhodný výběr X 1,..., X 20 z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámou střední hodnotou µ a neznámým rozptylem σ 2. Vypočítali jsme výběrový průměr a výběrový rozptyl X = 995, 6, s 2 = 134, 70. Najděte 95%-ní interval spolehlivosti pro střední hodnotu µ. Pak najděte 95%-ní a 99%-ní interval spolehlivosti pro rozptyl σ 2. 6