SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY A SÍLY ELEKTROMAGNETICKÉHO POLE (Ladisla Szántó) K nejětším přínosům Maxwelloýh roni patří konstatoání, že ryhlost šíření elektro- a magnetikýh ln (sětla) e akuu záisí jedině na dou konstantáh, na permitiitě akua ε na permeabilitě akua µ, podle ronie = 1/εµ. Tento obje na koni 19. století podnítil inten- a ziní bádání o poaze sětla, které yústilo teorii relatiity. Einstein poažuje Faradayoou Maxwelloou teorii elektromagnetikého pole za nejzáažnější proměnu, kterou základy fyziky prodělaly od Newtonoy doby [P1]. Parafráze tohoto Einsteinoa ýroku může znít: teorie relatiity předstauje nejětší proměnu obsahu základníh pojmů mehaniky od Newtonoy doby. V prníh statíh této přílohy ododíme fundamentální transformae teorie relatiity, abyhom pak posledníh třeh statíh uedli jakým způsobem se tato teorie podílí na ýkladu sil působííh na odiče s proudy elektromagnetikém poli. Relatiistiká dilatae času, kontrake délky a z nih yplýajíí další poznatky jsou natolik odporujíí zkušenostem čloěka zdraého rozumu, jehož názory se yinuly pozemskýh podmínkáh relatině nízkýh ryhlostí a slabýh graitačníh polí, že čloěk má sklon poažo- at uedené zákony jen za matematiké šibalstí. Niméně, s dopady teorie relatiity ědi musí počítat laboratoříh při bádání mikrosěta a kosmikýh jeů. Běžný občan taky z nih těží, jelikož např. přístroje GPS (Global Positioning System) naigae, dnes již běžně užíané i au- teh, bez zohlednění kontrake délky a dilatae času by nefungoaly spráně. V posledníh třeh statíh ukážeme, že i běžné stroje dománosteh yužíajíí síly elektromagnetikýh políh jsou příkladem aplikae prinipů teorie relatiity. Přes sé neočekáané ýody a záěry je teorie relatiity založena na dou zdánliě samo- děje probíhají stejně e šeh ineriálníh sousta- zřejmýh předpokladeh - postuláteh. Postulát A Mehaniké a elektromagnetiké áh (pohybujííh se ronoměrně přímočaře bez rotae). Jinými sloy, šehny fy- zikální zákony lze yjádřit roniemi, jenž mají stejný tar e šeh ineriálníh sou- staáh. Znamená to, že kdybyhom opakoali Coulomboy pokusy s elektrikými náboji, nebo hráli kulečník e laku, který se pohybuje ronoměrně přímočaře, ýsledky by dopadly stejně jako na nádraží. Postulát č. 1 je znám také pod názem prinip speiální relatiity. Postulát B Ryhlost sětla je e šeh ineriálníh soustaáh stejná. Konstantnost ryhlosti sětla yplýá z Maxwelloýh roni. Mihelsonů-Morleyů experi- Obená teorie relati- ment se dnes poažuje za experimentální potrzení tohoto postulátu. Nutno dodat, že uedené postuláty platí pro tz. speiální teorii relatiity. ity je založena na ještě obenějšíh postuláteh a speiální teorie relatiita je její limitní případ. 1. Mihelsonů-Morleyů experiment 1 Jak jsme již uedli, k nejětším přínosům Maxwelloýh roni patří konstatoání, že ryhlost šíření elektromagnetikýh ln (sětla) e akuu záisí jedině na dou konstantáh, na permitiitě akua ε a na permeabilitě akua µ, podle ronie = 1/εµ. Řekne-li se lna, zpomeneme si na lnění zduhu přenášejíího zuk díky hění molekul. Jenže o přenáší elektromagnetiké lny? Fyzii 19. století se domníali, že je to neznámá látka zaná ether, němž se sětlo šíří. [P1] A. Einstein: Teorie relatiity a jiné eseje, nakl. PRAGMA, str. 5. Postulát, prinip a taky axiom jsou synonyma pro trzení, které toří ýhodisko pro určitý ědeký obor. Přijímá se bez důkazů. Niméně je to abstrake určitýh praktikýh zkušeností nebo ílenýh experimentů. L. Szántó: Speiální teorie relatiity a síly elektromagnetikého pole
Mihelson a Morley htěli dokázat tz. absolutní pohyb Země zhledem k domnělému etheru pomoí změny ryhlosti sětla e směru pohybu Země a proti němu. Pokusy proáděli leteh 1881-1887 pomoí interferometru lastní konstruke, který budeme označoat M-M interferometr. Za ytoření preizního optikého přístroje a za jeho použití při spektroskopikýh a metrologikýh měřeníh obdržel Mihelson Nobeloou enu roe 1907. Obr. 1 Mihelsonů-Morleyů interferometr a skia experimentu Díly S, P, Zk, Zp a D na Obr. 1 předstaují hlaní komponenty M-M interferom etru, který se nahází kartézském souřadnioém systému x, y, z na Zemi. S je zdroj monohromatikého sětla, P je poloprůzračné zradlo. Zk je odrazoé zradlo e směru y od P. Zp je odrazoé zradlo e směru x od P. D je detektor, na kterém se yhodnouje interferene složek sětelného paprsku šíříími se po dráze f-e resp. g-h. Vzdálenost Zk a Zp od P je obou směreh přesně L. Konstruke interferometru umožňuje otáčení okolo jeho kolmé osy na roinu P-Zk-Zp. V následujííh několik odstaíh uedeme analýzu pohybu sětla M-M interferometru z pohledu prinipu Galileiho relatiity. Ueďme hned zde, že Galileiho relatiita se ukázala být rozporu s M-M experimentem. Pohybuje-li se interferometr ryhlostí proti směru ryhlosti sětla, proběhne sětlo dráhu L za dobu t 1 = L/( + ), jak to yplýá z prinipu Galileiho relatiity, kterou se řídíme běžném žiotě. Pohybuje-li se interferometr ryhlostí e směru ryhlosti sětla, absoluje sětlo dráhu L za dobu t = L/( ). Při ryhlost kolmé k ryhlosti sětla proběhne sětlo dráhu L za dobu t 3 = L/. Pro paralelní ryhlost sětla a interferometru z toho yplýá, že sětlo absoluje zdálenost L od poloprůzračného zradla P k zradlu Zp a spět za dobu t 1 + t = L/( + ) delší než po- a kol- třebuje sětlo kolmém směru na zdolání zdálenosti L od P k odrazoému zradlu Zk a spět: L/. Paprsek tak po dráze f +e dorazí k detektoru D dří než paprsek po dráze g + h. Při kolmosti směrů a je tomu naopak. Paprsek po dráze g + h doběhne k detektoru D dří než po dráze e + h. Rozdíl mezi ýsledky při paralelníh ryhlosteh a na jedné straně mýh ryhlostí na straně druhé by se projeil posunu interferenčního obraze na detektoru D. Z podstaty ěi yplýá, že tento posun je tím ýraznější čím je ryhlost interferometru ětší zhledem k ryhlosti sětla. Proto půodním experimentu se uažoalo s pohybem Země na oběžné dráze kolem slune ryhlostí a. = 3.10 4 m/s. Uedené ýsledky se očekáaly na základě skládání ryhlostí podle prinipu Galileiho relatiity. Jenže Mihelsonů-Morleyů experiment ukázal, že interferenční obraze se nemění se smě- aplikae modeluje rem ryhlosti zhledem k ryhlosti sětla, a tudíž ryhlost sětla nezáisí na pohybu Země. Tento záporný ýsledek je yjádřen Einsteinoě formulai prinipu: ryhlost sětla je e šeh ineriálníh soustaáh stejná. M-M experiment zároeň znamenal kone hypotézy o existeni etheru. Animai M-M experimentu lze sledoat pomoi přiložené aplikae Mihelsonů experiment. Přiložená experiment: L. Szántó: Speiální teorie relatiity a síly elektromagnetikého pole
3 Důsledky plynouí z Postulátů A a B názorně ododíme, když budeme předpokládat, že sětlo S je ysílané z rakety ypuštěné ze Země. Budeme sledoat putoání sětla M-M interferomet- ru jak ho idí pozoroatel laboratoři a kosmonaut z raketoplánu (Obr. ). Animai tohoto modelu lze sledoat přiložené aplikai STR ilustrae. 1) Podle Galileiho relatiity: a) ryhlost sětla a ryhlost interferometru mají paralelní směr, b) ryhlost sětla a ryhlost interferometru mají zájemně kolmý směr, ) interferometr rotuje: mění sůj směr od -45 o do +45 o zhledem k. ) Podle speiální teorie relatiity (STR).. Dilatae času Obr. Pohled pozemšťana na trasu sětla yslaného z rakety Po dopadu paprsku sětla (d) na poloprůzračné zradlo se tento rozštěpí na paprsek (f) a (g). Paprsek (g) se odrazí od zradla Zp a rátí se k poloprůzračnému zradlu za dobu L t =, (1) kde je ryhlost sětla. Za stejnou dobu proběhne paprsek i dráhu (e)-(f). Dnes to íme díky uedeným postulátům a každodenním zkušenostem. Takto to idí pozemšťan a registrují to jeho přístroje kartézské soustaě x, y, z. Doba t je čas ázán na kartézskou soustau x, y, z. Je to jakési místní čas. Z letíí rakety se kosmonautoi trasa sětla interferometru jeí jinak, než je znázorněno na Obr.. Z tohoto pohledu planeta Země s interferometrem na jejím porhu se pohybuje ryhlosti zhledem k raketoplánu. Než dorazí paprsek od poloprůzračného zradla k zradlu Zk, posune se M-M interferometr o τ, kde τ je čas který platí soustaě x, y, z rakety (Obr. 3). Dráhu paprsku na tomto úseku předstauje přepona praoúhlého trojúhelníka jejíž délka je dána Pythagoroou ětou. Paprsek šíříí se ryhlostí k překonání této dráhy potřebuje čas τ, pro který po elementárníh úpraáh dostaneme: 1 L τ =. kde L je konstrukční zdálenost zradla Zk od poloprůzračného zradla P. Na její elikosti nezáleží, protože konečném zori (3) se tato eličina yruší. Stejně dlouhou dobu potřebuje paprsek odražený od Zk (Obr. ) k dosažení poloprůzračného zradla P. Tudíž paprsek na překonání dráhy P-Zk-P potřebuje čas: L. Szántó: Speiální teorie relatiity a síly elektromagnetikého pole
4 1 L t =, () kde t je čas měřený hodinami na soustaě x, y, z (kosmonaut jiné ani nemá). Poronáním ronie (1) s ronií () dostaneme proslulý ztah zaný dilatae času: t 1 = (3) t a) Paprsek ze zdroje S práě dopadl na poloprůzračné zradlo P. Odsud jedna část paprsku pokračuje směrem k zradlu Zk a druhá část přímým směrem k zradlu Zp. b) Paprsek práě dopadl na zradlo Zk, ašak přímý paprsek ještě nedosáhl k zradlu Zp. Dě události dopadu paprsků na zradlo Zk resp. Zp nejsou současné, na rozdíl od těhto událostí soustaě x, y, z pro pozemšťana. Pojem "současnost" je relatiní, o je jedné soustaě současné, nemusí být současné druhé soustaě. ) Přímý paprsek práě dopadl na zradlo Zp. Od zradla Zk odražený paprsek ještě neuspěl dosáhnout poloprůzračné zradlo. d) Paprsky odražené od zradel Zk a Zp současně dopadly na poloprůzračné zradlo P, odkud se šíří směrem k detektoru D interferometru. interferometr práě itliý. e) Na detektoru D interferometru se potrdí, že da paprsky, jeden po dráze P-Zk-P-D a druhý po dráze P-Zp-P-D, dorazily současně bez zájemného fázoého posunu, na o je Obr. 3 Vyhodnoení šíření paprsku M-M interferometru z pohledu soustay x, z, y (kosmonauta) Jak je znázorněno na Obr. 3b, za dobu τ nestačí přímý paprsek dopadnout na zradlo Zp, které před přímým paprskem utíká. Znamená to, že dopad paprsků na zradla Zk resp. Zp soustaě x, y, z se neuskuteční současně tak jako je tomu soustaě x, y, z. Odrazený paprsek od zradla Zk je už na estě k poloprůzračnému zradlu, když přímý paprsek tepre dopadne na zradlo Zp (Obr. 3). Současnost je pojem relatiní. Co je jedné soustaě současné, nemusí být současné druhé soustaě. L. Szántó: Speiální teorie relatiity a síly elektromagnetikého pole
5 Odrazený přímý paprsek od zradla Zp se šíří stří poloprůzračnému zradlu P a dopadne na něho současně i s paprskem odrazeným od Zk (Obr. 3d). O současném dopadu obou paprsků na P ydají sědetí interferenční obrázky po dopadu obou paprsků na detektor D (Obr. 3e). 3. Kontrake délky Kdyby kosmonaut potřeboal zjistit konstrukční zdálenost mezi poloprůzračným zradlem P a odrazoým zradlem Zp, nemá jinou možnost než měřit čas, který sětlo potřebuje k překonání dráhy (g) mezi P a Zp (Obr. 3) a zpětné dráhy (h) mezi Zp a P (Obr. 3d). Kosmonaut měří délku pomoí času, ož není ni neobyklé. Jednotka délky metr soustaě SI jednotek je taky definoána pomoí času. I každodenním žiote na otázku jak daleko máte do práe? můžete obdržet odpoěď pět minut pěšky. V případě M-M interferometru měření délky pomoí času je o to přesnější, že ryhlost sětla je unierzální konstanta podle Postulátu B e šeh ineriálníh soustaáh. Je nezbytné zdůraznit, že zdálenost mezi P a Zp měří kosmonaut rozdílem času dou událostí, které se odehrají na stejném objektu: rozštěpení paprsku na P a dopad odrazeného paprsku od zradla Zp na P. Dě události se odehrají na stejném místě, ale rozdílném čase. Stejné místo událostí neyžaduje koreki času, která by byla nutná případě prostoroé odlehlosti dou udá- lostí, jelikož hodiny neměří čas kdy se událost odehraje, ale čas kdy zpráa (sětlo) o události k hodinám dorazí. Čas, za který sětelný paprsek překoná dráhu (g) mezi poloprůzračným zradlem P a odrazoým zradlem Zp, se yjadřuje ronií t d = L + t d, jelikož Zp se za dob t d zdálilo od sé půodní polohy. Odtud yplýá t = L d. + Délka L je konstrukční zdálenost zradel P a Zp jak je pozoroána a měřená ze soustay x, y, z. Kosmonaut prostě neí, že pozemšťan udáá její délku L. Podobně t d a t e jsou časoé údaje na- Zp a P je potřebná doba měřené kosmonautem, jenž yjadřuje čas tím samým zorem jako pozemšťan souladu s Postulátem A. Odrazenému sětlu yhází poloprůzračné zradlo stří po dráze (h), a tak k překonání zdálenosti mezi t = L e. Celko á doba t putoání sětla od poloprůzračného zradla P a zpět přes odrazoé zradlo Zp pro kosmonauta trá: 1 1 L 1 t = t d + t e = L + =. (4) + V soustaě pozemšťana x, y, z pro to samé šíření se sětla od P k zradlu Zp a zpět k P (Obr. 3) platí ronie (1). Vydělením ronie (4) ronií (1) a po dosazení t / t z ronie dilata- e času (3) dostaneme: L = L. (5.5) To je slaná ronie kontrake délek teorie relatiity, kterou jsme htěli této stati ododit. Kontrake délek říká, že délka L soustaě x, y, z, která se pohybuje ryhlostí zhledem k soustaě x, y, z, má z pohledu posledně jmenoané soustay (kosmonauta) hodnotu kratší L. Obrazně řečeno, estujíí e laku, který míjí nádraží konstantní ryhlostí, idí lidi štíhlejšími než je idí ýpračí. Platí to přirozeně i opačně: estujíí e laku jsou postáajíími lidmi na L. Szántó: Speiální teorie relatiity a síly elektromagnetikého pole
6 nádraží iděni štíhlejšími. Praktiky to nikdo nepozoruje, protože ryhlost laku je podstatně menší než ryhlost elektromagnetikýh ln. Kontrake délek má směroé lastnosti. Kontrake se projeuje na délkáh paralelníh se smě- rem ryhlosti iděné z druhé ineriální soustay. Na délkáh e směru kolmém na se kon- trake délek neprojeuje. Proto je pro kosmonauta a jeho přístroje délka ramene P-Zp interferometru kratší než P-Zk, ač konstruktér ěnoal maximální úsilí dosáhnout stejnou délku. Dilatae času sie záisí na hodnotě ryhlosti, ašak e šeh směreh je stejná. Nemá směroé lastnosti. 4. Relatinost současnosti V souislosti s ýkladem průběhů událostí M-M interferometru z pohledu kosmonauta jsme ukázali na Obr. 3, že současné události interferometru soustaě x, y, z nejsou současné jiné ineriální ztažné soustaě x, y, z. Událostmi zde míníme dopad paprsků na zradla Z k resp. Z p,, když sůj půod mají na poloprůzračném zradle P. Z pohledu pozemšťana podle Obr. oba paprsky dopadnou současně na zradla s časoou prodleou t = L / od jejih ýstupu z poloprůzračného zradla. Jinak to idí kosmonaut a registrují to jeho přístroje. Na Obr. 3b je znázorněn okamih, kdy paprsek dopadl na zradlo Z k, ale na Z p ještě ne. Časoá prodlea dopadu paprsku je t k = L /, jelikož se jedná o překonání zdálenosti L e směru kolmém na směr pohybu soustay x, y, z. Za tuto dobu paprsek e směru pohybu soustay x, y, z ujede taky zdálenost L, ale nedosáhne na zradlo Zp, protože mu zradlo ujelo. Než ho dostihne uplyne od počátku ýstupu z poloprůzračného zradla P doba t p = L / +. t p /. Odtud pro dobu dopadu paprsku na zradlo Zp dostaneme: L t p =. Z pohledu kosmonauta tak dopadnou paprsky na zradlo Zp resp. Zk s časoým rozdílem L L L t = =. ( ) 5. Relatiistiká hmotnost Newtonoy prinipy mehaniky ládly e fyzie neohějně 00 let až do doby příhodu teo- relatiity, pro kterou je Newtonoa mehanika mezní teorii malýh ryhlostí. Newtonů prin- rie ip síly f = m.a říká, že pohybuje-li se těleso ronoměrným zryhlením a, působí naň síla f, která je tím ětší čím je ětší hmotnost m tělesa. Podle této definie hmotnost m nezáisí na kterém místě Země, či Měsíe, nebo Marsu se těleso nahází. Na prní pohled proto překapuje, že hmotnost tělesa m záisí na ryhlosti tělesa. Mohou za to da postuláty teorie relatiity, a zejména druhý z nih: Ryhlost sětla je e šeh ineriálníh soustaáh stejná. Kůli názornosti si předstame, že po silnii jede auto, kterému depu ( klidoém stau) naměřili hmotnost m 0. S autem je spojen souřadný systém K, který se pohybuje zhledem k silnii ryhlostí. Se silnií je spojen souřadný systém K. Předpokládejme, že neexistuje žádné tření, takže auto jede s ypnutým motorem ryhlostí ze setračnosti. Řidič zapne motor, který na ůz působí silou f, důsledku čeho se ůz zryhlí souladu s Newtonoým zákonem síly: f = m 0.a [kg,metr,se - ]. Jednotky délky a času jsme opatřili hězdičkou, abyhom zdůraznili, že jsou to jednotky áza- né na pohybujíí systém K. Jenže přístroje na silnii jsou ejhoány jednotkami soustay K, a tudíž platí metr [metr] a sekunda [se]. V důsledku kontrake délky (5) měření délky metreh soustay K dáá menší hodnoty, a měření času se dáá ětší hodnoty důsledku dilatae času L. Szántó: Speiální teorie relatiity a síly elektromagnetikého pole
7 (3). S ohledem na tyto ztahy mezi jednotkami pohybujíí se soustaě K a ztažnou soustaou K platí: 1 f = m a [ kg, metr, ] 0. a = m 0. a = m. se. Obr. 4 Záislost relatiistikého faktoru Θ na podílu ryhlostí Vidíme, že zákon s íly Newtonoě mehaniky je splněn, jak to požaduje Postulát A speiální relatiity, když hmotnosti m přisoudíme hodnotu: m 0 m = (6) Klidoá hmotnost m 0 objektu zroste na hodnotu m díky jeho ryhlosti. V každodenním žiote tento nárůst je zanedbatelný, jelikož <<. Výrazně se projeuje extrémníh oblasteh: mikrosětě atomárníh, nebo makrosětě kosmikýh jeů. Ve šeh transformaíh podstatnou úlohu hrál relatiistiký faktor Ф, jehož záislost na podí- lu ryhlostí / znázorňuje Obr. 4. 6. Lorentzoa transformae souřadni Všehny události e sěte se odehráají prostoru a čase čtyřrozměrném časoprostoru. Znamená to, že k lokalizai události jsou potřebné čtyři údaje x, y, z, t tři prostoroé souřad- dimensi času t. Osy X a X sousta nie x, y, z ztažné soustay koordinát a čtrtá souřadnie času t. Lorentzoa transformae předstauje čtyři ronie, kterými se přepočítáají souřadnie x, y, z, t jedné ztažné soustay K na souřadnie x, y, z, t jiné ztažné soustay K při dodržení Postulátu A a Postulátu B speiální teorie relatiity. Znamená to, že soustay K a K jsou ineriální soustay pohybujíí se přímočaře ronoměrně bez rotae. Dále to znamená, že sětlo se e akuu obou soustaáh šíří stejnou ryhlostí, nezáisle na jejih zájemné ryhlosti. Na Obr. 5 je znázorněna ztažná soustaa K a K. Osy prostoroýh souřadni toří kartézskou praotočiou soustau a hodiny T resp. T předstaují se překrýají a osy Z a Z resp. Y a Y jsou paralelní. Soustaa K se pohybuje zhledem k soustaě K ryhlostí. V jisté poloze počátky obou sousta splýají a obě hodiny ukazují stejně nuloý čas. Po jisté době, kdy hodiny T ukazují čas t, je soustaa K již posunuta o zdálenost t od počátku soustay K. Hodiny T ukazují menší čas než hodiny T přesto, že obě hodiny jsou stejné konstruk- L. Szántó: Speiální teorie relatiity a síly elektromagnetikého pole
8 e. Hodiny T totiž tikají pomaleji, jelikož jednotka času zde je 1/(1 / ) 1/ krát delší důsledku dilatae času. Obr. 5 K objasnění Lorentzoy transformae Lorentzoa transformae předstauje čtyři ronie, kterými se přepočítáají časoprostoroé souřadnie události bodě A (Obr. 5 ) yjádřené údaji x, y, z, t ztažné soustay K na souřadie x, y, z, t n ztažné soustay K. Jednoduhé matematiké odození těhto Lorentzoýh transformačníh roni lze najít dostupní literatuře [6]. Čas t resp. t je na obrázku Obr. 5 připsán jak samotnému bodu A tak i k jeho x souřadniím, jelikož z bodu A sětlo dorazí do počátku souřadni za stejnou dobu jako jeho průmět na osu X resp. X. Pro situai na Obr. 5 mají ronie Lorentzoy transformae následujíí tar y = y (7a) z = z (7b) x = x t (7) 1 t x t = (7d) Nebudeme zde opakoat matematiké odození těhto roni. Vysětlíme jejih obsah pomoí Obr. 5. Využijeme k tomu již odozené ronie kontrake délek (5) a dilatae času (3). Bude to sého druhu popisné odození roni Lorentzoy transformae. Když počátky sousta K a K splýají, je yslán z tohoto společného bodu sětelný signál, který se podél osy X soustaě K šíří podle ronie x = t čili x t = 0 (8) Tentýž signál se soustaě K šíří podél osy X díky Postulátu B podle ronie x = t čili x t = 0 (9) Ronie (7a) a (7b) yplýají ze skutečnosti, že osy Y, Z a Y, Z ztažnýh sousta K resp. K jsou kolmé na směr ryhlosti, a tudíž nedohází ke kontraki délek. Čitatel ronie (7) předstauje délku x iděnou z pohledu ztažné soustay K, t.j. zkráenou důsledku kontrake délek. V soustaě K je tato délka ětší 1/(1 / ) 1/ krát, ož je ronii (7) zohledněno odmoninou e jmenoateli. Ronie (7d) yplýá z roni (8), (9) a (7d) po následujííh úpraáh: [6] Einstein: Teorie relatiity, VUTIUM, Brno, 005. L. Szántó: Speiální teorie relatiity a síly elektromagnetikého pole
9 x t t x x t = = = 1 Podle teorie relatiity žádná soustaa souřadni není nadřazena jiné soustaě a proto můžeme ododit Lorentzoy transformační ronie i pro případ, kdy jsou známe souřadnie bodu A soustaě K a nimi potřebujeme yjádřit souřadnie bodu A soustaě K. Tyto noé Lorent- zoy transformační ronie získáme řešením roni (7) podle x, y, z, t : y = y (10a) z = z (10b) x + t x = (10) 1 t + x t = (10d) Jelikož žádná ztažní soustaa nemá priilegoané postaení, souřadnie soustay K resp. K si roniíh (10) oproti roniím (7) yměnily pozie. Naí roniíh (10) ystupuje ryhlost se záporným znaménkem, jelikož z pohledu soustay K se soustaa K pohybuje e směru zápornýh hodnot na ose X. Ronie Lorentzoy transformae identiky splňují relai (11): x + y + z t = x + y + z t (11) O platnosti této relae se přesědčíme elementárními úpraami po dosazení za x, y, z a t ýrazů praýh stran roni (7). Ronie Lorentzoy transformae (7) byly odozeny pro situai kdy osy souřadni X a X se překrýají a ztažní soustaa se pohybuje ryhlostí e směru osy X. Tyto podmínky nemusí být ždy splněny a čtyři ronie Lorentzoy transformae budou mít jiný tar. Niméně, i pro ně bude relae (11) identiky splněna. Každá čteřie funkí, která identiky splňuje relai (11 ) je Lorentzoa transformae. Relae (11) má názornou fyzikální interpretai. Položíme-li její leou a praou stranu ronou nule dostaneme dě ronie x + y + z = (t ), x + y + z = (t). Obě ronie popisují porh koule o poloměru t resp. t. Je to koule, která předstauje čelo sětelné lny, která znikla rozsíením nějakého zdroje místě a okamihu, když se počátky soustay K a K kryly. Narůstaní lnoplohy z pohledu soustay K jako i soustay K má kuloý tar, bez ohledu na to, že tyto soustay se zájemně pohybují ryhlostí. Je to důsledek druhého postulátu speiální teorie relatiity o konstantnosti ryhlosti sětla ineriálníh soustaáh. Jak Lorentz ukázal, yhoují tomu po něm pojmenoané transformae (7), (10), které pak Einstein učinil podkladem sé teorie relatiity. S relai (11) pro Lorentzoou transformai se íe sblížíme ( spřátělíme ), když uedeme podobnou identikou relai platnou pro euklidoskou geometrii. Na Obr. 6 jsou znázorněny osy dou praoúhlýh sousta: X, Y resp. X, Y. Kůli přehlednosti obrázku se omezujeme na roinné soustay. Obě soustay mají společný počátek, ale jsou zájemně natočeny. V roině sou- sta se nahází bod S, jehož zdálenost od počátků sousta je s. Podle Pythagoroy ěty je s = x + y respektie s = x + y. Vzdálenost s pro obě soustay je stejná, z čehož yplýá identiké splnění relae L. Szántó: Speiální teorie relatiity a síly elektromagnetikého pole
10 x + y = x + y. Obr. 6 K objasnění relae identity euklidoské geometrii Ještě jeden příklad. Letadlo ysílá praidelné sětelné impulsy dobře iditelné za šera. Pilot naměří časoý interal t za sebou jdouíh signálů a délku s trasy, kterou letadlo za tu dobu uletí. Dispečer na zemi měří ty samé údaje, ale naměří hodnoty t resp. s. Hodnoty naměřené přístroji pilota a dispečera jsou rozdílné. Laik by okamžitě prohlásil, že přístroje jsou adné. Informoaný dispečer je opatrnější, a kantorsky by prohlásil: Projey přírody musíme interpretoat podle speiální teorie relatiity. Jeli splněna ronie ( s) ( t) = ( s ) ( t ), pak přístroje ukazují spráné hodnoty. Na tomto místě musíme zastait rozíjení myšlenek yplýajííh z Lorentzoy transformae. Došli byhom do čtyřdimensního Minkowského (1864-1909) sěta a pak k obené teorii relatiity. Cíle tohoto článku jsou šak mnohem skromnější. Na příkladu speiální teorie relatiity jsme htěli ukázat, že Faradayoa-Maxwelloa teorie elektromagnetikého pole působila jako katalyzátor obnoy a rozoje fyzikálního nahlížení na sět. Na druhé straně, speiální teorie relatiity zpětně prohlubuje poznatky elektromagnetikého pole, jak to heme ukázat statíh 8 až 10. 7. Skládání ryhlosti Uažujme nyní, že bod A soustaě souřadni K se pohybuje ryhlostí w e směre osy x, a soustaa K se pohybuje zhledem k jiné soustaě K ryhlostí. Pak bod A, podle Galileiho relatiity, se pohybuje ryhlostí W = w + iděno ze soustay K. Toto skládání ryhlostí potr- iální teorie relatiity, resp. Lorentzoy transformae. Galileiho skládání ryhlosti je limita sklá- zuje naše každodenní zkušenost: kráčí-li estujíí e laku směrem k lokomotiě ryhlostí w, pak zhledem k nádraží má ryhlost W. Jenže žijeme prostředí malýh ryhlostí. Pro elké ryhlosti sronatelné s ryhlosti sětla je třeba skládání odozoat s ohledem na postuláty spe- dání ryhlosti dle speiální relatiity pro malé ryhlosti: <<. V každém případě pro ryhlost, či už soustaě K nebo K, platí: dx dx W = resp. w = dt dt Podle Lorentzoy transformae (10) je souřadnie x funkí jak x tak t. Podobně, taky souřadnie času t je funkí x a t. Pro ryhlost W proto platí dx + dx dx 1 dt 1 w + W = = = = dt dt dt dt w 1 1 1+ dt dt Po konečnýh úpraáh dostaneme w + W = (1) w 1+ L. Szántó: Speiální teorie relatiity a síly elektromagnetikého pole
11 To je Einsteinů zore pro skládání ryhlostí. Pro malé ryhlosti << zlomek jmenoateli lze zanedbat a zore nabude tar W = w + skládání ryhlosti podle Galileia. 8. Postuláty elektromagnetikého pole Výklad Faradayoy a Maxwelloy teorie elektromagnetikého pole se zjednoduší, když se zpočátku předpokládá existene elektrostatikého pole a odděleně magnetostatikého pole. Nakone se přirozeně dospěje k jednotnému elektromagnetikému poli, jehož jedním záěrem je existene elektromagnetikýh ln šířííh se ryhlostí = (1/εµ) 1/. Nezáislost této ryhlosti na zájemné ryhlosti ineriálníh ztažnýh sousta se stala jedním postulátem teorie relatiity, jak jsme ho aplikoali předešlýh statíh. Separoané pojednání o elektrostatikém poli a magnetostatikém poli je umožněno díky děma postulátům elektromagnetikého pole: Postulát č. 1 Existují elektriké náboje, které na sebe zájemně působí silou. Náboje stejného znaménka se odpuzují, náboje různého znaménka se přitahují. Postulát č. Elektriké proudy e odičíh (náboje pohybu) na sebe působí silou. Vodiče s proudy stejnýh směrů se přitahují, opačnýh směrů se odpuzují. Vzájemně kolmé odiče s proudy nepůsobí na sebe silou. Tyto postuláty yoláají mylnou předstau, že existují da zdroje sil elektromagnetikého pole: elektriký náboj a elektriký proud. Víme šak, že elektriký proud je jenom odozený pojem pro náboje, ětšinou elektrony, pohybujííh se určitou ryhlostí. Teorie ýkladu je tím ennější, čím je počet potřebnýh postulátů menší. V dalšíh dou statíh okážeme, že pro ýklad magnetostatikého pole nepotřebujeme uedený Postulát č., protože ystačíme jen s Postulátem č. 1 o působení sil elektrikýh nábojů, pokud prohloubíme sůj fyzikální pohled na sět. Toto prohloubení předstauje teorie relatiity, jelikož náboje pohybu předstaují elektriký proud. Uedený Postulát č. se tak stane ětou odozenou od Postulátu č. 1. 9. Ampèrů zákon z pohledu relatiity Mezinárodní komise pro áhy a míry doporučila roe 1948 použíat e šeh ědnýh a tehnikýh oboreh soustau jednotek SI (Système Internationle d'unités) níž jednotkou proudu je ampér A. Zákonem 35/6 Sbírky zákonů (noelizoaným 57/75 Sbírky zákonů) je použíání této jednotky proudu poinné i u nás, přičemž je tato jednotka definoána následoně: Základní měrná jednotka ampér je proud, který při stálém průtoku děma ronoběžnými přímkoými elmi dlouhými odiči zanedbatelného kruhoého průřezu, umístěnými e akuu e zdálenost R = 1 m od sebe, yolá mezi odiči sílu.10-7 newtonů na jeden meter délky L. Definie ampéru je založena na Ampèroě zákoně: I1I F = µ L, (13) πr kde F je síla působíí na délku L odiče za podmínek uedenýh definii, R je zájemná zdálenost odičů, I 1 a I jsou proudy e odičíh, µ = 4π10-7 [mkgs - A - ] je magnetiká permeabilita akua. Ampèrů zákon určuje jenom elikost síly, ale neurčuje její směr. Teorie elektromagnetikého pole sie disponuje zori (Lorentzoa síla) nebo praidly (praidla praé ruky), kterými konkrétnýh situaíh lze určit směr síly, ale tyto nástroje neysětlují proč je směr síly práě taký jak je určen Postulátem č.. Směr síly mezi odiči lze ysětlit pomoí teorie relatiity, a Postulát č. se stáá ětou, jak jsme již uedli. L. Szántó: Speiální teorie relatiity a síly elektromagnetikého pole
1 Nyní ododíme Ampèrů zákon pomoí teorie relatiity opírají se jenom o Postulát č. 1. Na Obr. 7 jsou znázorněny da elmi dlouhé přímkoé odiče s proudy I 1 a I. Zde je také znázorněna jedna siločára magnetiké induke B 1 proudu I 1 (kůli plastičnosti je ploha ohraničena siločárou yplněna, jakoby byla neprůhledná, ož samozřejmě není prada). Podle zájemného směru proudů I 1, I a jejih elikostí existují tři možnosti. Obr. 7 K objasnění siloýh účinků mezi paralelními odiči (Ampèrů zákon) a) V prním odiči teče proud I 1, zatímo druhém odiči neteče proud, tudíž I = 0. Z pohledu elektronů a protonů druhého odiče, z důodů kontrake délek, dohází prním odiči k ětší konentrai elektronů než protonů, následkem čehož se prní odič jeí jako záporný linioý odič (na daném úseku odiče je í elektronů než protonů). Niméně přitažlié síly působíí na protony druhého odiče se ykompenzují s odpudiými silami elektronů tohoto odiče, tudíž magnetiké pole prního odiče nepůsobí silou na druhý odič. b) V druhém odiči teče proud I stejným směrem jako prou I 1 prním odiči. Elektrony obou odičíh se pohybují e stejném směru, a tudíž z pohledu elektronů druhého odiče dohází k ětší konentrai protonů prního odiče než jeho elektronů, a prní odič se jeí jako kladný linioý náboj s délkoou hustotou Θ 1 = I 1 /, kde je zatím neznámá konstanta úměrnosti. Tím se naruší ronoáha sil působíí na elektrony a protony druhého odiče jelikož jeho elektrony se přitahují k prnímu odiči. Výsledkem toho je sila f +, která přitahuje druhý odič k prnímu. ) V druhém odiči teče proud I opačným směrem jako proud I 1 prním odiči. Z pohledu elektronů druhého odiče dohází ke konentrai protonů a elektronů prního odiče, ašak konentrae elektronů je ětší, protože tyto se pohubují ryhleji jako protony důsledku opačnýh směrů proudů I 1 a I. Prý odič se tak jeí pro elektrony druhého odiče jako záporný linioý náboj s délkoou hustotou Θ 1 = I 1 /, kde je zatím neznámá konstanta úměrnosti. Odpudié síly působíí na druhý odič přeládnou a ýsledkem toho je sila f, která odpuzuje druhý odič od prního. V předešlém ýkladu jsme mluili o linioém náboji Θ 1 s délkoou hustotou Θ 1 = I 1 /, který jsme zaedli intuitině s ílem objasnit fyzikální podstatu. Nyní ododíme tuto záislost náboje na proudu opírají se o kontraki délky podle speiální teorie relatiity. V neutrálním odiči je záporný linioý náboj Θ ( předstaoaný olnými elektrony) roný kladnému linioému náboji Θ +, který je ytářen protony atomů. Pro elkoý náboj proto platí Θ + Θ = 0. Ronoáha nábojů se změní při průtoku proudu I důsledku pohybu záporného náboje Θ (elektronů) translační ryhlostí : I = Θ. Díky kontrake délky zroste počet elektronů na déle odiče, kterou zaujímá kladný náboj Θ +, a naruší se ýše uedená ronoáha nábojů. Délkoá hustota linioého náboje nyní je + Θ Θ + Θ = Θ Θ 1 = Θ = I +. 1 L. Szántó: Speiální teorie relatiity a síly elektromagnetikého pole
13 Při úpraě ronie jsme yužili skutečnost, že translační ryhlost nábojů Θ, která je řádoě několik entimetrů za sekundu, je nesronatelně menší než ryhlost sětla. To umožňuje aproximoat reiprokou hodnotu odmoniny součtem 1 + / prníh dou členů Tayloroa rozoje. Podle uedené ronie je náboj Θ úměrný translační ryhlosti. Ale ta záisí na způsob zniku proud I. Je-li proud I ytořen elkým množstím olnýh elektronů (tlustý drát, menší napětí), pak ryhlost je menší, než při menším množstím olnýh elektronů (tenký drát, ětší napětí). Abyhom tuto záislost odstranili, musíme počítat s nábojem Θ, který je normoán na jednotnou relatiní ryhlost /: Θ = Θ //. Pro takto normoaný linioý náboj z ýše uedené ronie yplýá ztah, který jsme htěli ododit: Θ = I (14) Da paralelné odiče s proudy I 1 a I se zájemně idí jako linioé náboje s délkoou hustotou Θ 1 = I 1 / resp. Θ = I /, které zájemně působí silou F Θ1Θ I1I I1I = L = L = µ L, πεr π εr πr kde ε je permitiita a µ = 1/ ε permeabilita. V uedenýh zoríh poznááme Ampèrů zákon, který jsme nyní ododili s použitím jenom Postulátu č. 1 pomoí teorie relatiity a elektrostatikého pole linioýh nábojů. Pomoí teorie relatiity lze ododit nejen elikost a směr působení síly mezi děma paralelními odiči protékanými proudy, ale lze i zdůodnit proč odiče na sebe kolmé nepůsobí zájemně silou. V případě kolmosti směrů idí prní odič e sém směru pohyboat se protony a elektrony druhého odiče stejně, ož platí i obráeně. Proto odiče zájemně zůstáají elektriky neutrální. Prohloubením fyzikálního pohledu směrem k teorii relatiity se podařilo ododit Ampèrů zákon bez toho, abyhom se opírali o druhý postulát, který tím pádem ztráí statut postulátu a stáá se ětou, která je odozena od Coulomboa zákona elektrostatiké síly. Z ýkladu Ampèroa zore podle Obr. 7 yplýá, že záislost směru sil (přitahoání čí odpuzoání) působííh mezi odiči děčí přítomnosti nepohybliýh protonů e odiči. Elektriký proud ošem může tét i bez přítomnosti nepohybliýh kladnýh nábojů. Například proud elektronoého paprsku starší teleizní obrazoe. Tento proud předstauje paralelně se pohybujíí elektrony, a tudíž můžeme ho poažoat za sazek paralelníh proudů, které by se měly zájemně přitahoat a paprsek fokusoat. Jenže k tomu nedohází. Jelikož se elektrony pohybují paralelně, tudíž zájemně se nepohybují, a proto nazájem působí jenom Coulomboa odpudiá sila a žádná magnetiká. 10. Feromagnetiká látka z pohledu relatiity Ronie síly elektromagnetikého pole (Lorentzoa síla, praidlo praé ruky) umožňují určit orientai molekulárníh proudů e feromagnetikýh látkáh ystaěnýh nějšímu magnetikému poli. Molekulární proudy se orientují tak, že jejih lastní magnetiká induke posiluje induki nějšího magnetikého pole. Ronie a praidlo síly sie umožňují určit jak se molekulární proudy orientují, ale neysětlují proč se proudy orientují e smyslu zesiloání nějšího magnetikého pole a ne práě naopak. Vysětlení poskytne teorie relatiity pomoí Obr. 8. Na Obr. 8a je znázorněna íka jejíž jádro toří feromagnetiká látka. Na Obr. 8b je skia tytéž íky z pohledu zepředu. Zde je proud I reprezentoán elektronem e, který obíhá po kruhoé dráze opačném směru než teče proud, jelikož elektron má záporný náboj. Naí nepohyb- L. Szántó: Speiální teorie relatiity a síly elektromagnetikého pole
14 lié kladné protony e odiči íky jsou zastoupeny jedním kladným nábojem p. Molekuloé proudy na Obr. 8b předstauje jeden kroužíí elektron e f. Pokud je směr kroužení molekulárníh elektronu e f a elektronů e e odiči íky stejný, pro molekulární elektrony se inutí íky jeí jako kladně nabitý ále. K němu se přitahují molekulární elektrony e f a jejih dráhy se orientují do stabilní polohy, jak je tento sta znázorněn na Obr. 8b. Pokud by se oba směry obíhání elektronů e f a e lišily, molekulární elektrony by nímaly odič íky jako záporně nabitý ále a liem odpudiýh sil by se jejih dráhy z této nestabilní pozie překlopily do stabilního stau. Vysětlení proč je inutí íky nímáno jednou jako kladně nabitý ále a podruhé jako záporně nabitý yplíá z analogiké argumentae jakou jsme uedli předešlé stati souislosti s Ampèroým zákonem. Obr. 8 K objasnění směru induke B e feromagnetiké láte V případě feromagnetikýh látek se příroda hoá k nám elmi stříně. K induki magneti- kého pole nějšíh proudů přispíá feromagnetiká látka bezplatně sou indukí, která je µ r krát ětším než je pole od nějšíh proudů. Prinip ake a reake, při kterém reake brání účinkům ake, zde nemá tento obyklý smysl. Reake molekulárníh proudu podporuje aki nějšího proudu. L. Szántó: Speiální teorie relatiity a síly elektromagnetikého pole